Ejercicios propuestos 99 1 0 0 0 x 1 0 1 0 0 x 2 0 0 1 0 x 3 x 2 0 0 0 1 x 4 + x 1 +4x 2 + x 3 x 2 0 0 0 1 x 5 x 2 1 0 0 0 x 1 0 1 0 0 x 2 0 0 1 0 x 3 x 2 0 0 0 1 x 4 + x 1 +4x 2 + x 3 x 2 0 0 0 0 x 5 x 2 (x 4 + x 1 +4x 2 + x 3 x 2 ) de donde x 5 x 2 (x 4 + x 1 +4x 2 + x 3 x 2 ) = 0, es decir, la ecuación implícita de F + G es x 1 +4x 2 + x 3 + x 4 x 5 =0 2.10 Ejercicios propuestos Ejercicio 2.10 Resolver, utilizando el método de reducción de Gauss, el siguiente sistema: x + 2y + z + 2t + 4u = 4 2x 4y z 3t 6u = 6 2x + 4y + t + 4u = 4 3x + 6y + z + 4t + 7u = 8 (x, y, z, t, u) =(2 2λ, λ, 2, 0, 0). Ejercicio 2.11 Resolver, utilizando el método de reducción de Gauss, el siguiente sistema homogéneo: 2x + y z + t = 0 x + 2y + z t = 0 3x y 2t = 0 (x, y, z, t) =λ(1, 1, 3, 2).
100 Sistemas de ecuaciones lineales. Espacios vectoriales. Ejercicio 2.12 Discutir, y resolver en su caso según los valores de a, los sistemas: x y = 2 3x + 2y = 4 4x + y = a ax + ay + z = 1 x + ay + z = a x + y + az = a 1.- Compatible determinado si a =6con(x, y) =( 8 / 5, 2 / 5) Incompatible si a 6. 2.- Si a 1ya 1 Compatible determinado (x, y, z) =( 1, 1, 1) Si a = 1 Compatible indeterminado x = 1, y = zλ. Si a = 1 Compatible indeterminado x =1 λ μ, y = λ, z = μ. Ejercicio 2.13 Discutir, y resolver en su caso, según los valores de a y c, el sistema: x y z + at = c x + y + z + t = 0 x y + z t = 12 x + y z + t = 8 Si a 1 Comp. det. con (x, y, z, t) =(2, 6a c 2, 4, c 4 1+a 1+a ). Si a = 1 y c 4 Incompatible. Si a = 1 y c = 4 Comp. Indet. con (x, y, z, t) =(2, 6 λ, 4,λ). Ejercicio 2.14 Estudiar, según los valores de m, el siguiente sistema: 6x + 18y 2mz = 0 7x 2y 4z = 0 4x + 10y 6z = 0 Si m = 5 Comp. indet. con (x, y, z) =(2λ, λ, 3λ). Si m 5 Incompatible.
Ejercicios propuestos 101 Ejercicio 2.15 Estudiar, y resolver el sistema: 4x + 2y + z = λx 2x + 4y + 2z = λy 2x + 4y + 8z = λz Si λ 4 y λ 6± 3 2 Incompatible. Si λ = 4 Comp. det. con (x, y, z) =(2α, α, 2α). Si λ =6+3 2 Comp. det. con (x, y, z) =( 2 2 α, ( 2 1)α, α). 2 Si λ =6 3 2 Comp. det. con (x, y, z) =( 2+ 2 α, ( 2+1)α, α). 2 Ejercicio 2.16 De un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas se sabe que admite las soluciones (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) y que además uno de los coeficientes del sistema es no nulo. Hallar, en función de los parámetros que sean necesarios, todas las soluciones del sistema. (x, y, z) =(1 λ μ, λ, μ). Ejercicio 2.17 Factorizar A en LU y escribir el sistema triangular superior Ux = c que aparece después de la eliminación, resolviéndolo, para: 2 3 3 2 A = 0 5 7 b = 2 6 9 8 5 1 0 0 0 1 0 L = 3 0 1 solución (1, 1, 1). Ux = c 2 3 3 0 5 7 0 0 1 x = Ejercicio 2.18 En R 3 se considera el sistema de ecuaciones lineales: 4x + (α +8)y = 3α 6 αx 2αy + 3z = 0 2x + 8y z = 2α 4 Discutirlo y resolverlo según los valores del parámetro α. 2 2 de 1
