PROPUESTA A 1A a) Enuncia el teorema de Bolzano. (0,5 puntos) b) Razona que las gráficas de las funciones f(x) = 3x 5 10x 4 + 10x 3 + 3 y g(x) = e x se cortan en algún punto con coordenada de abcisa entre 1 y 0. (1 punto) c) Calcula los puntos de inflexión de f(x). (1 punto) 2A.Calcula el valor del parámetro a R, a > 0 para que el valor (en unidades de superficie) del área de la región determinada por la pa rabola f(x) = x 2 + a 2 y el eje de abcisas, coincida con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto de abcisa x = a. (2,5 puntos) 3A. a) Encuentra dos matrices A, B cuadradas de orden 2 que cumplan: Su suma es la matriz identidad de orden 2. Al restar a la matriz A la matriz B se obtiene la traspuesta de la matriz (1 5 puntos) b) Si M es una matriz cuadrada de orden 2 tal que M = 7, razona cuál es el valor de los determinantes M 2 y 2M. (1 punto) 4A. a) Estudia la posición relativa del plano x y z = a y la recta en función del parámetro a R. (1 25 puntos) b) Calcula la distancia entre y r para cada valor de a R. (1 25 puntos) (sigue a la vuelta)
PROPUESTA B 1B. a) Calcula los valores de los parámetros a, b R para que la función tenga como asíntota oblicua la recta y = 2x + 3. (1 5 puntos) b) Para los valores encontrados escribe la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto de abcisa x = 0. (1 punto) 2B. Calcula las siguientes integrales: (1 25 puntos por integral) 3B. a) Sabiendo que donde a, b, c R, calcula los determinantes y Indicando las propiedades que usas en cada caso para justificar tu respuesta. (2 puntos) b) Razona que, si A = 2, los parámetros a, b y deben ser distintos entre sí (no puede haber dos iguales. (0 5 puntos) 4B. a) Estudia la posición relativa de las rectas (1 25 puntos) b) Calcula la distancia entre las rectas r y s. (1 25 puntos) 2
SOLUCIONES A LA PROPUESTA A 1A. a) Enuncia el teorema de Bolzano. (0,5 puntos) Teorema de Bolzano. Dados dos valores reales a, b R con a < b y sea una función real de variable real f :[ a, b] R continua sobre un intervalo cerrado y acotado con f(a) f(b) < 0. Entonces existe al menos un valor c ( a, b ) con f(c) = 0. b) Razona que las gráficas de las funciones f(x) = 3x 5 10x 4 + 10x 3 + 3 y g(x) = e x se cortan en algún punto con coordenada de abcisa entre 1 y 0. (1 punto) Solución. Consideramos la función auxiliar h : [ 1, 0] R tal que h(x) = f(x) g(x) = 3x 5 10x 4 + 10x 3 + 3 e x Se trata de una función continua al ser resta de dos funciones, f(x) y g(x), continuas. Al mismo tiempo se observa que: h( 1) = 3 ( 1) 5 10 ( 1) 4 + 10 ( 1) 3 + 3 e 1 = 3 10 10 + 3 e 1 = 20 e 1 < 0 por lo que h( 1) h(0) < 0 h(0) = 3 0 5 10 0 4 + 10 0 3 + 3 e 0 = 3 10 + 10 + 3 1 = 5 > 0 Concluimos mediante el teorema de Bolzano que existe un valor c ( 1, 0) tal que la función auxiliar h(x) se anula en tal valor, es decir, h(c) = 0. Como h(x) = f(x) g(x) entonces, si sustituimos en x = c tendremos que: c ( 1, 0), h(c) = f(c) g(c) = 0 f(c) =g(c) por lo que se acaba de demostrar que existe un valor de abcisa entre 1 y 0 tal que f(x) y g(x) tienen la misma imagen en él, y por tanto, la gráfica de las funciones se cortan en ese valor de abcisa. c) Calcula los puntos de inflexión de f(x). (1 punto) Solución. Para calcular los puntos de inflexión, calcularemos los valores que anulan la segunda derivada y buscaremos cuáles de ellos no se anulan por primera vez en una derivada de índice impar a partir de la tercera: f(x) = 3x 5 10x 4 + 10x 3 + 3 f (x) = 15x 4 40x 3 + 30x 2 f (x) = 60x 3 120x 2 + 60x 3
Igualamos a cero a f (x) y resolvemos: Por lo tanto, los valores de abcisa candidatos a puntos de inflexión son x = 0 y x = 1. Estudiamos el signo de la segunda derivada para ver dónde se produce el cambio de curvatura y así catalogar a los puntos antes mencionados: Intervalo Valor representante f (x) = 60x (x 1) 2 Curvatura (, 0) 1 f ( 1) = 60 ( 1) ( 1 1) 2 = (+) ( ) (+) = ( ) Cóncava () (0, 1) 0 5 f (0 5) = 60 (0 5) (0 5 1) 2 = (+) (+) (+) = (+) Convexa () (1, + ) 2 f (2) = 60 (2) (2 1) 2 = (+) (+) (+) = (+) Convexa () Concluimos que x = 0 es el único punto de inflexión de f(x) al haber cambio de curvatura en dicho punto. 