Unidad 6 Cálculo de máimos y mínimos Objetivos Al terminar la unidad, el alumno: Utilizará la derivada para decidir cuándo una función es creciente o decreciente. Usará la derivada para calcular los etremos locales de una función. Empleará la primera y segunda derivada para estudiar la concavidad locales de una función. Usará los conceptos de etremos locales, así como de concavidad para resolver problemas en economía y en administración.
Matemáticas Introducción El problema fundamental asociado al uso de funciones para modelar problemas económicos consiste en calcular los valores de la variable independiente para los cuales la función toma un valor que se puede considerar máimo o mínimo de la función en cierto conteto. Se resuelve este problema de optimización con el uso de la derivada de la función. En esta unidad se desarrollan criterios basados en la primera y segunda se estudian otros criterios que permiten determinar los intervalos donde la función crece, o decrece, su tipo de concavidad y los puntos donde la concavidad cambia, aspectos que son importantes para conocer el comportamiento de la función en su dominio. 6.1. Funciones crecientes y decrecientes algunos valores de las variables y y, que después se representan en un sistema la función. Este método puede llevar a cometer algunos errores. Por ejemplo, los puntos ( 1,0), (0, 1) y (1,0) son puntos de la función y = (+ 1) 3 ( 1). Con base en estos puntos se podría tentativamente concluir que la gráfica tiene la forma mostrada en la figura 1b, pero de hecho, la forma verdadera es la mostrada en la figura 1a. 33 1a. 1b. Figura 6.1. Ambas curvas pasan por los puntos ( 1,0), (0, 1) y (1,0).
Unidad 6 cuando se mira de izquierda a derecha, es decir, hasta qué punto la función decrece para comenzar a crecer, o sea, ir hacia arriba. La derivada de la función suministra información en este sentido. y = f ( Obsérvese que conforme aumenta (de izquierda a derecha) en el intervalo I 1 entre a y b, los valores de y = f () también aumentan y la curva se levanta. 1 y son dos puntos cualquiera en I 1, tales que 1 <, entonces f ( 1 ) < f ( ) y se dice que f es creciente en el intervalo I 1. Al contrario, en el intervalo I, comprendido entre c y d, los valores de y decrecen a medida que crece. Es decir, si 3 < 4, entonces f ( 3 ) > f ( 4 ) y se dice que f es decreciente en I. y y = f () a b c d I 1 I f creciente f decreciente Figura 6.. Naturaleza creciente o decreciente de una función. En general se tiene que: 34 Una función es creciente en el intervalo I si para dos números 1, cualesquiera en I, tales que 1 <, se tiene que f ( 1 ) < f ( ). Una función es decreciente en el intervalo I si para dos números 1, cualesquiera en I, tales que 1 <, se tiene que f ( 1 ) > f ( ). aumenta. crece, y
y 18 3 Matemáticas 3 Decreciente Creciente Decreciente Figura 6.3. Naturaleza creciente y decreciente de y = 18 3 3. crece y en dónde decrece, pero si sólo se tiene su epresión algebraica y lo que se quiere es precisamente saber en qué intervalos crece y en qué intervalos el de la primera derivada. del intervalo donde la función está creciendo y en otro donde la función está decreciendo, se puede ver que en el punto donde la curva está creciendo el ángulo que forma la recta tangente con el eje es un ángulo agudo, lo que hace que la tangente de este ángulo sea positiva y por lo tanto la pendiente de la recta tangente también sea positiva. Al contrario, en el punto donde la curva decrece, la recta tangente forma un ángulo obtuso con el eje positivo de las y por lo tanto la pendiente de esta recta es negativa. 35 Figura 6.4a. f crece en = c Figura 6.4b. f decrece en = c
Unidad 6 Como la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es precisamente la derivada de la función en ese punto, se tiene el siguiente criterio: Criterio de la primera derivada para localizar intervalos donde la función crece o decrece. Si f ( ) 0 para a b, entonces f es creciente en a b Si f ( ) 0 para a b, entonces f es decreciente en a b (1) Si f () = 0 para a < < b, entonces f es constante en a < < b Ejemplo 1 Aplicando el criterio de la primera derivada (1) cuáles son los intervalos donde la función f() = crece, y cuáles donde decrece? Solución: como la derivada de la función es f () = se resuelven las desigualdades: ( i) 0 0 ( ii) 0 0 mayores que 0. Por (ii) afirmamos que la función decrece para todos los valores de menores que 0. que es precisamente una parábola. 36 Figura 6.5. y =
Matemáticas Observemos que cuando = 0 la parábola ni crece ni decrece. A la izquierda de 0 la función viene decreciendo y a la derecha la función crece. Ejemplo Dónde crece y dónde decrece la función y 18 3 Solución: siguiendo el criterio (1) derivamos la función y = 18 e igualamos a cero. 18 = 0 = 9 donde las soluciones son: = 3 y = 3 Marcamos estos valores sobre un segmento de recta 3 3 Tomamos un valor antes de 3, entre 3 y 3 y después de 3 evaluando la primera derivada. f ( 4) = 18 ( 4) = 14 como f < 0 la función es decreciente en (, 3) f (0) = 18 (0) = 18 como f > 0 la función es creciente en ( 3, 3) f (4) = 18 (4) = 14 como f < 0 la función es decreciente en (3, ). La 3? Ejercicio 1 decreciente o constante) en cada uno de los intervalos señalados. 1. y 37
Unidad 6. y 1 3 38 En los ejercicios 3 a 7 halla los intervalos donde la función dada es creciente o decreciente. 3 3. f ( ) 3 4. f ( ) 3 5. f ( ) 5 3 1 6. f ( ) 7. f () = 4 8 4 8. Una empresa ha identificado que su ingreso mensual en pesos está dado por: I() = 100 pesos. Determina los interval os donde l a funci ón ingreso es creciente o decreciente. 9. La utilidad de una fábrica por la producción y venta de unidades de cierto artículo ha sido determinada por: U() = 80 500 pesos. Encuentra los intervalos donde la función de utilidad es creciente y los intervalos donde es decreciente. 10. Una compañía de discos estima que el costo total semanal de producción de discos es: C() = 350 + 0 pesos. Señala los intervalos donde la función de costo total es creciente y el intervalo donde es decreciente.
