Wilde Analysis Ld. (2015) Aloha Airlines Fligh 243 / 28 April 1988:
Inceridumbre En el diseño de maquinaria abundan las inceridumbres: La composición del maerial y el efeco de las variaciones en las propiedades. Las variaciones de las propiedades de lugar a lugar denro de una barra de maerial. El efeco del procesamieno local, o cercano, en las propiedades. El efeco de ensambles cercanos, como soldaduras y ajuses por conracción, en las condiciones del esfuerzo. El efeco del raamieno ermomecánico en las propiedades. La inensidad y disribución de las cargas. La validez de los modelos maemáicos que se uilizan para represenar la realidad. La inensidad de las concenraciones de esfuerzos. La influencia del iempo sobre la resisencia y la geomería. El efeco de la corrosión. El efeco del desgase. La inceridumbre respeco de la longiud de cualquier lisa de inceridumbres
Facor de Diseño Exisen méodos maemáicos para enfrenar las inceridumbres. Las écnicas básicas son los méodos deerminísicos y esocásicos. El méodo deerminísico esablece un facor de diseño basado en las inceridumbres absoluas de un parámero de pérdida de función y un parámero máximo permisible. En cieros casos el parámero puede ser la carga, el esfuerzo, la deflexión, ec. Por lo ano, el facor de diseño n d se define como:
Facor de Diseño Considere que la carga máxima sobre una esrucura se conoce con una inceridumbre de ±20 por cieno, y la carga que produce falla se conoce denro de ±15 por cieno. Si la carga que produce falla es nominalmene 2000 lbf, deermine el facor de diseño y la carga permisible máxima que compensará las inceridumbres absoluas.
Facor de Diseño Después de erminar el diseño, el facor de diseño real puede cambiar como resulado de cambios como el redondeo a un amaño esándar de una sección ransversal o el uso de componenes recién lanzados con clasificaciones más alas en lugar de emplear lo que se había calculado usando el facor de diseño. En ese caso, el facor se conoce como facor de seguridad, n, que iene la misma definición que el facor de diseño, pero por lo general difiere en su valor numérico.
Facor de seguridad Es un enfoque que sólo oma en cuena maeriales y cargas específicas; no se considera: Composición de maerial y el efeco de la variación en las propiedades. Las variaciones en las propiedades de un lugar a oro denro de un sock. Efeco del procesamieno a nivel local, o en sus cercanías, en las propiedades. Efeco de ensambles cercanos como soldaduras y ajuses en condiciones de esrés. Efeco del raamieno ermomecánico en las propiedades. La inensidad y la disribución de la carga. Validez de los modelos maemáicos uilizados para represenar la realidad. La inensidad de las concenraciones de esfuerzos. Influencia del iempo en la fuerza y la geomería. Efeco de la corrosión. Efeco de desgase. La inceridumbre en cuano a la longiud de cualquier lisa de inceridumbres.
Facor de seguridad Una varilla con sección ransversal de área A y cargada en ensión con una carga axial de P = 2 000 lbf sopora un esfuerzo de σ = P/A. Use una resisencia de maerial de 24 kpsi y un facor de diseno de 3.0 para deerminar el diámero mínimo de una varilla circular sólida. Use la abla A-17, seleccione un diámero fraccionario preferido y deermine el facor de seguridad de la varilla.
Confiabilidad Cuál es la vida promedio del produco? Cuánas fallas espera el próximo año? Cuáno nos cosará desarrollar y dar servicio a ese produco? Cómo podemos hacerlo más efecivo en coso?
Tiempo de vida y falla La confiabilidad es una medida del Tiempo de Vida úil de un produco. Durane ese período el cliene obiene las caracerísicas ofrecidas inencionalmene. Cuando cesa la capacidad del produco para enregar la caracerísica ofrecida al cliene, se considera que ha habido una Falla del produco. Eso represena el érmino del iempo de vida.