2A.Calcula el valor del parámetro a R, a > 0 para que el valor (en unidades de superficie) del área de la región determinada por la pa rabola f(x) = x 2 + a 2 y el eje de abcisas, coincida con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto de abcisa x = a. (2,5 puntos) Solución. Por un lado tendremos que calcular el área de la región determinada por la parábola y el eje de abcisas y por otro la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f(x) en x = a, para luego igualar ambos valores y obtener el parámetro a. Área de la región limitada por f(x) y el eje de abcisas. Calculamos primero los puntos de corte de f(x) con el eje de abcisas igualando la función a cero: Por lo tanto, las abcisas de los puntos de corte de f(x) con el eje de abcisas son x = a y x = a. Calculamos el área realizando la integral de la función f(x) menos el eje de abcisas entre estos valores teniendo en cuenta que la parábola tiene curvatura cóncava () y por ello restamos f(x) menos el eje de abcisas y no al revés. Otro modo sería restar ambas sin tener cuidado en el orden de colocación y luego hacer valor absoluto del resultado. 4
Luego el área de la región limitada por f(x) y el eje OX es La pendiente de la recta tangente a la gráfica de f(x) en x = a. La pendiente queda determinada por el valor de f (a). Para ello, calculamos f (x), f(x) = x 2 + a 2 f (x) = 2x Sustituyendo en x = a, tendremos que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f(x) en ese valor de abcisa es: f (a) = 2( a) = + 2a Una vez calculados los dos valores, los igualamos y resolvemos el valor del parámetro a. Concluimos que el valor a R, con a > 0 tal que el área de la región determinada por la parábola f(x) y el eje de abcisas coincide con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f(x) en x = a es concretamente 3A. a) Encuentra dos matrices A, B cuadradas de orden 2 que cumplan: Su suma es la matriz identidad de orden 2. Al restar a la matriz A la matriz B se obtiene la traspuesta de la matriz (1 5 puntos) Solución. Sea la matriz transpuesta de la matriz, 5
En el enunciado se nos está describiendo un sistema matricial de tipo lineal que viene dado por las ecuaciones siguientes: Procedemos a resolver el sistema por reducción, calculando primero la matriz A, Sustituyendo en la primera ecuación, calculamos la matriz B, Por lo tanto, las matrices que cumplen las condiciones del apartado son: b) Si M es una matriz cuadrada de orden 2 tal que M = 7, razona cuál es el valor de los determinantes M 2 y 2M. (1 punto) M 2. En este caso, puesto que dadas dos matrices cuadradas A y B de orden n se cumple que A B = A B, entonces, en el caso de M 2 se cumplirá que, M 2 = M M = M M = 7 7 = 49 Por lo tanto, M 2 = 49 2M. Como dada una matriz cuadrada A y un parámetro R, se cumple que al multiplicar el parámetro por el determinante de A se obtiene lo mismo que si hacemos el determinante de la matriz donde multiplicamos cualquier fila o columna por, entonces, en el caso de 2M se cumplirá que, al ser 2M una matriz que tiene multiplicadas por dos las dos filas, podremos extraer un 2 de cada fila y así 2M = 2 2 M = 4 7 = 28 Por lo tanto, 2M = 28 6
4A. a) Estudia la posición relativa del plano x y z = a y la recta en función del parámetro a R. (1 25 puntos) Solución. Consideramos el sistema formado por la ecuación del plano y las de la recta r: Las posibles posiciones relativas de la recta r y plano son tres: Paralelas: El plano y la recta no se cortan. Se produce cuando el sistema que forman las ecuaciones de la recta y la del plano no tienen solución (S.I.) Coincidentes: La recta está contenida en el plano. Se produce cuando el sistema que forman las ecuaciones de la recta y la del plano tiene infinitas soluciones (S.C.I.). Secantes: El plano y la recta se cortan en un único punto. Se produce cuando el sistema que forman las ecuaciones de la recta y la del plano tiene una única solución (S.C.D.) Por lo tanto, procedemos a discutir el sistema en función de los valores del parámetro a y concluir en función de lo que obtengamos. Aplicamos el método de los rangos estudiando los rangos de la matriz de coeficientes y la matriz ampliada y analizando los resultados mediante el teorema de Rouché-Fröbenius. La matriz de coeficientes del sistema es,. Realizamos su determinante: Anulando el determinante obtenemos que Y, a efectos de rango tendremos que, 5 + a = 0 a = 5 o Si a 5 entonces el determinante de A es no nulo y por tanto, Rg(A) = 3. En este caso, observamos que la matriz ampliada A* es, Que tiene dimensión 3 x 4 por lo que Rg(A*) < 4. Como, 3 = Rg(A) Rg(A*) < 4 entoncea Rg(A*) = 3. Por el teorema de Rouché-Fröbenius, tendremos que, como Rg(A) = Rg(A*) = 3 = nº de incógnitas entonces el Sistema es Compatible Determinado (S.C.D.) y entonces, la recta y plano se cortan en un único punto. 7
