Laboratorio Termodinámica Departamento Física Aplicada 2 o DE FÍSICAS. CURSO 2005/06 PROBLEMAS DE TERMODINÁMICA Sobre la resolución de problemas en Termodinámica La resolución de problemas juega un papel fundamental en el aprendizaje y dominio de cualquier parte de la Física. Muchos alumnos parecen creer que una buena colección de problemas resueltos resueltos por otros puede sustituir ventajosamente al esfuerzo de resolverlos uno mismo. Este punto de vista se basa en la observación, bien documentada, de que cuando uno intenta resolver un primer problema por sí mismo, el tiempo empleado (normalmente hasta que finalmente se decide ver cuál es la solución) es tal que, si se aplica linealmente dicho tiempo a la resolución de los demás problemas, el tiempo empleado en ello puede exceder una vida. Pero el error del razonamiento anterior estriba en el supuesto carácter lineal de la ley de resolución de problemas. En efecto, el primer problema puede costar mucho, pero ese esfuerzo debe hacer que el segundo se resuelva en menos tiempo, el tercero en mucho menos y así sucesivamente. La resolución por uno mismo de los problemas es una forma de proceder que parece tener inconvenientes iniciales, pero a la larga resulta beneficioso en varios aspectos. En primer lugar, un alumno que sólo lee la solución y la entiende tarda aproximadamente el mismo tiempo en ver y entender cada problema de su colección. El alumno que intenta resolver el primer problema puede tardar dos o tres horas en lograrlo, una hora con el segundo, media con el tercero, etc.. De esta forma este segundo alumno puede añadir más y más problemas y llegar a tener una colección inmensa de problemas resueltos con muy poco esfuerzo final, mientras que para el primer alumno el tiempo que debe emplear crece linealmente con su colección de problemas y cada uno que añade le cuesta el mismo esfuerzo que el primero. En segundo lugar, el primer alumno no puede enfrentarse a nuevos problemas o a problemas de los que no tenga la solución. Pero el segundo alumno sí puede hacerlo. Ha rentabilizado su tiempo de tal forma que ante nuevas situaciones reacciona con cierta rapidez, cosa que no hace el primero. Y en tercer lugar, resolver problemas en Termodinámica no es esencialmente distinto de hacerlo en Electromagnetismo, Óptica o Mecánica. 1
Lo que se haya aprendido en este sentido en una asignatura servirá esencialmente en las demás. Coleccionando soluciones de problemas, cada asignatura es un nuevo territorio intelectual que para ser superado posiblemente sin comprenderlo necesita que se vuelva a hacer todo el esfuerzo memorístico que se hizo en todas las anteriores asignaturas. Nada se ha construido y, como un montón de arena que logró alcanzar por acumulación una cierta altura y que luego el viento se lleva, hay que volver a levantar de nuevo el montón con otros materiales. Sin embargo, el alumno que haya entendido que el esfuerzo inicial es rentable, en cada nueva asignatura tiene más y más parte construida, esencialmente buenos cimientos, por lo que levantar nuevos pisos no le resulta difícil. Además, en aquellas ocasiones en las que se puedan manejar libros en un examen, y presumiblemente los problemas hayan sido inventados por el profesor, el primer alumno tenderá a confundir sus deseos con la realidad, copiando de su colección un problema que en su opinión es igual al que se le plantea lo que casi nunca sucederá. Para el segundo tipo de alumno, será un problema más a resolver, normalmente sin particulares dificultades. Por estas razones, la habitual queja de los alumnos sobre que no tienen tiempo para asimilar los conocimientos a la vez que se les van proporcionando en clase remite al problema de cómo estudiar 1. Ninguna parte de la Física puede ser memorizada, por lo que es preciso adoptar estrategias de entendimiento que lleven a tener la cabeza bien amueblada antes que muy llena de datos, nociones y ecuaciones inconexos. El alumno de Físicas que no entienda pronto esto está condenado a arrastrarse de asignatura en asignatura en un esfuerzo agónico y, posiblemente, inútil. Pero como nadie nace enseñado, también la resolución de problemas exige una serie de técnicas que pueden ser aprendidas. Si se compara la forma de resolver problemas de un estudiante primerizo con la forma de hacerlo de uno experimentado o de un profesional, saltan a la vista fundamentalmente dos diferencias. El novato suele lanzarse al problema como el que se lanza a una piscina, aplica algunas fórmulas y se queda bastante satisfecho cuando llega a algún resultado numérico. En cambio el que ya está fogueado sabe que la primera idea no es siempre la mejor, que hay que ver el problema desde diferentes puntos de vista y que la parte más importante de la resolución de un problema es analizar la solución que se ha obtenido a la luz de los datos proporcionados y de los conocimientos de la asignatura, pues ningún resultado debe ser aceptado sin comprobación. 1 La vuelta de tuerca adicional de ir a unas academias externas a la universidad en la que otros explican las citadas colecciones de problemas no es sino un intento de comprar conocimientos. Se puede comprar información, pero no conocimientos, que deben ser elaborados por uno mismo para serlo. Esta estrategia mercantilista puede proporcionar algún aprobado, pero es nefasta desde el punto de vista de dominar la propia voluntad e inútil desde un punto de vista intelectual. 2