Matemáticas 6.. Criterio de la primera derivada para obtener etremos locales compleja que muestra algunas de las cosas que se deben conocer para poder f() ( 3, f( 3 )) ( 5, f( 5 )) ( 1, f( 1 )) ( 4, f( 4 )) (, f( )) Figura 6.6. Los máimos y mínimos locales o relativos se denominan etremos locales o etremos relativos de la función. Un máimo local o relativo en una función se presenta en un punto que es más alto que cualquier otro que esté cerca. Un mínimo local o relativo en una función se presenta en un punto que es más bajo que cualquier otro punto cercano. 1, f ( 1 )) y ( 3, f ( 3 )) un mínimo relativo en el punto ( 4, f ( 4 )). máimo absoluto o el mínimo absoluto de una función en un intervalo como el valor más grande o más pequeño de la función en ese intervalo, resulta que los etremos locales no siempre coinciden con estos valores. Por 39 de la función se da en el punto ( 5, f ( 5 )), en tanto que su mínimo absoluto se da en (, f ( )). Los etremos locales de una función se conocen cuando sabemos los intervalos donde la función crece o decrece, porque los máimos relativos, tal
Unidad 6 crecer y empieza a decrecer, y los mínimos relativos se dan en los puntos donde la función deja de decrecer y empieza a crecer. Se sabe que una función es creciente cuando su primera derivada es positiva y es decreciente cuando la primera derivada es negativa, por lo tanto los únicos puntos donde la función puede tener etremos locales son aquellos donde la derivada es cero (si eiste). Un valor c, en el dominio de f, se llama valor crítico si f (c) = 0 o f (c) no eiste. El punto (c, f (c)), que corresponde a un valor crítico, se denomina punto crítico. Por lo tanto, si la función tiene etremos locales, éstos se dan en los valores críticos. Por consiguiente, para determinar los etremos locales de una función basta conocer los valores críticos e interpretar el signo de la derivada antes y después del valor crítico. Concretamente, se tiene el siguiente algoritmo para localizar los etremos relativos de una función: Algoritmo para hallar los etremos locales (criterio de la 1a derivada): 40 1. Se calcula la derivada de la función.. Se encuentran los valores críticos resolviendo la ecuación f () = 0 o bi en donde la deri vada no eiste. 3. Se marcan los valores críticos en la recta numérica. En cada uno de los intervalos creados por esos puntos, se toma un valor cualquiera y se halla el signo de la derivada en esos puntos. 4. Se observa el signo obtenido en el inciso anterior, antes y después del valor crítico, y se aplica el siguiente criterio: (i) Si los signos son (+) ( ) se tiene un máimo local. (ii) Si los signos son ( ) (+) se tiene un mínimo local. (iii) En los otros casos (+) (+) y ( ) ( ) no eiste etremo local. Obsérvese que el algoritmo anterior, además de hallar los etremos relativos, determina los intervalos donde la función crece o decrece.
Matemáticas Ejemplo 3 Determina los etremos locales de la función y = ( + 1) 3 ( 1) y esboza Solución: seguimos los pasos dados por el criterio de la primera derivada para hallar etremos locales: 1. Como la función es un producto: f () = ( + 1) 3 (1) + ( 1)3( + 1) (1) factorizamos ( 1) 3( 1) simplificamos ( 1) ( 4 ) factorizamos ( 1) ( 1). Igualamos la derivada a 0 y resolvemos la ecuación: f ( ) 0 ( 1) ( 1) 0 1 0 1 0 1, 1 3. Marcamos los puntos críticos sobre una recta: ( 1) 1 1/ Tomamos un valor en cada uno de los tres intervalos que quedaron determinados y hallamos el signo de la derivada: A la izquierda de 1 tomamos, por ejemplo, el valor que al evaluarla en la derivada de f es: Es decir, su signo es. f ( ) = ( + 1) (( ) 1) = 10 41 Entre 1 y 1 tomamos, por ejemplo, el 0 y calculamos la derivada en este punto: f (0) = (0 + 1) (0 1) = Es decir, el signo es.
