Modelos de Enfermedades II Soluciones a los Ejercicios

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Ramón Serrano Méndez
hace 5 años
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1 CURSO: APLICACIÓN DE LA DINÁMICA DE SISTEMAS A LA EPIDEMIOLOGÍA (22 de febrero al 4 de marzo 216) Modelos de Enfermedades II Soluciones a los Ejercicios Fernando Morilla Dpto de Informática y Automática, UNED

2 Ejercicio 1 sobre Modelo SIR de las ET En base al modelo matemático, dibujar el diagrama de influencias, incorporando todas las variables (parámetros incluidos), y marcando todos los lazos de realimentación. Cuántas influencias ha detectado en la última ecuación del modelo? Con qué signo? Está de acuerdo con ellas? Utilice el diagrama para explicar cualitativamente el efecto a corto plazo y a largo plazo que tendría en otras variables un incremento del número de contactos por unidad de tiempo.

3 Modelo SIR de las ET Justificación de algunas influencias d S( t) dt Casos de vuelta a la susceptibilidad(t) Casos incidentes(t) Casos incidentes(t) Tasa de contagio ( t) S( t) Tasa de contagio () ( t ) = Contactos por unidad de tiempo Probabilidad de transmision de la enfermedad It S ( t ) I ( t ) R ( t )

4 Ejercicio 1 sobre Modelo SIR de las ET Solución: diagrama de influencias Tasa de vuelta a la susceptibilidad Casos de vuelta a la susceptibilidad Tasa de curacion S Casos incidentes I Casos de curacion R Tasa de contagio Contactos por unidad de tiempo Probabilidad de transmision de la enfermedad

5 Ejercicio 1 sobre Modelo SIR de las ET Solución: relaciones debidas a la última ecuación S I R Tasa de contagio Contactos por unidad de tiempo Probabilidad de transmision de la enfermedad Tasa de contagio( t) = Contactos por unidad de tiempo Probabilidad de transmision de la enfermedad It () S( t) I( t) R( t)

6 Ejercicio 1 sobre Modelo SIR de las ET Solución: efecto a corto plazo de un cambio en el número de contactos S Casos incidentes I Tasa de contagio Contactos por unidad de tiempo

7 Ejercicio 1 sobre Modelo SIR de las ET Solución: efecto a largo plazo de un cambio en el número de contactos Casos de vuelta a la susceptibilidad S Casos incidentes I Casos de curacion R Tasa de contagio Contactos por unidad de tiempo

8 Ejercicio 2 sobre Modelo SIR de las ET Programar el modelo SIR en Vensim. Reproducir los resultados del escenario con inmunidad permanente. Comprobar el efecto que sobre estos resultados tienen los parámetros: Tasa de curación Contactos por unidad de tiempo

9 Modelo SIR de las ET Diagrama de Forrester 3 variables de nivel (estados): S, I, R 3 flujos: Casos incidentes Casos de curación Casos de vuelta a la susceptibilidad 1 variable auxiliar: Tasa de contagio 4 parámetros: Contactos por unidad de tiempo Probabilidad de transmisión de la enfermedad Tasa de curación Tasa de vuelta a la susceptibilidad S Contactos por unidad de tiempo Casos incidentes Tasa de contagio Probabilidad de transmision de la enfermedad Tasa de vuelta a la susceptibilidad I Tasa de curacion Casos de vuelta a la susceptibilidad Casos de curacion R

10 Modelo SIR de las ET Escenario con inmunidad permanente (IP) Parámetros del modelo Contactos por unidad de tiempo = 5/día Probabilidad de transmisión de la enfermedad =.5 Tasa de curación =.125/día (equivale a 8 días de periodo infeccioso) Tasa de vuelta a la susceptibilidad =./día (equivale a inmunidad permanente) Condiciones iniciales Susceptibles = 999 personas sintomáticos = 1 persona Parámetros de simulación Tiempo de simulación 2 días Intervalo de simulación.1 día S I R Persona que enferma y tras un periodo infeccioso se recupera. Como la superación de la enfermedad genera inmunidad permanente, la persona ya no puede volver a ser contagiada.

11 personas/dia personas Modelo SIR de las ET: Escenario IP Susceptibles Sintomáticos Grupos de población Tiempo (días) Recuperados 3 Apartado 5.2 del Tema 7 La enfermedad se transmite sin alcanzar al total de la población. El grupo de susceptibles se estabiliza en aproximadamente 8 personas y el grupo de recuperados en 2 personas. Casos incidentes Transcurridos 13 días deja de haber casos, el máximo ( aprox. 22 personas/día) se presenta poco antes del día Tiempo (días)

12 Modelo SIR de las ET: Escenario IP Cómo afecta la tasa de curación? Apartado 5.2 del Tema 7

13 personas personas/dia personas personas Modelo SIR de las ET: Escenario IP Cómo afectan los contactos? 1, S 4 I S : ET_SIR_Ejemplo1_8contactos S : ET_SIR_Ejemplo1_5contactos S : ET_SIR_Ejemplo1_4contactos I : ET_SIR_Ejemplo1_8contactos I : ET_SIR_Ejemplo1_5contactos I : ET_SIR_Ejemplo1_4contactos 1, R 6 Casos incidentes R : ET_SIR_Ejemplo1_8contactos R : ET_SIR_Ejemplo1_5contactos R : ET_SIR_Ejemplo1_4contactos Casos incidentes : ET_SIR_Ejemplo1_8contactos Casos incidentes : ET_SIR_Ejemplo1_5contactos Casos incidentes : ET_SIR_Ejemplo1_4contactos

