Pàg. 1 de 1 Tenim els vectors u(3,, 1), v ( 4, 0, 3) i w (3,, 0): a) Formen una base de Á 3? b) Troba m per tal que el vector (, 6, m) sigui perpendicular a u. c) Calcula u, ì v i ( u, v). a) Per tal que formin una base, han de ser linealment independents. Vegem-ho: 3 1 4 0 3 =? 0. Formen una base de Á 3. 3 0 b) (, 6, m) (3,, 1) = 6 1 m (, 6, m) u ï 6 1 m = 0 ï m = 6 c) u = 3 + + 1 = 14 v = 4 + 3 = 5 = 5 ì ì 15 cos ( u, v) = = 0,0179 ( u, v) = 143 1' 3'' 14 5 Troba un vector de mòdul 13 que sigui perpendicular als vectors u(4, 10, 7) i v( 1, 5, ). u Ò v = (115, 76, 0) u Ò v = 115 + 76 = 99 = 13 3 1 El vector buscat és u Ò v = (5, 1, 0). 3 L oposat també compleix les condicions demanades: ( 5, 1, 0). Solucions: (5, 1, 0) i ( 5, 1, 0) 3 Considera els punts P (, 3, 5) i Q (, 9, ): a) Troba el punt mitjà de PQ. b) Troba el punt simètric de P respecte de Q. c) Troba el punt R de PQ tal que PR = RQ. + 3 9 5 + 7 a) Punt mitjà: (,, = 5, 3, ) ( ) b) Sigui S (a, b, g) el simètric de P respecte de Q. Llavors: + a 3 + b 5 + g = = 9 a = 14, b = 1, g = 1 = Per tant, el simètric de P respecte de Q és (14, 1, 1).
Pàg. de c) P (, 3, 5) R Q(, 9, ) PQ OR = (6, 1, 3) 1 = OP + PR = OP + PQ = (, 3, 5) + (, 4, 1) = (4, 1, 4) 3 4 Donats els punts P (3,, 0), Q (5, 1, 1) i R (, 0, 1): a) Troba la recta que passi per P i Q. b) Troba el pla que contingui P, Q i R. c) Troba la distància entre P i Q. a) PQ = (, 1, 1) x = 3 + l r: y = l z = l b) PR = ( 1,, 1) PQ Ò PR = (, 1, 1) Ò ( 1,, 1) = (3, 1, 5) π π: 3(x 3) + 1(y ) 5(z 0) = 0 3x + y 5z 11 = 0 c) dist (P, Q) = +1 +1 = 6 x 1 y + z 1 5 Donats el punt A( 1,, 3) i la recta r: = =, calcula raonadament: 1 1 a) La distància de A a r. b) El punt simètric de A respecte de r. R (1 + l, + l, 1 +l) és un punt genèric de r AR ( + l, 4 + l, + l) Cerquem R per tal que AR r ; és a dir, AR (1, 1, ): ( + l, 4 + l, + l) (1, 1, ) = + l 4 + l 4 +4l = 6l 6 AR r ï 6l 6 = 0 ò l = 1 Per tant, R (, 1, 3) és el peu de la perpendicular de A a r. a) dist (A, r) = dist (A, R) = 3 + 3 + 0 = 1 = 3
BLOC II Geometria Pàg. 3 de b) El simètric de A respecte de r és el simètric, A' (a, b, g), de A respecte de R: 1 + a + b 3 + g = = 1 a = 5, b = 4, g = 3 = 3 Així, A'(5, 4, 3). 6 Calcula la posició relativa de la recta i el pla: (3, 1, 0) = d r // r (1, 1, 1) = n π π dr n π =? 0 x = + 3l r: y = l π: x + y + z = 0 z = 0 Per tant, d r no és perpendicular a n π. És a dir, la recta no és paral lela al pla ni hi està continguda. Conclusió: la recta talla el pla. x + y = 4 x 1 y + 1 z 7 Donades les rectes r: i s: = = y + z = 5 1 1 3 comprova que s encreuen i calcula la distància entre aquestes i l equació de la perpendicular comuna. Equacions paramètriques de r. Anomenem y = l: x = 4 l r: y = l z = 5 l Equacions paramètriques de s: x = 1 + µ s: y = 1 µ z = 3µ R 0 S 0 = ( 3, 1, 5) Posició relativa: Vegem el rang de la matriu formada per les coordenades dels vectors d r, ds, R 0 S 0 : 1 1 1 1 1 3 3 1 5 R 0 (4, 0, 5) dr ( 1, 1, 1) =? 0 S 0 (1, 1, 0) ds (1, 1, 3) Els tres vectors són linealment independents. Per tant, les rectes es creuen entre si.