Modelos de iempo de vida Para modelar el iempo de vida se asigna una medida: La frecuencia relaiva o la probabilidad con que ocurrirá el eveno. La regla que asigna valores de frecuencia relaiva o probabilidades a los valores de una variable se llama Disribución de Probabilidad
f() UDA 2. Facor de seguridad y confiabilidad Disribuciones de probabilidad Función de Densidad de Probabilidad (PDF), f() Predice el comporamieno de cualquier siuación probabilísica Probabilidad de de caer en algún puno del rango 1 a 2 p ( 1 2 ) f( ) d 2 1 El área oal bajo la curva siempre es 1 o 100% 1 2 Derechos reservados JADD, AJBG, queda
Disribución acumulada de probabilidad Si acumulamos las probabilidades desde el inicio hasa un iempo 1, obenemos la Disribución de Probabilidad Acumulada {CDF ó F()}. F( 1 ) = P( 1 )
Disribución acumulada de probabilidad Función de Disribución Acumulada La Probabilidad de una variable es menor o igual a un valor específico, e.g., 1 F( ) P(0 ) f ( ) d 1 Cuando la variable es iempo de falla, eso represena la no confiabilidad o la probabilidad de que una unidad falle anes del iempo 1 1 0
f() F() UDA 2. Facor de seguridad y confiabilidad Disribución acumulada de probabilidad F( ) P( ) f( ) d 0 1 Función de Densidad de Probabilidad 1 Función de Disribución Acumulada No confiabilidad, F() 1 0 1 0 0 1
Confiabilidad es la probabilidad de que un sisema ejecue su función de inención sin fallar para un inervalo específico, bajo condiciones esablecidas. Se define como la Probabilidad de Supervivencia en un deerminado iempo. R() = 1 - F() Algunos auores presenan como sinónimos Supervivencia y Confiabilidad
R() UDA 2. Facor de seguridad y confiabilidad Confiabilidad R ( ) 1 F ( ) 1 f( ) d f( ) d Función de Densidad de Probabilidad 0 1 Función de Confiabilidad 0 1 0 0 1
La confiabilidad R se expresa mediane un número que iene el inervalo: 0 R<1 Una confiabilidad de R=0.90 significa que hay una probabilidad de 90% que la pare realice una función adecuada sin falla. Pero se debe considerar una disribución de probabilidad como modelo de falla.
MTBF - MTTF Si el iempo de vida para una caracerísica de calidad es una variable aleaoria y conocemos su disribución de probabilidad, podemos calcular una medida de localización, por ejemplo el valor de su media. El valor medio del Tiempo de Vida se denomina Tiempo Promedio enre Fallas, MTBF es el acrónimo en Inglés, y se refiere a una medición básica de confiabilidad para arículos que se pueden reparar. MTTF se refiere al Tiempo Promedio de Fallas, eso es para arículos que no pueden ser reparados.
Tiempo de misión Tiempo de Misión se refiere al iempo inenado durane el cual el produco enrega la caracerísica de calidad saisfacoriamene. El Tiempo de Misión es una decisión de negocios y sirve para esablecer una mea de logro por pare del produco en cuano a sus caracerísicas. Qué confiabilidad lograremos?, R(iempo de misión)
Velocidad de falla La Velocidad de Falla ó Tasa de Riesgo o ambién Tasa de Falla es la fracción de fallas probables enre la proporción de supervivienes al iempo. Cuando se conoce la Disribución de Probabilidad de, se calcula a parir de h() = PDF / R() Es una medida de la moralidad enre los arículos que quedan. La asa de falla represena la propensión a la falla de un produco como una función de su edad o iempo en operación. La asa de falla en cualquier iempo dado es la proporción que caerá en la siguiene unidad de iempo respeco a aquellas unidades que han sobrevivido a ese iempo.
Curva de la bañera Si se dibuja la asa de riesgo o falla para una población a ravés del iempo se observa un comporamieno descrio como la Curva de la Bañera h() Fallas infaniles Fallas por deerioro o desgase Fallas consanes
Esadísicos UDA 2. Facor de seguridad y confiabilidad Un esadísico es cualquier función de las observaciones en una muesra aleaoria, que no dependa de parámeros desconocidos La media muesral, la varianza muesral, la desviación esándar muesral y los coeficienes de variación, sesgo y curosis son algunos de los esadísicos más comunes. Obsérvese que como un esadísico es una función de los daos provenienes de una muesra aleaoria, es a su vez una variable aleaoria. Es decir, si se obuvieran dos muesras aleaorias diferenes provenienes de la misma población y se calcularan las medias muesrales, podría esperarse que los valores obenidos fueran diferenes.