14 Ejercicio 3 sobre Modelo SIR de las ET Reproducir los resultados del escenario con inmunidad transitoria. Comprobar el efecto que sobre estos resultados tienen los parámetros: Tasa de vuelta a la susceptibilidad Tasa de curación Contactos por unidad de tiempo

15 Modelo SIR de las ET Escenario con inmunidad transitoria (IT) Parámetros del modelo Contactos por unidad de tiempo = 5/día Probabilidad de transmisión de la enfermedad =.5 Tasa de curación =.125/día (equivale a 8 días de periodo infeccioso) Tasa de vuelta a la susceptibilidad =.2/día (equivale a 5 días de inmunidad) Condiciones iniciales Susceptibles = 999 personas sintomáticos = 1 persona Parámetros de simulación Tiempo de simulación 4 días Intervalo de simulación.1 día

16 personas/dia personas Modelo SIR de las ET : Escenario IT Grupos de población Apartado 5.3 del Tema 7 La enfermedad se transmite y provoca una situación endémica. El grupo de susceptibles se estabiliza en aproximadamente 5 personas, el grupo de recuperados en 43 personas y el grupo de sintomáticos en 7 personas Tiempo (días) 3 Susceptibles Recuperados Sintomáticos Los casos incidentes alcanzan un máximo (aprox. 25 personas/día) a los 5 días y se estabilizan a partir de los 3 días en aproximadamente 9 personas/día. Lógicamente los otros dos flujos se habrán estabilizado en el mismo valor Casos incidentes Tiempo (días)

17 personas/dia Modelo SIR de las ET : Escenario IT Ojeada a los tres flujos Secuencia en el transitorio (corto plazo) Equilibrio en el estacionario (largo plazo) Flujos Tiempo (días) Casos incidentes Casos de curación Casos de vuelta a la susceptibilidad

18 Modelo SIR de las ET: Escenario IT Cómo afecta la tasa de vuelta a la susceptibilidad? Apartado 5.3 del Tema 7

19 personas personas/dia personas personas Modelo SIR de las ET: Escenario IT Cómo afecta la tasa de curación? 1, S 4 I S : ET_SIR_Ejemplo2_1curacion S : ET_SIR_Ejemplo2_125curacion S : ET_SIR_Ejemplo2_15curacion I : ET_SIR_Ejemplo2_1curacion I : ET_SIR_Ejemplo2_125curacion I : ET_SIR_Ejemplo2_15curacion 6 R 4 Casos incidentes R : ET_SIR_Ejemplo2_1curacion R : ET_SIR_Ejemplo2_125curacion R : ET_SIR_Ejemplo2_15curacion Casos incidentes : ET_SIR_Ejemplo2_1curacion Casos incidentes : ET_SIR_Ejemplo2_125curacion Casos incidentes : ET_SIR_Ejemplo2_15curacion

20 personas personas/dia personas personas Modelo SIR de las ET: Escenario IT Cómo afectan los contactos? 1, S 4 I S : ET_SIR_Ejemplo2_4contactos S : ET_SIR_Ejemplo2_5contactos S : ET_SIR_Ejemplo2_8contactos R R : ET_SIR_Ejemplo2_4contactos R : ET_SIR_Ejemplo2_5contactos R : ET_SIR_Ejemplo2_8contactos I : ET_SIR_Ejemplo2_4contactos I : ET_SIR_Ejemplo2_5contactos I : ET_SIR_Ejemplo2_8contactos Casos incidentes Casos incidentes : ET_SIR_Ejemplo2_4contactos Casos incidentes : ET_SIR_Ejemplo2_5contactos Casos incidentes : ET_SIR_Ejemplo2_8contactos

21 Ejercicio 4 sobre Modelo SIR de las ET Incorporar las medidas de frecuencia en el modelo SIR. Observación: proteger la división por cero en t=. Reproducir los resultados del escenario básico con inmunidad transitoria. Comparar las medidas de frecuencia en los dos escenarios básicos: IP e IT. Utilizar el modo Synthesim para comparar escenarios de IT intermedios.

22 Modelo SIR con medidas de frecuencia Tasa de vuelta a la susceptibilidad Casos de vuelta a la susceptibilidad Tasa de curacion S Casos incidentes I Casos de curacion R MODELO Tasa de contagio Contactos por unidad de tiempo <S> <I> <R> Probabilidad de transmision de la enfermedad <Casos incidentes> <Casos incidentes> <Casos de vuelta a la susceptibilidad> <Time> <S> <R> Personas en seguimiento <Personas en seguimiento> Prevalencia puntual Casos existentes <Casos existentes> <Casos hasta ese instante> Flujo de casos Tasa de incidencia Casos hasta ese instante <Total Personas tiempo> Personas tiempo <Casos hasta ese instante> Tasa de ataque Personas tiempo acumulado <Personas en seguimiento> Total Personas tiempo Observación: proteger la división por cero en t=. Variables intermedias Medidas de frecuencia

23 Dmnl Dmnl 1/dia Ejercicio 4 sobre Modelo SIR de las ET Solución: Medidas de frecuencia en los dos escenarios básicos: IP e IT..2 Prevalencias.1 Tasas de incidencia Tiempo (días) Inmunidad transitoria Inmunidad permanente Tiempo (días) Inmunidad transitoria Inmunidad permanente Los escenarios de IT intermedios estarían comprendidos entre el trazo rojo (tasa de vuelta a la susceptibilidad=) y el trazo azul (.2) Tasas de ataque Tiempo (días) Inmunidad transitoria Inmunidad permanente

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