9 Versión: Funciones de varias variables 6 de noviembre de 7 En este tema introducimos algunos elementos básicos del cálculo diferencial en varias variables. Muchos procesos (físicos, biológicos,... ) dependen de varias variables. Muy frecuentemente, estas son la posición espacial y el tiempo, pero también pueden ser otras. Por ejemplo, la temperatura de un ser vivo puede variar en tiempo (según las horas del día), pero también en espacio (el punto del cuerpo que se considere), la concentración de nutrientes en el interior y en torno a la célula, la concentración de una determinada droga en el cuerpo, la velocidad y la presión del viento en el aire, o la intensidad de un campo eléctrico o magnético generado por una corriente eléctrica, entre otros muchos ejemplos. Al igual que ocurre con las funciones de una variable, las derivadas de una función de varias variables permiten obtener información valiosa sobre ésta: permiten conocer y estimar cómo varía, si alcanzan un valor máximo o mínimo, permiten obtener aproximaciones mediante polinomios, por ejemplo. Aprender a obtener este tipo de información va a ser el objetivo básico de este tema. 9. Dominio y recorrido de una función de varias variables Recordamos la notación que usamos para funciones de una variable. Sea, por ejemplo f : [, ] R R definida por f(x) = x Dominio es el conjunto de números x para los cuales la función está definida, es decir, se puede calcular. Recorrido es el conjunto de todos los valores y = f(x) que se obtienen al evaluar f para todos los puntos x de su dominio. En el caso del ejemplo, el dominio de f es [, ] y el recorrido es el intervalo [, ]. Consideramos ahora funciones de dos variables, definidas para pares de números reales (x, y), con x R y y R. Se denomina también a estos pares puntos y se suele escribir (x, y) R para indicar que ambas componentes pertenecen a R. Se identifican con los puntos en el plano. A cada par (x, y) la función asocia un número real z = f(x, y). Igual que para funciones de una variable, el dominio de una función f : D R R es el subconjunto D de R sobre el que consideramos la función o sobre el que está bien definida, y el recorrido es el conjunto de valores z que se obtienen al evaluar f en todos los puntos de su dominio.
9. Funciones de varias variables Ejemplo 9. f(x, y) = x y El dominio de esta función el el conjunto de puntos (x, y) R para los cuales se puede calcular x, es decir y es todo el plano, menos la recta y = : D = {(x, y) R : y } El recorrido de f es el conjunto de todos los números reales. Ejemplo 9. f(x, y) = xy x + y El dominio de esta función el el conjunto de puntos (x, y) R menos el origen de coordenadas: D = R \ {(, )} El recorrido de f es el conjunto de todos los números reales. Ejemplo 9. f(x, y) = y x El dominio de esta función el el conjunto de puntos (x, y) R para los cuales se puede calcular y x. Para ello tiene que ocurrir y x y x Vamos a identificar la región del plano OXY en la cual se verifica x y. Está claro que la región en la que x y está separada de la región en la que x > y por la curva x = y. Esta curva divide el plano OXY en dos partes. Para saber en cuál de ellas se verifica x y se puede evaluar la función en algún punto de cada región. Por ejemplo, en el punto (, ) se tiene x = < y = mientras que en el punto (, ) se tiene x = > y =. El dominio de f es, por tanto la parte «exterior» a la parábola: D = {(x, y) R : x y} El recorrido de f es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que cero.
9. Funciones de varias variables Ejemplo 9. f(x, y) = [, ] [, ] R, f(x, y) = x + y La notación [, ] [, ] indica que la primera componente del par (x, y), es decir, x, varía en el primero de los intervalos, [, ] y lo mismo la segunda, (ya que en este caso ambos son iguales). Es decir, que f está definida en el cuadrado de la figura que incluye sus fronteras. Qué conjunto de valores toma f? Está claro que el valor mínimo lo toma en el punto (x, y) = (, ), f(, ) =, y que el valor máximo lo toma cuando (x, y) = (, ), f(, ) =. Luego el recorrido de f es el intervalo [, ]. 9. Representación gráfica de una función de dos variables En el caso de las funciones de una variable, el dibujo de su gráfica resulta de enorme ayuda para comprender el comportamiento de una función. Vamos a ver ahora de qué forma se puede representar gráficamente una función real de dos variables reales. 9.. Representación como una superficie en el espacio tridimensional Una forma de hacerlo es escribir z = f(x, y) e interpretar que, a cada punto (x, y) del plano OXY la función f le hace corresponder una «altura» dada por z = f(x, y). La representación, en el espacio tridimensional, de los puntos {(x, y, z) : (x, y) D, z = f(x, y)} constituye una superficie. En la Figura 9. están representados los ejes de coordenadas en el espacio D. En la parte de abajo los ejes OX y OY, con la orientación relativa habitual. Z Z P(a,b,c) c Y a b Y X X Figura 9.: Los ejes de coordenadas en el espacio D. Figura 9.: Un punto en el espacio D viene definido por tres coordenadas.
