Epidemiología Matemática

Transcripción

1 Capítulo 2 Epidemiología Matemática Hasta este momento las secciones anteriores nos proporcionan el comportamiento de algunos virus, bacterias y organismo que provocan algunas enfermedades. En esta sección vamos a estudiar modelos que proporcionan el comportamiento de una epidemia desde el punto de vista de los individuos que la padecen. Durante el proceso infeccioso y dependiendo del tipo de enfermedad, los individuos pueden pasar por todos o algunos de los siguientes estados: Susceptibles (S), estado en el cual el individuo puede ser contagiado por otro que esté infectado. Infectado (I), estado durante el cual el individuo se halla infectado y puede además infectar. Recuperado (R), estado durante el cuál el individuo no puede ni ser infectado por haber adquirido inmunidad (temporal o permanente), ni infectar por haber recuperado o haber pasado la etapa contagiosa de la enfermedad. Entre las enfermedades infectocontagiosas encontramos dos grupos principales: Las que confieren inmunidad al infectado una vez recuperado, la mayoría de ellas son origen viral como el sarampión, la varicela y poliomielitis entre otras. Las que una vez recuperado el individuo vuelve a ser susceptible inmediatamente. Normalmente estas enfermedades suelen estar causadas por agentes bacterianos como la peste, algunas meningitis o por protozoos como la malaria. Teniendo en cuenta los distintos estados relacionados con un proceso infeccioso, los modelos epidemiológicos matemáticos se dividen en tres grandes grupos: SIR 33

2 2.. MODELO SIS 34 El modelo susceptible-infectado-recuperado, relacionado con las enfermedades que confieren inmunidad permanente y un ciclo típico incluye los tres estados. Esto no quiere decir que todos los individuos de una población deben pasar por estos tres estados, algunos no serán infectados y permanecerán sanos, o sea siempre en estado S, otros serán inmunizados artificialmente por vacunación o por algún otro método y pasarán a ser recuperados R sin haber estado infectados. SIRS El modelo susceptible-infectado-recuperado-susceptible, idéntico al anterior, pero aplicable a casos en que la inmunidad no es permanente y el individuo vuelve a ser susceptible después de un cierto periodo, tal como la gripe. SIS El modelo susceptible-infectado-susceptible, se utiliza en casos en que la enfermedad no confiere inmunidad y el individuo pasa de estar infectado a susceptible nuevamente, saltando la etapa de recuperado R. Para el estudio que vamos a realizar de los distintos modelos suponemos que tenemos una población cerrada, en el sentido que en cada instante de tiempo siempre hay el mismo número de individuos. De forma análoga al estudio de modelo de población realizado en las secciones anteriores, a estos modelos se le pueden añadir los factores que afectan a la dinámica vital de la población, nacimientos, muertes, movimientos migratorios,etc. En este caso normalmente se trataría de una población abierta, es decir, en cada instante de t el número de individuos totales es distinto. 2.. Modelo SIS Sea N(t) elnúmerodeindividuostotalesquehayenlapoblaciónenelinstantet. Eneste modelo, se estudia la población N(t) divididaendosgrupos: S(t) número de individuos susceptibles a contraer la enfermedad en el instante t, I(t) númerodeindividuosinfectadosenelinstantet. Las variaciones de estas poblaciones son consecuencia del contagio por parte de individuos infectados a individuos susceptibles, e individuos infectados que se recuperan y vuelven a ser susceptibles. El contagio se produce a través de una tasa de contagio (β)quedependedecadaenfermedad ydependedeambaspoblaciones,mientrasquelarecuperaciónseproduceatravésdeunatasa de recuperación (γ) que sólo depende de la población de individuos infectados que haya en cada momento. Métodos Matemáticos para las Ciencias de la Salud. Curso 24/5.

