ECUACIONES MATRICIALES Docente: Sergio Andrés Nieto Duarte En sesiones anteriores se ha discutido sobre las operaciones básicas con matrices, sin embargo, la división matricial no fue abordada de una manera oficial. Por lo tanto, antes de examinar el tema referente a las ecuaciones matriciales, será necesario ver que de hecho la división matricial es algo que ya aprendimos de forma indirecta; para entenderlo mejor, hay que recordar el concepto básico desde el punto de vista operativo con números Reales: Dividir puede considerarse como multiplicar el dividendo por el inverso multiplicativo del divisor. Cabe recordar, que el inverso multiplicativo de un número Real, es aquel valor que al multiplicarse por dicho número genera como resultado al módulo de la multiplicación (en otras palabras, el número 1). Esto es, sean los números reales a, b y c, tenemos: Para los número Reales el cálculo de un inverso multiplicativo es muy sencillo, basta con dividir la unidad (1) sobre el valor al cual deseamos invertir, por ejemplo: si deseamos el inverso multiplicativo del número 3 tenemos que este es 1/3 (porque ). Por lo tanto, para la propiedad que vimos anteriormente podríamos inducir que multiplicativo de b), si miramos de nuevo la propiedad tenemos: (Otra forma de escribir la división entre a y b) (dado que c es el inverso No obstante, con las matrices la cuestión no es tan simple, dado que, la operación de producto matricial tiene una forma tan peculiar que implica multiplicar los elementos entre filas y columnas de dos matrices, así como también realizar unas sumas específicas con esos productos para calcular la matriz resultante. Sin embargo, existe algo que llamamos la matriz inversa, este nombre no es algo aleatorio puesto que, si lo analizamos más profundamente hacemos referencia a un inverso multiplicativo, pues como vimos previamente: Hay que recordar también que la matriz Identidad es en realidad el modulo del producto matricial (si se multiplica una matriz por una Identidad se obtiene como resultado a esa misma Matriz, tal como se obtiene, al multiplicar por 1 a cualquier número Real). Por lo tanto, se podría decir que, para realizar división matricial lo que debe hacerse es multiplicar por una matriz inversa, por ejemplo: si deseamos realizar la división entre las matrices A y B deberíamos invertir al divisor (B) y multiplicar dicho resultado con el dividendo A, esto sería:
Ahora bien, teniendo en cuenta las correspondientes restricciones al momento de evaluar la factibilidad de dicha operación (B debe ser una matriz invertible y su número de filas debe ser igual al número de columnas de A). Ahora, ya que se conoce una forma más oficial para realizar las cuatro operaciones básicas con matrices, se puede entender de manera más clara el proceso de trabajo con ecuaciones matriciales. Una ecuación matricial es una igualdad propuesta con matrices en donde se tiene alguna matriz cuyos elementos son desconocidos y están representados por incógnitas, por ejemplo suponga: En esta expresión encontramos una igualdad entre matrices, pero en una de esas matrices los elementos no son conocidos. Para poder encontrar los valores que satisfagan la igualdad propuesta en la expresión será necesario realizar un proceso conocido como despeje -tal como sucede en las ecuaciones con número Reales- suponga una ecuación similar con números Reales para entenderlo mejor: La anterior, es una ecuación muy sencilla de resolver, si se desea encontrar el valor de la variable x bastaría con analizar el orden de las operaciones con esa variable, (como si ya se conociera su valor) para este caso, primero se debe multiplicar la x por 3 y luego sumar a ese resultado 4 unidades, una vez se tenga el resultado, luego de este breve análisis se procede a realizar un proceso de inversión de dichos pasos y de las operaciones propuestas (despeje). Para este caso, primero se debe invertir el hecho de sumar 4 (con una resta) y luego invertir el hecho de multiplicar por 3 (con una división), paso por paso el proceso sería así:
Este proceso se suele resumir realizando operaciones inversas a las originales únicamente en el lado de la ecuación donde no se encuentra la variable, mientras se va quitando cada valor que no sea la variable en su correspondiente lado, por ejemplo: (Se suele decir algo como: el 4 está sumando pasa a restar ) (Se suele decir algo como: el 3 está multiplicando pasa a dividir ) Sin embargo, en cada proceso se evidencia que la variable x debe tomar el valor de, y en realidad lo que se desea expresar es que si la variable tomara dicho valor se obtendría una igualdad al realizar las operaciones. Esto podría comprobarse, al reemplazar la variable por el valor que acabamos de obtener y verificar que se genere una igualdad (de no ser así vale la pena decir que el despeje estuvo mal realizado o los cálculos fueron erróneos). Observe que ocurriría en este caso: Reemplazando: Se resuelven las operaciones en orden correcto a cada lado de la igualdad: Como se puede observar, se genera una igualdad, esto significa que el proceso de resolución de la ecuación fue el adecuado y que el valor de la variable debe ser igualdad. con el fin de satisfacer la Con matrices funciona igual, sin embargo, hay que tener mucho cuidado al despejar productos, dado que, la operación inversa al producto es la división (que a su vez es una multiplicación con la matriz inversa del divisor), esto debido a que hay una diferencia muy significativa entre multiplicar número Reales y matrices: NO HAY CONMUTATIVIDAD EN EL PRODUCTO MATRICIAL, SALVO EN CASOS MUY PARTICULARES AXB BXA Por lo tanto, el despeje con productos matriciales debe ser muy estricto en el orden en que se aplica, suponga la siguiente ecuación matricial:
