Matemáticas Empresariales II

Matemáticas Empresariales II Lección 3 Manuel León Navarro Colegio Universitario Cardenal Cisneros M. León Matemáticas Empresariales II 1 / 40

Concepto de Matriz Se define matriz de orden n m a todo conjunto de n m elementos de un cuerpo K, dispuestos en n filas y m columnas: a 11 a 12 a 1m A n m = ( v 1 v 2 v m ) = a 21 a 22... a 2m...... a n1 a n2 a nm Tenemos que si: m n se denominan matrices rectangulares m = 1 se denominan matrices columnas n = 1 se denominan matrices fila m = n se denominan matrices cuadradas Los elementos (a 11, a 22,, a nm ) forman la diagonal principal (suma=traza) matrices diagonales;matrices triangulares M. León Matemáticas Empresariales II 2 / 40

Operaciones con matrices Matrices iguales A n m = B n m a ij = b ij, i, j Suma matricial A n m + B n m = C n m /c ij = a ij + b ij Neutro matriz nula (aij = 0, i, j); Opuesta de una matriz A = (a ij es la matriz A = ( a ij ). Matrices y Suma son grupo abeliano. Producto de escalar por matriz k A = k(a ij ) = (k a ij ) El conjunto de las matrices de un mismo orden tiene estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo de escalares K {M n m + } espacio vectorial sobre K. M. León Matemáticas Empresariales II 3 / 40

Producto Matricial Se define producto matricial de una matriz A n m = (a ij ) por otra matriz B m p = (b ij ) a la matriz C n p = (c ij ) cuyo elemnto generico, c ij es el resultado de sumar los productos de los elementos de la fila i de A por los de la columna j de B. Ejemplo 2 1 1 3 4 2 3 2 A n m B m p = C n p n c ij = a ir b rj r=1 ( 3 5 1 2 1 0 2 3 ) 2 4 = 5 10 4 1 6 5 5 11 10 20 8 2 3 4 M. León Matemáticas Empresariales II 4 / 40

Producto Matricial - propiedades 1 Elemento Neutro - Matriz Identidad (I n ) 2 Asociativa A(BC) = (AB)C 3 Distributiva (A + B)C = AC + BC 4 NO Commutativa AB BC M. León Matemáticas Empresariales II 5 / 40

Transposición de matrices Se define transpuesta de una matriz A n m a la matriz A t m n que resulta al cambiar en A filas por columnas: A = (a ij ) n m = A t = (a ji ) m n Ejemplo Sea A la matriz siguiente: 2 1 1 3 4 2 3 2 Encuentre A t A t = ( 2 1 4 1 3 2 ) 2 3 M. León Matemáticas Empresariales II 6 / 40

Transposición de matrices - propiedades Propiedades transposiciôn matricial 1 Matriz simétrica A t = A si es cuadrada 2 Matriz antisimétrica A t = A si es cuadrada y requiere que la diagonal principal este formada de ceros. 3 La transposición es involutiva, es decir, (A t ) t = A 4 La transpuesta de una suma es la suma de las transpuestas: (A + B) t = A t + B t 5 La transpuesta de un producto es el producto de las transpuestas cambiado de orden: (A B) t = B t A t M. León Matemáticas Empresariales II 7 / 40

Determinante de una matriz cuadrada Toda matriz cuadrada, A lleva asociado un escalar que se denomina determinante de A y se simboliza A. M n R A i a i = A i Se define determinante de una matriz cuadrada A n m al escalar que resulta al sumar todos los productos de n elementos de la matriz que cumplan: Que en cada producto entre un solo elemento de cada fila y de cada columna. Que a cada producto se le anteponga signo + o segùn que sean de igual clase o de distinta clase las dos permutaciones que forman los subíndices que indican fila y los que indican columna. M. León Matemáticas Empresariales II 8 / 40