BLOC II Geometria Pàg. 4 de El vector genèric RS ( 3 + l + µ, 1 l µ, 5 + l +3µ) té el seu origen a r i el seu extrem a s. RS r ï RS d r ï ( 3 + l + µ) + ( 1 l µ) ( 5 + l +3µ) = 0 7 3l 5µ = 0 RS s ï RS d s ï ( 3 + l + µ) ( 1 l µ) + 3( 5 + l + 3µ) = 0 17 + 5l + 11µ = 0 Per tant, els peus de la perpendicular comuna a totes dues rectes són: l = 1, µ = l = 1 R(5, 1, 6) µ = S(3, 3, 6) RS (,, 0) // (1, 1, 0) dist (r, s) = dist (R, S) = + +0 = = Recta perpendicular comuna: x = 3 + l y = 3 + l z = 6 Troba l equació del pla que passa pel punt P(1, 0, 1), que és paral lel a la recta r: i que és perpendicular al pla a: x y + z + 1 = 0. (1,, 0) Ò (0, 0, 1) = (, 1, 0) // (, 1, 0) = d r Sigui π el pla buscat i n el seu vector normal. Aleshores: π // r ò d r n πq ò n (, 1, 1) Per tant, n = (, 1, 0) Ò (, 1, 1) = (1,, 4). Equació de π: 1(x 1) (y 0) 4(z + 1) = 0 x y 4z 5 = 0 x y = 0 z = 0 9 Troba l equació de la recta que passa per l origen de coordenades i talla perpendicularment la recta AB, essent A (, 0, ) i B( 1,, 1). x = 3l = ( 3,, 1) = AB d r r: y = l és la recta AB z = l Prenem un vector genèric OR amb origen en O i extrem variable en r: OR ( 3l, l, l) Obliguem que OR r : ( 3l, l, l) ( 3,, 1) = 0 ï 6 + 9l + 4l + l = 0 ï 14l = 0 ï l = 4 = 14 7 4 10 10 Per a l =, obtenim R,, i OR,, 7 7 7 7 7 7 7 // (,, 10) // (1, 4, 5) La recta cercada és: ( x = l y = 4l z = 5l ) ( )
Pàg. 5 de 10 Siguin el pla π:3x y + z 1 = 0 i les rectes: x = l x = 3l r: y = + l s: y = +4l z = 3 l z = 3 a) Troba l angle que formen r i s. b) Calcula l angle format entre r i π. c) Troba l angle que forma π amb el pla q format per r i s. dr ( 1, 1, ) //r, ds (3, 4, 0)//s, n(3,, 1) π d a) cos ( ) = r ì d s 1 ì r, s = = 0,0165 ( r, s ) = 5 19' d r d s 6 5 ì ì 7 ì b) sin ( r, π ) = cos ( d r, n) = = 0,76376 ( r, π ) = 49 47' 49'' 6 14 c) r i s es tallen evidentment en (0,, 3). Determinen un pla el vector normal del qual és n' = ( 1, 1, ) Ò (3, 4, 0) = (, 6, 7) ì ì 3 + ( ) ( 6) + 1 ( 7) 9 ì cos ( π, q ) = cos ( n, n' ) = = = 0,63495 ( π, q ) = 50 35' 1'' 14 149 14 149 11 Calcula la distància que hi ha entre els plans: a: x + y z + 1 = 0 b: 4x + y z + 7 = 0 1 1 1 = =? ; per tant, a i b són paral lels. 4 7 El punt A (0, 0, 1) é a. Per tant: 4 0 + 0 1 + 7 5 5 4 dist (a, b) = dist (A, b) = = = 1,0 4 + + 4 4 1 Calcula el valor de m perquè r i s estiguin en el mateix pla: x (1/) y 1 r: = = 1 1 x 1 x + y + z + m = 0 r: = 1 y = z s: 3x 4z + 1 = 0 z 1 dr = (1, 1, 1) s: d s = (1, 1, 1) Ò (3, 0, 4) = ( 4, 7, 3) Evidentment, les rectes no són paral leles. Vegem com ha de ser m perquè es tallin.