Para realizar los despejes de A o B, se debe tener en cuenta en forma estricta el orden en que está propuesta la operación de multiplicación, por ejemplo, si se desea despejar A: Teniendo en cuenta que B es el segundo factor en la operación original la matriz inversa de B debe conservar ese mismo lugar. Si desea despejar B: Teniendo en cuenta que, A es primer factor, la matriz inversa y A debe mantener esa posición como primer factor luego de hacer el despeje. Ahora, para ilustrarlo de una forma más clara se resolverá la ecuación matricial propuesta en el ejemplo: Inicialmente se escribe la ecuación asignando nombres a cada matriz, con el fin de hacer más fácil de comprender el despeje, en este caso, se podría escribir la ecuación de la siguiente manera: Donde B sería la matriz de variables que se deben despejar (Nótese que es una ecuación muy parecida en su forma a la ecuación con números Reales que acabamos de resolver) Ahora, el siguiente paso es analizar el orden de las operaciones que deberían realizarse a cada lado de la ecuación: o Lado izquierdo: 1. Multiplicar AxB 2. Sumar a ese resultado la matriz C o Lado derecho: 1. Multiplicar 2 por D Ahora se analizará si es una ecuación consistente desde el punto de vista de las restricciones en las operaciones y los tamaños resultantes de cada operación: o Lado izquierdo: 1. Al multiplicar AxB se tiene una matriz de 3x3 por una matriz de 3x2, como coincide el número de columnas de A con el número de filas de B puede realizarse la operación y la matriz resultante será una matriz de 3x2
o 2. Para sumar la matriz resultante de AxB con C ambas deben ser matrices del mismo tamaño (en este caso ambas son de 3x2 por lo cual es posible y la matriz resultante es una matriz de 3x2 en el lado izquierdo) Lado derecho: 1. Al multiplicar 2 por una matriz de 3x2 el resultado es una matriz de 3x2 Ahora bien, como los tamaños de las matrices en el lado izquierdo y derecho coinciden es una ecuación consistente, de no ser así, no se podría resolver dado que, sería imposible obtener una igualdad sin importar los valores que diéramos a las variables. 1. Ahora se realizará el despeje de B según el orden que examinamos: 2. Es de vital importancia el hecho de agregar signos de agrupación (paréntesis) al momento de proponer el despeje del producto dado que, este debe realizarse con el resultado de la operación del paso anterior. Por lo tanto, si se desea encontrar B, es necesario calcular primero la matriz inversa de A, por lo cual esta debe ser invertible (cuadrada y con determinante diferente de cero), de no ser así la ecuación es inconsistente y no tendría solución. Para este caso, A es una matriz cuadrada y con determinante igual a 24 por lo cual podemos continuar con el proceso y calcular la inversa, obteniendo: Es muy importante verificar que esta sea la inversa (aplicando AxA -1 = I) 3. Una vez calculada la matriz inversa correspondiente se procede a reemplazar los nombres de las matrices por sus respectivos valores en el despeje:
( ) 4. Ahora es el momento de calcular el resultado de la operación: ( ) () Por lo tanto se ha encontrado el valor de cada variable por equivalencia entre matrices. Ahora bien, es muy importante comprobar que cada variable estuvo bien calculada y la igualdad propuesta originalmente estará satisfecha, para esto, simplemente se deben remplazar los resultados en la ecuación original y que se genere una igualad entre los dos lados de la ecuación:
Como se genera una igualdad la ecuación queda satisfecha con los valores: Vale la pena resaltar que para entender y realizar de la mejor manera el proceso es necesario manejar las operaciones básicas con matrices, los procesos de despeje de ecuaciones (a nivel general) y ser muy cuidadoso al momento de realizar los cálculos. Para terminar un breve resumen de los pasos para solucionar ecuaciones matriciales: 1. Nombrar las matrices propuestas y generar una ecuación equivalente usando dichos nombres. 2. Analizar el orden en que deberían realizarse las operaciones en cada lado de la ecuación 3. Analizar si es una ecuación consistente revisando las restricciones de operaciones y los tamaños resultantes en cada lado de la ecuación. 4. Despejar. 5. Verificar que la matriz que debe invertirse sea no singular (invertible: cuadrada y con determinante diferente de cero). 6. Reemplazar cada matriz en el despeje propuesto y resolver las operaciones. 7. Verificar la solución. Este es un proceso que puede parecer complicado en principio, sin embargo, con el tiempo y la práctica se llega a dominar; vale la pena decir que este concepto de ecuación matricial es punto de partida para llegar a comprender los métodos numéricos que veremos más adelante para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.