Algunos Conceptos de Resistencia de Materiales Libardo Vanegas Useche 2 de febrero de 2016 emas Nomenclatura unidades uerzas Esfuerzos Estados de esfuerzo Algunas solicitaciones: Carga axial lexión orsión Cizalladura esfuerzos cortantes en vigas Esfuerzo de apoo desgarro Pandeo 1
Nomenclatura unidades : esfuerzo normal (normal stress) : esfuerzo cortante (shear stress) : se usarán para casos especiales istema Internacional (I): Pa = 1 N/m 2 ; kpa = 1000 Pa; MPa = 10 6 Pa istema inglés: psi = 1 lbf/in 2 ; ksi (o kpsi) = 1000 psi ambién se usa el kgf/cm 2 uerzas esfuerzos 1 4 6 1 4 1 4 t 2 8 2 M 2 M t n M n 5 3 7 3 3 5 5 5 (a) Cuerpo sometido a fuerzas externas (b) Diagrama de cuerpo libre de una parte del cuerpo. Aparece una fuerza interna un momento M (c) M son la sumas vectoriales de las componentes t n M t M n respectivamente 1 4 1 4 1 4 2 t 2 n 2 dt dt s da dn dn da 3 3 3 da 5 5 5 (d) t es la suma de varias fuerzas t actuando sobre un número finito de áreas: t = t (e) n es la suma de varias fuerzas n actuando sobre un número finito de áreas: n = n (f) uerzas infinitesimales normal tangencial en un punto (área infinitesimal) de la sección de corte 2
Esfuerzo Esfuerzo: intensidad de fuerza por unidad de área Esfuerzo normal: actúa en dirección perpendicular a la cara en la cual está aplicado. Puede ser de tracción (trata de separar las partes) o compresión Esfuerzo cortante: actúa en una dirección tangente a la cara en la cual está aplicado. rata de cortar o cizallar el elemento 1 4 d n da ; s dt da 2 da 3 5 Estado de esfuerzo en un punto YY YY z x X XX Z Y X ZX YZ ZY YX XY XZ XX XX ZZ ZZ (a) Esfuerzos normal XX cortante X que actúan sobre la cara perpendicular al eje x de un punto (b) Esfuerzos normales cortantes sobre las caras perpendiculares a los ejes x z de un punto (c) Estado triaxial (general) de esfuerzo sxy YX sxz ZX syz ZY. 3
Estados de esfuerzo simples (a) racción simple (b) Compresión simple (c) Cortante simple emas Nomenclatura unidades uerzas Esfuerzos Estados de esfuerzo olicitaciones: Carga axial lexión orsión Cizalladura esfuerzos cortantes en vigas Esfuerzo de apoo desgarro Pandeo 4
Carga axial (1) Esfuerzo (a) racción (b) Compresión (a) Esfuerzos de tracción (b) Esfuerzos de compresión A Carga axial (2) Deformación E L = /A; = /L = E (dentro del límite de proporcionalidad) A L L L L entonces E E AE 5
Carga axial (3) Diagrama de fuerzas axiales x R Ax 50 kn 10 kn 20 kn A B C D 50 kn 10 kn 20 kn (a) Diagrama de cuerpo libre A B C D 5 cm 5 cm 3 cm ección transversal de 5 cm 2 (kn) 40 A B C D 10 20 (b) Diagrama de fuerzas axiales x lexión (1) Esfuerzos Plano donde ocurre la flexión M M ección transversal El elemento es inicialmente recto t t M ección de corte C Puntos a tracción Plano neutro Eje Neutro (E.N.) M c t c t c c c Puntos a compresión c (a) Plano neutro. Algunas veces se utiliza el término eje neutro como se muestra en la parte (b) (b) Distribución de esfuerzos 6