Pàg. 6 de Convé expressar les dues rectes com a intersecció de dos plans. Obligarem que els plans tinguin algun punt comú: x 1 r: = z x z = 1 1 y = z y + z = 1 x + y + z = m s: 3x 4z = 1 Perquè el sistema tingui solució, cal que el determinant de la matriu ampliada sigui zero. 0 1 0 1 1 1 = m ; m = 0 ï m = 4 1 1 1 m 3 0 4 1 Si m = 4, totes dues rectes es tallen. Per tant, estan en un mateix pla. x + y = 0 13 Troba un punt de la recta s: x = y = z tal que la seva distància a la recta r: sigui igual a 1 z = 3 unitat. Un punt genèric de r: R(l, l, 3) Un punt genèric de s: S(µ, µ, µ) Totes dues rectes es tallen a (3, 3, 3). s 1 (3, 3, 3) 1 Z r Com que és perpendicular a r des de s, la coordenada z ha de distar 1 en totes dues rectes. Per tant, hi ha dos punts de s la distància a r dels quals és 1: (,, ) i (4, 4, 4). Y X 14 Calcula les equacions de la recta r' si sabem que és la projecció ortogonal de la r sobre π: x = l r: y = + 3l π: x y + z + 4 = 0 z = 3 La recta r' és intersecció de dos plans: el π i un pla a que conté r i és perpendicular a π. Un vector normal a a és perpendicular al vector direcció de r i al vector normal a π. Per tant: (1, 3, 0) Ò (1, 1, ) = (6,, 4) // (3, 1, ) = n; n a (0,, 3) é a a: 3(x 0) (y + ) (z 3) = 0 a r 3x y z + 4 = 0 La recta és r': 3x y z + 4 = 0 x y +z + 4 = 0 π r'
Pàg. 7 de x 5y 1 = 0 15 Donada la recta r: i el pla b: x 3y z + 6 = 0, troba l equació d un plan paral lel x + 5z + 7 = 0 a b que disti de la recta r 3 unitats. Per tal que el problema tingui solució, cal que la recta sigui paral lela al pla. Comprovem que és així: dr = (, 5, 0) Ò (1, 0, 5) = ( 5, 10, 5) // (5,, 1) n = (1, 3, 1) b (5,, 1) (1, 3, 1) = 0 ò d r n ò r // b La recta és paral lela al pla. Obtenim un punt de la recta donant un valor a x. Per exemple, per a x = R(, 1, 1). Un pla qualsevol paral lel a b és de la forma: a: x 3y z + k = 0. La distància de r a a és igual a la distància de R a a i ha de ser 3: dist (R, a) = 3( 1) ( 1) + k = 3 1 + 3 3 + 1 + k = ±3 11 k = + 3 11 Solució: hi ha dos plans que compleixen aquesta funció: a 1 : x 3y z 3 11 = 0 i a : x 3y z + 3 11 = 0. 16 El pla x y + 3z 6 = 0 es talla amb els eixos de coordenades en els punts P, Q i R. a) Calcula l àrea del triangle PQR. b) Troba el volum del tetràedre format per P, Q, R i l origen de coordenades. Punts de tall amb els eixos: P (3, 0, 0), Q(0, 6, 0), R(0, 0, ) a) PQ = ( 3, 6, 0), PR = ( 3, 0, ) c 1 1 Àrea PQR = PQ Ò PR = ( 1, 6, 1) = 3 14 u b) Per trobar el volum del tetaedre podem seguir dos mètodes. 1r MÈTODE. Fent servir el producte mixt: 3 6 0 1 1 V = [ PQ, PR, PO ] = 3 0 = 6 u 6 6 3 3 0 0 n MÈTODE. Tenint en compte que el tetaedre és la sisena part d un ortoedre les dimensions del qual són 3, 6 i : 1 V = 3 6 = 6 u 6 3 P Q X Z R O Y
Pàg. de 17 Donada l esfera x + y + z x + 6y 39 = 0, troba n: a) El centre i el radi. b) L equació del pla tangent en el punt P (1, 3, 7). a) Centre: C (1, 3, 0) Radi: r = 7 b) (1, 3, 7) pertany a la superfície esfèrica? 1 + 9 + 49 1 39 = 0. Sí, hi pertany, perquè compleix l equació. (També podríem haver comprovat que dist (P, C) = 7.) El vector CP és perpendicular al pla tangent, π: CP (0, 0, 7) // (0, 0, 1), perpendicular a π. L equació del pla tangent a la esfera en el punt P és: π: 0(x 1) + 0(y + 3) + 1(z 7) = 0 z = 7