Tema 3.3. Aplicaciones afines. Cónicas y cuádricas

Tema 3.3. Aplicaciones afines. Cónicas y cuádricas Definición 1. Sean A = (P, V, f) y A = (P, V, f ) dos espacios afines tales que V y V son espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo. Una función θ : P P se llamará aplicación afín si T : V V definida por T ( pq) = θ(p)θ(q) es una aplicación lineal. T se llama aplicación lineal asociada a la aplicación afín θ. Si T es un isomorfismo, diremos que θ es una transformación afín. Las transformaciones afines tales que Π = Π se llaman afinidadades. Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.3 pg.1

Representación matricial de una aplicación afín Sean A = (P, V, f) y A = (P, V, f ) espacios afines con sistemas de referencia (O, B), (O, B ), respectivamente. Dada una aplicación afín θ : P P definida por θ(q) = θ(p) + T ( pq), la representación matricial de θ es: y 1 y 2 y m = a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n...... a m1 a m2... a mn x 1 x 2 x n + b 1 b 2 b m siendo A = (a ij ) la matriz de la aplicación lineal T respecto de las bases B y B y (b 1, b 2,..., b n ) las coordenadas del punto θ(o) respecto de (O, B ). Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.3 pg.2

Ejemplo Dada la afinidad θ : R 3 R 3 definida por: θ(x 1, x 2, x 3 ) = (x 2, x 1 + x 2 + x 3 + 1, x 1 + x 2 2) Respecto de la referencia canónica, θ se representa: y 1 y 2 = 0 1 0 1 1 1 x 1 x 2 + 0 1 y 3 1 1 0 x 3 2 o, equivalentemente: 1 y 1 y 2 = y 3 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 2 1 1 0 1 x 1 x 2 x 3 Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.3 pg.3

Movimientos Dado un espacio afín euclideo, una afinidad θ : P P se llama movimiento si conserva las distancias entre puntos, es decir: d(θ(p), θ(q)) = d(p, q), p, q P La aplicación lineal T asociada a θ es una isometría, es decir, un isomorfismo que conserva la longitud de los vectores: T ( pq) = θ(p)θ(q) = d(θ(p), θ(q)) = d(p, q) = pq Teorema 1. Una afinidad θ es un movimiento si, y sólo sí, la matriz A asociada a T respecto de una base ortonormal es ortogonal, es decir, A t = A 1 o, equivalentemente, AA t = I. Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.3 pg.4

Ejemplo La afinidad de ecuaciones ( y1 y 2 ) = ( 0 1 1 0 ) ( x1 x 2 ) + ( 0 1 ) es un movimiento. Para ello comprobamos que A = ( 0 1 1 0 ) es ortogonal, es decir, AA t = I 2 Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.3 pg.5

Clasificación de los movimientos en R 2 según sus puntos fijos Dado un movimiento Y = C + AX, al calcular sus puntos fijos nos encontramos con el sistema no homogéneo X = C + AX, o equivalentemente (A I)X = C. Entonces pueden darse los siguientes casos: Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.3 pg.6

Simetría deslizante Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.3 pg.7

Ejemplo Consideremos el movimiento de R 2 1 x y = 1 0 0 3 3/5 4/5 1 4/5 3/5 1 x y Como rg(a I) = 1 y rg(a I) = 2, el movimiento no tiene puntos fijos y, al ser rg(a I) = 1, se trata de una simetría deslizante, es decir, la composición de una simetría y una traslación. Podemos calcular el eje de la simetría resolviendo el sistema (A I) 2 X = (A I)C. Podemos calcular el vector de la traslación? Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.3 pg.8

Clasificación de los movimientos en R 3 según sus puntos fijos Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.3 pg.9

Giro Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.3 pg.10

Simetría respecto de un plano Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.3 pg.11

Movimiento helicoidal Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.3 pg.12

Ejemplo Consideremos el movimiento de R 3 y 1 y 2 y 3 = 1/2 3/2 0 3/2 1/2 0 0 0 1 x 1 x 2 x 3 + 1 3 2 1 3 2 1 Como rg(a I) = 2 y rg(a I) = 3, no tiene puntos fijos. Al ser rg(a I) = 2, se trata de un movimiento helicoidal, es decir, la composición de un giro con una traslación. Igual que en el ejemplo de la simetría deslizante, para calcular el eje del giro, resolvemos el sistema (A I) 2 X = (A I)C. Podemos calcular el ángulo del giro? Y el vector de la traslación? Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.3 pg.13

Cónicas Definición 2. Una cónica es el lugar geométrico de los puntos que resultan de la intersección en R 3 de un cono generalizado y un plano. La ecuación de una cónica es del tipo: ax 2 + 2bxy + cy 2 + 2dx + 2ey + f = 0 en la que los coeficientes a, b, c, d, e y f son reales no todos nulos. Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.3 pg.14

Representación matricial de las cónicas La ecuación general de una cónica ax 2 + 2bxy + cy 2 + 2dx + 2ey + f = 0 se puede escribir de forma matricial como: ( ) ( x d (x, y) A + 2(x, y) y e ) + f = 0 o, equivalentemente (1, x, y) B A = ( a b b c ) 1 x y y B = = 0, siendo f d e d a b e b c Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.3 pg.15

Una primera clasificación de las cónicas A partir de los signos de los autovalores de la matriz A, podemos dar una primera clasificación de las cónicas, teniendo en cuenta que algunos de los elementos obtenidos pueden ser degenerados (puntos, rectas) o vacíos. Se pueden dar los siguientes casos: 1. Si λµ > 0, tenemos una elipse. 2. Si λµ < 0, tenemos una hipérbola. 3. Si λµ = 0, tenemos una parábola. Para descartar los casos degenerados o vacíos y obtener más información, deberíamos completar cuadrados y operar hasta llegar a las ecuaciones reducidas. Otra alternativa es usar el siguiente resultado. Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.3 pg.16

Clasificación de las cónicas mediante invariantes Teorema 2. Los números I 1 = tr(a), I 2 = det(a) e I 3 = det(b) no varían si aplicamos a la cónica cualquier movimiento. Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.3 pg.17

Ecuaciones reducidas de las cónicas Elipse real: x2 a 2 + y2 b 2 1 = 0 Elipse imaginaria: x2 a 2 + y2 b 2 + 1 = 0 Punto: x2 a 2 + y2 b 2 = 0 Hipérbola: x2 y2 1 = 0 a 2 b 2 Parábola: { x 2 2py = 0 y 2 2px = 0 Par de rectas paralelas: x 2 ± a 2 = 0 Par de rectas reales coincidentes: x 2 = 0 Par de rectas secantes: a 2 x 2 b 2 y 2 = 0 Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.3 pg.18

Elipse x2 a 2 + y2 b 2 1 = 0 Llamamos elipse al lugar geométrico de los puntos de un plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos F y F es constante. a y b son los semiejes de la elipse, mientras que los puntos F (c, 0) y F ( c, 0) se llaman focos de la elipse, siendo c = a 2 b 2. Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.3 pg.19

Hipérbola x2 a 2 y2 b 2 1 = 0 Llamamos hipérbola al lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos F y F. Los valores a y b son los semiejes de la hipérbola, mientras que los puntos F (c, 0) y F ( c, 0) se llaman focos de la hipérbola, siendo c = a 2 + b 2. Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.3 pg.20

Parábola y 2 2px = 0 Llamamos parábola al lugar geométrico que equidistan de un punto fijo F llamado foco y de una recta fija d llamada directriz. Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.3 pg.21

Buscando la ecuación reducida La ecuación general de una cónica: ax 2 + 2bxy + cy 2 + 2dx + 2ey + f = 0 se puede escribir de forma matricial como: ( ) x (x, y) A + 2(x, y) y ( d e ) + f = 0 Diagonalizando ortogonalmente la matriz A, calculamos ( los ) autovalores ( ) λ y µ x u y la matriz de paso P. Haciendo el cambio de base = P : y v (u, v) ( λ 0 0 µ ) ( u v Por tanto, la expresión de la cónica queda: ) + 2(u, v) P t ( d e λu 2 + µv 2 + gu + hv + k = 0 ) + f = A partir de esta expresión, tendremos que completar cuadrados para encontrar la expresión reducida de la cónica, como puede verse en el siguiente ejemplo. Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.3 pg.22