102 Sistemas de ecuaciones lineales. Espacios vectoriales. Si α 2 y α 24 Comp. det. con (x, y, z) = α 2 (12, 3, 2α). α +24 Si α = 2 Comp. indet. con (x, y, z) =( 5λ, 2λ, 6λ). Si α = 24 Incompatible. Ejercicio 2.19 Dados los vectores v 1 =( 1, 0, 4, 1), v 2 =(3, 2, 0, 2) y v 3 = (2,a, 2, 0) de R 4, determinar qué condición ha de verificar a para que v =(2, 3, 2, 3) sea combinación lineal de v 1,v 2 y v 3. a = 3 / 5. Ejercicio 2.20 Determinar si los vectores del espacio vectorial R 4 : v 1 =(0, 1, 2, 1), v 2 =( 1, 7, 2, 4), v 3 =(1, 3, 2, 1) y v 4 =(1, 0, 0, 1) son linealmente independientes. En caso de no serlo, encontrar la relación de dependencia. v 4 = 1 / 3(v 1 v 2 +2v 3 ). Ejercicio 2.21 Estudiar, según los valores de m y n, la dependencia, o independencia, lineal de los siguientes vectores: a) u =(1, 1, 0,m), v=(3, 1,n, 1) y w =( 3, 5,m, 4) b) (1, 2, 1, 0), (1, 3, 2, 2), (0, 2, 1, 5), (2, 0, 7, 1) y (4, 5, 6,m) a) Son linealmente dependientes si m = 2 yn =1. b) El cuarto vector de combinación lineal de los tres primeros y el último también lo es para m = 3 siendo independiente de los tres primeros si m 3. Ejercicio 2.22 Sea {u 1,..., u n } un conjunto de vectores linealmente independientes de un espacio vectorial V. Demostrar que el conjunto de vectores {v 1,..., v n }, donde v 1 = u 1, v 2 = u 1 u 2, v 3 = u 1 u 2 u 3,..., v n = u 1 u 2 u n, es linealmente independiente. Véase el Ejercicio 2.3
Ejercicios propuestos 103 Ejercicio 2.23 Calcular el rango de las siguientes matrices: A = 1 1 2 1 1 0 2 1 1 B = rga =rgb =rgc =2. 1 2 3 4 5 1 2 1 3 2 0 4 4 7 7 C = 1 2 3 1 1 1 3 3 5 0 3 4 Ejercicio 2.24 Sea A = {(0,x,y): x, y R} R 3. Se pide: a) Demostrar que A es un subespacio vectorial de R 3. b) Probar que si B = {(0, 1, 0), (0, 1, 1)} y C = {(0, 1, 1), (0, 1, 2), (0, 2, 1)} entonces A = L (B) =L (C). ParaverqueA es una variedad lineal de R 3 basta ver que cualquier combinación lineal de vectores de A también pertenece a A. Para probar que A = L (B) = L (C) basta ver que las tres son variedades de dimensión 2 generadas por los vectores e 2 y e 3 de la base canónica de R 3. Ejercicio 2.25 En R 3 se consideran los conjuntos: A = {(1, 0, 1)}, B= {(1, 0, 0), (0, 1, 1)} y C = {(1, 0, 0), (0, 0, 1)} Sean U = L (A), V= L (B) yw = L (C). Se pide: a) Estudiar si U y V son subespacios suplementarios. Análogamente, para V y W. b) Expresar, si es posible, (2, 1, 2) como suma de un vector de U y otro de V. La descomposición es única? c) Expresar, si es posible, (3, 0, 3) como suma de un vector de V yotrode W. La descomposición es única? U y V son suplementarias, V y W no lo son, por lo que la descomposición pedida del vector (2, 1, 2) es única mientras que la del vector (3, 0, 3) no lo es. Ejercicio 2.26 Sea P n [x] el conjunto de los polinomios de grado menor o igual que n con coeficientes reales.
