Metodología de Superficie de Respuesta.

Metodología de Superficie de Respuesta.

Introducción. En las unidades anteriores hemos presentado diseños experimentales que permiten estimar efectos que sobre una variable respuesta tienen factores individuales y/o sus interacciones, así como la estimación de la variable respuesta. Otro objetivo de suma importancia es el identificar qué condiciones hacen que la variable respuesta estimada alcance un valor óptimo.

Objetivo. Para el cumplimiento de este objetivo es necesario un enfoque metodológico que combine el uso de los diseños experimentales antes vistos y las técnicas de modelaje del análisis de regresión, pero adicionando técnicas matemáticas de optimización. A esta combinación se le ha dado el nombre general de: Metodología de Superficie de Respuesta (MSR).

Antecedentes. La MSR se desarrolló inicialmente por Box y Wilson (1951). Hill y Hunter (1966) llevan a cabo una excelente revisión de sus fundamentos. Myers (1971) fue el primer libro sobre este tema. La evolución de la computación hizo que esta técnica cobrara un gran impulso y así, en estudios más recientes Khuri y Cornell (1987), Box y Draper (1987) y Myers y Montgomery (1995) publicaron notables trabajos acerca de la metodología. La MSR es una herramienta que se ha utilizado ampliamente en el desarrollo de procesos industriales y en el desarrollo tecnológico, por ejemplo en la elaboración de alimentos. Beetner (1974) emplea un diseño 2 3 en el estudio de la degradación en el cocinado de extrusión de tiamina y riboflavina.

Conocer el funcionamiento de un sistema o proceso. Encontrar las condiciones óptimas de funcionamiento. Mejoras en costo, tiempo, eficiencia, productividad y/o calidad.

Originada por el trabajo de Box y Wilson (1951) Box, G. E. P., Wilson, K. G. (1951), On the experimental attainment of optimum conditions, Journal of the Royal Statistical Society, B 13, 1-45 Desarrollo teórico y primeras aplicaciones (década 1990): o Box y Draper (1987). o Cornell (1991). o Montgomery y Myers (1996). o Araujo y Brereton (1996).

Conjunto de técnicas matemáticas y estadísticas Analizar el comportamiento de una respuesta Construir un modelo y = f(x 1, x 2 ) x 1 x 2 Datos experimentales Niveles Diseño de experimentos Optimizar

Representación gráfica del modelo: y = f(x 1, x 2 ) Encontrar el óptimo

Cada línea de contorno está formada por todas las combinaciones de los factores que producen una misma respuesta.

Buscando las mejores condiciones: Producción Experimentos exploratorios Selección de factores

Buscando las mejores condiciones: Producción Experimentos exploratorios Selección de factores Factores significativos / niveles: A Temperatura 20 60 C B Tiempo de incubación 24 48 Hrs.

T ( C) Tiempo (Horas) Rendimiento (g/l) 20 24 20.6 24 24 26.1 28 24 32 32 24 36.3 36 24 39.2 40 24 42 44 24 42.9 48 24 43.8 52 24 42.5 56 24 41.5 Valor óptimo Condiciones óptimas de temperatura T = 48 C R = 43.8 g/l

Una misma respuesta puede depender de más de dos factores. y = f x 1., x k + ε Cuál es el óptimo? Técnicas de optimización.

Requerimientos de la MSR Creación de un diseño de experimentos. Ajuste de un modelo. Utilización de una Técnica de Optimización. *Explorar el modelo para obtener información sobre el óptimo.

Diseños y modelos matemáticos para MSR.

Diseños y modelos matemáticos para MSR. Para construir el modelo se necesitan como mínimo la misma cantidad de puntos experimentales diferentes que coeficientes a estimar. Para evaluar la falta de ajuste se deben incluir repeticiones de un punto del diseño.

Experimentos para la extracción de un alcaloide. PH (x 1 ) Temperatura (x 1 ) mg/g (y) 0-1 43-1 1 65 1 0 49 0 1 69-1 -1 21 1-1 43 1 1 62-1 0 45 0 0 57 0 0 54 0 0 61 0 0 57

Experimentos para la extracción de un alcaloide. PH (x 1 ) Temperatura (x 1 ) mg/g (y) Lineal 0-1 43-1 1 65 1 0 49 0 1 69-1 -1 21 1-1 43 1 1 62-1 0 45 0 0 57 0 0 54 0 0 61 0 0 57 y = 52.2 + 3.8 x 1 + 14.8 x 2 Lineal con interacción y = 52.2 + 3.8 x 1 + 14.8 x 2 6.2x 1 x 2 Cuadrático y = 56.9 + 3.8 x 1 + 14.8 x 2 6.2x 1 x 2 9.2x 1 2 0.2x 2 2

Evaluación del modelo (ANOVA).

Evaluación de los coeficientes.

Evaluación de los coeficientes. Utilizar el modelo más simple que describa el comportamiento del sistema.

Técnicas para depurar los modelos. Manual. Eliminación Backward. Modelo completo Modelo depurado Adición Forward. Modelo depurado Modelo depurado

Categoría de modelos. Un modelo es Jerárquico cuando contiene todos los términos más simples que componen los términos de mayor orden que están en el modelo.

Categoría de modelos. Los modelos Jerárquicos tienen un comportamiento más estable que los no Jerárquicos.

Modelo lineal o de Primer Orden.

Modelo lineal con interacción.

Modelo cuadrático o de segundo orden.

Modelo cúbico o de tercer orden.

Modelo cúbico o de tercer orden.

Pasos en la MSR. 1. Definir los objetivos de la optimización. Plantear adecuadamente el problema a resolver y seleccionar la respuesta a evaluar. 2. Seleccionar los factores que resultan significativos. 3. Establecer la región de operatibilidad. Considerar las posibilidades instrumentales y la información sobre el sistema. 4. Seleccionar un entorno experimental. Definir la región del espacio de los factores en donde vamos a planear los experimentos.

Pasos en la MSR. 5. Construir un diseño experimental de optimización. Recabar datos experimentales. 6. Elaborar un modelo matemático. Graficar la Superficie de respuesta y evaluar resultados. Repetir los pasos 4, 5 y 6 si fuera necesario. 7. Localizar el óptimo buscado para la respuesta. Utilizar herramientas gráficas y/o matemáticas. 8. Verificar el valor de la respuesta utilizando los niveles óptimos de los factores.

Región de operabilidad y entorno experimental. Región de operabilidad. Condiciones en donde el proceso o equipo puede ser operado.

Región de operabilidad y entorno experimental. Entorno experimental. Limitado por los niveles seleccionados para los factores.

Región de operabilidad y entorno experimental. Región de Operabilidad. Entorno experimental. Si sabemos poco del sistema, el punto óptimo puede encontrarse fuera del entorno experimental inicial. El entorno experimental debe moverse hacia la localización del óptimo.

Planificación de los experimentos.

La MSR se considera una técnica secuencial.

Las curvas de nivel en la superficie La superficie que corresponde a este modelo Las curvas de nivel son particularmente útiles porque permiten crear, varios escenarios en donde la respuesta del proceso sea cercana al óptimo. Por ejemplo, si el investigador decide que un índice de absorción de agua es adecuado en 7.0, entonces en cualquier punto de la segunda elipse concéntrica en las curvas de nivel se tendrán soluciones adecuadas para este proceso. En términos prácticos esto quiere decir que se podrá ajustar el proceso a diferentes temperaturas y tiempos, tal decisión dependerá de los intereses del investigador.