Sistemas de ecuaciones: Llamaremos sistema de ecuaciones a un conjunto de ecuaciones vinculadas, de manera que admitan todas el mismo conjunto solución. A modo de ejemplo: vemos un sistema conformado por dos ecuaciones las cuales tienen dos incógnitas. Resolver el sistema implica encontrar los valores de que verifican las dos ecuaciones. Para ello debemos recurrir a algún método que permita encontrar dicha solución; en cursos anteriores debes haber trabajado con alguno de los siguientes. - Método de igualación - Método de sustitución - Método de igualación - Método de reducción Cada uno de ellos tiene sus ventajas aplicaciones. Vamos a revisar dos de ellos, el de reducción sustitución, para resolver utiliaremos el método gráfico para comprender el significado de la solución. Método de sustitución: Implica escribir una de las incógnitas en función de la restante, despejando en una de las ecuaciones. Sustituimos en la segunda ecuación: Sustituimos el valor de obtenido Método de reducción: Implica crear una combinación lineal entre las dos ecuaciones, de modo que una de las incógnitas se anule. (Es decir que su coeficiente sea cero) Para lograr esto, debemos multiplicar a cada ecuación por un par de números reales de forma conveniente para que se anule una de las incógnitas. Por ejemplo podría multiplicarse a la primera ecuación por - a la segunda por, de este modo los coeficientes de quedarán opuestos al sumarlos se anularan.
Una ve que tenemos el valor de, para obtener sustituimos en una de las ecuaciones. verifiquemos: Veamos gráficamente la situación Para ello debemos representar gráficamente cada una de las ecuaciones. Estas corresponden a las siguientes rectas. La solución del sistema coincide con las coordenadas del punto de intersección de dichas rectas. Esto ocurre siempre? Es decir, siempre la solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas es un punto? Veamos el siguiente caso.
Al aplicar el método de reducción vemos que se eliminan ambas incógnitas si bien llegamos a una igualdad no podemos resolver el sistema. Las rectas son coincidentes, una ecuación se puede obtener multiplicando a la otra por un número real diferente de cero. Por lo tanto su intersección es la propia recta. Quiere decir que todos los puntos de la recta son solución del sistema, es decir tiene infinitas soluciones. Siempre ha solución? Observa el siguiente sistema: Claramente llegamos a una contradicción pues es evidente que resulta incompatible, es decir que no tiene solución. por lo tanto el sistema Gráficamente se puede observar:
En conclusión, un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, puede tener solución o no. Por lo tanto podemos realiar una clasificación según el número de soluciones que admita. - Compatible (admite solución) Determinado: admite una única solución Indeterminado: admite infinitas soluciones - Incompatible (no tiene solución o tiene solución vacía) Veamos el siguiente sistema Si representamos gráficamente las tres ecuaciones veremos que se cortan en un mismo punto, dicho punto de coordenadas es la solución del sistema. Si consideramos aplicar el método de reducción tomando las ecuaciones de en, veremos que la solución es única coincide con la obtenida gráficamente.
Sistemas equivalentes: Dos sistemas son equivalentes sí admiten la misma solución. Podemos resolver ambos sistemas comparar sus soluciones o podemos resolver uno verificar su solución en el otro sistema. Es decir que la solución es: Veamos la solución del segundo sistema: La solución es: Vemos como los dos sistemas tiene la misma solución. Por lo tanto son equivalentes. Veamos gráficamente ambas situaciones:
Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas Veamos ahora los llamados sistemas de, porque tienen tres ecuaciones con tres incógnitas. En realidad podrían estar formados por un número maor de ecuaciones, como vimos anteriormente en los sistemas de dos incógnitas. IMPORTANTE: Para poder resolver un sistema de ecuaciones, el número de ecuaciones debe ser igual o maor al número de incógnitas. 5 Observa el siguiente sistema, tiene tres incógnitas También tiene tres ecuaciones, lo cual nos permitirá resolverlo. Para ello vamos a ver a continuación un nuevo método de resolución. Método de Escaleriación de Gauss Consiste en escribir un sistema equivalente (que admite la misma solución), de modo que esté escrito en forma escalonada, dejando una ecuación con las tres incógnitas, la segunda con dos incógnitas la tercera con una sola de las incógnitas de la segunda ecuación. Esto se logra mediante combinaciones lineales, como veremos a continuación. 5 Tomamos la primera ecuación la usaremos como primera ecuación del nuevo sistema equivalente Para obtener la segunda ecuación del sistema escalonado debemos realiar una combinación lineal entre dos de las ecuaciones de modo que se elimine una de las incógnitas. Repetimos el procedimiento tomando otro par de ecuaciones del sistema original para formar una combinación lineal que permita eliminar la misma incógnita.