3 MODELO SIS Con la misma notación anterior podemos expresar estas variaciones como: S(t + t) =S(t) β I(t) S(t) t + γ I(t) t, I(t + t) =I(t)+β I(t) S(t) t γ I(t) t. En consecuencia el modelo se escribe, S (t) = βi(t)s(t)+γi(t), I (t) =βi(t)s(t) γi(t), S() = S, I() = I. Si la población es cerrada, entonces N(t) =S(t)+I(t) esconstanteencadainstantet, es decir N(t) =N para todo los valores de t, enparticularparat =,luego: N(t) =N() = S() + I() = S + I = N Si la población es constante, no hay variación en la población total, y en consecuencia N (t) =S (t) +I (t) =.Portantoenestecasolossegundosmiembrosdelasecuaciones diferenciales deben sumar. Para estudiar el comportamiento de ambas poblaciones, en primer lugar estudiamos los puntos de equilibrio. Estos puntos de equilibrio van a depender de los parámetros β, γ y N. Buscamos si hay algún instante t para el que: de donde βi(t)s(t)+γi(t) =, βi(t)s(t) γi(t) = I(t)(βS(t) γ) =, entonces, o bien I(t) =obienβs(t) γ =. Si I(t) =,comolapoblaciónescerrada,entoncess(t) =N, luegotenemosunprimer punto de equilibrio (N,). Si βs(t) γ =,entoncess(t) = γ β,ytenemosotroequilibrio(γ β,n γ β ). Gráficamente, podemos observar los siguientes casos: Métodos Matemáticos para las Ciencias de la Salud. Curso 24/5.

4 2.. MODELO SIS 36 Caso γ β <N:Enestecasoexisten2posiblesequilibrios(S, I) =(N,) y (S, I) =(N γ β ). 9 gamma=.5, beta=., gamma/beta<n= 9 gamma=.8, beta=., gamma/beta<n= population 6 5 susceptible infected population 6 5 susceptible infected time time Figura : γ β <N Caso γ β >N:Enestecasosóloapareceelequilibrio(S, I) =(N,). 9 gamma=.5, beta=., gamma/beta>n= susceptible infected 9 gamma=.5, beta=., gamma/beta>n= susceptible infected population population time time Figura 2: γ β >N Como podemos observar, el comportamiento del modelo depende de los parámetros pero a través del cociente γ,estonosllevaaplantearnossipodemosvolveraconstruirelmodelocon βn un sólo parámetro que corresponda al cociente. Métodos Matemáticos para las Ciencias de la Salud. Curso 24/5.

5 MODELO SIS Este proceso se conoce con el nombre de adimensionalización del modelo, y consiste en hacer un cambio de variables de manera que las nuevas variables no tengan dimensión. Este cambio de variable se hace buscando cantidades características de cada una de las variables. Adimensionalización del modelo SIS En primer lugar vemos las dimensiones de cada una de las variables y tasas que intervienen en el modelo: γ= tasaderecuperación=constantequemidelaintensidadderecuperacióndelos infectados, luego tiene dimensión /(unidades de tiempo). S, I= númerodeindividuossusceptibleeinfectadosrespectivamente, dimensiónnúmero de individuos. N =número de individuos totales, dimensión número de individuos. β= tasadecontagio=constantequemidelaprobabilidadporunidaddetiempoy por individuo de contraer la enfermedad, dimensión /unidades de tiempo * número de individuos. Según estas dimensiones el cambio de variable, debe hacerse de la siguiente forma: t = γt, S (t )= S(t) N, I (t )= I(t) N Veamos como se escribe el modelo con estos cambios de variable, tenemos que ver las ecuaciones diferenciales,y las condiciones iniciales en las nueva variables, para ello tenemos en cuenta la regla de la cadena y dt = γ. dt La primera ecuación diferencial del modelo es: Como S(t) =NS (t ), entonces ds(t) dt = βi(t)s(t)+γi(t). ds(t) dt = N ds (t ) dt dt dt = (t ) NγdS, dt lo que constituye el primer miembro de la ecuación, el segundo miembro se obtiene sustituyendo simplemente cada una de las variables, luego o equivalentemente Nγ ds (t ) dt = βni (t )NS (t )+γni (t ), ds (t ) dt = βn γ I (t )S (t )+I (t ). Métodos Matemáticos para las Ciencias de la Salud. Curso 24/5.