9. Funciones de varias variables Ejemplo 9. f(x, y) = x y El dominio de esta función es todo el plano R. La gráfica de la derecha está realizada para (x, y) [, ] [, ] (obsérvese la graduación de los ejes). También se observa que, para estos valores de (x, y), la función toma valores entre y 8 (véase la graduación del eje OZ (eje vertical). Si se mantiene constante una de las variables, por ejemplo la variable y =., entonces, sobre esta línea recta y =. la función depende sólo de la variable x: f(x,.) = x (.) = x. que es la expresión de una parábola convexa, como se puede confirmar en la gráfica de la derecha, observando que el corte de la superficie z = x y con el plano vertical y =. que es una parábola «hacia arriba». Si, en cambio, se mantiene constante la variable x, por ejemplo la variable x =, entonces sobre esta recta x = la función depende sólo de la variable y: f(, y) = y = y y su gráfica es una parábola invertida, como puede observarse en la gráfica adjunta.
9. Funciones de varias variables Ejemplo 9.6 f(x, y) = x sen y Cuando la gráfica se puede representar en un medio que admita color, es frecuente acompañarla de una «barra de color» que ayuda a identificar los valores de la función. Como se puede comprobar en el dibujo de la derecha, cuando se mantiene la variable x constante, por ejemplo x =, la función se reduce a f(, y) = sen y mientras que si se mantiene constante la variable y, por ejemplo y = la función se reduce a una recta f(x, ) = x sen( ) = constante x Obviamente, dibujar a mano una superficie en el espacio tridimensional no es fácil. Afortunadamente, existen buenos programas de ordenador que lo pueden hacer por nosotros. 9.. Representación mediante curvas de nivel Otra forma habitual de visualizar funciones es representar sus curvas de nivel: curvas que unen los puntos del dominio en los que la función toma el mismo valor. En otras palabras, para f : D R R la curva de nivel de valor k es la que forman los puntos {(x, y) R : f(x, y) = k} Estas curvas se dibujan en el plano OXY. También se llaman curvas de isovalores. Ejemplo 9.7 f(x, y) = x + y La superficie z = x + y está representada en la Figura 9.. Curva de nivel de valor k tiene la ecuación: x + y = k Para k = es un punto (, ). Para k > es una familia de elipses de la forma: x k/ + y k = Se puede observar en la Figura 9. algunas curvas de nivel correspondientes a los valores de k regularmente espaciados:,,,,.
9. Funciones de varias variables 6 x +y. x +y 6. 8 6... Y Y.. X........... X.. Figura 9.: La superficie f(x, y) = x + y del Ejemplo 9.7 junto con las curvas de nivel proyectadas en el plano OXY. Figura 9.: Las curvas de nivel de f(x, y) = x +y están marcadas con los valores a los que corresponden. Todos los valores están regularmente espaciados:,,,,. Cuando la curvas de nivel se dibujan sobre la superficie de z = f(x, y), como se muestra en la Figura 9., se les suele llamar líneas de contorno. A menudo no se hace esta distinción y se usan indistintamente. (x +y )exp( (x+y) ) (x +y )exp( (x+y) ). 9 9 Z 8 6 8 7. 8 7 6 Y. 6 Y X..... X Figura 9.: En esta figura están dibujadas, sobre la superficie de ecuación z = (x + y )e (x+y), sus lineas de contorno (es decir curvas de nivel sobre la superficie). Figura 9.6: Cuando las curvas de la Figura 9. se proyectan sobre el plano OXY se obtienen las curvas de nivel. Si el dibujo es en color, con frecuencia se acompaña de una «barra de color» para identificar los distintos valores. Con frecuencia se dibujan las curvas de nivel correspondientes a un conjunto de valores regularmente espaciados, como en el caso de las Figuras 9. y 9.6. En este caso, la separación entre las curvas da una idea de la variación de la función: cuanto más próximos estén las curvas de nivel, más rápidamente crece o decrece la función es esa zona. Cuando se dibuja sin utilizar color, se suelen marcar las curvas de nivel con los valores correspondientes, como se hace en la Figuras 9. y 9.7.
9. Funciones de varias variables 7 (x +y )exp( (x+y) ). 8. 9 Y... 6........ X...... 6 8 8 7 6 Figura 9.7: Algunas curvas de nivel de la función z = (x + y )e (x+y). Las curvas están marcadas con los valores a los que corresponden. Obsérvese que, en este caso, no todos los valores elegidos están regularmente espaciados:.,.,,, 6, 8,. El tipo de gráficas con curvas de nivel son habituales, por ejemplo, en meteorología y en topografía, véanse las Figuras 9.8 y 9.9. Figura 9.8: En los mapas meteorológicos con frecuencia se dibujan las isobaras, curvas de nivel de la presión atmosférica (los puntos del mapa que tienen la misma presión). Figura 9.9: Mapa topográfico: se representa la altitud (sobre el nivel del mar) en cada punto. Con ayuda de este mapa se pordría representar el «perfil» de una ruta, por ejemplo, entre los puntos A y B.
