MUESTREO 1. Supongamos que en un centro escolar los alumnos y docentes se distribuyen de acuerdo con la tabla siguiente: 3 ESO 4 ESO 1º Bach 2º Bach Prof Hombres 85 80 100 83 24 Mujeres 95 96 110 91 31 Si quieres realizar una encuesta entre ellos de tamaño n = 80 por el método de muestreo estratificado por sexo y nivel de trabajo, a cuantas personas de cada clase deberás preguntar? 2. En un instituto la estatura del alumnado sigue una distribución normal N(170,8). a) Si elegimos un alumno al azar que probabilidad hay de que su estatura esté comprendida entre (168-164). b) Si elegimos al azar una muestra de 25 alumnos y obtenemos su estatura media Qué probabilidad hay de que no supere los 169cm. c) Si el instituto tiene 900 alumnos de los cuales 396 son chicos Cómo elegiremos la muestra si queremos especificarla por sexos? 3. A lo largo de las diferentes pruebas de selectividad se ha observado que la distribución de las calificaciones sigue una ley normal de media 5 3 puntos y desviación típica 0 8. a) Cuál es la probabilidad de que la nota de un estudiante elegido al azar sea superior a 5 7? b) Cuál es la probabilidad de que una muestra de 49 alumnos tenga una media superior a 5 7? 4. Con los mismos datos del problema anterior, calcula el intervalo de probabilidad de las muestras de tamaño 49 con una confianza de:. a) 51 6% b) 76 2% c) 90 9% 5 El peso de los adultos de una población numerosa se distribuye normalmente con una media 65 Kg y desviación típica 12 Kg: Se elige una muestra de 30 individuos al azar. Calcula la probabilidad de que la media de esa muestra sea: a) Mayor de 60 Kg; b) Mayor de 68 Kg; c) Esté en el intervalo (60, 68). 6. El perímetro torácico de los individuos adultos (hombres) en una población se distribuye según la ley normal N(90 6) cm. a) Cómo se distribuye según las medidas de las muestras de tamaño 81 extraídas de esa población? b) Cuál es la probabilidad de que una de esas medias sea menor de 87 cm? Y de que sea mayor de 91 cm? 7. La altura de los mozos de un llamamiento al Servicio Militar sigue una distribución normal media 174 y desviación típica 10 cm. Si se halla la media x de una muestra de tamaño 144, calcula P(173 x 175). 8. El tamaño de las parcelas de una determinada provincia no se distribuye normalmente. Si su medida es 3 ha y su desviación típica es 0 6 ha, cual es la probabilidad de que, elegidos al azar, 225 propietarios tengan, al menos, un total de 652 5 ha? (Sugerencia: determina antes la media de esas parcelas.) 9. En las elecciones a decano de una facultad se representaron dos candidatos: A y B. El resultado de la votación fue del 60% para a 40% para B. Si antes de la elección se hizo una encuesta a 36 votantes, cuál habría sido la probabilidad de acertar el ganador? ( Sugerencia: P(votar A)>0 5.) 10. Halla la probabilidad de que en los 200 próximos nacimientos se produzcan en tu ciudad: a) Menos del 40% sean niños; b) entre el 48% y el 52% sean niños.
Nota: La probabilidad (a posteriori) de que un recién nacido sea niña es p = 0 485.) 11. De 1000 muestras de 200 niños cada una, en cuantas de ellas cabe esperar? : a) Menos del 40% de niños; b) Entre el 48 y el 52% de niños? Supónganse equiprobables los sucesos niño / niña 12. La cantidad de dinero que llevan (en sus bolsillos) las personas de una determinada ciudad se distribuye normalmente, con media µ = 3000 Ptas. y σ = 600 Ptas. cuál es la probabilidad de que un grupo de 125 individuos lleve un total inferior a 352500 Ptas. 13. Supónganos que el 25% de los jóvenes carecen de sensibilidad ecológicas. Calcula el intervalo de probabilidad al 99%, para la proporción de insensibles en muestras de tamaño 100. 14. Al acto de presentación de unas oposiciones asistió el 65% de los candidatos. Si se hubiesen tomado, elegidos al azar, 81 opositores, cuál es la probabilidad de que se presenten menos de 55? 15. El 40% de los ciudadanos de una región se opone a la construcción de una presa. Si se pregunta a 60 personas de esa región, qué probabilidad hay de que ganen los que se oponen? 16. Cuantos unos deben de salir al lanzar un dado 200 veces para que con un nivel de confianza del 95% podamos asegurar que el dada no está trucado? 17. Para una muestra, de tamaño 81, de alumnas de segundo de bachillerato se obtuvo una estatura media de 167 cm. Si por trabajos anteriores se sabe que la desviación típica de la altura de la población de chicas de segundo de bachillerato es de 8 cm, construye los intervalos de confianza para la estatura media de la población. a) al 90%; b) al 95%. 18. Para la población de alumnas de segundo de bachillerato visto en el problema anterior: a) Qué error máximo se admite para la media poblacional en cada una de las estimaciones hechas?, al 90% y 95% de confianza.) b) Qué tamaño muestral sería necesario en cada caso si se admite un error de 1cm? 19. Una investigación examina los gastos de consumo de una muestra de 64 familias españolas elegidas al azar. La media muestral es de 1 2 millones de pesetas y la desviación típica s = 0 2. Construir el intervalo de confianza 95% para todas las familias españolas. 20. En 1995, un informe de uno de los grandes bancos españoles afirmaba, a partir de una muestra de tamaño n = 1200, que el 65 % de las familias españolas tenía dificultades económicas para llegar a fin de mes. Construye el intervalo de confianza al 95% para la totalidad de las familias españolas. 21. En un instituto, de los 250 alumnos de Bachillerato 180 de ellos eligen la religión católica como optativa. En el supuesto de que esos alumnos sean representativos de su ciudad, determina el intervalo de confianza para la proporción de los alumnos que eligen tal opción en toda la población, con una confianza del 99%. 22. Un granjero quiere conocer el peso ganado por sus pollos tras un periodo de 15 días con una nueva alimentación. Estima el número de pollos que habrá que pesar para conocer el peso medió ganado por cada pollo, con un error máximo de 50g y una confianza del 90%, si por estudios sobre nutrición se sabe que la desviación típica del aumento de pesos es de 150 gramos. 23. En una muestra tomada al azar, de 400 personas se encontraron 85 que no tenían sensibilidad ecológica. Calcula el intervalo de confianza al 99% para la proporción de insensibles en toda la población.
24. Debido al gran número de aspirantes, unas oposiciones se celebran en distintas aulas a la vez. En una de esas aulas, se esperaba un total de 80 opositores; si se presentaron sólo 60 de ellos, calcula el intervalo de confianza para la proporción de presentados en su totalidad para un nivel de significación del 1%. 25. Los murciélagos, al volar, perciben los objetos emitiendo agudos chillidos y escuchando el eco. Para determinar la distancia a la que localizan los objetos se toman 32 murciélagos y se les sueltan en una zona con un solo obstáculo. Sabiendo que la distancia media de viraje fue de 6 5 m, con una desviación típica de 0 5 m determina el intervalo de confianza para la distancia de viraje ante obstáculos de la población de murciélagos, con una significación de 0 05. 26. Una asociación ecologista se opone a la construcción de una presa aduciendo que la mayor parte de los habitantes de la zona se oponen también a su construcción. Para comprobar tal opinión se realiza un estudio preguntando a 400 ciudadanos; de ellos, están en contra de la presa 220. Para un nivel de confianza de 95%, Puede asegurarse que la mayoría de los habitantes de la zona se oponen a la construcción de la presa?. 27. En una población de 3000 familias, con hábitos de consumo muy similares, se ha decidido hacer una investigación por muestreo para conocer las siguientes características: 1.ª Porcentaje de posesión de ordenador. 2.ª Consumo medio de aceite por mes. 3.ª Total de kilogramos de carne consumidos en un mes por las 3000 familias. Para la pregunta 1.ª se admite un error del 4%, en la 2.ª de 0 5 litros; en la 3.ª de 1200 kg. Dichas características, que suponemos se distribuyen normalmente, queremos estimarlas con un nivel de confianza del 95%. Por datos obtenidos en una encuesta anterior, la proporción de familias con ordenador era del orden del 23%, y las desviaciones típicas del consumo de aceite y carne eran de 2 litros y de 5 kg,, respectivamente. Se pide: a) Qué tamaño de la muestra sería necesario para hacer cada una de las tres estimaciones? b) Si para la estimación de las tres características se utilizase el menor de los tamaños encontrado, qué error se cometería al medir cada una de las características? 28. En una factoría automovilística se quiere conocer el número de horas perdidas por los empleados debidas a retrasos o salidas adelantadas en la jornada laboral. Para ello se realiza un muestreo entre 60 de los 800 empleados, encontrando que el número medio de horas al mes perdidas por esos motivos es de 8 3, con desviación típica 1 2. Estima el número total de horas perdidas al mes por los 800 empleados por las razones indicadas, con una confianza del 95%. 29. En cierta población, el coeficiente de inteligencia tiene una desviación típica σ = 22. Qué tamaño debe tener una muestra para que el intervalo de confianza de la media, al 95%, tenga un error inferior a 3 puntos? 30. En una encuesta telefónica realizada a 70 familias, 15 declararán que ven determinado programa televisivo. a) Cuál es la proporción en el conjunto de las familias, con una confianza de 95%? b) Si con la misma confianza se admite un error máximo del 2%, a cuántas familias habrá que encuestar? 31. junio 2002 La duración de las llamadas de teléfono, en una oficina comercial, sigue una distribución normal con desviación típica de 10 segundos. Se hace una encuesta entre 50 llamadas y la media de duración obtenida es de 35 segundos. Calcular un intervalo de confianza al 99% para la duración media de las llamadas. 32. septiembre 2001 El peso de los perros adultos de una cierta raza es una variable aleatoria que se distribuye normalmente con desviación típica 0,6 kg. Una muestra aleatoria de 30 animales ha dado un peso medio de 7,4 kg.
(a) Calcúlese un intervalo de confianza al 99% para el peso medio de los perros adultos de esta raza. (b) Qué tamaño mínimo debe tener la muestra para tener una confianza del 95% de que la media muestral no se diferencie en más de 0,3 kg de la media de la población? 33.. septiembre 2001 En un laboratorio se obtuvieron seis determinaciones del ph de una solución, con los resultados siguientes: 7 91 7 94 7 90 7 93 7 89 7 91 Se supone que la población de todas las determinaciones del ph de la solución tiene una distribución normal de media desconocida con desviación típica igual a 0,02. (a) Determínese un intervalo de confianza al 98% para la media de todas las determinaciones del ph de la misma solución obtenidas con el mismo método. (b) Con el mismo nivel de confianza anterior, cuál debe ser el tamaño mínimo de la muestra para que la amplitud del intervalo de confianza sea a lo sumo 0,02? 34. septiembre 2000 Se supone que los gastos corrientes por empleado de los distintos departamentos de una empresa siguen una distribución normal con desviación típica de 50.000 ptas. De los datos disponibles para 16 departamentos se ha obtenido un gasto medio por empleado de 225.000 ptas. Determínese un intervalo de confianza al 90% para el gasto corriente medio por empleado en la empresa. 3. 35. junio 2000 Una variable aleatoria X tiene distribución normal siendo su desviación típica igual a (a) Si se consideran muestras de tamaño 16, qué distribución sigue la variable aleatoria media muestral? (b) Si se desea que la media de la muestra no difiera en más de 1 unidad de la media de la población, con probabilidad de 0,99; cuántos elementos, como mínimo, deberían tomar en la muestra? 36. septiembre 1999 Una variable aleatoria tiene una distribución normal de media µ y desviación típica σ. Si se extraen muestras aleatorias simples de tamaño n, a) Qué distribución tiene la variable aleatoria media muestral X? b) Si se toman muestras de tamaño n = 4 de una variable aleatoria X con distribución N(165, 12) calcúlese P( X > 173 7). 37. El peso de los pollos de 2 meses que expresaremos en gramos, en una granja avícola sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica de 200gr. Para estimar el peso medio elijo al azar 16 pollos que pesan : 1600, 1680, 1720, 1740, 1800, 1850, 1860, 1880, 1900, 1940, 1990, 2030, 2070, 2100, 2160, 2240. a) Construye a partir de esa muestra un intervalo de confianza al 90%, para el peso de los pollos de esa granja. b) Si tomara cómo peso de medio de los pollos de la granja el que hemos obtenido de la granja Qué error máximo se cometería?. c) Si quisiera hacer disminuir el error a 20 gramos como mucho De que tamaño debería formar la muestra a estudiar?. 38. (Puntuación máxima 2 puntos) Se está realizando una encuesta sobre el nivel de conocimientos generales de los estudiantes de Bachillerato de Madrid. Para ello, se ha elegido una muestra aleatoria de 9 de éstos estudiantes, a los que se ha realizado un examen. Las calificaciones obtenidas han sido las siguientes: 7 8 6 5 5 4 7 1 5 0 8 3 5 6 6 6 6 2. Se supone que la variable aleatoria objeto de estudio sigue una distribución normal de desviación típica conocida e igual a 1. Se pide:
a) Un intervalo de confianza al 98% para la media de las calificaciones en el examen b) El tamaño mínimo que debería tener la muestra, en el caso de admitir un error máximo de 0,5 puntos, con un nivel de confianza del 95%.