Ejemplo Clasifique la siguiente cónica: x 2 + y 2 6xy + 4x + 4y = 0 Sus invariantes son I 3 0 e I 2 < 0, con lo que se trata de una hipérbola. Escrita en forma matricial sería de la forma: ( ) ( ) ( ) 1 3 x 2 (x, y) + 2(x, y) = 0 3 1 y 2 Diagonalizando ortogonalmente la matriz A, obtenemos: ( ) ( ) ( 1 ) 2 0 u 2 1 ( 2 2 (u, v) + 2(u, v) 0 4 v 2 1 2 1 2 ) = 0 Lo que nos da: 2u 2 +4v 2 +4 2u = 0. Completando cuadrados, y llamando X = u 2 e Y = v, obtenemos la ecuación reducida de la hipérbola: X 2 ( 2) Y 2 2 1 1 = 0 2 Por tanto, los semiejes de la hipérbola son a = 2 y b = 1 y sus focos son F = ( 3, 0) y F = ( 3, 0). Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.3 pg.23

Cuádricas Se denomina cuádrica al lugar geométrico de los puntos del espacio afín eucĺıdeo cuyas coordenadas satisfacen: a 1 x 2 +a 2 y 2 +a 3 z 2 +2b 1 xy+2b 2 xz+2b 3 yz+2c 1 x+2c 2 y+2c 3 z+d = 0 Expresada de forma matricial queda como: siendo A = siendo (x, y, z)a x y z a 1 b 1 b 2 b 1 a 2 b 3 b 2 b 3 a 3 B = + 2(x, y, z) c 1 c 2 c 3 + d = 0, o bien (1, x, y, z) B d c 1 c 2 c 3 c 1 a 1 b 1 b 2 c 2 b 1 a 2 b 3 c 3 b 2 b 3 a 3 1 x y z = 0, Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.3 pg.24

Cua dricas Emilio Mun oz Velasco. Dpto. Matema tica Aplicada. UMA Tema 3.3 pg.25

Cua dricas Emilio Mun oz Velasco. Dpto. Matema tica Aplicada. UMA Tema 3.3 pg.26

Cua dricas Emilio Mun oz Velasco. Dpto. Matema tica Aplicada. UMA Tema 3.3 pg.27

Clasificación de las cuádricas mediante invariantes Teorema 3. Los números I 1 = tr(a), I 2 = a 2 b 3 b 3 a 3 + a 1 b 2 b 2 a 3 + a 1 b 1 b 1 a 2, I 3 = det(a) e I 4 = det(b) no varían si la cuádrica es afectada por un movimiento. Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.3 pg.28

Buscando la ecuación reducida Haciendo un cambio de base y diagonalizando ortogonalmente la matriz A, obtenemos: (u, v, w) α 0 0 0 β 0 0 0 γ u v w + 2(u, v, w) P t c 1 c 2 c 3 + d = 0 siendo α, β y γ los autovalores de la matriz indicada y P la matriz de paso. Completando cuadrados si es necesario, podemos llegar a alguna de las ecuaciones reducidas siguientes. Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.3 pg.29

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Emilio Mun oz Velasco. Dpto. Matema tica Aplicada. UMA Tema 3.3 pg.31

Ejemplo Clasifique y obtenga la ecuación reducida de la cuádrica 2x 2 7y 2 + 2z 2 10xy 8xz 10yz + 6x + 12y 6z + 5 = 0 En forma matricial sería: 2 5 4 (x, y, z) 5 7 5 4 5 2 x y z +2(x, y, z) 3 6 3 +5 = 0 Calculando sus invariantes, obtenemos I 4 = 0, I 3 < 0, I 2 < 0 e I 1 < 0, lo que implica que es un cono real. Para encontrar su ecuación reducida, primero diagonalizamos ortogonalmente la matriz A, obteniendo los autovalores λ = 12, β = 3 y γ = 6 y la matriz de paso P, siendo: P t = 1 2 6 3 1 6 1 3 1 3 1 3 1 2 0 1 2 Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.3 pg.32

Por tanto, la nueva ecuación de la cuádrica será: (u, v, w) 12 0 0 0 3 0 u v +2(u, v, w)p t 3 6 0 0 6 w 3 +5 = 0 Es decir: 12u 2 + 4 6u + 3v 2 4 3v + 6w 2 + 6 2w + 5 = 0 Completando cuadrados obtenemos: 12 ( 1 2 ( 2 2 ( 1 2 + u) + 3 + v) + 6 2 + w) = 0 6 3 Si llamamos X = 2 3 +v, Y = 1 2 +w y Z = 1 6 +u, obtenemos la ecuación reducida del cono: 3X 2 + 6Y 2 12Z 2 = 0 Emilio Muñoz Velasco. Dpto. Matemática Aplicada. UMA Tema 3.3 pg.33