Unidad 6 En el intervalo después de 1/ escogemos, por ejemplo, el 1, cuya derivada es: f (1) = (1 + 1) ( 1) = 8 Es decir, el signo es +. Colocamos toda esta información sobre la recta numérica: 4. En el valor crítico ningún etremo local. En el valor crítico que eiste un mínimo local en el punto (1/, 7/16). Figura 6.7. y = ( + 1) 3 ( 1). Ejemplo 4 4 Si y 4, usemos el criterio de la primera derivada para encontrar 1 dónde se presentan los etremos relativos, dónde la función crece y dónde decrece. Solución: realizamos los cuatro pasos que indica el algoritmo: 1. Escribimos la función en la forma y = + 4( + 1) 1 para obtener la derivada:
Matemáticas y y 1 4( 1) 1 4 ( 1) ( 1) 4 3 ( 1) ( 1) ( 3) ( 1) ( 1). Resolver y = 0 es equivalente a resolver ( + 3)( 1) = 0. Al resolver la ecuación anterior obtenemos que = 3 y = 1 son valores críticos. Los valores para los cuales la derivada no eiste son los valores donde el denominador se anula, esto es, cuando ( + 1) = 0. Es decir, cuando = 1. Como el valor 1 no pertenece al dominio de la función no puede ser un valor crítico con lo que los valores críticos de esta función son sólo los valores 3 y 1. 3. Marcamos los valores críticos en una recta y calculamos el signo de la derivada en cada uno de los intervalos que quedan determinados. Como el denominador de la derivada es un cuadrado, su signo es siempre positivo, por lo tanto el signo de la derivada depende eclusivamente del signo del numerador ( + 3)( 1). En el intervalo antes de 3 escogemos, por ejemplo, el valor 4 y se tiene ( 4 + 3)( 4 1) = 5, por lo tanto tiene signo +. Entre 3 y 1 seleccionamos 0 cuyo numerador es (0 + 3)(0 1) = 3, es decir, tiene el signo. Para el intervalo después de 1, seleccionamos, por ejemplo, el y se tiene ( + 3)( 1) = 5, es decir, tiene signo +. 4. De esta forma tenemos que los puntos críticos de esta función son los puntos ( 3, 5) donde hay un máimo local y (1, 3) donde hay un mínimo local. Además la función decrece entre 3 y 1, y crece en los demás intervalos. Plasmamos esta información sobre la recta numérica: 43 Creciente Decreciente Creciente
Unidad 6 (1, 3) ( 3, 5) Figura 6.8. y 4 1 Ejemplo 5 Cuáles son los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los etremos locales de la función f ( ) 3? Solución: tenemos que la derivada de la función es: f '()= 3 1/3 3 3 Cuando = 0, f ( f() sí lo está. Así, 0 es un valor crítico y no hay ningún otro. Si < 0, entonces f () < 0. Si > 0, entonces f () > 0. Por lo tanto, se tiene un mínimo relativo, que también es absoluto en (0, 0). 44 (0, 0) Figura 6.9. y = /3
Matemáticas Ejemplo 6 Encuentra los etremos relativos de la función y = f () = e. Solución: la derivada es f () = e + e () = e (+) Como e es distinto de cero, los únicos valores que anulan la derivada son 0 y. tenemos: Diagrama de signos para f () = e ( + ) De este diagrama concluimos que en = eiste un máimo relativo y en = 0 un mínimo relativo. (, 0.54) (0, 0) Figura 6.10. y = e Ejercicio En los ejercicios 1 a 7 encuentra los intervalos donde la función dada crece y donde decrece. Además encuentra los etremos locales de la función. 45 1. f () = 3 + 3 1 7. f () = 4 + 8 3 + 18 3. f () = ( 1)
Unidad 6 4. f () = 5. f () = 3 3 4 + 3 6. f () = ( 4) /3 7. f () = 3 8. Una organización no gubernamental de protección del ambiente ha estimado que la concentración de oígeno en un estanque contaminado con un residuo orgánico está dada por: t t 1 f ( t) entre 0 t donde t es tiempo t 1 Determina en qué tiempo se alcanza la concentración más baja de oígeno. 6.3. Criterio de la segunda derivada Así como el signo de la primera derivada tiene una relación directa con el comportamiento de la función en el sentido de que si la derivada es positiva la función crece y si es negativa la función decrece, la segunda derivada proporciona también información, donde a través de su signo se puede describir la forma de la curva, esto es, su concavidad. Si una función tiene una segunda derivada f, ésta se puede utilizar para determinar los intervalos de concavidad hacia arriba si está sobre sus rectas tangentes, de igual forma, es cóncava hacia 46 P Q a a b c Figura 6.11.