Si trabajamos ahora con la segunda la tercera ecuación del sistema equivalente podremos obtener una combinación lineal que tenga una sola incógnita, esta ecuación será el último escalón del sistema. El sistema queda escaleriado, lo que facilita su resolución subiendo los escalones. Ejercicios: Resuelve los siguientes sistemas aplicando el método de escaleriación: a) 6 b) 5 c) 9
Investiga si los siguientes sistemas son equivalentes: a) 9 7 6 b) 6 7 c) 5 5 d) 6 5 6 Aplicaciones: La matemática permite modeliar situaciones del universo, simples o complejas, esto aplica también al planteo de ecuaciones sistemas. El planteo de ecuaciones sistemas de ecuaciones permite resolver un gran número de problemas de la vida cotidiana otros más complejos.
Veamos algunas aplicaciones: ) La suma de las edades de una madre su hija es años. Cuando la hija tenga la edad actual de la madre, esa suma será 9. Cuántos años tiene cada una en la actualidad? ) Se alea un lingote de oro puro con otro de 75% de purea, obteniéndose kg de aleación con una purea del 9%. Cuántos gramos de cada tipo de lingote se han empleado? ) La suma de las dos cifras de un número es 9. Si a ese número le restamos 5, el que se obtiene es igual al número que resulta de invertir el orden de las cifras del original. Cuál es dicho número? ) Una persona tiene monedas, algunas de $5 otras de $. Cuántas monedas de cada tipo debe tener para reunir $6? 5) Un vendedor de panchos vende un pancho, un vaso de refresco un alfajor por un total de $7. Si vende dos panchos un vaso de refresco cuesta lo mismo que tres alfajores un vaso de refresco. En cambio si vende cinco panchos, tres vasos de refresco tres alfajores se debe abonar $. Cuánto cuesta cada artículo? 6) Se encuentra un grupo de 65 personas de tres edades diferentes. Algunos de años otros de años otros de años. Sumando todas las edades da un total de años. Además se sabe que el total de personas que tienen o años superan en 5 personas a los de. Cuántas personas ha en cada grupo etáreo? 7) En la fabricación de cierta marca de chocolate se emplea leche, cacao almendras, siendo la proporción de leche el doble que la de cacao almendras juntas. Los costos de cada kg de ingrediente son: leche dólar, cacao dólares almendras dólares. Si se elaboran 9kg de chocolate con un costo total de 7 dólares; cuántos kg se utilian de cada ingrediente? Justifica ) estudiantes de bachillerato realian una ecursión con tres posibles destinos: Piriápolis, Aiguá Garón; por un total de $9. Se asignan $6 a cada alumno con destino a Garón, $7 a cada uno con destino a Aiguá, $9 a cada estudiante con destino Piriápolis. Además el número de estudiantes que van a Garón Aiguá eceden en 5 a los que van a Piriápolis. 9) Una empresa ha invertido $7 en la compra de ordenadores portátiles de tres clases A, B C, cuos costos por unidad son $, $ $ respectivamente. Sabiendo que, en total, ha adquirido 55 ordenadores que la cantidad invertida en los de tipo A ha sido la misma que la invertida en los de tipo B, averigua cuántos aparatos ha comprado de cada clase la empresa.
Clasificación de sistemas Eisten varias formas de clasificar un sistema, en este caso veremos una clasificación dada por el número de soluciones que este tenga. Como a vimos para los sistemas con dos incógnitas, en los sistemas de tres incógnitas también aceptaremos la misma clasificación Sistema compatible determinado: un sistema es compatible determinado cuando admite una única solución. Sistema compatible indeterminado: un sistema es compatible indeterminado cuando admite infinitas soluciones Sistema incompatible: cuando no admite solución Gráficamente esto puede verse a que cada ecuación del sistema representa a un plano. La intersección de dos planos es una recta, tres planos pueden tener como intersección un punto, una recta. No cortarse nunca los tres al mismo tiempo, sin necesidad de ser paralelos los tres. El sistema tiene una única solución, cada ecuación es independiente de las otras dos. 5 El sistema tiene infinitas soluciones, la tercera ecuación es una combinación lineal de las dos primeras. (en este caso la tercera ecuación se obtiene de sumar la primera la segunda)
Este sistema no tiene solución si realiamos una combinación lineal entre la primera segunda ecuación obtendremos una contradicción con la tercera. Este sistema es incompatible. En este caso, ocurre lo mismo que en el caso anterior pero con las tres ecuaciones al mismo tiempo, lo que resulta de tener tres planos paralelos.