Determinante de una matriz cuadrada En el caso de las matrices cuadradas de orden 2 el determinante toma la forma: det(a 2 2 ) = a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21 En el caso de las matrices cuadradas de orden 3 el determinante toma la forma: det(a 3 3 ) = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 33 + a 31 a 12 a 23 + a 13 a 21 a 32 [a 13 a 22 a 31 + a 11 a 23 a 32 + a 33 a 21 a 12 ] A la expresión anterior se la conoce como la regla de Sarrus. M. León Matemáticas Empresariales II 9 / 40

Determinante de una matriz cuadrada Ejemplo1 Calcule el determinante de la matriz siguiente ( 2 ) 1 1 3 Aplicando la regla anterior, el determinante será 2 1 1 3 = 2 3 1 ( 1) = 6 + 1 = 7 M. León Matemáticas Empresariales II 10 / 40

Determinante de una matriz cuadrada Ejemplo2 Calcule el determinante de la matriz siguiente 2 1 4 1 3 2 1 1 2 Aplicando la regla de Sarrus se obtiene que el determiante toma la forma: 2 1 4 1 3 2 1 1 2 = 2 3 2+1 1 2+1 ( 1) ( 4) [( 4) 3 1+2 2 1+2 1 ( 1)] = 2 M. León Matemáticas Empresariales II 11 / 40

Determinante de una matriz cuadrada Ejercicio Calcule el determinante de la matriz siguiente 1 2 1 1 0 2 0 2 3 Matrices singulares vs Matrices regulares M. León Matemáticas Empresariales II 12 / 40

Propiedades de los Determinantes 1 El determinante de una matriz es igual al de su transpuesta (det(a) = det(a t )) 2 Si uno de los vectores de la matriz A n m es el nulo, el determinante vale cero. 3 Si se intercambia entre sí dos vectores cualesquiera de la matriz, ocurre que el determinante cambia de signo. 4 Toda matriz cuadrada con dos vectores iguales tiene determinante 5 nulo. det(k 1 v 1... k i v i... k n v n ) = k 1... k j... k n det( v 1... v i... v n ) 6 Si una matriz tiene dos vectores proporcionales, su determinante vale cero. M. León Matemáticas Empresariales II 13 / 40

Propiedades de los Determinantes 7 Si uno de los vectores de la matriz es suma de p vectores, su determinante es la suma de los determinantes de las p matrices que tiene en vez del vector suma cada uno de los sumandos. 8 Si un vector es C.L de los demás, el determinante de la matriz es nulo. 9 El valor de un determinante no se altera al sumar a un vector una C.L de los demás. 10 Cálculo de los determinantes por los elementos de una linea. Sea A una matriz cuadrada de orden n. Sea A ij la matriz cuadrada de orden n 1 obtenida al suprimir la fila i y la comlumna j de A. Se cumple, para cualquier i, que: det(a) = n ( 1) i+j a ij det(a ij ) j=1 M. León Matemáticas Empresariales II 14 / 40

Propiedades de los Determinantes 11 La suma de los productos de los elementos de una ĺınea por los adjuntos de una paralela a ella vale cero n ( 1) i+j a hj det(a ij ) = 0 j=1 12 Si A y B son matrices cuadradas del mismo orden, entonces: det(a B) = det(a) det(b) M. León Matemáticas Empresariales II 15 / 40

Propiedades de los Determinantes - Ejemplo 1 Calcule el determinante de la matriz siguiente 2 1 1 1 1 1 0 0 2 1 2 0 1 1 1 2 0 0 0 0 1 1 0 0 0 Utilizando la propiedad 10 de los determinantes y observando que en la fila 4 hay muchos ceros, se obtiene que 2 1 1 1 1 1 0 0 2 1 2 0 1 1 1 2 0 0 0 0 1 1 0 0 0 = ( 1) 4+1 2 1 1 1 1 0 0 2 1 0 1 1 1 1 0 0 0 M. León Matemáticas Empresariales II 16 / 40