Modelos Paraméricos de Confiabilidad Disribuciones Paraméricas Algunas Disribuciones de Probabilidad se pueden expresar como una función maemáica de la variable aleaoria. La función iene además de la variable aleaoria, consanes que le dan comporamienos específicos a las disribuciones Los parámeros definen: FORMA ESCALA LOCALIZACION
Modelo de Disribución Normal La Normal o Disribución Gaussiana es la disribución más conocida Tiene Media = Mediana = Moda La Media m, es ambién su parámero de localización La PDF normal iene forma de una campana con simería sobre su media La normal no iene parámero de forma. Eso significa que la PDF normal sólo iene una forma, la campana y esa forma no cambia La desviación esándar s, es el parámero de escala de la PDF normal
f() UDA 2. Facor de seguridad y confiabilidad 2 1 1 f( ) exp 2 2 Disribución de la Función Normal Función de Densidad de Probabilidad Normal 0.0140 0.0120 0.0100 0.0080 0.0060 0.0040 0.0020 = 500 = 30 = 50 = 70 0.0000 200 400 600 Tiempo 800 1000
R() UDA 2. Facor de seguridad y confiabilidad Aplicaciones R ( ) f( ) d ( z ) dz z ( ) Ciclos de falla en componenes mecánicos someidos a niveles alos de esfuerzo Las propiedades de varios maeriales ienden a seguir una disribución Normal Las fallas a la ensión de muchos maeriales esrucurales siguen una disribución Normal donde z() = (-/ y (z) = normal esandarizada pdf Función de Disribución Normal 1.000 0.800 0.600 0.400 0.200 0.000 = 500 = 30 = 50 = 70 Función de Confiabilidad Normal 200 400 600 800 1000 Tiempo
f() UDA 2. Facor de seguridad y confiabilidad Modelo de Disribución Exponencial El modelo exponencial, con un solo parámero, es el más simple de odo los modelos de disribución del iempo de vida. Las ecuaciones clave para la exponencial se muesran: CDF : F ( ) 1 e CONFIABILI DAD PDF : f ( ) l e l l : R ( ) 1 MEDIA : m l ln 2 0. 693 MEDIANA : @ l l 1 VARIANZA : 2 l TASA DE FALLA : h ( ) l e l 0.0035 0.0030 0.0025 0.0020 0.0015 0.0010 0.0005 0.0000 Función de Densidad de Probabilidad Exponencial l= 0.003, MEDIA = 333 l= 0.002, MEDIA = 500 l= 0.001, MEDIA = 1,000 0 500 1,000 1,500 2,000 Tiempo
R() UDA 2. Facor de seguridad y confiabilidad R() = e (-l) (Confiabilidad) Aplicación: Es usada como el modelo, para la pare de vida úil, i.e., la asa de falla es consane. Los sisemas complejos con muchos componenes y múliples modos de falla endrán iempos de falla que iendan a la disribución exponencial desde una perspeciva de confiabilidad, es la disribución más conservadora para predicción. 1.200 1.000 0.800 0.600 0.400 0.200 0.000 Función de Confiabilidad Exponencial l= 0.001, MTBF = 1,000 l= 0.002, MTBF = 500 l= 0.003, MTBF = 333 0 500 1,000 1,500 2,000 Tiempo
h() UDA 2. Facor de seguridad y confiabilidad h() = lmedia(velocidad de Falla) 0.004 0.003 0.002 0.001 0.000 Función de la Tasa de Falla Exponencial l= 0.003, MTBF = 333 l= 0.002, MTBF = 500 l= 0.001, MTBF = 1,000 0 500 1,000 1,500 2,000 Tiempo Noe que la asa de falla iende a ser una consane l para cualquier iempo. La disribución exponencial es la única que iene una velocidad de falla consane Disribución Exponencial Es usada como el modelo, para la pare de vida úil de la curva de la bañera, i.e., la asa de falla es consane Los sisemas complejos con muchos componenes y múliples modos de falla endrán iempos de falla que iendan a la disribución exponencial Desde una perspeciva de confiabilidad, es la disribución más conservadora para predicción.
