MATEMÁTICAS Y B O L E T Í N 23.11.2013 No. 294 COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS EL CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO DE RADIO DOS El círculo trigonométrico de radio 2 lo podemos utilizar para determinar los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos de 30, 45, 60 y sus múltiplos. Construcción: 1) Tracemos una circunferencia con centro en el origen y radio igual a 2 2) Tracemos los vectores OB, OC y OD que forman ángulos de 30, 45 y 60 respectivamente con el vector i, y cuyo módulo es igual a 2.
3) Consideremos los vectores unitarios para OB, OC y OD. OB u 3 1 cos30,cos 60, MB 2 OC u OD u cos 45,cos 45, 1 3 cos 60,cos30, Los vectores OB, OC y OD son: OB 2OB u 3,1 OC 2OC u 2, 2 OD 2OD u 1, 3 Las coordenadas de los puntos B, C y D son: B 3,1, C 2, 2 y D 1, 3. 4) Por simetría se obtienen los puntos F, G, H, J, K, L, N, P y Q :
Para determinar los valores de las funciones trigonométricas para un ángulo hacemos uso de la siguiente: 3 cualquiera Definición.- Sea P x, y un punto cualquiera (que no sea el vértice) del lado terminal de un ángulo y sea r 2 la distancia del punto P al vértice (al origen). Las seis funciones trigonométricas se definen como: sen cos tan ordenada y distancia r csc distancia r ordenada y abscisa x distancia r sec distancia r abscisa x ordenada y abscisa x cot abscisa x ordenada y Para calcular el valor de cada una de las seis funciones trigonométricas para el ángulo de 0, consideramos al punto A 2, 0 y se tiene: sen 0 y 0 r 2 0 csc0 r 2 y 0 cos0 x 2 r 2 1 sec0 r 2 x 2 1 tan 0 y 0 x 2 0 cot 0 x 2 y 0 Para el ángulo de 30 consideramos el punto B 3,1 y se tiene: sen 30 y 1 r 2 csc 30 r 2 y 1 2 cos30 x 3 r 2 sec30 r 2 x 3 tan 30 y 1 x 3 x 3 cot 30 y 1 3
4 De manera similar se obtienen los valores para los otros ángulos. Por ejemplo, para el ángulo de 210 consideramos el punto J 3, 1 y se tiene: y 1 r 2 sen 210 csc 210 2 r 2 y 1 cos 210 x 3 r 2 sec 210 r 2 x 3 tan 210 y 1 1 x 3 x 3 3 cot 210 1 3 y LUIS HUMBERTO SORIANO SÁNCHEZ PROFESOR DE LA FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM SÉ FELIZ SIEMPRE!! Todos en algún momento hemos experimentado diversas emociones como son la tristeza, el enojo, la angustia, y también las de género positivo como son el orgullo, la gratitud, la felicidad, etc. Enfocándonos en ésta última, podemos mencionar que la felicidad es una emoción o estado de ánimo que se deriva de una satisfacción. Quien está feliz se siente a gusto, contento y complacido, y lo mejor es que muchas veces sin darnos cuenta esto se irradia y se contagia dando como resultado un agradable ambiente laboral, escolar o familiar. La felicidad es un estado del ánimo que supone una satisfacción. No existe un índice de felicidad o una categoría que haya que alcanzar para que alguien se considere como una persona feliz, sin embargo habrá veces en que alguna noticia o situación a veces nos emocione demasiado y otras no tanto. El ser humano suele sentir felicidad cuando alcanza sus objetivos y cuando logra solucionar los distintos retos que se enfrenta en su vida cotidiana. En los casos en que esto no se logra, se produce la frustración que lleva a la pérdida de la felicidad. Por ello es importante también saber controlar las emociones sobre todo cuando las cosas no salen exactamente como habíamos planeado. Las personas que se sienten auto realizadas y plenas son más serenas y estables, ya