Matemáticas Si una función es creciente en un intervalo, ésta puede tener cualquier tipo de concavidad, igualmente sucede con una función decreciente. En consecuencia, tenemos: función creciente, como la derivada nos proporciona la pendiente de la recta creciendo al pasar de izquierda a derecha a lo largo de la curva. función decreciente; aquí las pendientes de las rectas tangentes están decreciendo al pasar de izquierda a derecha a lo largo de la curva. Sea una función f derivable en un intervalo I Cóncava hacia arriba si f es creciente en I. Cóncava hacia abajo si f es decreciente en I. f es: Como la f mide la razón de cambio de la pendiente de la recta tangente a la curva de la función f ; entonces, si f > 0 en el intervalo I, las pendientes de las rectas tangentes de f crecen, por lo tanto, la función es cóncava hacia arriba en I. Si f < 0, las rectas tangentes decrecen y la función es cóncava hacia abajo en I. Se establece entonces el siguiente criterio para la prueba de concavidad: Si f > 0 en el intervalo I, entonces f es cóncava hacia arriba en I. Si f < 0 en el intervalo I, entonces f es cóncava hacia abajo en I. Ejemplo 7 Analicemos la concavidad de la parábola y = 47 Solución: calculamos la segunda derivada: como y =, entonces y = que es siempre posi tiva, l o que si gni fi ca que la parábol a es cóncava haci a arriba.
Unidad 6 Figura 6.1. y = puntos P y Q 6.11 cambia de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo en P, y de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba en Q. Los puntos P y Q Ejemplo 8 1 3 Dada la función f ( ) 9 3: 3 a) Analicemos su concavidad. c) Cuáles son los etremos locales? Solución: la primera derivada de la función es: f () = 9 48 La segunda derivada es f () = a) La concavidad es hacia arriba cuando la segunda derivada es positiva, es decir, cuando: f () = > 0, > 0 La concavidad es hacia abajo cuando la segunda derivada es negativa, es decir, cuando: f () = < 0, < 0
Matemáticas Luego en f () = = 0, = 0 c) En los etremos locales la primera derivada se anula. Esto es: f () = 9 9 = 0 ( + 3) ( 3) = 0 = 3, = 3 Como la primera derivada en 4 es positiva, en 0 es negativa y en 4 es caracterizar los valores críticos: Creciente Decreciente Creciente + + En 3 se tiene (+) ( ), luego en = 3 hay un máimo; en 3 se pasa de ( ) (+), luego en = 3 hay un mínimo. 1 3 Figura 6.13. f ( ) 9 3 3 I ntervalos de concavidad: Para determinar los intervalos de concavidad utilizamos el siguiente procedimiento: 1. Calcular f. Determinar los valores de para los cuales f 49
Unidad 6 3. Calcular el signo de f en cada uno de los intervalos hallados en el paso anterior. Es decir, se calcula f (c), donde c es cualquier punto de prueba conveniente en el intervalo. 4. Aplicar entonces el criterio: Si f (c) > 0, f es cóncava hacia arriba en ese intervalo. Si f (c) < 0, f es cóncava hacia abajo en ese intervalo. local la concavidad de la curva es hacia abajo. En el punto donde eiste un mínimo local la concavidad es hacia arriba. La relación entre máimos locales y concavidad hacia abajo y mínimos locales y concavidad hacia arriba no es casualidad de la función del ejemplo 8, sino que es una situación general que se conoce como el criterio de la segunda derivada. El criterio de la segunda derivada. Sea c un valor crítico de f, es decir, f (c) = 0 y f eiste, entonces: Si f (c) > 0, entonces f tiene un mínimo local en = c. Si f (c) < 0, entonces f tiene un máimo local en = c. Si f (c y se utiliza el criterio de la primera derivada. El algoritmo para hallar etremos locales aplicando el criterio de segunda. derivada es: 1. Calcular f.. Igualar f a cero y determinar los valores para la variable en cuestión. Éstos son los valores críticos. 3. Calcular f. Evaluar en f los valores críticos. 4. De acuerdo con el signo de la f, se aplica el criterio. 50 Ejemplo 9 Empleamos el criterio de la segunda derivada para localizar los máimos y mínimos locales de la función f() = 4 + 3. Solución: localicemos los valores críticos igualando la primera derivada de la función a 0: 3 f '( ) 4 4 4( 1) 4( 1) ( 1) 0 Los puntos críticos son = 0, = 1, = 1
Matemáticas Calculamos la segunda derivada f () = 1 4 = 4(3 1) Se sustituyen los puntos críticos para ver los signos y aplicar el criterio de la segunda derivada. f (0) = 4 < 0 Se deduce que el punto crítico en = 0 es un máimo local. Como f ''(1) = 8 > 0 se concluye que el punto crítico = 1 es un mínimo local. Finalmente, como f '' = 1 es un mínimo local. f (0, 3) ( 1, ) (1, ) Figura 6.14. 4 + 3 Ejemplo 10 Dónde es creciente, decreciente, cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo la función f () = 4 + 8 3 + 18 8? Cuáles son los etremos relativos y los puntos de Solución: la primera derivada es: 3 f '( ) 4 4 36 4( 6 9) 4( 3) El valor de f () = 0, cuando = 0, = 3. Como f (0) = 8 y f ( 3) = 19, los puntos críticos son (0, 8) y ( 3,19). 51