6 2.. MODELO SIS 38 Análogamente se hace para la segunda ecuación del modelo, y las condiciones iniciales pasan a ser S () = S /N = S y I () = T /N = I. Por tanto el modelo se escribe ahora: ds (t ) = σi (t )S (t )+I (t ), dt di (t ) = σi (t )S (t ) I (t ), dt S () = S, I () = I. donde σ = βn es el único parámetro del modelo. Notemos que en estas nuevas variables los γ valores de S e I tienen que estar entre y. Veamos ahora los puntos de equilibrio y su comportamiento. Tenemos dos puntos de equilibrio (, ) y (/σ, /σ), como vemos el segundo punto depende del parámetro σ lo que nos lleva a las siguientes situaciones: Si σ, entonces /σ yportantonoesunequilibriodelsistema,luegohayunúnico equilibrio que corresponde a la extinción de la enfermedad. Si σ >, entonces los dos puntos son puntos de equilibrio, que corresponden a una enfermedad que se convierte en endémica. Veamos el comportamiento cualitativo de las poblaciones, Si partimos de S < /σ, entoncesi es decreciente y S creciente hasta el valor de equilibrio, que será (/σ, /σ), si σ>y(, ) en el otro caso. Si partimos ahora de S > /σ, sólopuedeocurrirestosiσ>yaqueenelotrocaso S seria mayor que, que no tiene sentido. El comportamiento esperado es entonces I creciente y S decreciente hasta el valor de equilibrio, que será (/σ, /σ). En la figura 3 podemos comprobar estos comportamientos para distintos valores de σ Métodos Matemáticos para las Ciencias de la Salud. Curso 24/5.

7 MODELO SIS Epidemia en extincion (.5).7 Endemia sin extincion (.5).8.6 susceptibles infectados.6.5 susceptibles infectados Endemia sin extincion (.5).6.5 susceptibles infectados Figura 3: Modelo SIS Métodos Matemáticos para las Ciencias de la Salud. Curso 24/5.

8 2.2. MODELO SIR Modelo SIR En este modelo, se estudia la población dividida en tres grupos: S número de individuos susceptibles a contraer la enfermedad, I número de individuos infectados, R número de individuos que han adquirido inmunidad permanente a la enfermedad. Las variaciones de estas poblaciones son consecuencia del contagio por parte de individuos infectados a individuos susceptibles, e individuos infectados que se recuperan permanentemente, es decir, no vuelven a ser susceptibles. El contagio se produce a través de una tasa de contagio (β)quedependedecadaenfermedad ydependedelaspoblacionesdeindividuossusceptibleseinfectados,mientrasquelarecuperación se produce a través de una tasa de recuperación (γ) que sólo depende de la población de individuos infectados que haya en cada momento. Con la misma notación anterior podemos expresar estas variaciones como: S(t + t) =S(t) β I(t) S(t) t, I(t + t) =I(t)+β I(t) S(t) t γ I(t) t, R(t + t) =R(t)+γ I(t) t. En consecuencia el modelo se escribe, S (t) = βi(t)s(t), I (t) =βi(t)s(t) γi(t), R (t) =γi(t), S() = S, I() = I, R() = R. Para estudiar el comportamiento de las poblaciones, en primer lugar estudiamos los puntos de equilibrio. Estos puntos de equilibrio van a depender de los parámetros β, γ y N. Buscamos si hay algún instante t para el que: βi(t)s(t) =, βi(t)s(t) γi(t) =, γi(t) = de donde I(t) = siempre. Entonces, como la población es cerrada, los puntos de equilibrio son de la forma (S,,N S), con S cualquier valor entre y N. Veamos el comportamiento cualitativo de las poblaciones: La población de los susceptibles es siempre decreciente. Métodos Matemáticos para las Ciencias de la Salud. Curso 24/5.