Propiedades de los Determinantes - Ejemplo 1 Volviendo a utilizar la propiedad 10 de los determinantes y observando, de nuevo, que en la fila 4 hay muchos ceros, se obtiene que ( 1) 4+1 1 1 1 1 0 0 2 1 0 1 1 1 1 0 0 0 = ( 1) 5 ( 1) 4+1 2 1 1 1 1 0 2 1 1 1 1 A partir de este momento se puede aplicar la regla de Sarrus para calcular un determinante de orden 3, por lo que con 1 1 1 0 2 1 1 1 1 = 2 M. León Matemáticas Empresariales II 17 / 40

Propiedades de los Determinantes - Ejemplo 1 Finalmente se obtiene que 2 1 1 1 1 1 0 0 2 1 2 0 1 1 1 = ( 1) 5 ( 1) 4+1 2 1 ( 2) = 4 2 0 0 0 0 1 1 0 0 0 M. León Matemáticas Empresariales II 18 / 40

Propiedades de los Determinantes - Ejemplo 2 Calcule el determinante de la matriz siguiente (Vandermonde), sin aplicar en ningún momento la regla de Sarrus: 1 1 1 a b c a 2 b 2 c 2 En primer lugar se utiliza la propiedad 9, multiplicamos la primera columna por (-1) y se la sumamos a la segunda y el determinante no varia. Por lo tanto 1 1 1 a b c a 2 b 2 c 2 = 1 0 1 a b a c a 2 b 2 a 2 c 2 M. León Matemáticas Empresariales II 19 / 40

Propiedades de los Determinantes - Ejemplo 2 Y hacemos lo mismo con la tercera columna 1 0 1 a b a c a 2 b 2 a 2 c 2 = 1 0 0 a b a c a a 2 b 2 a 2 c 2 a 2 Ahora, como tenemos una fila (la primera) con muchos ceros, utilizamos la propiedad 10, por lo que 1 0 0 a b a c a a 2 b 2 a 2 c 2 a 2 = ( 1)1+1 1 b a c a b 2 a 2 c 2 a 2 M. León Matemáticas Empresariales II 20 / 40

Propiedades de los Determinantes - Ejemplo 2 Utilizando la propiedad matemática que dice que suma por diferencia es igual a diferencia de cuadrados (x + y)(x y) = (x 2 y 2 ), el determinante se puede poner como b a c a b 2 a 2 c 2 a 2 = b a c a (b + a) (b a) (c + a) (c a) Ahora utilizando la propiedad 5, la expresión b a puede salir fuera del determinante ya que multiplica a todos los elementos de una columna. Lo mismo sucede con c a en la otra columna y por lo tanto: b a c a (b + a) (b a) (c + a) (c a) = (b a)(c a) 1 1 (b + a) (c + a) M. León Matemáticas Empresariales II 21 / 40

Propiedades de los Determinantes - Ejemplo 2 Utilizando de nuevo la propiedad 9, (multiplicando la primera por (-1) y sumándosela a la segunda) se obtiene que: (b a)(c a) 1 1 (b + a) (c + a) = (b a)(c a) 1 0 (b + a) (c + a) b a Y operando en la posición (2, 2) del determinante (b a)(c a) 1 0 (b + a) (c + a) b a = (b a)(c a) 1 0 (b + a) (c b) M. León Matemáticas Empresariales II 22 / 40

Propiedades de los Determinantes - Ejemplo 2 Por último, desarrollando el determinante por la primera fila (propiedad 10) se obtiene que (b a)(c a) 1 0 (b + a) (c b) = (b a)(c a) ( 1)1+1 1 (c b) y por lo tanto, podemos concluir que 1 1 1 a b c = (b a)(c a)(c b) a 2 b 2 c 2 M. León Matemáticas Empresariales II 23 / 40