104 Sistemas de ecuaciones lineales. Espacios vectoriales. a) Demostrar que P n [x] esunr-espacio vectorial. b) Demostrar que {1, x,x 2 } es una base de P 2 [x]. Generalizar a una base de P n [x]. Ejercicio 2.27 En R 4 se consideran los vectores {u 1,u 2,u 3,u 4 }, siendo: u 1 =(1, 2, 3, 4), u 2 =(2, 3, 4, 1), u 3 =(3, 4, 1, 2) y u 4 =(4, 1, 2, 3) Probar que forman una base de R 4 y hallar, respecto de ella, las coordenadas de v =(1, 1, 1, 1). El determinante formado por las coordenadas de los cuatro vectores es no nulo, por lo que forman una base de R 4. Las coordenadas de v respecto a dicha base son ( 1 / 10, 1 / 10, 1 / 10, 1 / 10). Ejercicio 2.28 Probar que el conjunto de las matrices de orden m n, con elementos reales, es un R-espacio vectorial. Determinar una base y la dimensión de dicho espacio vectorial. Una base es el conjunto de las matrices m n que tienen un único elemento igual a 1 y el resto de sus elementos ceros. Dado que existen m n posiciones para asignar el valor 1, la dimensión es m n. Ejercicio 2.29 Sea V un R-espacio vectorial y B = {e 1,e 2,e 3,e 4 } una base de V. Para cada uno de los subespacios engendrados por los vectores que se expresan calcular, la dimensión, una base contenida en el sistema de generadores dado y la expresión de los restantes vectores respecto de la base. v 1 = 2e 1 3e 2 + e 3 L 1 : v 2 = 6e 1 5e 2 + 2e 4 v 3 = 2e 1 + e 2 2e 3 + 2e 4 { u 1 = e 1 e 2 + e 3 e 4 u 2 = e 1 + e 2 + e 3 + e 4 L 2 : u 3 = e 2 + e 3 + e 4 u 4 = e 1 + e 2 + e 4 dim L 1 =2, B 1 = {v 1,v 2 } y v 3 = v 2 2v 1 dim L 2 =4, B 2 = {u 1,u 2,u 3,u 4 }
Ejercicios propuestos 105 Ejercicio 2.30 Determinar en R 3 un subespacio suplementario de cada uno de los subespacios engendrados por los siguientes vectores: a) u =( 3, 1, 0) b) u =( 1, 2, 1), v=(2, 4, 3) c) u =( 1, 2, 1), v=(2, 1, 2), w=(1, 1, 1) a)l =< e 2,e 3 > b) L =< e 1 > c) L =< e 1 >. Ejercicio 2.31 Dados los siguientes subespacios de R 4 por sus ecuaciones paramétricas, obtener sus ecuaciones implícitas: x 1 = α + β x 2 = β + μ L 1 : x 3 = α + μ x 4 = α + β + μ L 1 x 1 + x 2 + x 3 2x 4 =0, L 2 { x 1 = 2α β x 2 = α + 2β L 2 : x 3 = α + β x 4 = β x 1 2x 2 +5x 4 =0 x 2 + x 3 3x 4 =0 Ejercicio 2.32 Se consideran en R 4 los subespacios F y G engendrados respectivamente por <u 1,u 2,u 3 > y <v 1,v 2,v 3 >, siendo: u 1 =(3, 3, 1, 1) u 2 =(1, 3, 1, 1) u 3 =(3, 1, 1, 3) v 1 =(2, 2, 0, 1) v 2 =(2, 0, 1, 1) v 3 =(1, 1, 1, 1) Hallar las ecuaciones de F G yde F + G. { x 1 3x 2 +4x 4 =0 F G F + G = R 4. x 3 =0 Ejercicio 2.33 Dar una condición necesaria y suficiente para que: <v 1,v 2,...,v n > y <v 1,v 2,...,v n,w > sean las mismas variedades lineales. Quew sea combinación lineal de {v 1,v 2,...,v n }.
106 Sistemas de ecuaciones lineales. Espacios vectoriales. Ejercicio 2.34 En R 4 se consideran las variedades lineales: L 1 =< (1, 1, 2, 0), (1, 2, 1, 3), (2, 2+α, 3+2α, 3) > x 1 + x 2 + (β 1)x 3 + x 4 = 0 L 2 : x 1 + x 2 + + x 4 = 0 x 1 + x 2 2βx 3 = 0 Estudiar, en función de los valores de α y β, L 1 + L 2 y L 1 L 2, dando sus ecuaciones, dimensiones y bases. a) Si α = 1 yβ =10α 1 yβ 1L 1 L 2 = {0} y L i + L 2 = R 4. b) Si α = 1 yβ 1L 1 L 2 = {0} L 1 + L 2 x 1 x 2 + x 4 =0con B L1+L2 = {(1, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 0)} y dim(l 1 + L 2 )=3. c) Si α 1 yβ =1B L1 L2 = {(9, 13, 2, 4)} y dim(l 1 L 2 )=1con x 1 + x 2 + x 4 =0 L 1 L 2 2x 3 + x 4 =0 y L 1 + L 2 = R 4. 4x 1 +2x 2 x 3 3x 4 =0 Ejercicio 2.35 En R 4 se consideran las variedades lineales: L 1 =< (1, 1, 0, 2), (0, 2, 1, 1), (2, 0, 1,α) > x 1 x 2 x 3 x 4 = 0 L 2 : 2x 1 3x 3 x 4 = 0 2x 2 5x 3 + αx 4 = 0 a) Hallar α para que L 1 L 2 esté engendrado por un único vector. Existe algún α para el cuál L 1 L 2 tenga una base de dos elementos? b) Para los valores anteriores de α, hallar tres bases B 0,B 1 yb 2 de L 1 L 2, L 1 y L 1 + L 2, respectivamente, de modo que B 0 B 1 B 2. a) Si α 3 es dim(l 1 L 2 ) = 1 mientras que si α =3esL 1 L 2 = {0}. No existe ningún caso en el que dim(l 1 L 2 )=2