9 MODELO SIR La población de los recuperados es siempre creciente. De la población de los infectados no podemos asegurar a priori, cual va a ser su crecimiento, pero si que va a tender a cero con el paso del tiempo. Gráficamente, podemos observar los siguientes casos: S(t) I(t).8 smallpox.7 R(t) measles/pertussis sigma=6.8.7 S(t) I(t) R(t).8.7 rubella/dipththeria Métodos Matemáticos para las Ciencias de la Salud. Curso 24/5.

10 2.2. MODELO SIR sigma= varicella sigma=5.8.7 S(t) I(t) R(t).8.7 Scarlet fever/ Mumps Adimensionalización del modelo SIR Como hemos observado, los puntos de equilibrio van a depender de nuevo de los parámetros β, γ y N, y por la misma razón que en el modelo SIS procedemos a realizar una adimensionalización del modelo. Las dimensiones de las variables son las mismas que en el modelo anterior, y por tanto el cambio de variables es el mismo, es decir, t = γt, S (t )= S(t) N, I (t )= I(t) N, R (t )= R(t) N. Veamos como se escribe el modelo con estos cambios de variable, tenemos que ver las ecuaciones diferenciales,y las condiciones iniciales en las nueva variables, para ello tenemos en cuenta la regla de la cadena y dt dt = γ. Métodos Matemáticos para las Ciencias de la Salud. Curso 24/5.

11 MODELO SIR El modelo se escribe: ds (t ) dt = σi (t )S (t ), di (t ) dt = σi (t )S (t ) I (t ), dr (t ) dt = I (t ), S () = S, I () = I, R () = R. donde σ = βn es el único parámetro del modelo. Notemos que en estas nuevas variables los γ valores de S, I y R tienen que estar entre y. En este caso hay un único punto de equilibrio que corresponde a (S,, S), con S cualquier valor entre y. A diferencia de los anteriores modelos estudiados el punto de equilibrio no es fijo, es lo que se llama un equilibrio libre. Veamos el comportamiento cualitativo de las poblaciones, La población de los susceptibles es siempre decreciente. La población de los recuperados es siempre creciente. De la población de los infectados no podemos asegurar a priori, cual va a ser su crecimiento, pero si que va a tender a cero con el paso del tiempo. Como aplicación de este modelo, vamos a estudiar las siguientes enfermedades de las que conocemos el parámetro σ: Infección σ Viruela 3-5 Sarampión 2-3 Tosferina 3-7 Rubeola 6-7 Varicela 9- Difteria 4-6 Escarlatina 5-7 Paperas 4-7 En las figuras 4 y 5 podemos comprobar estos comportamientos para las distintas enfermedades. Para cada una de ellas se han obtenido dos gráficas con las condiciones iniciales siguientes: gráficas de la columna de la izquierda S =,7, I =,3 yr =,yparalacolumnadela derecha S =,3, I =,7 yr =. Por último en la siguiente tabla presentamos los valores de equilibrio obtenidos en estas gráficas: Métodos Matemáticos para las Ciencias de la Salud. Curso 24/5.

12 2.2. MODELO SIR Viruela Tosferina Sarampion Rubeola Figura 4: Modelo SIR Métodos Matemáticos para las Ciencias de la Salud. Curso 24/5.

13 MODELO SIR.5.5 Varicela Difteria Escarlatina Paperas Figura 5: Modelo SIR Métodos Matemáticos para las Ciencias de la Salud. Curso 24/5.

14 2.2. MODELO SIR 46 Infección r s r2 s2 Viruela Sarampión.. Tosferina.. Rubeola Varicela.. Difteria Escarlatina Paperas Métodos Matemáticos para las Ciencias de la Salud. Curso 24/5.