Unidad 6 La segunda derivada (que se calcula a partir de la forma no factorizada de la primera derivada) es: f ()=1 + 48 + 36 =1( + 4 +3) = 1( + 3) (+1) Al calcular la segunda derivada en los valores críticos 0 y 3 se obtiene: f ''( 0) 36 0 minimo mínimo en (0, 8) f ''( 3) 0 punto de infleion en ( 3,19) Para determinar los intervalos de concavidad utilizamos el procedimiento e igualamos la segunda derivada a cero: f () = 0 1 + 48 + 36 = 0 1( + 3)( + 1) = 0 resolviendo, tenemos que en = 3 (obtenido anteriormente) y = 1 f son ( 3, 19) y ( 1, 3). Por lo tanto los intervalos a analizar son: i) (, 3), si tomamos = 4, f ( 4) = 1( 4 + 3)( 4 + 1) = 36, como f ( 4) > 0, entonces la función es concava hacia arriba en el intervalo indicado. ii) ( 3, 1), si tomamos =, f ( ) = 1( +3 )( + 1) = 1 como f ( ) < 0, entonces la función es cóncava hacia abajo en el intervalo. iii) ( 1, ), si tomamos = 0, f (0) = 1(0 + 3)(0 + 1) = 36, como f (0) > 0, entonces la función es cóncava hacia arriba en el intervalo. El análisis de crecimiento y decrecimiento (utilizamos criterio de primera derivada), así como de concavidad se resume en la tabla 1, en la cual observamos que se indica también el intervalo (0, ) pues en = 0 eiste un punto mínimo. 5
Matemáticas Tabla 6.1. Análisis del crecimiento y de la concavidad de la función f() = 4 + 8 3 + 18 8 Intervalo f '() f ''() Crecimiento o Concavidad de f decrecimiento de f (, 3) + Decreciente Cóncava hacia arriba ( 3, 1) Decreciente Cóncava hacia abajo ( 1, 0) + Decreciente Cóncava hacia arriba (0, ) + + Creciente Cóncava hacia arriba Figura 6.15. 4 + 8 3 +18 8 Ejemplo 11 Dónde es creciente, decreciente, cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo la función f () = 5 + 6? Cuáles son los etremos relativos y los Solución: f '( ) 5 4 5 0 0 4 Cuando = 0, f (0) = 6, por lo que el punto crítico es (0,6). Calculamos ahora la segunda derivada y evaluamos el valor crítico: 53 f () = 0 3,
Unidad 6 cuando = 0, f (0) = 0(0) 3 = 0, sabemos que si f = 0 eiste un punto de i) (, 0), si tomamos =, f ( ) = 0( ) 3 = 160, como f ( ) < 0, entonces la función es cóncava hacia abajo. ii) (0, ), si tomamos =, f () = 0() 3 = 160, entonces la función es cóncava hacia arriba. Se resume en la siguiente tabla: los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como el análisis de concavidad, siguiendo el procedimiento para determinar concavidad: Intervalos f () f () Crecimiento o Concavidad decrecimiento de f de f (, 0) + creciente cóncava hacia abajo (0, ) + + creciente cóncava hacia arriba Se concluye también que la función no tiene etremos relativos, siempre crece. (0, 6) 54 Figura 6.16. f () = 5 + 6
Matemáticas Ejercicio 3 1. f ( ) cóncava hacia arriba o hacia abajo. 6 es ( 3). Cal cula l os puntos de inflei ón y determi na la concavidad de f () = 4 + 3 3 + 1 En los ejercicios 3 a 8 emplea el criterio de la segunda derivada para calcular los máimos y los mínimos relativos de la función dada. 3. f () = 3 + 3 1 4. f () = 3 5 + 5 3 5. f () = ( 3) 6. f () = 10 4 3 + 3 4 7. f () = 4 + 3 8. f ( ) 9 En los ejercicios 9 y 10 determina dónde es creciente, decreciente, cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo la función dada. Determina los etremos 9. f () = 6 + 1 10. f () = 3 3 + 6.4. Máimos y mínimos absolutos En la mayoría de los problemas de optimización que aparecen en la práctica, el objetivo que se pretende es calcular el máimo absoluto o el mínimo absoluto de una función en cierto intervalo de valores. El máimo absoluto de una función en un intervalo es el mayor valor de la función en ese intervalo. El mínimo absoluto es el menor valor de la función en ese intervalo. El máimo absoluto y el mínimo absoluto de una función, cuando eisten, se presentan en los etremos locales o en los etremos del intervalo, razón por la cual sólo se requiere calcular los valores críticos de la función y calcular 55
Unidad 6 las imágenes de estos valores y las de los etremos de los intervalos donde se está trabajando, compararlos y tomar el mayor y el menor valor que corresponden al máimo y al mínimo absoluto. El siguiente ejemplo aclara el procedimiento. Ejemplo 1 Cuál es el máimo y el mínimo absolutos de la función f () = 5 5 4 + 1 en el intervalo 0 5? Solución: calculamos los valores críticos igualando la derivada de la función a 0: 4 3 f '( ) 5 0 3 5 ( 4) 0 Los puntos críticos son = 0, = 4. Calculamos las imágenes en los valores críticos y en los etremos del intervalo: f(0) = 1; f(4) = 55; f(5) = 1 Luego el máimo absoluto de la función en el intervalo dado, se da en = 0 y = 5 y es igual a 1. El mínimo absoluto se da en = 4 y vale 55. (0, 1) (5, 1) 56 (4, 55) Figura 6.17. f () = 5 5 4 + 1.
