TEMA 2.- VARIABLES ALEATORIAS

TEMA 2.- VARIABLES ALEATORIAS UNIDIMENSIONALES.- CURSO 16/17 2.1. Concepto de variable aleatoria. Tipos de variables aleatorias. 2.2. Variables aleatorias discretas. Diagrama de barras. 2.3. Función de distribución de una variable aleatoria, F. 2.3.1.Cálculo de la función de distribución para variables discretas. 2.3.2. Propiedades de una función de distribución F (general). 2.3.3. 3 Cálculo de probabilidades en una v.a. a partir de F (general). 2.3.4. Caracterización de una v.a. discreta a partir de F. 2.4. Variables aleatorias continuas: función de densidad y función de distribución. 2.5. Funciones de una variable aleatoria. 2.6. Medidas asociadas a variables aleatorias. 2.7. Independencia de variables aleatorias. Propiedades de esperanzas y varianzas.

2.1. Concepto de variable aleatoria Objetivo: En vez de calcular probabilidades asociadas a un experimento aleatorio queremos MEDIR alguna característica asociada al mismo. Definición: Sea E el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio. Llamaremos VARIABLE ALEATORIA a una función X : E. Esta función convierte la probabilidad P definida en E en otra probabilidad, P *, definida en los números reales, que es donde trabajaremos desde este tema en adelante. A P * se le llama PROBABILIDAD INDUCIDA por P y es una medida de probabilidad. De hecho, HEREDA todas las propiedades de P (p.e. * PE ( ) 1 P( ) 1 ).

2.1. Concepto de variable aleatoria Ejemplo 1: X: número de caras al lanzar dos monedas Y: Número de veces que hay yque lanzar un dado hasta obtener un 5. Z: tiempo que transcurre hasta que un mensaje llega a su destino en una red de comunicaciones. Definir de forma completa la variable X, dando el espacio muestral E y asignando valores a P * a partir de P. Observación: A veces no está claro ni el espacio muestral ni el experimento aleatorio pero nos interesa estudiar MEDIDAS en las que hay incertidumbre. Por ejemplo, la variable Z.

TIPOS DE VARIABLES ALEATORIAS Estudiaremos dos tipos de variables aleatorias: 1.- DISCRETAS: son aquellas que toman un conjunto finito o numerable de valores. Las variables X e Y del ejemplo 1 lo son. 2.- CONTINUAS: son aquellas que toman valores en it intervalos de la recta real. lla variable ibl Zdl del ejemplo 1 es continua. Objetivos del tema: caracterizar ambos tipos de variables, calcular probabilidades para variables aleatorias y estudiar las medidas más importantes para una variable aleatoria.

2.2. VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Dfiiió Definición: Llamaremos distribución ib ió de probabilidad bilid d de una variable discreta X al conjunto de valores que toma, x i, junto con sus probabilidades, p i = P(X = x i )i= ), 123 1,2,3,. Además, los valores p i se llaman función de masa y verifican: 1. p 0 i 2. p 1 i1 i Los valores x i también se llaman puntos de masa. En la mayoría de los casos que estudiaremos los puntos de masa son n un conjunto finito por lo que la condición 2 será p 1 i1 i

2.2. VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS El gráfico para una variable discreta es el ldiagrama de barras: sobre el eje OX se levantan sobre los valores x i y barras de altura p i. Ejemplo 2: Obtener la distribución de probabilidad de la variable aleatoria (v.a.) X: número de caras al lanzar dos veces una moneda. Dibujar el diagrama de barras asociado.

2.2. VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Cálculo de probabilidades: P X A p xa Ejemplo 3: Para la variable X del ejemplo 2, calcular: i P X 1, P X 1, P 1 X 1/2, P 1 X 2, P 1 X 2 Teorema: Cualquier conjunto de valores i i tales que p 0y p 1 i i1 i i x, p son la distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta.

2.3. FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA Una de las formas de caracterizar una variable aleatoria cualquiera, discreta o continua, es mediante una función que llamaremos función de distribución. Definición: Sea X : E una variable aleatoria. Llamaremos función de distribución asociada a la variable X a una función F : definida como X (, ] F x P X x P X x X x Observación: F está definida para todo. Además, F(x) representa la probabilidad ACUMULADA hasta x.