Una buena táctica para resolver problemas puede estar basada en las siguientes cuatro fases [2, 3]. 1. Comprender el enunciado. Aunque resulte sorprendente, ciertos alumnos universitarios tienen dificultades para comprender enunciados sencillos, tendiendo a confundir lo que se les pide con lo que ellos han estudiado. Es necesario leer cuidadosamente el enunciado, y más de una vez, hasta garantizarse que uno está entendiendo lo que se le dice, lo que se le pide y los datos que se le proporcionan. Ésta sería una forma de ver que la piscina tiene agua antes de lanzarse a ella. 2. Formarse un plan. Los datos proporcionados se deben poner en un contexto tal que con la ayuda de ecuaciones y diversos razonamientos lleven hasta la respuesta a la pregunta realizada. Se deben sopesar cuidadosamente la clase de hipótesis que se van a considerar, las magnitudes que se deben calcular, las ecuaciones que se van a necesitar, y el resultado que se debe obtener. En este punto muchos alumnos aplican un método, que se puede calificar de aleatorio, en el que, con alegre despreocupación, se mezclan ecuaciones sin ningún sentido. 3. Calcular y resolver. Se escriben las ecuaciones elegidas en la segunda fase y se resuelven realizando todos los cálculos necesarios para llegar al resultado final. 4. Comprobar e interpretar. Esta es, sin duda, la parte más importante, y más difícil de sistematizar, de la resolución de un problema. Aunque nunca es posible saber si un problema está realmente bien resuelto 2, siempre es posible saber si la solución no es la correcta. La solución encontrada debe someterse a escrutinio exhaustivo para ver si tiene sentido físico en ciertos límites cuyas soluciones son conocidas, si el orden de magnitud obtenido tiene sentido y si todo resulta dimensionalmente correcto 3. Extrapolar a situaciones sencillas, cuyas soluciones son bien conocidas, es tal vez la manera interesante de comprobar que la solución obtenida puede tener sentido físico. En caso de no comportarse bien en los límites en los que debe hacerlo, debe descartarse y hay que volver al principio. En cualquier caso, es siempre más importante destacar que uno sabe que la solución encontrada no es correcta a dejarla tal cual ha sido obtenida, con grave riesgo de cometer errores importantes. 2 Y no sólo al criterio del profesor, pues también él está obligado a demostrar que la solución que propone es verosímil y tiene sentido físico. 3 Resultados tales como temperaturas absolutas negativas e incrementos negativos de la entropía del universo deben ser evitados con especial cuidado. 3
5. Hacer todos los esfuerzos posibles en demostrar que el resultado obtenido es incorrecto. Aunque de nuevo pueda parecer paradójico, y en relación directa con el punto anterior, se deben hacer todo lo posible lo imposible por demostrar que los resultados obtenidos están equivocados. Es el resultado obtenido dimensionalmente correcto? Tiene sentido físico? Hay algún límite conocido en el que podamos verificarlo? Puede resolverse el problema de alguna otra manera? Una vez se hayan hecho todos los esfuerzos por demostrar el error, si, a pesar de todo, no se ha logrado demostrar que el resultado es incorrecto, se tomará, provisionalmente, como correcto. Si bien se piensa, esta es la esencia de la actividad científica [1]. Así, cuando se elabora una teoría, se realiza un experimento, etc., el mayor interés no está en demostrar que lo obtenido es correcto lo que, por otro lado, es imposible sino en demostrar que la teoría no es correcta o que el experimento no está bien interpretado o no es reproducible. Sólo cuando después de muchas pruebas, teoría o experimento se mantienen, se toman provisionalmente como correctos. Y del mismo modo que un profesor intenta demostrar que las soluciones aportadas por los alumnos son incorrectas, los propios alumnos deben intentar demostrar que lo que les dice el profesor es incorrecto. En este sentido, una buena manera pedagógica de abordar la resolución de problemas al menos por parte del profesor, es intentando introducir tantos errores cuantos sean posibles. Cada vez que un alumno descubra el error ganará en confianza; si cualquier solución le satisface, estará reconociendo un principio de autoridad, pero no estará aprendiendo a resolver problemas en Física. Sin duda, la segunda persona que más fácilmente puede engañar a un alumno es su profesor. Pero la primera es el propio alumno. Cada vez que obtenga un resultado y no haga todo lo posible por comprobar que dicho resultado es incorrecto que es lo que sucede normalmente, se engaña a sí mismo 4. Cada vez que admite un resultado obtenido por él mismo sin crítica está más lejos de ser un buen científico y de ganarse la vida resolviendo problemas. Hay que ser concientes de que resolver problemas como lo hayan podido hacer Einstein, Fermi o Landau, o como lo pueden hacer hoy en día otros grandes físicos, no está al alcance de cualquiera. Pero tampoco es eso lo que se pretende. En cierto sentido resolver problemas en física es como resolver problemas en cualquier otro contexto. Hacer que un coche averiado funcione, plantea el mismo tipo de metodología. Una persona sin formación mecánica 4 Y como suele decirse, puedes engañar a todos, puedes engañarte a ti mismo, pero no puedes engañar a la naturaleza. O como dice el profesor Manuel Fiolhais: El material siempre tiene razón. 4