Matemáticas Ejemplo 13 Localiza el máimo y el mínimo absolutos de la función f ( ) en el intervalo 0 1 ( ) Solución: calculemos los valores críticos de la función. Reescribimos la función de la forma f () = ( + 1) y calculamos su derivada: f '( ) ( 1) 3 La derivada nunca se anula, pero no eiste en = 1, dado que el denominador se hace cero y además no es un punto del dominio de la función. Como la derivada de la función para los valores considerados, 0, es siempre negativa, se deduce que la función está siempre decreciendo, razón por la cual el máimo absoluto se presenta en = 0 y vale f (0) = 1, y no eiste mínimo absoluto. 1 Ejemplo 14 En cierta empresa el costo de la fabricación en pesos de artículos está dado por la función C() = 7 4 + 63. En qué nivel de producción será mínimo el costo medio por unidad? Solución: el costo medio de producción está dado por la función C ( ) 7 4 63 63 m 7 4. Como la variable que determina el número de artículos toma valores mayores que cero, para calcular el mínimo absoluto de la función costo medio, calculamos su derivada C '( m ) 7 63 y la igualamos a cero para obtener 7 = 63, por lo tanto = 3. Como el signo de la derivada es negativo antes de 3 y positivo después de 3 la función costo medio tiene un mínimo en 3, que es a su vez el mínimo absoluto de esta función. Por lo tanto, el costo medio mínimo se da cuando se han fabricado tres unidades y vale C m (3) = 1 + 4 + 1 = 84 pesos por unidad. 57 Ejercicio 4 Determina el máimo y el mínimo absoluto de la función dada en el intervalo indicado en los siguientes cinco ejercicios:
Unidad 6 1. f () = 3 + 3 1 7 en el intervalo 3 0. 3 1. f ( ) 30 0 en el intervalo 1 6. 16 3. f ( ) en el intervalo > 0. 4. f () = 3 6 + 5 en el intervalo 3 5. f () = /3 + 1 en el intervalo 1 6. En una fábrica se producen unidades de lámparas, el costo total de fabricación es C() = 3 + 5 + 75 pesos. En qué nivel de producción será mínimo el costo medio por unidad? 7. La compañía Electrón ha encontrado que su ingreso total anual I() (epresado en miles de pesos) es una función del precio (en pesos), dada por: I() = 50 + 500 a) Determina el precio que debe cobrarse para maimizar el ingreso total (lo que se busca es el máimo absoluto). b) Cuál es el valor máimo del ingreso total anual? 58 Ejercicios resueltos 1. Determina los intervalos donde la función dada es creciente y donde es decreciente: 3 f ( ) 1 Solución: calculamos la derivada de la función: ( 1)( 3) ( 3)( 1) f '( ) ( 1) 3 ( 1) ( 3)( 1) ( 1) Como el denominador es siempre positivo, el signo de la derivada es el mismo signo del numerador: ( + 3) ( 1)
Matemáticas Sobre un segmento de recta marcamos los valores en los cuales se anula el numerador: = 3, = 1 4 3 Y calculamos el signo de la derivada para un valor antes de 3, para un valor entre 3 y 1, y para un valor después de 1. Concretamente tenemos que: i) Signo f ( 4) = signo ( 4 + 3)( 4 1) = ( )( ) = + Como f () > 0 para < 3, entonces la función es creciente en (, 3). ii) Signo f (0) = signo (0 + 3)(0 1) = (+)( ) = Como f () < 0 para los valores tales que 3 < < 1, entonces la función es decreciente en ( 3, 1). iii) Signo f () = signo ( + 3)( 1) = (+)(+) = + Como f () > 0 para > 1 entonces f es creciente en el intervalo (1, ).. En la siguiente función halla los etremos locales de g() = ( 9) con el criterio de la segunda derivada. Solución: calculamos la derivada de la función: g () = ( 9)() y la igualamos a 0 para hallar los puntos críticos: ( 9)( ) 0 0 9 0 0 ( 3)( 3) 0 0 3, 3, 0 1 1 valores para analizar puntos criticos la función: g ''( ) 4( 9) 4( ) 1( 3) y calculamos su signo en cada uno de los valores críticos: 59 (i) g ( 1 ) = g ( 3) = 7 > 0 (ii) g ( ) = g (3) = 7 > 0 (iii) g ( 3 ) = g (0) = 36 < 0