9. Funciones de varias variables 8 9. Derivadas parciales de funciones de dos variables Supongamos que queremos estudiar la asimilación de CO de una cierta planta y, más concretamente, la respuesta a los cambios de temperatura y luminosidad. Cómo se haría esto experimentalmente? Denotemos T a la temperatura, L la luminosidad y A a la cantidad de CO asimilada, de forma que se tiene A = A(T, L) Lo más natural es estudiar las variaciones de A en función de la temperatura T, manteniendo constante la intensidad de la luz L y haciendo esto para distintas intensidades. Luego habría que estudiar las variaciones de A en función de la luminosidad manteniendo constante la temperatura. Esto ilustra la idea en que se basan las derivadas parciales de una función. Para saber cómo varía una función f(x, y) cuando cambian x e y, en vez de hacer variar las dos variables, se hacen variar sólo una de de ellas, manteniendo la otra constante. Derivada parcial Sea f(x, y) una función de dos variables independientes x e y: Se define la derivada parcial de f con respecto de x: f(x + h, y) f(x, y) (x, y) = lím x h h Análogamente, se define la derivada parcial de f con respecto de y: f(x, y + h) f(x, y) (x, y) = lím y h h Para indicar que se trata de una derivada parcial en lugar de una derivada ordinaria (las de funciones de una variable) se utiliza el símbolo en lugar de la d habitual. También son usuales las notaciones siguientes, que tienen el mismo significado: (x, y) (x, y) x f(x, y) f x (x, y) x x (y análogamente para la derivada parcial con respecto de y). Este concepto se puede generalizar de manera obvia a funciones dependientes de tres o más variables. El cálculo de derivadas parciales no presenta ninguna dificultad adicional: para obtener la derivada parcial de f con respecto de x (por ejemplo) sólo hay que derivar de forma habitual la expresión de f(x, y) considerando la x como variable independiente y tratando a y como si fuera una constante. De la misma manera, para obtener la derivada parcial de f con respecto de y hay que derivar de forma habitual la expresión de f(x, y) considerando la y como variable independiente y tratando a x como si fuera una constante. Ejemplo 9.8 Calcular las derivadas parciales de la función f(x, y) = ye xy Consideramos y como si fuera una constante y derivamos la función respecto de x: (x, y) = x x (yexy ) = y e xy y = y e xy Para calcular la derivada parcial con respecto de y, consideramos x como si fuera una constante y derivamos con respecto de y: y (x, y) = y (yexy ) = e xy + y xe xy = ( + xy)e xy
9. Funciones de varias variables 9 Ejemplo 9.9 Calcular las derivadas parciales de la función f(x, y) = sen(xy) cos(y) Consideramos y como si fuera una constante y derivamos la función respecto de x: ( ) sen(xy) y cos(xy) cos(y) sen(xy) (x, y) = = x x cos(y) cos = y cos(xy) (y) cos(y) Para calcular la derivada parcial con respecto de y, consideramos x como si fuera una constante y derivamos con respecto de y: y (x, y) = ( ) sen(xy) cos(xy) x cos(y) sen(xy) ( sen(y)) = y cos(y) cos (y) = x cos(xy) cos(y) + sen(y) sen(xy) cos (y) Las derivadas parciales representan, como en el caso unidimensional, pendientes de rectas tangentes a ciertas curvas. Por ejemplo, consideramos la derivada parcial con respecto de x en el punto (a, b): (a, b). x Si en z = f(x, y) mantenemos constante y = b obtenemos una curva: la intersección de la superficie z = f(x, y) con el plano vertical y = b (plano vertical paralelo al plano OXZ). La pendiente de la tangente a esta curva en el punto x = a es (a, b) x De forma análoga, si en z = f(x, y) mantenemos constante x = a obtenemos la curva intersección de la superficie z = f(x, y) con el plano vertical x = a (plano vertical paralelo al plano OYZ). La pendiente de la tangente a esta curva en el punto y = b es (a, b). y
9. Funciones de varias variables Ejemplo 9. f(x, y) = x y. Calcular (, ) e interpretar geométricamente los resultados x Consideramos y como si fuera una constante y derivamos la función respecto de x: x (x, y) = x (, ) = x Es decir, si en z = x y mantenemos constante y = obtenemos una curva: la intersección de la superficie z = x y con el plano vertical y = (plano vertical paralelo a OXZ). En nuestro caso el la curva z = f(x, ) = x = x La pendiente de la recta tangente a esta curva en el punto (, ) es (, ) =. x Z X Ejemplo 9. f(x, y) = x y. Calcular (, ) e interpretar geométricamente los resultados y Consideramos x como si fuera una constante y derivamos la función respecto de y: (x, y) = y (, ) = y y Es decir, si en z = x y mantenemos constante x = obtenemos una curva: la intersección de la superficie z = x y con el plano vertical x = (plano vertical paralelo a OYZ). En nuestro caso el la curva z = f(, y) = y = y La pendiente de la recta tangente a esta curva en el punto (, ) es (, ) =. y Z Y