Determinantes - Ejercicio Calcule el determinante de la matriz siguiente a 1 1 1 1 a 1 1 1 1 a 1 1 1 1 a M. León Matemáticas Empresariales II 24 / 40

Rango de una matriz Previo: Se llama menor de orden r de una matriz A, al determinante de la submatriz que se forma con los elementos comunes a r filas y a r columnas. Ejemplo Sea la matriz A, con A = 2 1 1 1 1 1 0 0 2 1 2 0 1 1 1 2 0 0 0 0 1 1 0 0 0 Calcule un menor de orden 2 y un menor de orden 3 M. León Matemáticas Empresariales II 25 / 40

Rango de una matriz Un menor de orden 2 es el determinante formado por los elementos comunes a 2 filas y a 2 columnas. Si cogemos la fila 3 y la fila 4 y la columna 2 y la columna 5 entonces el menor que estamos formando es 0 1 0 0 = 0 Un menor de orden 3 es el determinante formado por los elementos comunes a 3 filas y a 3 columnas. Si cogemos la fila 3 y la fila 4 y fila 5 y la columna 2, la columna 3 y la columna 5 entonces el menor que estamos formando es 0 1 1 0 0 0 1 0 0 = 0 M. León Matemáticas Empresariales II 26 / 40

Rango de una matriz Definición Toda matriz A lleva asociado un número natural que se denomina rango de A y se simboliza por r(a). El rango de una matriz es el orden del mayor menor distinto de 0. Propiedades 1 Si la matriz A es de orden n m, ocurre que r(a) min(n, m). 2 El número máximo de filas linealmente independientes que hay en una matriz A coincide con el número máximo de columnas independientes. 3 El rango de una matriz coincide con el máximo número de vectores L.I de los que forman la matriz.(importante: Que el rango de una matriz coincida con el número de vectores L.I. no es una definición es una propiedad) M. León Matemáticas Empresariales II 27 / 40

Cálculo del Rango de una matriz Método de la orla (menores de forma ordenada). En primer lugar se coge un menor de orden 1 que sea distinto de 0 A continuación, se parte de este elemento y se forman menores de orden 2 si todos los menores de orden 2 son 0 entonces esta fila es combinación lineal de la anterior y se desecha en el cálculo del rango, pasándose a la siguiente. Si algún menor de orden 2 es distinto de 0 entonces el rango de la matriz es por lo menos 2 y, a continuación se forman menores de orden 3 con la fila siguiente. M. León Matemáticas Empresariales II 28 / 40

Cálculo del Rango de una matriz - Ejemplo Calcule el rango de la matriz A, con A = 2 1 1 1 4 2 2 2 2 0 1 1 2 0 0 0 Como esta matriz es de orden 4x4 entonces el rango máximo que puede tener la matriz es 4. En primer lugar, como hay un menor de orden 1 que es distinto de 0 2 = 2 0 entonces el rango de esta matriz es por lo menos 1. M. León Matemáticas Empresariales II 29 / 40

Cálculo del Rango de una matriz - Ejemplo Ahora, orlamos a partir de ese, es decir, formamos con la fila siguiente, menores de orden 2, que son: 2 1 4 2 = 0 2 1 4 2 = 0 2 1 4 2 = 0 Como los tres menores son iguales a 0, entonces la segunda fila es combinación lineal de la primera. M. León Matemáticas Empresariales II 30 / 40

Cálculo del Rango de una matriz - Ejemplo A continuación se orla de nuevo, formando menores de orden 2 pero con la tercera fila. El primer menor de orden 2 es 2 1 2 0 = 2 0 Como el menor es distinto de 0, entonces el rango de la matriz es por lo menos 2. A continuación se orla de nuevo, formando menores de orden 3 con la fila siguiente, en este caso la cuarta. Los dos menores que se obtienen son 2 1 1 2 0 1 2 0 0 = 2 M. León Matemáticas Empresariales II 31 / 40