Unidad 6 Aplicando el criterio de la segunda derivada, decimos que la función tiene valores mínimos relativos en = 3 y = 3 con un valor g ( 3) = g (3) = 0 A su vez tiene el máimo relativo en = 0 con valor g (0) = 81 3. Encuentra el máimo y el mínimo absoluto (si eisten) de la función 6 5 4 f ( ) 10 4 15 3, 1 1 60 Solución: como los valores absolutos de una función se dan en los etremos locales o en los etremos del intervalo, calculamos la derivada: f () = 60 5 + 10 4 + 60 3 y la igualamos a cero para hallar los valores críticos: 3 60 ( 1) 0 3 0 1 ( 1) 0 1 0 1
Matemáticas Ahora calculamos las imágenes de los valores críticos y de los etremos del intervalo para obtener los valores absolutos: f ( 0) 3 f ( 1) 4 f ( 1) 5 Por lo tanto el máimo absoluto de la función en el intervalo [ 1, 1] es 5 y se da cuando = 1; el mínimo absoluto es 3 y se da cuando = 0. 4. El comité de campaña de cierto político que aspira a la gobernatura de una entidad del país realizó un estudio que indica que su candidatura después de t meses de iniciada su campaña tendrá el apoyo de: 1 3 V( t) ( t 6t 63t 1 080)% de los votantes para 0 t 1 9 Si la elección es el de julio, cuándo debería anunciar el político su candidatura si necesita más de 50% de los votos para ser electo? Solución: se trata de hallar el máimo absoluto de la función V(t) en el intervalo 0 t 1, razón por la cual calculamos la derivada de la función: 1 V '( t) ( 3t 1t 63) 9 y resolvemos la ecuación V (t) = 0: 1 ( 3t 1t 63) 0 9 t 4t 1 0 ( t 7)( t 3) 0 t 7 t 3 Como t debe ser positivo, el único punto crítico que nos interesa analizar es t = 7. Calculamos las imágenes de la función en los etremos del intervalo t = 0, t =1 y en el valor crítico t = 7: 1 080 V( 0) % 37. 4%; V( 1) 33. 5%; V( 7) 50. 76% 9 61
Unidad 6 El porcentaje mayor lo alcanza en el 7º mes y es de 50.76% por lo que puede ganar la elección si lanza su candidatura el de diciembre del año anterior. Ejercicios propuestos Para las funciones siguientes encuentra los intervalos de crecimiento y 1. f () = 4 5 3 + 3 5. f () = ( 3. f () = ( 3 1) de la segunda derivada. 4. f () = ( 5) 5. f () = 4 3 + 4 6. f () = 3 3 + 3 7. En una fábrica se ha hecho un estimativo donde el costo total de utilización 1 de sus instalaciones está dado por C( ) 5 000 15, donde es el número de unidades producidas. A qué nivel de producción será mínimo el costo medio por unidad? En los ejercicios 8 y 9 encuentra el máimo y el mínimo absolutos (si eisten) de la función dada en el intervalo indicado. 1 3 8. f ( ) 9 en el intervalo 4 4 3 6 9. f ( ) 1 en el intervalo > 0
Matemáticas Autoevaluación 1. y 1 3 a) Positiva en (, 1) y en (3, ) y negativa en (1, 3). b) Positiva en (, ) y negativa en (, ). c) Negativa en (, ) y positiva en (, ). d) Ninguna de las anteriores.. y 4 0 a) Positiva en (, 0) y en (, ) y negativa en (0, ). b) Negativa en (, 0) y en (, ) y positiva en (0, ). c) Positiva en (, 1), en (, 0) y en (, ) y negativa en ( 1, ) y en (0, ). d) Ninguna de las anteriores. 63
Unidad 6 3. Son puntos críticos de la función f()= 4 4 3 +10: a) =10 b) = 0 y =3 c) = 3 d) Ninguno de los anteriores. 4. La segunda derivada de la función f () es positiva en (, 0) y negativa en (0, a) Creciente en (, 0) y decreciente en (0, ). b) Cóncava hacia abajo en (, 0) y hacia arriba en (0, ). c) Cóncava hacia arriba en (, 0) y hacia abajo en (0, ). d) Ninguna de las anteriores. 5. Si f () no eiste en = 0, entonces: a) En = b) En = 0 eiste un punto máimo. c) En = 0 eiste un punto mínimo. d) No se puede concluir. 64
Matemáticas Respuestas a los ejercicios Ejercicio 1 1. En el intervalo ( 1, ) decreciente, (, 3 ) decreciente, ( 3, 4 ) creciente, ( 4, 5 ) constante, ( 5, 6 ) creciente, ( 6, 7 ), decreciente.. En (, ) es creciente. 3. (, 0) ( 0, 1) ( 1, ) f es creciente. f esdecreciente. f escreciente. 4. (, 0) f esdecreciente. ( 0, 1) f escreciente. 5. ( ( 1, ) ( 0, ) f esdecreciente., 0) decreciente. creciente. 6. (, 1) f es decreciente. ( 1, 0) f es creciente. (0, 1) f es decreciente. (1, ) f es creciente. 7. (, ) f es decreciente. (, 0) f es creciente. (0, ) f es decreciente. (, ) f es creciente. 8. I() es creciente si < 50 y decreciente si > 50. 65 9. U() creciente si < 40 y decreciente si > 40. 10. C() es creciente en (, ).