9. Funciones de varias variables La principal información que aportan las derivadas parciales es, como ocurría en el caso de las funciones de una variable, cómo cambia la función cuando varía una de las variables. El siguiente ejemplo, debido a Holling, puede ilustrar estas afirmaciones. Ejemplo 9. En 99 Holling obtuvo una función que se usa en Ecología para expresar el número P de presas devoradas por un depredador (en un intervalo de tiempo fijado T ), en función de dos variables: la densidad de presas disponibles, N, y el tiempo de caza, C, que necesita para perseguir, dominar, consumir y digerir cada presa: P (N, C) = a N T + a CN Aquí, a es una constante positiva, que se suele interpretar como la tasa de ataque del depredador. El significado intuitivo de las derivadas parciales se ilustra de manera sencilla con esta función: Cómo afecta al número de presas devoradas un aumento del tiempo de caza dedicado a cada presa? Lo que queremos saber es si el valor de la variable P aumenta o disminuye al aumentar C (manteniéndose constante el valor de la otra variable, N). Es decir, queremos determinar si P es función creciente o decreciente de C (para N fijo). Para responder a esto, calculamos la derivada parcial correspondiente: P (N, C) = a N T C ( + acn) < El hecho de que esta derivada sea negativa nos dice que el número de presas devoradas disminuye al aumentar el tiempo de caza, C, dedicado a cada presa (lo cual es muy razonable). Cómo afecta al número de presas devoradas un incremento de la densidad de presas? Lo que queremos saber ahora es si el valor de la variable P aumenta o disminuye al aumentar N (manteniéndose constante el valor de la otra variable, C). Es decir, queremos averiguar si P es función creciente o decreciente de N (para C fijo). Para responder a esto, calculamos la derivada parcial correspondiente: P a T (N, C) = N ( + acn) > El hecho de que esta derivada sea positiva nos dice que el número de presas devoradas aumenta al aumentar el número de presas disponibles, N (lo cual es también muy razonable). Para representar el número de presas devoradas, P, en función de C y N, por ejemplo, en un intervalo de T = horas y cuando la tasa de ataque del depredador es a =. tendríamos que representar la función de dos variables P (N, C) =. N +. CN = 7. N +. CN cuya gráfica se muestra en la figura adjunta. Obsérvese que los hechos arriba comentados se confinan en la gráfica: a mayor tiempo de caza, el número de presas devoradas disminuye y a mayor densidad de presas, el número de presas devoradas aumenta. Número de presas devoradas Tiempo dedicado a cada presa Densidad de presas C. S. Holling es un ecologista Canadiense nacido en 9
9. Funciones de varias variables 9.. Regla de la cadena Al comienzo de esta sección presentamos un ejemplo del estudio de la asimilación, A, de CO en función de temperatura, T, y de la intensidad de la luz, L: A = A(T, L). Si, además queremos realizar un seguimiento temporal de la asimilación de CO, hay que tener en cuenta que la temperatura y la intensidad de la luz dependen del tiempo. Denotemos T (t) a la temperatura en el instante t, L(t) a la luminosidad en el instante t y A(t) a la asimilación de CO en el instante t. Entonces A(t) es función de T (t) y L(t), de forma que se tiene La asimilación A es por tanto una función compuesta. A = A(T (t), L(t)) Para derivar funciones compuestas de un variable se utiliza la regla de la cadena. Por ejemplo, supongamos que y = f(x) es una función de una variable y que x depende de t, x = x(t). Si se desea derivar y = f(x(t)) con respecto de t, la regla de la cadena dice que dy dt = df dx (x(t)) dx dt La regla de la cadena se puede extender a funciones de más de una variable. Sea z = f(x, y) una función de dos variables. En primer lugar consideramos el caso en el que cada una de las variables x e y son a su vez funciones de una variable independiente, t, con lo que z = f(x(t), y(t)) será una función de t. Nos planteamos calcular la expresión de la la derivada de z con respecto de t. Regla de la cadena: z = f(x, y) con x = x(t), y = y(t) Si la función f(x(t), y(t)) es derivable, entonces la derivada de z(t) = f(x(t), y(t)) viene dada por dz dt = dx (x(t), y(t)) x dt + dy (x(t), y(t)) y dt Ejemplo 9. Sea f(x, y) = x y con x(t) = sen(t) e y(t) = e t. Calcular la derivada de z = f(x, y) con respecto de t cuando t = π/ Utilizando la regla de la cadena, se obtiene: dz dt = dx (x(t), y(t)) x dt + y (x(t), y(t)) dy dt = xy dx dt + x y dy dt = xy cos(t) x y e t Tenemos x(π/) = sen(π/) = y y(π/) = e π/. Usando que cos(π/) =, tenemos dz dt = sen(t)e t cos(t) sen (t)e t t=π/ = e π/ t=π/ Si ahora supongamos que cada una de las variables x e y son a su vez funciones de variables independientes r y t con lo que z = f(x(r, t), y(r, t)) será una función de r y t. En este caso, en la regla de la cadena anterior hay que sustituir las derivadas ordinarias por las derivadas parciales.