o Si a = 5 entonces el determinante de A es nulo y por tanto, Rg(A) < 3. Como existen menores de orden dos cuyo determinante es no nulo, Concluimos que si a = 5 entonces R(A) = 2. Para este valor, la matriz ampliada A* es, en donde observamos que hay menores de orden tres con determinantes distintos de cero: En tal caso, Rg(A*) = 3. Por el teorema de Rouché-Fröbenius, tendremos que, como 2 = Rg(A) Rg(A*) = 3 entonces el Sistema es Incompatible (S.I.) y entonces, la recta y plano no se cortan, es decir, son paralelas. Resumiendo las conclusiones obtenidas: o Si a 5 entonces la recta r y el plano son secantes (se cortan en un único punto). o Si a = 5 entonces la recta r y el plano son paralelos (recta y plano no se cortan). b) Calcula la distancia entre y r para cada valor de a R. (1 25 puntos) En el caso de que a 5, la distancia entre recta y plano es cero, d(, r) = 0. En el caso de que a = 5, podemos calcular la distancia mediante la fórmula:. Para hallar un punto de la recta r consideramos las ecuaciones generales de la recta r, donde vemos que se trata de un sistema homogéneo y, por tanto, una de sus soluciones es el origen de coordenadas O(0, 0, 0). Este punto nos sirve para aplicar la fórmula de la distancia, anteriormente citada. Así, la distancia entre la recta r y el plano es, 8
SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE LA PROPUESTA B 1B. a) Calcula los valores de los parámetros a, b R para que la función tenga como asíntota oblicua la recta y = 2x + 3. (1 5 puntos) Solución. La función del enunciado tiene asíntota oblicua ya que se trata de una función racional en la que el numerador tiene un grado más que el denominador. Si la ecuación de la asíntota oblicua a f(x) es y = mx + n entonces, Puesto que la ecuación de dicha recta es y = 2x + 3 entonces a = 2. Por otra parte, la ordenada en el origen de la asíntota oblicua se obtiene mediante, Puesto que la ecuación de dicha recta es y = 2x + 3 entonces b 1 = 3 de donde concluimos que b = 4. En definitiva, los valores de los parámetros que cumplen con las condiciones impuestas por el problema son a = 2 y b = 4. b) Para los valores encontrados escribe la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto de abcisa x = 0. (1 punto) La ecuación de la recta tangente a la función f(x) en el punto de abcisa x = a viene dada por, En nuestro caso, tal ecuación será: 9
Por lo tanto, calculamos f(0) y f (0). Lo haremos si sustituir los parámetros a y b para mostrar el modo de realizar el ejercicio en general, y que podría servir en este apartado si no tenemos correctamente calculados los parámetros del apartado anterior. o Calculo de f(0). Sustituimos x = 0 en la expresión algebraica de la función, o Calculo de f (0). Calculamos f (x) y luego sustituimos x = 0 en la expresión algebraica de la función derivada, Sustituyendo en x = 0 tendremos: Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente a la función f(x) en x = 0 será: En el caso de que a = 2 y b = 4 entonces dicha ecuación será: Concluimos que, para los valores hallados en el apartado anterior, la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f(x) en x = 0 es y = 8x + 2 2B. Calcula las siguientes integrales: (1 25 puntos por integral) Solución. Puesto que la derivada del denominador de la fracción integrando es: 10
que es precisamente el numerador de la fracción, nos encontramos ante una integral inmediata de tipo logarítmico que resolvemos mediante, Al tratarse de la integral de una función racional con raíces simples en el denominador, aplicamos el método de fracciones simples: Primero factorizamos el denominador para asegurarnos que estamos ante la situación descrita anteriormente: x 3 4x = x (x 2 4) = x (x + 2) (x 2) Por lo tanto, podemos transformar la fracción racional integrando en suma de fracciones simples del tipo, Donde tenemos que calcular A, B, C R. Transformamos la igualdad poniendo denominador común en todas las fracciones, teniendo en cuenta que el m.c.m. de los denominadores es, precisamente x 3 4x = x (x + 2) (x 2). Eliminando los denominadores tendremos que, Procedemos ahora a calcular los parámetros dando valores a x. o Si x = 0 tendremos que, o Si x = 2 tendremos que, 11