2.3.1. FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN PARA VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Sea X una variable aleatoria discreta con función de probabilidad x. Entonces, la función de distribución i, pi de X es: FX x P X x p x x Las funciones de distribución de variables aleatorias discretas siempre son FUNCIONES ESCALONADAS. Ejemplo 4: Obtener la función de distribución para la variable X: número de caras obtenidas al lanzar dos veces una moneda y representarla. i i

2.3.2.PROPIEDADES DE UNA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN F (GENERAL) 1 F x F 2. lim 0 x X lim F x F 1 x X X 3. F X es monótona no decreciente: X 4. F X es continua por la derecha: lim ho X 0 F x F x h h X ó lim F x h F x F x F x X X X X xx Ejemplo 5: verificar que se cumplen estas propiedades para la función de distribución obtenida en el ejemplo 4. 0 0

TEOREMA F : Teorema : Una función es función de distribución de alguna variable aleatoria X F verifica las cuatro propiedades anteriormente enunciadas. F : Ejemplo 6: Estudiar si la función definida a continuación es función de distribución de alguna variable aleatoria: 0 x 2 F x 4 1 x 2 2 x Obsérvese que F NO puede serla función de distribución de una variable discreta al no ser escalonada.

2.3.3.CÁLCULO DE PROBABILIDADES de una variable aleatoria a partir de su función de distribución F (GENERAL) F x P X (, x ] P X x Recordemos que Definimos lim, xa F x P X a P X a Para calcular probabilidades de una v.a. usando su función de distribución usaremos las siguientes igualdades: 1. Pa X b P X b P X a F b F a, a, b 2. P X a 1P X a 1 Fa, a 3. P X a P X a P X a F a lim F x, a Ejemplo 7: A partir de la función de distribución de la variable X: número de caras al llanzar dos veces una moneda, calcular l xa 0 1.5, 1, 2, 0 1 P X P X P X P X

2.3.4.CARACTERIZACIÓN DE UNA V.A. DISCRETA A PARTIR DE SU FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN F Teorema : Sea X una variable aleatoria discreta con función de distribución F. Entonces, su distribución de probabilidad x i, p i viene dada por: x :puntos de discontinuidad de F i lim p F x F x : altura de la discontinuidad en x i i xx i i Ejemplo 8: A partir de la función de distribución de la variable X: número de caras al lanzar dos veces una moneda, obtener su distribución de probabilidad. Observación: para definir correctamente una variable aleatoria discreta se puede dar su distribución de probabilidad o su función de distribución, indistintamente.

2.4. VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS: función de densidad y función de distribución Idea: Una variable aleatoria X es continua si toma valores en intervalos de la recta real: tiempos, pesos, alturas, voltajes, Definición: Decimos que X es una variable aleatoria continua si su función de distribución F (recordad que F x P X x ) puede escribirse a partir de una función f : [0, ) como F x x f t dt La función f se llama función de densidad asociada a la variable aleatoria X. Observación: el gráfico de la función de densidad como función real de variable real será una representación de la v.a.

PROPIEDADES PARA VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS 1.- La función de densidad f verifica: f 0y f() x dx1 2.- f : es función de densidad de una variable continua sí y solamente sí verifica las dos condiciones de la propiedad 1. ( ) ( ) ( ) y ( ) 0 3.- P a X b F b F a f x dx P X a. Por a tanto 4.- La función de distribución ib ió F de una variable aleatoria continua es una función continua CONTINUA en todo. b Pa X b Pa X b Pa X b Pa X b 5.- Si la función de densidad f es continua en x, entonces se verifica F x f( x)

Observación: para definir correctamente una variable aleatoria continua se puede dar su función de densidad o su función de distribución, indistintamente. Ejemplo 9: Sea X la variable aleatoria que mide la longitud de una pieza, con densidad: f x 2 k 1 x 0 x 1 0 en el resto (a) Obtener k para que f(x) sea función de densidad. (b) Obtener la función de distribución de X. Comprobar que verifica las propiedades para ser función de distribución. (c) Calcular la probabilidad de que la longitud de una pieza esté entre 0.75 cm y 1 cm. Hacerlo mediante la función de densidad y mediante la función de distribución. (d) A partir de la función de distribución de X obtener la densidad.