9. Funciones de varias variables Regla de la cadena: z = f(x, y) con x = x(r, t), y = y(r, t) Si la función f(x(r, t), y(r, t)) es derivable, entonces la derivada parcial de z(r, t) = f(x(r, t), y(r, t)) con respecto de r es: z r = x (x(r, t), y(r, t)) x r + y (x(r, t), y(r, t)) y r y la derivada parcial de z(r, t) = f(x(r, t), y(r, t)) con respecto de t es: z t = x (x(r, t), y(r, t)) x t + y (x(r, t), y(r, t)) y t Ejemplo 9. Sea f(x, y) = xy con x(r, t) = r sen(t) e y(r, t) = r cos(t). Calcular las derivadas parciales z(r, t) = f(x(r, t), y(r, t)) con respecto de r y de t Utilizando la regla de la cadena, la derivada parcial de f con respecto de r es: z r = x x r + y y x y = y + xy r r r = y cos(t) + xy sen(t) = (r cos(t)) cos(t) + r cos(t)r sen(t) sen(t) = r cos (t) + r cos(t) sen (t) Análogamente, la derivada parcial de f con respecto de t es: z t = x x t + y y t x y = y + xy t t = y r( sen(t)) + xy cos(t) = (r cos(t)) r( sen(t)) + r cos(t)r sen(t) cos(t) = r cos (t) sen(t) + r cos (t) sen(t) = r cos (t) sen(t)( r) 9.. Derivadas parciales de orden superior Como en el caso de funciones de una variable, en funciones de dos variables se pueden definir también derivadas parciales de orden superior. Por ejemplo, para obtener la derivada parcial segunda de f(x, y) con respecto de x hay que derivar con respecto de x la derivada parcial de f con respecto de x, es decir ( ) f (x, y) = (x, y) x x x También son usuales las siguientes notaciones que tienen el mismo significado: f x (x, y) f(x, y) x xx f(x, y) f xx (x, y) Análogamente se define la derivada parcial segunda de f(x, y) con respecto de y: siendo las siguientes notaciones habituales f y (x, y) = ( ) (x, y) y y f y (x, y) f(x, y) y yy f(x, y) f yy (x, y)
9. Funciones de varias variables Se pueden calcular también derivadas mixtas. Por ejemplo si se deriva primero f(x, y) con respecto de y y luego con respecto de x, se escribe ( ) f (x, y) = (x, y) f yx x y x y Se observa que el subíndice «yx» de f y el orden x y son las dos notaciones que significan que se deriva primero con respecto de y. De forma análoga, si se deriva primero f(x, y) con respecto de x y luego con respecto de y, se escribe f y x (x, y) = ( ) (x, y) f xy y x Ejemplo 9. Sea f(x, y) = sen(x) + xe y. Calcular las derivadas parciales de orden dos. ( ) f xx (x, y) f (x, y) = (x, y) = ( ) x x x x x (sen(x) + xey ) = x (cos(x) + ey ) = sen(x) f yy (x, y) f y (x, y) = ( ) (x, y) = ( ) y y y y (sen(x) + xey ) = y (xey ) = xe y f yx (x, y) f xy (x, y) f (x, y) = x y x f y x (x, y) = y ( (x, y) y ) ( (x, y) x ) = x = y ( y (sen(x) + xey ) ( ) x (sen(x) + xey ) ) = x ( + xey ) = e y = y (cos(x) + ey ) = e y En el ejemplo anterior podemos ver que f xy (x, y) f yx (x, y) lo que implica que el orden de derivación no importa. Aunque esto no se cumple siempre, existen condiciones que garantizan que el orden de derivación en derivadas parciales mixtas no es relevante. Dar estas condiciones se escapa del objetivo de este tema. En los ejemplos de funciones de dos variables que se van a considerar en esta asignatura, podemos suponer que esto ocurre siempre. 9. Vector gradiente Recordemos que un vector en el plano es un segmento orientado, en el que hay que distinguir tres características: módulo es la longitud del segmento, dirección es la orientación de la recta, sentido indica cual es el origen y cual es el extremo final de la recta. Figura 9.: Un vector en el plano.
