TEORÍ DE CONTROL Modelo de Estado Ejercicio scensor
Ejercicio scensor El diagrama representa esquemáticamente el funcionamiento de un control de velocidad de un ascensor. El mismo es accionado por un motor de corriente continua cuyos parámetros asociados son : + Tensión de alimentación Va=440 V. Potencia nominal Pn = 1.5 Kw. Velocidad nominal n = 1500 rpm. Constante de cupla Kt =.5 Nw.m/mp. Constante de velocidad Kw =.38 Volt/(rad/seg). Resistencia de armadura Ra = 1,96 W. Inductancia de dispersión de armadura La = 0,01 Hy. V r El eje del motor se encuentra acoplado mecánicamente a una caja reductora cuya relación es N/N1 = 50, el conjunto formado por el motor y la reducción presenta un rozamiento equivalente B = 175 Nw.m.s. ubicado a la salida del mismo. En el eje de salida de la reducción se encuentra colocada la polea de radio r = 0,3 m y momento de inercia J = 5,4 Nw.m s. Sobre esta polea se aloja, sin deslizamiento el cable de izado de la cabina, este cable se considera elástico con una constante K=49000 N/m.. Finalmente en el extremo del cable se ubica la camina del ascensor de masa Ma = 500 Kg.. Se considera despreciable el rozamiento de la cabina sobre las guías. Se desea encontrar un modelo de estado que lo represente con salidas : ( velocidad del motor), Vm (Velocidad de la cabina) y X ( estiramiento del cable). k w I=cte r
Ejercicio scensor Se desea encontrar un modelo de estado para el sistema planteado. Existen distintas formas de llegar al modelo de estado, en este caso en particular se va a optar por hallar las ecuaciones de estado a partir del diagrama en bloques. PRTE ELÉCTRIC El diagrama de la parte eléctrica, tiene en cuenta al amplificador de potencia que alimenta el motor, la impedancia eléctrica propia del motor y la realimentación de la FEM inducida debido al movimiento del eje. demás, se considera el par en el eje del motor generado a partir de la corriente de armadura.
Ejercicio scensor PRTE MECÁNIC La parte mecánica de rotación esta compuesta por la reducción a engranajes, la polea de inercia J y el rozamiento B. T N = N 1 = TM N1 N Sobre la polea aparece un torque resistente debido al cable y la cabina T R = F r La velocidad angular de la polea se puede determina a partir de la siguiente ecuación: R ( ) T T = sj + B La fuerza lineal ejercida sobre la polea es: ( ) F = K x x = K x 1 Esta misma fuera se aplica a la masa de la cabina: F= M a = M sv
Ejercicio scensor PRTE MECÁNIC Se puede construir un circuito eléctrico equivalente de la carga mecánica. DIGRM EN BLOQUES
Ejercicio scensor VRIBLES DE ESTDO ELECCIÓN DE LS VRIBLES DE ESTDO En el diagrama en bloques se pueden definir variables de estado a las señales que se encuentran a la salida de un bloque integrador Cada uno de los bloques representa una función de transferencia, por lo tanto se suponen condiciones iniciales nulas para las variables representadas. En consecuencia, se va a asumir que: dx x = L x = s X s dt { } ()
Ejercicio scensor VRIBLES DE ESTDO I V x,, y Se elijen como variables de estado. La entrada del modelo es. V K Ra K I I I V sla + Ra La La La R ( s) W ( s) W ( s) = s ( s) = ( s) ( s) + R ( s) N K T I ( s) Krx ( s) N N 1 N KT B N Kr ( s) = s ( s) = I ( s) ( s) x( s) N1 sj B N1 J J N1 J + r N V 1 ( s) ( s) N N 1 ( s) = s ( s) = ( s) ( s) s N X X r V KX K V V X ( s) ( s) = s ( s) = ( s) s Ma Ma V R
Ejercicio scensor VRIBLES DE ESTDO Pasando las ecuaciones transformadas al dominio temporal, considerando condiciones iniciales nulas: Ra K I = I + V La La La W R = N K I B N Kr T N1 J J N1 J x N = r V V 1 N = K x Ma Se plantean como salidas : la velocidad de la cabina, La velocidad angular y el estiramiento del cable. x V x
Ejercicio scensor VRIBLES DE ESTDO Representando las variables en forma vectorial resulta: Ra KW 0 0 La La N KT B N Kr I I 0 La N J J N J = + 0 0 r 0 1 0 V N V 0 K 0 0 0 B M a 1 1 x N x() t 1 I V 0 0 0 1 0 t 0 1 0 0 0 = + V x() t x() t 0 0 1 0 0 V () t C D () R V R
Ejercicio scensor VRIBLES DE ESTDO Reemplazando las constantes por su valor numérico queda: I 196 38 0 0 00 I 5 () 1157.4 36.11 1.361 0 t 0 = + V x 0 0.006 0 1 x() t 0 V 0 0 98 0 V 0 B I V 0 0 0 1 0 1 0 0 = x() t x() t 0 0 1 0 V C R
Ejercicio scensor VRIBLES DE ESTDO CONTROLBILIDD Y OBSERVBILIDD Para determinar si el sistema es controlable se debe calcular la matriz controlabilidad: =... n n 1 U B B B B B Si el rango de esta matriz es igual al número de variables de estado el sistema resulta controlable. En este caso como el modelo tiene una sola entrada resulta una matriz cuadrada por lo tanto para que resulte de rango completo se debe cumplir que. ( ) det U 0 U 8 11 00 196000.37 1.655 0 1.157 5.001 1.57 0 0 6944.44 3.001 5 0 0 0 6.806 6 8 11 = 6 18 det[ U ] = 5.47 El sistema es CONTROLBLE desde la entrada V R
Ejercicio scensor Para determinar si el sistema es observable se debe calcular la matriz observabilidad: V C C = C... n C 1 Si el rango de esta matriz es igual al número de variables de estado el sistema resulta controlable. En este caso el modelo tiene tres salidas por lo tanto resulta una matriz no cuadrada entonces se debe analizar el rango aplicando el método de Gauss-Jordan (Matriz triangular o diagonal). Otro método puede ser encontrar el determinante de mayor orden no nulo.
Ejercicio scensor V = 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 98 0 5 1157.4 36.11 1.361 0 3 0 6 0 1 0 0.588 0 98 5 5 7 5 5.0013.053 3.137 1.361 6.9444 1.41667 914.66667 0 4 680.556 138.833 8.9637 0 1.57 1.719 3.003 3.137 5 3000.77 133.7750 1.98 914.667 8 8 7 Se puede armar un determinante no nulo con las filas resaltadas El sistema es OBSERVBLE desde el conjunto de salidas.
Ejercicio scensor Se puede analizar la observabilidad individual para cada una de las salidas. Para la salida, velocidad de la cabina, la ecuación de salida tiene la siguiente forma: V V [ 0 0 0 1] I x V = La matriz observabilidad para esta salida es: V C 0 0 0 1 0 0 98 0 = 0 0.588 0 98 5 680.556 138,833 8.963733 4 0 4 det [ V ] = 3.91633 El sistema es OBSERVBLE desde la SLID V., por lo tanto cualquier conjunto de salidas que incluya a esta, dará como resultado un sistema observable.