INTRODUCCIÓN En la teoría que hemos de elaborar, los conceptos primitivos son: espacio, plano, recta y punto. Los axiomas de nuestra teoría expresan las relaciones que ligan a los conceptos primitivos. Para que la teoría esté bien fundada, los axiomas tomados, deben cumplir: a) Deben ser consistenetes: ninguno de los axiomas debe estar en contradicción con los demás o con sus consecuencias. b) Deben ser independientes: ninguno de los axiomas o parte de ellos debe poder demostrarse como consecuencia de los demás axiomas Qué sucederá con los teoremas? El enunciado de todo teorema consta de una premisa llamada hipótesis, que enuncia lo que tomamos como cierto y de una conclusión, llamada tesis, que expresa lo que se demuestra que se verifica. Ejemplo: suur Si C equidista de A y B (hipótesis), C está en la mediatriz de AB (tesis) C equidista de A y B suur H ) suur suur T ) C mz AB CA = CB Dos teoremas se llaman recíprocos, cuando la tesis de uno es la hipótesis del otro y viceversa. Ejemplo: # # ABC triángulo isósceles ABC triángulo isoángulo # # ( ) H ) ABC triángulo isósceles T ) ABC triángulo isoángulo # # ( ) H ) ABC triángulo isoángulo T ) ABC triángulo isósceles Nota. Se dice que una condición que vincula dos postulados es necesaria y suficiente cuando se cumplen los teoremas directo y recíproco que los relaciona. Decimos Es condición necesaria y suficiente que un triángulo sea isósceles para que sea isoángulo. Por lo tanto para demostrar una condición necesaria y suficiente se debe demostrar un teorema y su recíproco
La certeza de un teorema no, necesariamente, implica la certeza del recíproco. Ejemplo: Si dos triángulos son iguales sus ángulos son respectivamente iguales. # # H ) ABC = DEF T ) ˆ A = Cˆ ˆ B = Eˆ Cˆ = F ˆ El recíproco sería: si dos triángulos tienen respectivamente iguales sus ángulos, son congruentes (FALSO) A continuación comenzaremos a desarrollar nuestra teoría: AXIOMAS DE EXISTENCIA Y ENLACE AXIOMA 1 AXIOMA 2 AXIOMA 3 AXIOMA 4 AXIOMA 5 Reconocemos la existencia de infinitos entes llamados Puntos, cuyo conjunto llamaremos Espacio. El conjunto de puntos, llamado espacio, admite infinitos subconjuntos de infinitos puntos llamados Planos y, cada uno de éstos, admite infinitos subconjuntos, también de infinitos puntos, llamados Rectas. Dos puntos distintos determinan una única recta a la cual pertenecen. Tres puntos distintos no alineados (que no pertenecen a una misma recta), determinan un único plano al cual pertenecen. Una recta que tiene dos puntos distintos pertenecientes a un plano, está contenida en ese plano. Determinación del plano Teorema 01 Una recta y un punto que no le pertenece, determinan un plano al cual pertenecen. Es único el plano determinado? Teorema 02 Dos rectas que se cortan determinan un plano en el cual están incluidas.
Ejercicios 1) Pueden estar alineados cuatro puntos? Tienen que estar alineados dos puntos? Tienen que ser coplanares cuatro puntos? Pueden ser coplanares n puntos? Justificar las respuestas. 2) Informar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: a) Si tres puntos están alineados, entonces son coplanares. b) Si tres puntos son coplanares, entonces están alineados. 3) El dibujo representa una figura tridimensional, informar si los puntos indicados a continuación: a) están alineados, b) no están alineados, c) no son coplanares. {A, B, C, D} {X, B, C} {A, D, E} {A, B, C, F} {F, E, D} {D, C, E, B} {A, B, X, E} 4) Se consideran los puntos distintos P y Q y las rectas r y t, P r, Q r, P t, Q t. Qué puede afirmar de las rectas r y t?. Justificar la conclusión y escribir el ejercicio como un teorema. 5) Escribir la tesis y la demostración del teorema siguiente: r t H) P r,q r T) P t,q t 6) Indicar cuántas rectas determinan los puntos A, B, C y D sabiendo que: a) A, B y C están alineados. b) cualesquiera tres que tome, no están alineados c) no son coplanares. 7) Los puntos R y T pertenecen al plano α, qué puede concluir acerca de la recta RT? Justifique su respuesta.