9. Funciones de varias variables y Se recuerda también que las componentes de un vector, son dos valores que vienen dados en forma de par de números que indican las unidades que tenemos que desplazarnos horizontalmente y verticalmente, para llegar desde el origen del vector al extremo de éste. Escribimos v v v = (v, v ) para indicar que v y v son las componentes del vector v. v x Figura 9.: Componentes de un vector. Vector gradiente Sea z = f(x, y). Se llama el vector gradiente de f en el punto (x, y) al vector cuya primera componente es la derivada parcial de f con respecto de x en el punto (x, y) y la segunda componente es la derivada parcial de f con respecto de y en el punto (x, y) (si ambas derivadas parciales existen): ( ) f(x, y) = (x, y), (x, y) x y La notación f se lee «gradiente de f». A veces también se usa la notación alternativa gradf. El símbolo se llama «nabla» y su origen se debe a que su aspecto es similar al instrumento musical arpa que en el hebreo antiguo se llamaba así. Ejemplo 9.6 Calcular el gradiente de f(x, y) = x y y en el punto (, ) Luego el vector gradiente viene dado por: (x, y) = xy, x Evaluando dicho vector en el punto (, ), se obtiene y (x, y) = x y f(x, y) = ( xy, x y ) f(, ) = ( ( ), ( ) ) = (, )
9. Funciones de varias variables 6 Ejemplo 9.7 Calcular el gradiente de f(x, y) = x + y en el punto (, ) x (x, y) = x x + y, Luego el vector gradiente viene dado por: f(x, y) = y (x, y) = y x + y ( ) x x + y, y x + y Evaluando dicho vector en el punto (, ), se obtiene ( ) ( f(, ) =, = + 8 + 8, ) Propiedades del vector gradiente:. En cualquier punto (a, b), la función f(x, y) tiene su máximo incremento en la dirección del vector gradiente f(a, b). Es decir, de entre todas las (infinitas) direcciones que parten del punto (a, b) la dirección definida por el gradiente es aquélla en la que la función f crece (localmente) más rápidamente. Como consecuencia, la dirección opuesta al gradiente es aquélla en la que la función decrece más rápidamente. Esta propiedad es de importancia primordial en muchas situaciones reales. Por ejemplo, la quimiotaxis, que es el mecanismo por el que algunas células se mueven de acuerdo con la concentración de ciertas sustancias químicas en su medio ambiente, eligiendo para ello la dirección del gradiente de la concentración, si se busca, por ejemplo alimento, o la opuesta al gradiente, si se bucea, por ejemplo, alejarse del veneno. En los organismos multicelulares es fundamental tanto en fases tempranas del desarrollo (por ejemplo en el movimiento de los espermatozoides hacia el óvulo) como en las fases más tardías (como la migración de neuronas o linfocitos).. El vector gradiente de la función f en el punto (a, b) es perpendicular a la curva de nivel f(x, y) = k que pasa por (a, b). Ejemplo 9.8 En qué dirección f(x, y) = x y + y tiene su máximo incremento en (, )? El máximo incremento de f(x, y) en el punto (, ) se produce en la dirección de f(, ). Tenemos f(x, y) = (xy, x + y) f(, ) = (, ) Es decir, el incremento más rápido de f(x, y) en el punto (, ) se produce en la dirección del vector (, ).
9. Funciones de varias variables 7 Ejemplo 9.9 f(x, y) = x y. Calcular un vector que sea perpendicular a la curva de nivel de f que pasa por el punto (, ) Sabemos que el gradiente de f(x, y) en el punto (, ) es perpendicular a la curva de nivel que pasa por dicho punto, es decir el vector gradiente es el vector buscado. El gradiente de f viene dado por: f(x, y) = (x, y) f(, ) = (, ) El vector perpendicular a la curva de nivel que pasa por el punto (, ) es (, ). Además, la curva de nivel que pasa por el punto (, ) es f(x, y) =, ya que =. En la gráfica adjunta, con las flechas están dibujados los gradientes en diferentes puntos y, en particular en el punto (, ), por el que pasa la curva de nivel f(x, y) =. Podemos observar que efectivamente el vector gradiente es perpendicular a dicha curva en el punto (, ) y que el incremento máximo de f en (, ) se produce en la dirección del gradiente. 9. Plano tangente y aproximación lineal Recordamos la noción de la recta tangente para funciones de una variable. Si y = f(x) es una función de una variable, la recta tangente a f en el punto (a, f(a)) viene dada por Y y = f(a) + f (a)(x a) X Por ejemplo, para la función f(x) = x tangente en el punto (, ) viene dada por la recta y = (x ) = x y está representada en la Figura 9.. Figura 9.: La recta tangente a la curva f(x) = x en el punto (, ). Por otra parte, podemos usar la recta tangente para aproximar el valor la función y = f(x) en las proximidades de un punto a, lo que se conoce como aproximación lineal o linealización: f(x) f(a) + f (a)(x a) si x a En el caso del ejemplo anterior, f(x) x en un entorno de a =. Generalizamos esta idea a funciones de dos variables. El análogo a la recta tangente se denomina plano tangente como muestra la Figura 9..
9. Funciones de varias variables 8 Ecuación del plano tangente a una superficie Si existe el plano tangente a la superficie z = f(x, y) en el punto (a, b, c) (c = f(a, b)), entonces su ecuación viene dada por z = f(a, b) + (a, b)(x a) + (a, b)(y b) (9.) x y Ejemplo 9. Calcular el plano tangente a f(x, y) = 9 x y en (, ) y en (, ) Tenemos que f(, ) = 9 = 7, luego el punto (,, 7) se encuentra en la superficie (véase la Figura 9.). Calculamos las derivadas parciales: (x, y) = x (, ) = x x (x, y) = y (, ) = y y Por tanto, la ecuación del plano tangente en el punto (, ) es: z = 7 (x ) (y ) x y z = Análogamente, para el punto (, ), tenemos f(, ) = 9, f x (, ) = y f y (, ) =. Luego la ecuación del plano tangente a f en (, ) es: z = 9 En la Figura 9. están representados la superficie z = 9 x y y el plano tangente en el punto (, ). Se observa que, en este caso, el vector gradiente es cero en (, ) y que por tanto el plano tangente es horizontal. Figura 9.: El plano tangente a la superficie f(x, y) = 9 x y en el punto (, ). Obsérvese que el punto (, ) se encuentra en el plano XY y en la superficie está situado el punto (,, f(, )) = (,, 7). Figura 9.: El plano tangente a la superficie f(x, y) = 9 x y en el punto (, ). Obsérvese el punto (,, f(, )) = (,, 9) está en la superficie y que el plano tangente en este punto es horizontal.
9. Funciones de varias variables 9 Ejemplo 9. Calcular el plano tangente a f(x, y) = x + y en (, ) Tenemos que f(, ) = + = 8, luego el punto (,, 8) se encuentra en la superficie. Calculamos las derivadas parciales: (x, y) = 8x (, ) = 8 x x (x, y) = y (, ) = y y Por tanto, la ecuación del plano tangente en el punto (, ) es: z = 8 + 8(x ) + (y ) 8x + y z = 8 En el caso de una función de una variable, usando la recta tangente, consideramos la aproximación lineal de dicha función. Del mismo modo, podemos usar el plano tangente para considerar una aproximación lineal para una función de dos variables en un entorno de un punto. Aproximación lineal de una función de los variables Se llama la aproximación lineal o linealización de f(x, y) en un punto (a, b) a la función La aproximación L(x, y) = f(a, b) + (a, b)(x a) + (a, b)(y b) x y f(x, y) L(x, y) se denomina mejor aproximación lineal o aproximación por plano tangente de f(x, y) en (a, b). Ejemplo 9. Calcular la aproximación lineal de f(x, y) = x y + xe y en (, ) La linealización de f(x, y) en (, ) es Tenemos L(x, y) = f(, ) + (, )(x ) + (, )(y ) x y y Como f(, ) =, se obtiene x (x, y) = xy + ey, (, ) =, x y (x, y) = x + xe y (, ) = + = 8 y L(x, y) = + (x ) + 8y = x + 8y
9. Funciones de varias variables Ejemplo 9. Calcular la aproximación lineal de f(x, y) = ln(x y ) en (, ). Utilizar dicha función para aproximar el valor de f el el punto (.,.9). Utilizando una calculadora calcular el error cometido. La linealización de f(x, y) en (, ) es Tenemos L(x, y) = f(, ) + (, )(x ) + (, )(y ) x y y x (x, y) = x y, (x, y) = y y x y (, ) = x =, y Como f(, ) = ln( ) = ln() =, se obtiene Por tanto, en (.,.9): (, ) = = L(x, y) = + (x ) (y ) = + x y L(.,.9) =..9 + =. Usando la calculadora obtenemos que f(.,.9) = ln(. (.9) ).9. Luego el error de la aproximación es:..9 =. 9.6 Máximos y mínimos relativos En el caso de una función de una variable definimos sus extremos locales y métodos para calcularlos. Los extremos locales se pueden definir también para funciones de dos variables. De modo informal, un máximo local (o respectivamente mínimo local) de una función de dos variables f(x, y) es un punto (a, b) en el que el valor de la función es mayor (o respectivamente menor) que el valor de la función en los puntos cercanos. Cómo se calculan los extremos locales? Recordemos que en el caso de una sola variable, si y = f(x) tiene un extremo en el punto c, entonces la recta tangente en (c, f(c)) es horizontal, es decir f (c) = Esta idea se puede generalizar a funciones de más de una variable. Observando la Figura 9., se puede ver que el plano tangente en el extremo local es horizontal. La ecuación del plano horizontal tangente a la gráfica de z = f(x, y) en el punto (a, b) es z = f(a, b) Comparando esta expresión con la forma general del plano tangente (9.), se puede ver que f x (a, b) = y f y (a, b) =, es decir que f(a, b) = (, ). Por tanto,
9. Funciones de varias variables Condición necesaria de extremo relativo de una función de dos variables Si f(x, y) tiene un extremo local en el punto (a, b), entonces f(a, b) = (, ), lo que geométricamente significa que el plano tangente a z = f(x, y) en el punto (a, b) es horizontal. Los puntos (a, b) que cumplen esta condición se denominan puntos críticos. Igual que en el caso de una variable, esta condición sólo identifica los candidatos a los extremos locales. Es necesario un estudio posterior para determinar si un candidato es en realidad un extremo local. Ejemplo 9. puntos Calcular los puntos críticos de f(x, y) = x + y + y el plano tangente en estos Calculamos en primer lugar el vector gradiente ( ) f(x, y) = (x, y), (x, y) = (x, y) x y Tenemos f(x, y) = x =, y = de donde el punto crítico es (, ). La expresión del plano tangente en (, ) es z = f(, )+ (, )(x )+ (, )(y ) = ++ = x y es decir la ecuación del plano tangente en (, ) es z =, lo que demuestra que el plano tangente es horizontal. Ejemplo 9. Calcular los puntos críticos de f(x, y) = x + y + xy. Calculamos en primer lugar el vector gradiente ( ) f(x, y) = (x, y), (x, y) x y Luego = (x + y, y + x) f(x, y) = x + y =, x + y = Tenemos que resolver el sistema de ecuaciones { { x + y = y = x x + y = x + ( x) = de donde x = y por tanto y =. El punto crítico es (, ). { y = x x =