Cálculo del Rango de una matriz - Ejemplo y 2 1 1 2 0 1 2 0 0 = 2 Si los dos menores fueran 0 entonces el rango de la matriz sería 2, pero como al menos uno de ellos es distinto de 0 (de hecho son los dos) entonces hemos encontrado un menor de orden 3 que es distinto de 0 y por lo tanto el rango de la matriz es 3. M. León Matemáticas Empresariales II 32 / 40

Cálculo del Rango de una matriz - Ejemplo El rango de la matriz no puede ser cuatro ya que no tenemos más filas con las que ir orlando. De hecho, como la segunda fila es una combinación lineal de la primera, entonces el determinante de A debe ser 0 (comprobarlo podría ser un ejercicio interesante). A = 2 1 1 1 4 2 2 2 2 0 1 1 2 0 0 0 = 0 M. León Matemáticas Empresariales II 33 / 40

Rango de una matriz - Ejercicio Calcule el rango de la matriz siguiente 1 2 1 1 0 0 2 1 3 1 2 0 2 3 1 2 M. León Matemáticas Empresariales II 34 / 40

Matriz Inversa Se define la inversa de A y se denota por A 1 a la matriz que cumple que A 1 A = A A 1 = I n Donde I n es la matriz identidad de orden n. Calculo de la matriz Inversa Existen multiples formas de calcular la inversa de una matriz. En este apartado veremos una forma directa de calcular la inversa de la matriz. Dada una matriz A, la inversa de dicha matriz se calcula de la forma siguiente: A 1 = 1 A Adj(A)t Donde Adj(A) es la matriz Adjunta de A. Dicha matriz está formada por los adjuntos de todos los elementos. M. León Matemáticas Empresariales II 35 / 40

Matriz Inversa Se define adjunto del elemento (i, j) al determinante que se obtiene de suprimir la fila i y la columna j multiplicado por ( 1) i+j : Adj(a ij ) = ( 1) i+j A ij Por último, es importante notar que no todas las matrices cuadradas tendrán inversa. Es condición necesaria y suficiente para que una matriz tenga inversa que su determinante sea distinto de 0 (matriz regular vs matriz singular). Ejemplo Calcule la inversa de la matriz A, con A = 2 1 1 4 2 0 2 0 1 M. León Matemáticas Empresariales II 36 / 40

Matriz Inversa En primer lugar debemos calcular el determinante de la matriz A. Aplicando la regla de Sarrus se obtiene que A = 4. Adjuntos de cada elemento. El adjunto del elemento (1, 1) es el determinante que se obtiene al quitar la primera fila y la primera columna: A 11 = 2 0 0 1 = 2 El adjunto del elemento (1, 2) es el determinante que se obtiene al quitar la primera fila y la segunda columna: A 12 = 4 0 2 1 = 4 M. León Matemáticas Empresariales II 37 / 40

Matriz Inversa y calculando para todos los elementos y teniendo en cuenta el signo con ( 1) i+j se obtiene que: Adj(A) = ( 1) 1+1 2 ( 1) 1+2 4 ( 1) 1+3 ( 4) ( 1) 2+1 1 ( 1) 2+2 4 ( 1) 2+3 ( 2) ( 1) 3+1 2 ( 1) 3+2 4 ( 1) 3+3 0 M. León Matemáticas Empresariales II 38 / 40

Matriz Inversa Y al trasponer dicha matriz se obtiene 2 1 2 [Adj(A)] t = 4 4 4 4 2 0 Por último, hay que dividir por el determinante: A 1 = 1 A [Adj(A)]t = 1 4 2 1 2 4 4 4 4 2 0 = 0,5 0,25 0,5 1 1 1 1 0,5 0 M. León Matemáticas Empresariales II 39 / 40

Matriz Inversa - Ejercicio Calcule la inversa de la matriz siguiente: 1 2 1 2 1 0 1 1 0 M. León Matemáticas Empresariales II 40 / 40