Modelos de Enfermedades II

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1 CURSO: APLICACIÓN DE LA DINÁMICA DE SISTEMAS A LA EPIDEMIOLOGÍA (2 de febrero al 3 de marzo 217) Modelos de Enfermedades II Fernando Morilla Dpto de Informática y Automática, UNED

2 Contenido Modelo SIR de las ET Epidemia de alcance parcial Situación endémica Número reproductivo básico Modelo SIR de las ET con medidas de frecuencia Prevalencia puntual Tasa de incidencia Tasa de ataque La vacunación en las ET Hipótesis habituales Modelo SIRV

3 Modelo SIR de las ET Prescindimos de cinco estados del modelo genérico para centrarnos en la evolución natural de las ET por los estados (S, I, R). 3 estados, 3 transiciones S I R S Sí I Sí R No/Sí

4 Modelo SIR de las ET Útil cuando no hay constancia de periodo de latencia en la enfermedad, o éste es muy pequeño en relación con el periodo infeccioso. El flujo Casos observados desaparece porque coincide en todo momento con los Casos incidentes. Sigue siendo ampliación del SIR propuesto por Kermack y McKendrick en 1927, pues en el modelo original no existe la pérdida de inmunidad. Alguna enfermedad en la que se podría emplear? Secuencia S I R S Proceso Persona que, como consecuencia de un contagio, desarrolla la enfermedad, con síntomas de forma inmediata. Tras un periodo de enfermedad se recupera, y como la enfermedad no genera inmunidad permanente, al cabo de un cierto tiempo vuelve a ser susceptible.

5 Modelo SIR de las ET Diagrama de Forrester 3 variables de nivel (estados): S, I, R 3 flujos: Casos incidentes Casos de curación Casos de vuelta a la susceptibilidad 1 variable auxiliar: Tasa de contagio 4 parámetros: Contactos por unidad de tiempo Probabilidad de transmisión de la enfermedad Tasa de curación Tasa de vuelta a la susceptibilidad S Contactos por unidad de tiempo Casos incidentes Tasa de contagio Probabilidad de transmision de la enfermedad Tasa de vuelta a la susceptibilidad I Tasa de curacion Casos de vuelta a la susceptibilidad Casos de curacion R

6 Modelo SIR de las ET Modelo matemático d S( t) dt d I( t) dt d R( t) dt Casos de vuelta a la susceptibilidad(t) Casos incidentes(t) Casos incidentes(t) Casos de curacion(t) Casos de curacion(t) Casos de vuelta a la susceptibilidad(t) Casos incidentes(t) Tasa de contagio ( t) S( t) Casos de curacion(t) Tasa de curacion I( t) Casos de vuelta a la susceptibilidad(t) Tasa de vuelta a la susceptibilidad R( t) Tasa de contagio( t) = Contactos por unidad de tiempo Probabilidad de transmision de la enfermedad It () S( t) I( t) R( t)

7 Ejercicio 1 sobre Modelo SIR de las ET En base al modelo matemático, dibujar el diagrama de influencias, incorporando todas las variables (parámetros incluidos), y marcando todos los lazos de realimentación. Cuántas influencias ha detectado en la última ecuación del modelo? Con qué signo? Está de acuerdo con ellas? Utilice el diagrama para explicar cualitativamente el efecto a corto plazo y a largo plazo que tendría en otras variables un incremento del número de contactos por unidad de tiempo.

8 Modelo SIR de las ET Justificación de algunas influencias d S( t) dt - Casos de vuelta a la susceptibilidad(t) Casos incidentes(t) Casos incidentes(t) Tasa de contagio ( t) S( t) Tasa de contagio () ( t ) = Contactos por unidad de tiempo Probabilidad de transmision de la enfermedad It S ( t ) I ( t ) R ( t ) - -

9 Ejercicio 1 sobre Modelo SIR de las ET Solución: diagrama de influencias Tasa de vuelta a la susceptibilidad Casos de vuelta a la susceptibilidad - Tasa de curacion S - - Casos incidentes I - Casos de curacion - R Tasa de contagio - Contactos por unidad de tiempo Probabilidad de transmision de la enfermedad

10 Ejercicio 1 sobre Modelo SIR de las ET Solución: relaciones debidas a la última ecuación S I R - Tasa de contagio - Contactos por unidad de tiempo Probabilidad de transmision de la enfermedad Tasa de contagio( t) = Contactos por unidad de tiempo Probabilidad de transmision de la enfermedad It () S( t) I( t) R( t)