9. Funciones de varias variables 9.6. Uso de las derivadas segundas para determinar máximos y mínimos relativos Obviamente el cálculo de los extremos locales de una función de dos variables es más complejo que en el caso de una función de una variable. Recordemos que cuando la función y = f(x) depende de una variable, el procedimiento del cálculo de máximos y mínimos locales consiste estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función, calculando para ello los puntos que anulan la derivada primera de la función. O bien, usando la vía de la derivada segunda de f. En el caso de funciones de dos variables no existe un orden entre los puntos, es decir no podemos decir que un punto (x, y ) sea mayor o menor que otro (x, y ), por tanto no tiene sentido definir lo que sería una función creciente o decreciente. Por esta razón, vamos a usar las derivadas segundas para tener condiciones que garanticen que un punto crítico va a ser un máximo o un mínimo local. Notemos también que el estudio de los máximos y mínimos globales es más complicado en el caso de funciones de varias variables y que se escapa del objetivo de este tema. Criterio de mínimo / máximo local Sea (a, b) tal que f(a, b) = (, ). Se define la siguiente cantidad llamada el Hessiano Se tiene: H = f xx (a, b)f yy (a, b) f xy(a, b). Si H > y f xx (a, b) >, entonces f tiene un mínimo local en (a, b).. Si H > y f xx (a, b) <, entonces f tiene un máximo local en (a, b).. Si H <, entonces f no tiene extremo local en (a, b) y se dice que el punto (a, b) es un punto de silla. En los demás casos, este criterio no permite extraer conclusiones. Ejemplo 9.6 mínimo local Determinar si el punto crítico (, ) de f(x, y) = x + y + es un máximo o un Hemos visto en el Ejemplo 9. que Calculamos las derivadas segundas: f(x, y) = ( ) (x, y), (x, y) = (x, y) x y Luego f (x, y) =, x f (x, y) =, y f (x, y) = x y H = f xx (a, b)f yy (a, b) f xy(a, b) = = > Como H > y f xx (, ) = >, se deduce que el punto (, ) es un mínimo local de f.
9. Funciones de varias variables Ejemplo 9.7 mínimo local Determinar si el punto crítico (, ) de f(x, y) = x + y + xy es un máximo o un Hemos visto en el Ejemplo 9. que f(x, y) = ( ) (x, y), (x, y) = (x + y, y + x) x y Calculamos las derivadas segundas: f (x, y) =, x Luego f (x, y) =, y f (x, y) = x y H = f xx (a, b)f yy (a, b) f xy(a, b) = = > Como H > y f xx (, ) = >, se concluye que el punto (, ) es un mínimo local de f. Ejemplo 9.8 Calcular los extremos locales de f(x, y) = xy x y y clasificarlos como máximos o mínimos locales o un punto de silla Los puntos críticos cumplen f(x, y) = ( ) (x, y), (x, y) = (y x, x y ) = (, ) x y de donde obtenemos que y = x y x = y. Las soluciones de estas ecuaciones son x =, y = y x =, y =, es decir los puntos críticos son (, ) y (, ). Calculamos las derivadas segundas: Luego para el punto (, ) tenemos f (x, y) = 6x, x f (x, y) = 6y, y f (x, y) = x y H = f xx (a, b)f yy (a, b) f xy(a, b) = 6 9 > Como f xx (, ) = 6 <, se concluye que el punto (, ) es un máximo local de f. Luego para el punto (, ) tenemos H = f xx (a, b)f yy (a, b) f xy(a, b) = 9 < Como H <, se concluye que el punto (, ) no es ni máximo ni mínimo local, es un punto de silla.
Bibliografía [] R. Echevarría, Matemáticas Generales Aplicadas a la Bioquímica, Apuntes de la asignatura. [] C. Neuhauser Matemáticas para Ciencias, Pearson, Madrid,.
Índice de Tema 9 9. Funciones de varias variables 9.. Dominio y recorrido de una función de varias variables........................ 9.. Representación gráfica de una función de dos variables........................ 9... Representación como una superficie en el espacio tridimensional............... 9... Representación mediante curvas de nivel............................ 9.. Derivadas parciales de funciones de dos variables........................... 8 9... Regla de la cadena........................................ 9... Derivadas parciales de orden superior............................. 9.. Vector gradiente............................................. 9.. Plano tangente y aproximación lineal.................................. 7 9.6. Máximos y mínimos relativos...................................... 9.6.. Uso de las derivadas segundas para determinar máximos y mínimos relativos....... Bibliografía