Ejemplo 10: Sabiendo que la función de distribución siguiente corresponde a una variable aleatoria continua X: 0 x 0 x 2 /8 0 x 2 F x a 2 x 3 bx 1/4 3 x 5 1 x 5 a) Obtener los valores de a y b. b) Calcular P( 1 < X 4) y P(X = 2) c) Obtener la función de densidad de X.

2.5 FUNCIONES DE UNA VARIABLE ALEATORIA Sea X una variable ibl aleatoria de la que conocemos su distribución de probabilidad. A veces interesa estudiar otra variable aleatoria Y=g(X) g(x), una función de X. Tenemos tres situaciones: Si X es discreta, Y siempre es discreta. Si X es continua, Y puede ser discreta o continua. De estos dos, solamente estudiaremos el primer caso.

Ejemplo 11: Sea X una variable aleatoria discreta con la siguiente distribución de probabilidad. Obtener la distribución de probabilidad de la variable aleatoria Y = X 2 +3. x i -1 0 1 2 p i 1/6 1/12 1/4 1/2 Ejemplo 12: Consideremos la variable aleatoria del ejemplo 9, X: longitud de una pieza. Las piezas producidas en este proceso de fabricación ió se venden con las siguientes condiciones: si la pieza mide menos de 0.25 cm se considera defectuosa yno se puede vender y se pierden 2 euros por pieza; si mide entre 0.25 cm y 0.75 cm se considera correcta y en la venta se ganan 5 euros por pieza. Si mide más de 0.75 cm se puede retocar y vender ganando solamente 1 euro por cada una. Hallar la distribución de probabilidad de la variable Y: ganancia obtenida por la venta de una pieza.

2.6. MEDIDAS ASOCIADAS A VARIABLES ALEATORIAS Medidas de centralización: Dan una idea de los valores centrales o centro de la distribución. La más importante es la MEDIA, llamada también ESPERANZA o VALOR ESPERADO. Medidas de dispersión: Dan una idea de la distancia de la distribución de los valores de la variable aleatoria a los valores centrales de la misma. Las más importantes son la VARIANZA y la DESVIACIÓN TÍPICA, que miden distancia de la variable a la media.

MEDIA O ESPERANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA X Dado un conjunto de datos x 1, x 2,..., x n, sabemos calcular la media de los mismos, en concreto n k k k 1 1 ni x xi= xin i = xi xi fi n n n i 1 i 1 i 1 i 1 n i = frecuencia del dato x i ; f i : frecuencia relativa del dato x i. Definición: Sea X una v.a. discreta con distribución de probabilidad x 12 Llamaremos esperanza i, pi, i 1,2,... matemática o media de la variable aleatoria X al valor EX [ ] xp i i i

MEDIA O ESPERANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA X Definición: Sea X una variable aleatoria de tipo continuo cuya función de densidad asociada es f. Llamaremos esperanza matemática o media de la variable aleatoria X al valor EX [ ] xf( xdx ) Teorema: Sea X una variable ibl aleatoria y sea Y= g(x) una transformación de X tal que Y es una v.a. Entonces, X discreta con x, p i 1, 2,. E Y E[ g( X)] g( x ) p i i i i i X continua con densidad f( x) E Y E[ g( X)] g( x) f( x) dx

MEDIA O ESPERANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA X Consecuencia: Sea Y = ax+b y X una v.a. cualquiera. Entonces, siempre se verifica que E[Y] = E[aX+b ] = a E[X] + b. Ejemplo 13: Calcular la esperanza de las variables de los ejemplos 2 y 9. Ejemplo 14: Sea X: longitud de una pieza, en cm, la variable del ejemplo 9. Sea Y la variable aleatoria que mide el beneficio, en euros, obtenido en la venta de una pieza, dado por Y = 3X + 7. Obtener el beneficio medio por pieza.