La disribución de Weibull es un modelo de disribución de vida úil muy flexible, para el caso de 2 parámeros: 1 2 2 1 1 DEFALLA : TASA 1 1 2 1 : VARIANZA ln2 : MEDIANA 1 1 MEDIA : ) ( PDF : ) ( CONFIABILI DAD : 1 ) ( CDF: e f e R e F Donde es un parámero de escala (la vida caracerísica) y se conoce como el parámero de forma (pendiene) y es la función Gamma con (N)=(N-1)! para N enero
Modelo de Disribución Weibull Una forma más general de 3 parámeros de la Weibull incluye un parámero de iempo de espera (localización ó desplazamieno). No puede ocurrir una falla anes de horas, el iempo comienza en no en 0. CONFIABILIDAD: PDF: f ( ) MEDIA: 1 MEDIANA: ln 2 2 VARIANZA: 1 1 1 TASA DE FALLA: R( ) e 1 e 2 1 1 1 2
f() Función de Disribución Weibull 0.0030 Función de Densidad de Probabilidad Weibull = 0.5 = 1000 f( ) 1 exp 0.0020 = 1.0 = 1000 = 3.4 = 1000 0.0010 0.0000 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 Tiempo
Funciones de Disribución Weibull Aplicación: Mienras la función pdf de la disribución exponencial modela la caracerísica de vida de los sisemas, la Weibull modela la caracerísica de vida de los componenes y pares Modela faiga y ciclos de falla de los sólidos Es el raje correco para daos de vida R( ) exp
Funciones de Disribución Weibull l decreciene < 1 Fallas empranas l consane = 1 Tiempo de vida úil l creciene > 1 Desgase iempo Las res porciones de la curva de ina de la bañera ienen diferenes índices de falla. Las fallas empranas se caracerizan por un índice de falla decreciene, la vida úil por un índice de falla consane y el desgase se caraceriza por un índice de falla creciene. La disribución de Weibull puede modelar maemáicamene esas res siuaciones. < 1 disminuye la asa de riesgo, implica moralidad infanil = 1 asa de riesgo consane, fallas aleaorias 1< < 4 aumena la asa de riesgo, fallas por corrosión, erosión > 4 aumena rápidamene la asa de riesgo, implica fallas por desgase y envejecimieno
Análisis esocásico Considerando las funciones de densidad de probabilidad del esfuerzo y la resisencia, σ y S; los valores medios del esfuerzo y la resisencia son μ σ y μ S, respecivamene. Aquí, el facor promedio de seguridad es: El margen de seguridad para cualquier valor del esfuerzo σ y de la resisencia S se define como: La pare promedio endrá un margen de seguridad de m = μ S μ σ.
Caso normal-normal Considere las disribuciones normales: El margen de esfuerzo es m=s-σ. El esadísico se calcula como:
La confiabilidad asociada con z esá dada por: Y el facor de seguridad se puede calcular con el esadísico y el coeficiene de variación: El signo más esá asociado con R > 0.5, y el signo de menos con R < 0.5.
UDA 2. Facor de seguridad y confiabilidad
Caso log-normal-log-normal Considere las disribuciones log-normales: El esadísico se calcula con:
Relacionan el facor de diseño n con la mea de confiabilidad (mediane z) y los coeficienes de variación de resisencia y esfuerzo. No son funciones de las medias del esfuerzo y la resisencia. Esiman el facor de diseño necesario para alcanzar la mea de confiabilidad anes de omarlas decisiones que involucran medias. El valor de Cs depende un poco del maerial paricular. El valor de Cσ iene el coeficiene de variación (CDV) de la carga, y por lo general esá dado. UDA 2. Facor de seguridad y confiabilidad El facor de diseño n es la variable aleaoria que es el cociene de S/σ. El cociene de lognormales es una lognormal, por lo que, al buscar la variable z de la lognormal, se observa que: Enonces la media asociada al facor de seguridad: