Práctica 5: cointegración

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Joaquín Peña Carrizo
hace 6 años
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Práctica 5: cointegración Los datos provienen de: http://www.econ.kuleuven.ac.be/gme/ Para leer más sobre este ejemplo, ver Marno Verbeek, A guide to Modern Econometrics (sections 8.5, 9.3).

1 Práctica 5: cointegración Los datos provienen de: Para leer más sobre este ejemplo, ver Marno Verbeek, A guide to Modern Econometrics (sections 8.5, 9.3). En esta práctica, veremos varios métodos para investigar la teoría de PPP (Purchasing Power Parity): según esta teoría, en dos países que producen bienes que se pueden exportar y en el caso que no haya impedimentos para comerciar, como costes de transacción, la Ley de Precio Unico nos da: S(t)=P(t)/P*(t), donde S(t) es el tipo de cambio (precio en unidades locales de 1 unidad de moneda extranjera), P(t) los precios domésticos y P*(t) los precios en el país extranjero. En logaritmos: s(t)=p(t)-p*(t). (donde minúsculas son las variables en logaritmo) En datos reales, no podemos esperar que esta teoría se verifique. La mejor manera de verificar esta teoría es como una aproximación a largo plazo. Las series están en un archivo E-Views en la pagina web. Se trata de los índices de precios de Francia (CPIFR) y Italia (CPIIT), y del tipo de cambio (X) en logaritmo, en datos mensuales de enero 1981 a junio de ) Gráficos de las series Vamos a representar las series de IPC para Francia y Italia conjuntamente, así como el tipo de cambio.

2 Los datos son obviamente no estacionarios y también es visible que el IPC de Italia crece más rápidamente que le IPC de Francia. Ambas series crecen durante todo el periodo, lo que sugiere que tienen una tendencia, determinista o estocástica. 2) Un poco de teoría sobre los contrastes de raíz unitaria Hay varios contrastes de Dickey Fuller que se pueden considerar. En el caso AR(1), el contraste de Dickey Fuller es de la H0 de raíz unitaria: (θ-1=0) en la ecuación y(t)= (θ -1) * y(t-1) +u(t) Una forma alternativa del contraste es de considerar también una constante. En el modelo AR(1), sabemos que la constante δ como función de la media µ del proceso y del coeficiente autorregresivo es δ =(1- θ)*µ, por lo cual la ecuación del contraste con media es: y(t)= δ + (θ -1) * y(t-1) +u(t) La hipótesis nula de raíz unitaria H0 es δ = θ -1 =0. En general, uno solo considera la hipótesis θ -1 =0, con una t que sigue una distribución no estándar, y para eso los valores de la tabla son diferentes de las del caso anterior. Finalmente, también se puede incluir la posibilidad en la hipótesis alternativa de que la serie tenga una tendencia determinista que es la causa de su no estacionaridad. En este caso la regresión es: y(t)= δ + (θ -1) * y(t-1) + γ * t + u(t) En ese caso, la hipótesis nula H0 de raíz unitaria sería δ = θ-1 = γ = 0. En general, se limita a hacer el contraste de la hipótesis que θ -1 = 0 con una t que sigue una distribución no estándar.

3 Esos contrastes se pueden generalizar para el caso de un AR(p) de orden más grande. Por ejemplo en el caso del AR(2): y(t)= θ1 * y(t-1) + θ2 * y(t-2) + u(t) En forma factorizada, el equivalente a: (1-φ1*L) (1-φ2*L) y(t)= u(t) y(t)= (φ1+φ2) * y(t-1) + φ1*φ2 * y(t-2) + u(t) y se puede rescribir la ecuación previa como:θ y(t)= δ + (θ1+ θ2-1) * y(t-1) + θ * y(t-1) + u(t) Hay una correspondencia entre las raíces del polinomio de retardos y los parámetros del modelo: φ1+φ2 = θ1 φ1*φ2 = θ2 Bajo la hipótesis nula de raíz unitaria, φ1=1 y φ2 <1. En este caso: θ1+ θ2 = 1 θ2 = - φ2 El contraste para la hipótesis de una raíz unitaria es que el coeficiente de y(t-1), θ1+ θ2-1=0. Se puede mostrar que en el caso general de un AR(p), la regresión se puede escribir como: y(t)= δ + (θ θp -1) * y(t-1) + c1 * y(t-1) cp * y(t-p+1) +u(t) y que θ θp -1 =0 implica la existencia de una raíz unitaria, por lo cual el contraste se puede hacer con un t que sigue una distribución no estándar. E-Views nos permite hacer todos estos contrastes de manera muy simple: En la ventana de la serie, pinchar en: View/Unit Root Test Seleccionar level para contraste sobre el nivel de la serie, Intercept para incluir una constante, Trend and intercept para incluir una constante y una tendencia determinista. Hay una opción para seleccionar el número óptimo de retardos de manera automática seleccionando un criterio de información, o también se puede hacer la selección en User specified.

3) Contrastes Dickey Fuller para las 3 series Para asegurarnos que tenemos datos no estacionarios vamos a hacer contrastes de

4 En este ejemplo, hemos puesto Lag length=0, lo que nos da el Dickey Fuller simple: El resultado es lo siguiente: El valor del contraste es (5%). 3) Contrastes Dickey Fuller para las 3 series Para asegurarnos que tenemos datos no estacionarios vamos a hacer contrastes de raiz unitaria de Dickey Fuller para ambas series, con diferentes especificaciones respecto los retardos y la inclusión de una tendencia determinista. Como son datos mensuales, vamos a hacer los contrastes para 1 a 12 retardos incluidos.

5 A continuación están incluidas varias tablas con valores del contraste de Dickey Fuller con y sin tendencia para cada una de las tres series, las series RS, RATIO y los residuos de dos ecuaciones. Haga en E-Views los contrastes ADF que faltan y ponga en las tablas sus valores. Resultados de los contrastes DF/ADF para CPIFR (5%): CPIFR Contraste Sin tendencia Con tendencia DF ADF(1) ADF(2) ADF(3) ADF(4) ADF(5) ADF(6) ADF(7) ADF(8) ADF(9) ADF(10) ADF(11) ADF(12) Resultados de los contrastes DF/ADF para CPIFR (5%): CPIIT Contraste Sin tendencia Con tendencia DF ADF(1) ADF(2) ADF(3) ADF(4) ADF(5) ADF(6) ADF(7) ADF(8) ADF(9) ADF(10) ADF(11) ADF(12) Resultados de los contrastes DF/ADF para X (5%): Tipo de cambio Contraste Sin tendencia Con tendencia DF ADF(1)

6 ADF(2) ADF(3) ADF(4) ADF(5) Los resultados de los contrastes de Dickey Fuller aumentados muestran que hacer un contraste Dickey Fuller simple bajo la hipótesis que los datos son AR(1) puede ser peligroso. Con 12 retardos incluidos aparece que no se puede rechazar la hipótesis nula de raíz unitaria para las series de IPC. En el caso del tipo de cambio es muy obvio que la serie tiene una raíz unitaria. 4) Contraste de Dickey Fuller para el tipo de cambio real Ahora que hemos establecido que las 3 series son integradas, podemos hacer un contraste para la teoría PPP. Si la PPP esta verificada en los datos, eso significa que la desviación de la relación de largo plazo no puede ser integrada, sino que tiene que tener variaciones estacionarias. Eso implica que: rs(t)=s(t)-(p(t)-p*(t)) debe ser estacionario. rs(t) se llama el tipo de cambio real. Vamos a generar esta serie del tipo de cambio real, graficarla y hacer un contraste de Dickey Fuller para establecer si es integrada o no. GENR RS = X (CPIFR-CPIIT) Resultados de los contrastes DF/ADF para RS (5%): RS Contraste Sin tendencia Con tendencia DF ADF(1) ADF(2) ADF(3) ADF(4) ADF(5) ADF(6) ) Contrastes de cointegración Hemos visto que rs(t) no es estacionaria, o sea que (1,-1,1) no es un vector de cointegración para las variables s(t), p(t), p*(t). Por eso vamos a relajar la teoría y a ver

7 si podemos por lo menos encontrar cointegración entre s(t) y ratio(t) = p(t) - p*(t). Entonces vamos a estimar la siguiente regresión de cointegración: s(t) = alpha + beta * ratio(t) +u(t) El caso beta=1 corresponde a lo que hemos estimado en la sección 4). Primero vamos a asegurarnos que el ratio es integrado. Por eso vamos a repetir para ratio lo que hemos hecho en la sección 3) para las tres series. GENR RATIO= CPIFR-CPIIT Resultados de los contrastes DF/ADF para RATIO (5%): RATIO Contraste Sin tendencia Con tendencia DF ADF(1) ADF(2) ADF(3) ADF(4) ADF(5) ADF(6) Los resultados son que no se puede rechazar la hipótesis nula que la variable ratio tiene una raíz unitaria, con lo cual tiene sentido estimar la regresión de cointegración. Quick/Estimate Equation/ X C RATIO Los resultados son los siguientes:

8 Vamos a generar una serie de residuos para esta ecuación: GENR RES1=RESID Resultados de contrastes de DF/ADF para los residuos (5%): Residuo Contraste DF ADF(1) ADF(2) ADF(3) ADF(4) ADF(5) ADF(6) No se puede rechazar la hipótesis nula de raíz unitaria para los residuos, o sea las series no son cointegradas. Por fin podemos ver si existe algún tipo de relación de cointegración entre las tres variables originales, sin imponer ninguna restricción teórica. Bajo la hipótesis que solo

existe una relación de cointegración (entre tres variables puede existir 0, 1 o 2 relaciones), vamos a estimar la siguiente regresión de cointegración: s(t) = alpha + beta1 *

9 existe una relación de cointegración (entre tres variables puede existir 0, 1 o 2 relaciones), vamos a estimar la siguiente regresión de cointegración: s(t) = alpha + beta1 * p(t) + beta2 * p*(t) +u(t) Quick/Estimate Equation/ X C CPIFR CPIIT Los resultados son los siguientes: Vamos a generar una serie de residuos para esta ecuación: GENR RES2=RESID

10 Resultados de contrastes de DF/ADF para los residuos (5%): Residuos Contraste DF ADF(1) ADF(2) ADF(3) ADF(4) ADF(5) ADF(6) En esta última ecuación tampoco se puede rechazar la hipótesis nula de raíz unitaria en los residuos de la ecuación, por lo cual rechazamos la hipótesis de una relación de cointegración entre las 3 series. Eso significa que la teoría de PPP no se verifica en estos dos países durante el periodo considerado. Puede ser que las series consideradas sean demasiado cortas para que se detecte la PPP.

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