VARIANZA Y DESVIACIÓN TÍPICA DE UNA VARIABLE ALEATORIA X 1 n i n i 1 Para un conjunto de datos x 1, x 2,..., x n, la varianza es 2 V x x Definición: Sea X una variable aleatoria cualquiera con media = E[X]. Llamaremos varianza de X, V(X), al valor 2 2 2 V( X) E[ X E X ] E[ X ] Propiedades de la varianza de una variable aleatoria X: 1. V(X) 0. 2 2 2. V( X) E[ X ] E [ X] (forma de cálculo). 3. Sea Y = ax + b, entonces 2 V( ax b) a V( X) a, b Definición: Sea X v.a. cualquiera y V(X) su varianza. Llamaremos desviación típica de X: dt X V X. Viene medida en las mismas unidades que X.

VARIANZA Y DESVIACIÓN TÍPICA DE UNA VARIABLE ALEATORIA X 2 Cálculo del término EX [ ] : *Si X es discreta: 2 2 x, p, i1,2,... E X x p i i i i i1 * Si X es continua con densidad f(x): 2 2 E X x f ( xdx ) Ejemplo 15: Calcular la varianza y desviación típica de las variables de los ejemplos 2 y 9. Ejemplo 16: Sea X: longitud de una pieza, en cm, la variable del ejemplo 9. Sea Y la variable aleatoria que mide el beneficio, en euros, obtenido en la venta de una pieza, dado por Y = 3X + 7. Obtener la varianza de la variable que mide el beneficio por pieza.

2.7. VARIABLES ALEATORIAS INDEPENDIENTES El concepto de variables aleatorias independientes está directamente relacionado con el de sucesos independientes. Dos sucesos A y B son independientes si la ocurrencia de uno de ellos no modifica la probabilidad del otro, es decir, / PA P A B Dos variables X e Y serán independientes cuando conocer el valor que toma una de ellas, por ejemplo, X = x i, no modifica la distribución de probabilidad de la otra variable, Y. Si las dos variables son discretas esto se formaliza como para todo P Y y / X x P Y y x, y j i j i j

Ejemplo 17 Igual que en el caso de sucesos, el concepto de independencia de variables recoge también ideas intuitivas: 1. Para las variables X: peso de un idiid individuo; Y: altura de un individuo parecen X e Y variables independientes? di 2. Si estudiamos las variables X: duración de un componente de un ordenador; Y: tiempo de respuesta del equipo al procesar un trabajo parecen X e Y variables independientes?

SUCESOS INDEPENDIENTES (TEMA 1) 1. Teorema: A y B son sucesos independientes si y sólo sí: P AB P APB 2. Definición: Para el caso de n sucesos, A1, A2,..., An son independientes sí y solo sí, para cualquier subconjunto, A, A,..., A se verifica que: i1 i2 ik...... P A A A P A P A P A i1 i2 ik i1 i2 ik

DEFINICIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS INDEPENDIENTES Definición: Sean X 1,X 2,...,X n n variables aleatorias que toman los valores x 1, x 2,..., x n, respectivamente. Se dice que las variables X 1,X 2,...,X n son INDEPENDIENTES, si y solo sí: Caso discreto: P X x X x P X x P X x P X x 1 1 n n 1 1 2 2... n n Caso continuo: P X x X x 1 1 n n f x1 f x2... f x X X X n 1 2 Estas igualdades se usarán en el tema 5. n se mide a partir de

PROPIEDADES DE ESPERANZAS Y VARIANZAS Sean X 1,X 2,...,X n variables aleatorias y sean a 1,a 2,...,a n y b números reales. Siempre se verifica que: E ax ax ax b aex [ ] aex [ ] aex [ ] b 1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n. (generalización ió de la propiedad d E[aX+b] = ae[x]+b) Solamente si X 1,X 2,...,X n son independientes: VaXaXaX b av X av X av X 2 2 2 1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n (generalización de la propiedad V(aX+b) = a 2 V(X)) Ejemplo 18: hacer problema 6 de la hoja de problemas.