Econometría II - examen (SOLUCION)

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1 Econometría II - examen (SOLUCION) 4 de septiembre de 2006 Nombre y Apellidos: ID: Grupo: Lea cuidadosamente cada pregunta Responda muy claramente dentro del espacio asignado El valor de cada pregunta se indica entre corchetes Tiempo límite: 80 minutos Total de puntos: 100 BUENA SUERTE 1

2 Pregunta 1 [30 puntos] Considera el siguiente modelo de una serie temporal X t = Z t θz t 1, (1) donde Z t es un ruido blanco con media cero y varianza σz 2 t a) Para qué valores del parámetro θ es el proceso estacionario? El proceso es estacionario para cualquier valor (finito?) del parámetro θ b) Para qué valores del parámetro θ es el proceso invertible? Cuando θ < 1, el proceso es invertible c) Escriba la representación AR( ) del proceso X t 1 1 θl X t = Z t, (1 + θl + θ 2 L 2 + )X t = Z t, X t = (θl + θ 2 L 2 + )X t + Z t, X t = θx t 1 θ 2 X t 2 + Z t d) Suponga que conoce el verdadero valor del parámetro θ Calcule la mejor predicción en media cuadrática de X t+1, X t+2 y X t+8 realizada en t 2

3 X t+1 = Z t+1 θz t, ˆX t (1) = E(X t+1 X t, X t 1, ) = θz t 1 = θ 1 θl X t = θ(1 + θl + θ 2 L 2 + )X t = θx t θ 2 X t 1 θ 3 X t 2 X t+2 = Z t+2 θz t+1, ˆX t (2) = E(X t+2 X t, X t 1, ) = 0 X t+8 = Z t+8 θz t+7, ˆX t (8) = E(X t+8 X t, X t 1, ) = 0 e) Calcule la varianza del error de predicción en los tres casos anteriores e t (1) = X t+1 ˆX t (1) = Z t+1, Var(e t (1)) = σz 2 t e t (2) = X t+2 ˆX t (2) = Z t+2 θz t+1, Var(e t (2)) = (1 + θ 2 )σz 2 t e t (8) = X t+8 ˆX t (8) = Z t+8 θz t+7, Var(e t (8)) = (1 + θ 2 )σz 2 t 3

4 Pregunta 2 [30 puntos] Considera el siguiente modelo: y t = 0,25y t 2 + 3x t + 1,5z t 2 + ε t, (2) donde ε t N(0, σ 2 ) a) Escribe el modelo con el operador de retardo Es este modelo estable? (1 0,25L 2 )y t = 3x t + 1,5L 2 z t + ε t Las raíces características son λ 1 = 0,5 y λ 2 = 0,5, las dos están dentro del círculo de unidad, y entonces el modelo es estable b) Cuál es el multiplicador de impacto de la variable x t y cuáles son los multiplicadores de los retardos 1, 2 y 3 de esta variable? D x (L) = B x(l) C x (L) = 3 1 0,25L 2 = 3 (1 + 0,25L2 + 0,0625L 4 + ) Entonces δ 0 = 3, δ 1 = 0, δ 2 = 0,75 y δ 3 = 0 c) Cuál es el multiplicador total de la variable x t? D x (1) = B x(1) C x (1) = 3 1 0,25 = 4 d) Cuál es entonces el retardo mediano de la variable x t? Y cuál es según tu intuición (y sin hacer más cálculos) el retardo mediano de la variable z t? 4