Teorema 03 Si dos rectas distintas tienen un punto en común, este es el único punto que tienen en común. Posiciones relativas de dos rectas Posiciones relativas de dos rectas coplanares: SECANTES NO SECANTES (PARALELAS) Teorema 04 Existen rectas no coplanares. Posiciones relativas de dos rectas en el espacio: SECANTES COPLANARES NO SECANTES (PARALELAS) NO COPLANARES (se cruzan) Teorema 05 Si dos planos distintos tienen en común dos puntos distintos, entonces, la intersección de los planos es la recta determinada por esos puntos.
Ejercicios. 8) Se considera una pirámide ABCDE de base el cuadrado ABCD. a) Nombrar los planos que determinan sus vértices y las intersecciones de dichos planos tomados de a dos. b) Hallar: ADE [CDE DBE]= DEB [ACE ABC]= ADE [BCE ABE]= c) Indicar pares de rectas no coplanares y explicar por qué lo son. 9) La recta i interseca al plano α en el punto P, la recta t está incluida en α y el punto P no pertenece a la recta t. Es posible que t e i sean secantes? Explicar. 10) ABCD es un tetraedro. Se consideran los puntos I y J tal que I es interior al segmento AC y J es interior al segmento BD. a) Las rectas AB y CD son secantes?. b) Demostrar que los puntos I y J son distintos. c) Demostrar que las rectas IJ y AB no son coplanares d) Demostrar que las rectas IJ y CD no son coplanares. Definición Conjunto linealmente ordenado. Un conjunto de elementos p, q, r, etc., está linealmente ordenado cuando es posible relacionarlos entre sí mediante el verbo preceder de tal modo que: I. p precede a q, o q precede a r. II. Si p precede a q y q precede a r, entonces p precede a r. Definición Conjunto abierto. Un conjunto es abierto cuando dado un elemento cualquiera del conjunto, existen otros dos elementos: uno que le precede y otro que le sigue. Definición Conjunto denso. Un conjunto es denso cuando dados p y q, elementos cualesquiera del conjunto, existe un elemento que sigue a p y que precede a q.
AXIOMA DE ORDEN AXIOMA 6 La recta es un conjunto de puntos linealmente ordenado, abierto y denso. Definición Semirrecta. Dada una recta r y un punto O perteneciente a ella, llamamos semirrecta de origen O a los subconjuntos formados por O y todos los puntos que le siguen o le preceden. Notación: OP Definición Segmento de recta. Dados los puntos A y B pertenecientes a una recta r, llamamos segmento de extremos A y B al conjunto formado por dichos puntos y todos los puntos que siguen a A y que preceden a B. Notación: AB Definición Figura. Llamamos figura a cualquier conjunto de puntos. Definición Figura convexa. Una figura es convexa si para cualquier par de puntos de ella, el segmento que determinan está incluido en dicha figura.
AXIOMA DE PARTICIÓN DEL PLANO AXIOMA 7 Toda recta r de un plano α establece una clasificación de los puntos de ese plano, en tres subconjuntos α 1, α 2 y r tales que cumplen: {α 1, α 2, r} es una partición del plano (cada subconjunto es no vacío, son subconjuntos disjuntos dos a dos y la unión de los tres subconjuntos es el plano α). α 1 y α 2 son figuras convexas. Un punto de α 1 y un punto de α 2 determinan un segmento que tiene un punto perteneciente a r. Observación: α 1 y α 2 reciben el nombre de semiplanos abiertos de borde r. Definición Semiplano. Dada una recta r, incluida en un plano α, llamamos semiplano de borde r a los subconjuntos formados por la recta r y cada una de las regiones en que divide al plano la recta r. Observaciones: Dos semiplanos contenidos en un mismo plano y que tienen el mismo borde, reciben el nombre de semiplanos opuestos. La unión de semiplanos opuestos es el plano común que los contiene. La intersección de semiplanos opuestos es el borde común a los dos semiplanos. Ejercicio: 11) Enunciar el Axioma de división del espacio, la definición de Semiespacio y las observaciones correspondientes.