11 Ejercicio 1 sobre Modelo SIR de las ET Solución: efecto a corto plazo de un cambio en el número de contactos S - Casos incidentes I Tasa de contagio Contactos por unidad de tiempo

12 Ejercicio 1 sobre Modelo SIR de las ET Solución: efecto a largo plazo de un cambio en el número de contactos Casos de vuelta a la susceptibilidad - S - - Casos incidentes I - Casos de curacion - R Tasa de contagio - Contactos por unidad de tiempo

13 Modelo SIR de las ET Escenario con inmunidad permanente (IP) Parámetros del modelo Contactos por unidad de tiempo = 5/día Probabilidad de transmisión de la enfermedad =.5 Tasa de curación =.125/día (equivale a 8 días de periodo infeccioso) Tasa de vuelta a la susceptibilidad =./día (equivale a inmunidad permanente) Condiciones iniciales Susceptibles = 999 personas sintomáticos = 1 persona Parámetros de simulación Tiempo de simulación 2 días Intervalo de simulación.1 día S I R Persona que enferma y tras un periodo infeccioso se recupera. Como la superación de la enfermedad genera inmunidad permanente, la persona ya no puede volver a ser contagiada.

14 personas/dia personas Modelo SIR de las ET: Escenario IP Susceptibles Sintomáticos Grupos de población Tiempo (días) Recuperados 3 Apartado 5.2 del Tema 7 La enfermedad se transmite sin alcanzar al total de la población. El grupo de susceptibles se estabiliza en aproximadamente 8 personas y el grupo de recuperados en 2 personas. Casos incidentes Transcurridos 13 días deja de haber casos, el máximo ( aprox. 22 personas/día) se presenta poco antes del día Tiempo (días)

15 Modelo SIR de las ET: Escenario IP Cómo afecta la tasa de curación? Apartado 5.2 del Tema 7

16 Ejercicio 2 sobre Modelo SIR de las ET Programar el modelo SIR en Vensim. Reproducir los resultados del escenario con inmunidad permanente. Comprobar el efecto que sobre estos resultados tienen los parámetros: Tasa de curación Contactos por unidad de tiempo

17 personas personas/dia personas personas Modelo SIR de las ET: Escenario IP Cómo afectan los contactos? 1, S 4 I Time (dia) S : ET_SIR_Ejemplo1_8contactos S : ET_SIR_Ejemplo1_5contactos S : ET_SIR_Ejemplo1_4contactos Time (dia) I : ET_SIR_Ejemplo1_8contactos I : ET_SIR_Ejemplo1_5contactos I : ET_SIR_Ejemplo1_4contactos 1, R 6 Casos incidentes Time (dia) R : ET_SIR_Ejemplo1_8contactos R : ET_SIR_Ejemplo1_5contactos R : ET_SIR_Ejemplo1_4contactos Time (dia) Casos incidentes : ET_SIR_Ejemplo1_8contactos Casos incidentes : ET_SIR_Ejemplo1_5contactos Casos incidentes : ET_SIR_Ejemplo1_4contactos

18 Modelo SIR de las ET Escenario con inmunidad transitoria (IT) Parámetros del modelo Contactos por unidad de tiempo = 5/día Probabilidad de transmisión de la enfermedad =.5 Tasa de curación =.125/día (equivale a 8 días de periodo infeccioso) Tasa de vuelta a la susceptibilidad =.2/día (equivale a 5 días de inmunidad) Condiciones iniciales Susceptibles = 999 personas sintomáticos = 1 persona Parámetros de simulación Tiempo de simulación 4 días Intervalo de simulación.1 día

19 personas/dia personas Modelo SIR de las ET : Escenario IT Grupos de población Apartado 5.3 del Tema 7 La enfermedad se transmite y provoca una situación endémica. El grupo de susceptibles se estabiliza en aproximadamente 5 personas, el grupo de recuperados en 43 personas y el grupo de sintomáticos en 7 personas Tiempo (días) 3 Susceptibles Recuperados Sintomáticos Los casos incidentes alcanzan un máximo (aprox. 25 personas/día) a los 5 días y se estabilizan a partir de los 3 días en aproximadamente 9 personas/día. Lógicamente los otros dos flujos se habrán estabilizado en el mismo valor Casos incidentes Tiempo (días)

20 personas/dia Modelo SIR de las ET : Escenario IT Ojeada a los tres flujos Secuencia en el transitorio (corto plazo) Equilibrio en el estacionario (largo plazo) Flujos Tiempo (días) Casos incidentes Casos de curación Casos de vuelta a la susceptibilidad