5 El retardo mediano de x t es 0 ya que el multiplicador de impacto es 3 y el multiplicador total es 4 El retardo mediano de la variable z t es 2 porque los efectos de z t sobre y t son exactamente proporcionales pero ocurren dos períodos más tarde que los efectos de x t sobre y t e) Cuáles son los retardos medios de las variable x t y z t? Comenta sobre la intuición del resultado D x(1) D x (1) = B x(1) B x (1) C x(1) C x (1) = 0 3 0,5 1 0,25 = 2 3, D z(1) D z (1) = B z(1) B z (1) C z(1) C z (1) = 3,0 1,5 0,5 1 0,25 = 8 3 Las variables x t y z t son variables exógenas La variable x t afecta la variable y t inmediatamente mientras que la variable z t tiene efectos exactamente proporcionales pero dos períodos más tarde Por eso, el retardo medio de z t es dos períodos mayor que el retardo medio de la variable x t Pregunta 3 [40 puntos] Una de las versiones de la teoría de las expectativas de la estructura temporal de los tipos de interés mantiene que el tipo de interés a largo plazo es igual a una media de las predicciones futuras de los tipos de interés a corto plazo, más un término I(0) En concreto si denotamos por Rk t el tipo de interés a k periodos hacia adelante, por R1 t el tipo de interés a corto plazo (un período hacia adelante) y por e t el término I(0), entonces la teoría anteriormente descrita lo que dice es que Rk t = 1 k R1 t+i t + e t, (3) k donde R1 t+i t es la predicción hecha en t del valor de R1 en el período t + i Suponga que R1 t siga un proceso paseo aleatorio, es decir, R1 t = R1 t 1 + a t, donde a t es iid con media cero y varianza uno a) Calcule R1 t+i t = E[R1 t+i R1 t, R1 t 1, ] para i = 1, 2,, k 5

6 E(R1 t+1 R1 t, R1 t 1, ) = E(R1 t + a t+1 R1 t, R1 t 1, ) = R1 t E(R1 t+2 R1 t, R1 t 1, ) = E(R1 t+1 + a t+2 R1 t, R1 t 1, ) = E(R1 t + a t+1 + a t+2 R1 t, R1 t 1, ) = R1 t Entonces: E(R1 t+k R1 t, R1 t 1, ) = E(R1 t+k 1 + a t+k R1 t, R1 t 1, ) = E(R1 t+k 2 + a t+k 1 + a t+k R1 t, R1 t 1, ) = E(R1 t+k 3 + a t+k 2 + a t+k 1 + a t+k R1 t, R1 t 1, ) = = R1 t R1 t+i t = E(R1 t+i R1 t, R1 t 1, ) = R1 t, i = 1, 2,, k b) Introduzca lo calculado en (a) en la expresión de la ecuación (2) y muestre que Rk t = R1 t + e t Rk t = 1 k = 1 k k R1 t+i t + e t k R1 t + e t = R1 t + e t c) Muestre que Rk t y R1 t están cointegradas Cuál es el vector de cointegración? 6

7 Ahora notamos que R1 t I(1) y que Rk t I(1) Las dos variables están cointegradas porque sabemos que existe una combinación lineal que produce una variable estacionaria: Rk t R1 t = e t I(0) El vector de cointegración es (1, 1) d) Ahora suponga que R1 t = 0,5 R1 t 1 +a t, donde = (1 L) Cómo cambia tu respuesta respecto al apartado anterior? Notamos que R1 t sigue teniendo una raíz unitaria: R1 t = 1,5R1 t 1 0,5R1 t 2 + a t La ecuación característica, λ 2 1,5λ + 0,5 = 0, tiene las raíces λ 1 = 1 y λ 2 = 0,5 Los futuros valores de R1 t se derivan de la siguiente manera: R1 t+i = R1 t+i 1 + 0,5 R1 t+i 1 + a t+i = R1 t+i 2 + 0,5( R1 t+i 1 + R1 t+i 2 ) + a t+i + a t+i 1 = = R1 t + 0,5( R1 t+i 1 + R1 t+i R1 t ) + a t+i + a t+i a t+1 Entonces existe de nuevo una relación de cointegración con el mismo vector de cointegración ya que: Rk t = 1 k R1 t+i t + e t k = R1 t + I(0) e) Ahora suponga que R1 t = 0,5R1 t 1 + a t Cómo cambia tu respuesta con respecto al apartado (c)? Ahora, R1 t I(0) Entonces ya no puede existir una relación de cointegración porque las variables están ahora estacionarias 7