Unidad 6 Ejercicio 1. (, ) f es creciente = máimo local. (, 1) f es decreciente (1, ) f es creciente = 1 mínimo local.. (, 0) f es decreciente = 0 mínimo local. (0, ) f es creciente (0, 8) 3. (, ) creciente No hay máimo ni mínimo local. 66 4. (, 0) creciente (0, 4) decreciente = 0 máimo local. (4, ) creciente = 4 mínimo local.
Matemáticas 5. (, ) creciente = máimo local. (, 4) decreciente = 4 mínimo local. (4, ) creciente 6. (, ) f es decreciente = mínimo local. (, 0) f es creciente = mínimo local. (0, ) f es decreciente = 0 máimo local. (, ) f es creciente (0,.7) (, 0) (, 0) 7. (, 0) f es creciente = 4 mínimo local. (0, 4) f es decreciente (4, ) f es creciente. (4, ) 67 8. En t = 1 se hace mínima.
Unidad 6 Ejercicio 3 1. (, 0) ( 0, ) concava hacia arriba. concava hacia abajo.. (, 1) ( 1, 1 ) ( 1, ) concava hacia arriba. concava haciaabajo. concava hacia arriba. = 1 = 1 3. Es mínimo relativo en = 1 Es máimo relativo en = (, 13) (1, 14) 68 4. Es mínimo relativo en = 1 Es máimo relativo en = 1 5. Es mínimo relativo en = 3 Es máimo relativo en = 1
Matemáticas 6. Máimo relativo en = 1 7. Mínimo relativo en = 8. Mínimo relativo en = 3 Máimo relativo en = 3 (3, 3) ( 3, 3) 9. (, 3) f esdecreciente. ( 3, ) f es creciente. f es concavahaciaarriba. Hay un minimo relativo en 3 69 (3, 8)
Unidad 6 10. (, 0) ( 0, 1) f es creciente y concava hacia abajo. f es dec reciente y concava hacia abajo. ( 1, ) f es decreciente y conc ava hacia arriba. (, ) f escreciente y concava hacia arriba. 1 hay punto de infleion. 0 maimo relativo. minimo relativo. (0, ) (1, 0) (, ) Ejercicio 4 1. = máimo absoluto. = 1 mínimo absoluto.. = máimo absoluto. = 5 mínimo absoluto. 70 3. = mínimo absoluto. 4. = mínimo absoluto. = 0 máimo absoluto.
Matemáticas (0, 5) (, 3) 5. = 8 mínimo absoluto (8, 3) 6. Al producir 5 lámparas. 7. a) El precio máimo es de $5.00. b) El ingreso máimo total anual es de $1 50.00. 71
Unidad 6 Respuestas a los ejercicios propuestos 1. (, 1) creciente ( 1, 1) decreciente = 1 mínimo. (1, ) creciente = 1 máimo.. (, 0) creciente = 0 máimo. (0, 3) decreciente = 3 (3, ) creciente = 3 mínimo. (0, 0) 3, 7 (3, 7) 3. (, 1.6) decreciente. ( 1.6, 0) creciente. (0, ) decreciente. 7 (.38, ) creciente. = 1.6 mínimo. = 0 máimo. =.38 mínimo.
Matemáticas 4. = 5 mínimo. 5. = 3 mínimo. (3, 7) 6. = 0 máimo. = mínimo. 7. Cuando se producen 100 unidades. 8. = 3 mínimo absoluto. = 3 máimo absoluto. 9. = 1 mínimo absoluto. Respuestas a la autoevaluación 1. c). a) 3. b) 4. c) 5. d) 73