21 Modelo SIR de las ET: Escenario IT Cómo afecta la tasa de vuelta a la susceptibilidad? Apartado 5.3 del Tema 7

22 Ejercicio 3 sobre Modelo SIR de las ET Reproducir los resultados del escenario con inmunidad transitoria. Comprobar el efecto que sobre estos resultados tienen los parámetros: Tasa de vuelta a la susceptibilidad Tasa de curación Contactos por unidad de tiempo

23 personas personas/dia personas personas Modelo SIR de las ET: Escenario IT Cómo afecta la tasa de curación? 1, S 4 I Time (dia) S : ET_SIR_Ejemplo2_1curacion S : ET_SIR_Ejemplo2_125curacion S : ET_SIR_Ejemplo2_15curacion Time (dia) I : ET_SIR_Ejemplo2_1curacion I : ET_SIR_Ejemplo2_125curacion I : ET_SIR_Ejemplo2_15curacion 6 R 4 Casos incidentes Time (dia) R : ET_SIR_Ejemplo2_1curacion R : ET_SIR_Ejemplo2_125curacion R : ET_SIR_Ejemplo2_15curacion Time (dia) Casos incidentes : ET_SIR_Ejemplo2_1curacion Casos incidentes : ET_SIR_Ejemplo2_125curacion Casos incidentes : ET_SIR_Ejemplo2_15curacion

24 personas personas/dia personas personas Modelo SIR de las ET: Escenario IT Cómo afectan los contactos? 1, S 4 I Time (dia) S : ET_SIR_Ejemplo2_4contactos S : ET_SIR_Ejemplo2_5contactos S : ET_SIR_Ejemplo2_8contactos R Time (dia) R : ET_SIR_Ejemplo2_4contactos R : ET_SIR_Ejemplo2_5contactos R : ET_SIR_Ejemplo2_8contactos Time (dia) I : ET_SIR_Ejemplo2_4contactos I : ET_SIR_Ejemplo2_5contactos I : ET_SIR_Ejemplo2_8contactos Casos incidentes Time (dia) Casos incidentes : ET_SIR_Ejemplo2_4contactos Casos incidentes : ET_SIR_Ejemplo2_5contactos Casos incidentes : ET_SIR_Ejemplo2_8contactos

25 Modelo SIR de las ET versus SI El modelo SI únicamente vale para recrear epidemias de alcance total sobre la población. Se agota el grupo de población S, toda la población queda en el grupo I. El modelo SIR permite: Recrear epidemias de alcance parcial sobre la población. Basta suponer que no hay vuelta a la susceptibilidad. Se agota el grupo de población I, la enfermedad desaparece. La población queda repartida entre los grupos S y R. Recrear situaciones endémicas. La enfermedad coexiste con una situación de equilibrio en los tres grupos de población.

26 Modelo SIR de las ET El número reproductivo básico R o. Informa del número medio de infecciones secundarias producidas por una persona infectada en el seno de una población donde todos los demás son susceptibles (Anderson y May, 25) Transmisión de la enfermedad sí y sólo si Ro>1. En los escenarios básicos anteriores, R o = 5*.5*8 = 2. La gripe suele tener asociado R o de aproximadamente 1.3 S R o Contactos por unidad de tiempo Probabilidad de transmision de la enfermedad Tasa de curacion Ro Contactos por unidad de tiempo Probabilidad de transmision de la enfermedad Periodo infeccioso Distribución inicial de la población Poblacion inicial S() I() R() < S() < Población inicial Situación endémica, independiente de la distribución inicial. Dependiente del tamaño de la población y de los cuatro parámetros Poblacion inicial R o I R < I() < Población inicial R() < Población inicial Tasa de vuelta a la susceptibilidad Ro 1 Poblacion inicial Tasa de curacion Tasa de vuelta a la susceptibilidad R Tasa de curacion Ro 1 Poblacion inicial Tasa de curacion Tasa de vuelta a la susceptibilidad R o o Apartado 5.3 del Tema 7

27 Modelo SIR de las ET: Escenario IP R o recoge las influencias de tres parámetros: Contactos por unidad de tiempo Probabilidad de transmisión de la enfermedad Tasa de curación Cómo afecta la tasa de curación? Si la tasa de curación aumenta, R o disminuye R o = 2.5 R o = 2. R o 1.7 La epidemia tiene mayor intensidad y menor duración cuanto mayor es el R o