que logran un equilibrio entre las cargas emocionales y las cargas racionales. Hay quienes 5 creen o sienten que la felicidad está relacionada con los bienes materiales y con el dinero, por eso existen frases como El dinero no hace la felicidad, pero ayuda porque el dinero es el medio necesario para la satisfacción de las necesidades materiales humanas; una vez que éstas están satisfechas, el individuo tiende a buscar productos que le proporcionen mayor felicidad. Por todo esto, es recomendable tomar en cuenta la opinión de los expertos para ser felices el mayor tiempo posible, ya que estando bajo el efecto de la alegría funcionamos mejor, trabajamos mejor y nuestro desempeño en cualquier área es distinto positivamente, además de que favorece ampliamente las condiciones en nuestra salud. Uno de los pasos más importantes para saber cómo ser feliz es quererse a sí mismo y recordar lo importante que uno es, lo mucho que valemos, lo inteligentes que somos, y capaces de hacer cualquier cosa. También evitemos envidiar a nadie por lo que tiene o por lo que es, hay personas que ya alcanzaron sus metas, después vendrá nuestro turno. Ser feliz incluye no guardar rencor hacia nadie, ese sentimiento no deja ser feliz, solo hay que perdonar y olvidar, aunque a veces estas acciones implican esfuerzos muy grandes. Además siempre que podamos vivamos con una sonrisa, debemos observar alrededor y encontrar en todas las cosas el lado bueno y positivo de ellas. Sin pensar que vayamos a recibir nada a cambio hay que ver a las personas y descubrir en ellas sus cualidades. La vida siempre tiene derecho a sorprendernos, así que aprende a vivir el presente sin los traumas del pasado ni las expectativas del futuro, de ahí que nazca el dicho que dice si los problemas tienen solución.. para qué te preocupas, y si no la tienen.. para qué te preocupas. La felicidad depende principalmente de uno, y de nuestra forma de ver las cosas. Es algo que nace desde el interior, y que no depende de los que otros hagan. La autoestima también es algo que se va a desarrollar por dentro, dependiendo de lo que uno haga. Así que si queremos ver realmente un cambio positivo en nuestras vidas y en nuestro modo de vivir, las sugerencias son las siguientes: Sentirse feliz por lo menos 5 minutos diariamente aunque no haya un motivo, si no es tan fácil siempre ayuda el recordar aquellas anécdotas que nos dieron esa sensación en su momento. Intentemos sonreír cada vez que podamos, ya que la sonrisa tiene una gran influencia en nuestro estado de ánimo. Dediquemos algunos minutos para relajarnos y meditar, ya que esto nos ayuda a liberar el
6 estrés acumulado, preocupaciones o angustias, solo dejando la mente en blanco y enfocándonos únicamente en el bienestar de nuestro cuerpo, hay que disfrutar el simple hecho de estar vivo. Es importante que dediquemos por lo menos media hora para hacer alguna actividad que nos satisfaga, ya sea leer un libro, ver una película, comer algún postre que nos agrade o simplemente sentarse para relajarse. Procuremos siempre ver el lado positivo de las cosas. Haciendo estas sencillas tareas poco a poco iremos progresando y cuando menos nos demos cuenta seremos más felices de lo que somos ahora aún si no tenemos una abundante cuenta bancaria o un auto del año, o una inmensa casa en alguna zona exclusiva de la ciudad, después de todo el dinero no es todo en la vida. ANGÉLICA LETICIA SERRANO AHUMADA EGRESADA DE LA FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM CONTRADICCIÓN Desde pequeño me acechaste, mas mi familia me cobijaba. Cuando joven nunca me dejaste salvo por ese ángel que me amaba De varios cómplices te ayudaste: De viles reptiles se trataba. Junto con ellos te ensañaste, me quitaron a quien adoraba. Uno a uno te los llevaste, todo aquél que me acompañaba. E implacable jamás faltaste, tu crueldad ya no me asombraba. Oh, soledad, hoy me toca reír Junto a ti te digo Fallaste Dejarme solo fue tu obsesión, Sin compañía tienes que existir Cuando tú siempre me acompañaste No puedes vencer la contradicción: RAÚL PISENNE (SEUDÓNIMO) MIEMBRO DE LA FACULTAD DE INGENIERÍA, UNAM http://dcb.fi-c.unam.mx erik2306@unam.mx Por razones de austeridad, el tiraje del Boletín se sigue manteniendo a la mitad de lo que se acostumbraba.