lexión (2) t Mc I t c Mc I c Mc I M Z Z = I/c es el módulo de la sección E.N. E.N. E.N. E.N. E.N. (a) Circular maciza (b) Rectangular (c) I (d) (invertida) (e) U o canal lexión (3) Diagramas de cizalladura momento flector: on aquellos en los cuales se puede determinar la fuerza cortante interna V el momento flector interno M en las diferentes secciones de la viga w AB = 10 kn/m C = 12 kn ección rectangular de 5 15 cm 2 M D = 5 knm 1.5 m 1 m 2 m 1.5 m A B C D E Diagrama de cuerpo libre Ecuaciones de equilibrio cálculo de las reacciones Diagrama de cizalladura Diagrama de momentos flectores 7
lexión (4) w AB = 10 kn/m 15 kn C = 12 kn M D = 5 knm x R Ex = 0 R A V (kn) 19.29 1.5 m 1 m 2 m 1.5 m A B C D E R E + 4.29 A B C D E 1.5 m 1 m 2 m 1.5 m 7.71 x + M (knm) 17.69 21.98 11.56 6.56 A B C D E x lexión (5) Deformaciones Existen varios métodos para el cálculo de las deflexiones de las vigas: res momentos Energía unciones de singularidad Áreas de momento Doble integración El apéndice 7 (de las tablas de diseño) presenta deflexiones máximas para casos comunes w 1 2 Elástica A B 8
orsión (1) e producen esfuerzos cortantes Las distribuciones de esfuerzos los valores máximos dependen del tipo de sección transversal Deformación: una cara gira respecto a la otra orsión (2) ección circular maciza A L B C Eje neutro (a) Distribución de esfuerzos (b) Estado de esfuerzo c 16 L J = d. 3 J Z 4 /32 d JG 9
orsión (3) ección circular hueca d i d o L JG c J = (d o4 d i4 )/32 Z = 2J/d o J Z orsión (4) ección rectangular Línea media de la cara ancha b L Línea media de la cara angosta a 10
orsión (5) max Punto crítico (b) Estado de esfuerzo max b a (a) Distribuciones de esfuerzos cortantes a lo largo de (i) los lados de la sección (ii) dos líneas medias (iii) una línea oblicua (c) La forma de las secciones rectangulares cambia al ser sometida a torsión dichas secciones no permanecen planas max ab max' max 2 L Gab 3 a/b 1 1.5 2 3 4 6 8 10 0.208 0.231 0.246 0.267 0.282 0.299 0.307 0.313 0.333 0.141 0.196 0.229 0.263 0.281 0.299 0.307 0.313 0.333 1.000 0.858 0.796 0.753 0.745 0.743 0.743 0.743 0.743 orsión (6) ubos de pared delgada t h < r m /10 rm A m ds t h : espesor de pared t h A m L L ds 2Am t Ls 2 h 4 i t A t h = cte. 2 m G h 4A m Gt h 11
orsión (7) ubos se sección circular de pared delgada t h t h r m r m s 2 r 2 m th L 3 2 r Gt m h. s 3 2 r t 2 m h 3L 2 r Gt m 3 h. Circular hueca Circular hueca con ranura orsión (8) Diagrama de torques 1 = 20 knm 2 = 50 knm 3 = 30 knm 8 10 9 A B C D E G H I 10 20 20 10 Medidas en cm (knm) 20 x A B C D E G H I 30 12
Cizalladura d oporte Cabeza del remache (b) Pieza a ser cizallada d Piezas a unir V A V = (a) Remache Promedio Esfuerzos cortantes en vigas V s I zz Q b zz z (a) ección en I (b) ección en forma de cruz En cualquier punto Esfuerzos máximos 4 V 3 V. Circular 3 A s. Rectangular 2 A Aunque existan cargas transversales en la viga en los puntos de maores esfuerzos normales (los más alejados del eje neutro) el esfuerzo cortante es igual a cero por lo tanto dichos puntos están sometidos a esfuerzo normal simple E.N. M t c c t c c 13
Esfuerzo de apoo desgarro Desgarro Esf. de apoo o aplastamiento Pasador Áreas sometidas a cortante d. 2b 1 l Desgarro b 2 l b 1 b 1 l No suministra resistencia significativa al corte d ld Esf. apoo b 2 Pandeo Ocurre pandeo en elementos esbeltos sometidos a compresión i ha pandeo el elemento queda solicitado a compresión flexión > /A e aplica la teoría de columnas (Resistencia de Materiales II) 14