o Si x = 2 tendremos que, Por lo tanto, la fracción racional integrando inicial se puede descomponer en suma de fracciones simples del tipo, e integrando tendremos que, Donde las tres integrales son integrales de tipo logarítmico y que resolvemos del siguiente modo: Transformando mediante las propiedades de los logaritmos tendremos que, 3B. a) Sabiendo que donde a, b, c R, calcula los determinantes y Indicando las propiedades que usas en cada caso para justificar tu respuesta. Solución. (2 puntos) = En el paso 1) hemos extraído el escalar 5 de la fila 3. 12
En el paso 2) aplicamos la regla de la suma de determinantes mediante elementos de una fila, en este caso, la fila primera. En el paso 3) extraemos el escalar ( 1) de la primera fila del segundo determinante. En el paso 4) anulamos el segundo determinante ya que tiene dos filas iguales (la primera y la tercera). En el paso 5) aplicamos la regla de la suma de determinantes mediante elementos de una fila, en este caso, la fila primera. En el paso 6) extraemos el escalar ( 1) de la primera fila del segundo determinante. En el paso 7) anulamos el segundo determinante ya que tiene dos filas iguales (la primera y la tercera). En el paso 8) intercambiamos la fila primera con la segunda y en el paso 9) intercambiamos la fila primera con la tercera. En cada uno de los pasos el determinante qeuda multiplicado por ( 1) según Por lo tanto, 13
= En el paso 1) hemos desarrollado los productos notables de la primera fila. En el paso 2) aplicamos la regla de la suma de determinantes mediante elementos de una fila, en este caso, la fila primera. En el paso 3), anulamos el determinante primero ya que la primera fila es combinación lineal de las otras dos, en concreto F 1 = 2 F 2 + F 3. Después sustituimos el valor en el otro determinante, que es el del enunciado: Por lo tanto, b) Razona que, si A = 2, los parámetros a, b y deben ser distintos entre sí (no puede haber dos iguales. (0 5 puntos) Supongamos que A = 2, y a la vez supongamos que al menos dos parámetros, por ejemplo a y b, fueran iguales. Consideramos entonces a = b. En ese caso, encontraríamos que el determinante tiene dos columnas iguales y eso anula el valor del determinante. Por lo tanto, no obtendríamos 2 como valor del determinante. Por ello, para que el determinante valga 2, nunca puede suceder que dos parámetros sean iguales. 4B. a) Estudia la posición relativa de las rectas (1 25 puntos) Solución. Estudiamos la posición relativa de las rectas r y s a partir de un vector director y un punto de cada una de ellas. Dados un punto y un vector director de la recta r, y respectivamente, y un punto un punto y un vector director de la recta s, y, tendremos que: Si Si Si Si, entonces las rectas se cruzan., entonces las rectas son secantes., entonces las rectas son paralelas., entonces las rectas son coincidentes. 14
Buscamos por tanto un punto y un vector director de la recta r Para buscar el vector director hacemos el producto vectorial de los vectores normales de los planos que determinan a la recta r, Un punto de la recta puede ser P r = (0, 1, 0) ya que cumple las dos ecuaciones. Este punto, como otros muchos, se puede encontrar por tanteo. Buscamos ahora un punto y un vector director de la recta s: Para buscar el vector director volvemos a calcular el producto vectorial, esta vez sobre los vectores normales de los planos que determinan a la recta s, Un punto de la recta puede ser P s = (0, 6, 0) ya que cumple las dos ecuaciones. Este punto, como otros muchos, se puede encontrar por tanteo. Calculamos ahora. Puesto que los dos vectores son linealmente dependientes, y por tanto, las rectas r y s o son paralelas o son coincidentes. Para dilucidar cuál de las dos opciones es la correcta, calculamos, entonces con (0, 6, 0) (0, 1, 0) = (0, 5, 0) En ese caso, calculamos Puesto que hay dos filas iguales, tendremos que 15
Sin embargo, observamos que existe al menos un menor de orden dos con determinante no nulo: Por lo tanto, Concluimos que como Si r y s son paralelas., entonces las rectas b) Calcula la distancia entre las rectas r y s. (1 25 puntos) Dado el punto y los vectores, la distancia entre las dos rectas paralelas viene descrita mediante la fórmula: En tal caso, por una parte, y por otra parte Por lo tanto, la distancia entre las rectas r y s es, Concluimos que la distancia entre las dos rectas r y s paralelas es de 5 unidades. 16