puede intentar arreglarlo apretando tornillos aquí y allá, soplando bujías, etc. Muy al contrario, un profesional se enterará primero bien de qué es lo que parece no funcionar, hará algunas pruebas inicialmente hasta hacerse una idea de lo que pasa; luego se planteará qué piezas deben ser sustituidas y que herramientas va a tener que emplear; y sólo entonces se ensuciará las manos hasta lograr cambiar las piezas, supuestamente, defectuosas o eliminar las posibles dificultades surgidas. Al final tendrá que comprobar que todo vuelve a funcionar bien. En caso de que el coche siga sin funcionar o no lo haga correctamente tiene que volver al punto inicial. En este punto es necesario llamar la atención sobre dos cuestiones importantes, ambas relacionadas directamente con los intentos que deben hacerse para intentar saber si lo que se va haciendo es o no incorrecto. 1. Principio de Wheeler. En primer lugar debe recordarse lo que John Archibald Wheeler 5 denomina primer principio moral de un físico: Nunca se debe hacer un cálculo sin conocer antes el resultado. Aunque esta afirmación parezca un oxímoron, pues se supone que uno hace el cálculo precisamente para conocer el resultado, lo que se quiere decir es que antes de cualquier cálculo numérico preciso se deben hacer consideraciones y estimaciones sencillas, posiblemente incluso aproximaciones crudas, que permitan conocer aproximadamente la solución 6. Si esto no se hace de forma sistemática, la probabilidad de equivocarse al hacer cálculos tiende a uno con inusitada rapidez. Una revisión de las dimensiones de las magnitudes empleadas y de la coherencia dimensional de las expresiones a las que se ha llegado suele ser una buena forma, y rápida, de detectar posibles errores. 2. Uso de calculadoras. El punto anterior está directamente relacionado con el uso indiscriminado de calculadoras de bolsillo en la resolución numérica de problemas. Suele parecer a los alumnos que, puesto que se dispone de un medio de cálculo infalible, no es necesario plantearse más problemas de los estrictamente necesarios y que es irrelevante ir haciendo las cuentas según se van produciendo sin necesidad de esperar al final. Sin embargo debe recordarse aquí que las calculadoras 5 El inventor del nombre agujero negro y del concepto de que los agujeros negros no cumplen el Segundo Principio de la Termodinámica. 6 Enrico Fermi y Lev Landau son conocidos por su especial habilidad para hacer esto en las situaciones más variadas. 5
funcionan bien si se aprietan las teclas adecuadas, lo que no siempre sucede. De hecho, cualquier problema numérico que se plantee en un examen da lugar a tanta variedad de respuestas numéricas como alumnos y calculadoras han intervenido en él. Trabajar sistemáticamente con números expresados en forma de potencias de 10 ayuda mucho en los cálculos, sobre todo a la hora de simplificar expresiones complejas. Estas estimaciones deben proporcionar al menos el orden de magnitud del resultado buscado. En este mismo sentido es importante intentar conservar hasta el final las variables en forma literal, sin sustituirlas por sus valores numéricos cada vez que aparecen, y sólo sustituirlas en la expresión final. De esta forma se tarda menos tiempo en el cálculo, pues muchos pasos intermedios se evitan al simplificarse entre sí, y hay que hacer muchos menos cálculos. Uno de los riesgos que acechan constantemente a los científicos en su trabajo es hacer cálculos, a veces largos, tediosos y extenuantes, que luego no sirven para nada. Dentro del intento de demostrar que una solución obtenida es errónea, una forma de proceder muy interesante es la de intentar resolver el mismo problema de varias formas diferentes, lo que casi siempre es posible en Termodinámica. Si por dos caminos diferentes se obtiene el mismo resultado, la probabilidad de que el problema esté bien resuelto aumenta aunque nunca se puede tener la certeza completa. Si, por el contrario, se obtienen resultados diferentes por diferentes procedimientos, una de las respuestas está equivocada o bien ambas. Ésta es otra forma de comprobar el resultado obtenido. Referencias [1] R. Feynman, El Placer de Descubrir, Ed. Crítica, Col. Drakontos, Barcelona 2000. [2] A. Rañada, Dinámica Clásica, Alianza Universidad Textos, AE Madrid 1994. [3] W. G. Rees, La Física en 200 problemas, Alianza Editorial AU 827, Madrid 1995. 6