28 personas/dia Modelo SIR de las ET: Escenario IT Ejemplo de intervenciones en el escenario básico a partir del día 3: MPP1; De R o = 2 a R o = 1.6 por intensificación de las medidas profilácticas (afectan a la probabilidad de transmisión de la enfermedad). MPP2; De R o = 2 a R o =.96 por intensificación tanto de las medidas profilácticas como de las medidas de aislamiento (afectan a los contactos por unidad de tiempo) Casos incidentes Apartado 2 del Tema Tiempo (días) Ro=2 MPP1 (Ro=1.6) MPP2 (Ro=.96)

29 Modelo SIR con medidas de frecuencia Medidas de frecuencia, puntuales o relativas a un periodo de observación: Periodo de observación: Se propone considerar el tiempo transcurrido desde el inicio de la simulación hasta el instante actual. Prevalencia puntual: Proporción de la población que está enferma en un instante concreto. Prevalencia puntual(t) Casos existentes( t) Personas en seguimiento( t) Apartado 7 del Tema 3

30 Modelo SIR con medidas de frecuencia Tasa de incidencia: Cociente entre el número de casos de enfermedad contabilizados en el periodo de observación y el total de personas de las que han surgido estos casos. Tasa de incidencia(t) Incidencia acumulada (Tasa de ataque): Es la tasa de incidencia en relación al tamaño que tenía la población cuando se inició el estudio. Incidencia acumulada(t) Casos hasta ese instante( t) Total Personas tiempo(t) Casos hasta ese instante( t) Poblacion inicial Apartados 4 y 5 del Tema 3

31 Modelo SIR con medidas de frecuencia Variables intermedias: <S> <I> <R> Personas en seguimiento Casos existentes: Las personas sintomáticas. Casos existentes( t) I( t) Personas en seguimiento: Toda la población (susceptibles, sintomáticos y recuperados). Que, por tratarse de una población cerrada (ausencia de muerte tanto natural como consecuencia de la enfermedad), es igual a la población inicial. Personas en seguimiento( t) S( t) I( t) R( t) Casos existentes Apartados y 7.6

32 Modelo SIR con medidas de frecuencia Variables intermedias: <Casos incidentes> Flujo de casos Casos hasta ese instante Casos hasta ese instante:proporciona una contabilidad del número total de casos registrados desde el inicio de la simulación hasta ese instante. Flujo casos( t) Casos existentes( t) d Casos hasta ese instante( t) dt Flujo casos( t) Apartados y 7.6

33 Modelo SIR con medidas de frecuencia Variables intermedias: Casos hasta ese instante <Casos incidentes> <Casos de vuelta a la susceptibilidad> <Time> <S> <R> Personas tiempo Personas tiempo acumulado Total Personas tiempo Total personas tiempo: Proporciona una contabilidad del tiempo de seguimiento que totalizan todas las personas desde el inicio de la simulación hasta ese instante. Personas tiempo( t) Casos existentes( t) Casos de vuelta a la susceptibilidad( t) t d Personas tiempo acumulado( t) Personas tiempo() t dt Total Personas tiempo( t) Personas tiempo acumulado S( t) R( t) t Apartados y 7.6

34 Modelo SIR con medidas de frecuencia Tasa de vuelta a la susceptibilidad Casos de vuelta a la susceptibilidad Tasa de curacion S Casos incidentes I Casos de curacion R MODELO Tasa de contagio Contactos por unidad de tiempo <S> <I> <R> Probabilidad de transmision de la enfermedad <Casos incidentes> <Casos incidentes> <Casos de vuelta a la susceptibilidad> <Time> <S> <R> Personas en seguimiento <Personas en seguimiento> Prevalencia puntual Casos existentes <Casos existentes> <Casos hasta ese instante> Flujo de casos Tasa de incidencia Casos hasta ese instante <Total Personas tiempo> Personas tiempo <Casos hasta ese instante> Tasa de ataque Personas tiempo acumulado <Personas en seguimiento> Total Personas tiempo Observación: proteger la división por cero en t=. Variables intermedias Medidas de frecuencia

35 Dmnl Modelo SIR con medidas de frecuencia Escenario IT.2 Prevalencia Tiempo (días) La Prevalencia puntual es una réplica escalada de la evolución del grupo sintomáticos. Es un indicativo de que la enfermedad se ha hecho endémica, afecta a aproximadamente el 7% de la población.

36 1/dia Modelo SIR con medidas de frecuencia Escenario IT.1 Tasa de incidencia Tiempo (días) La Tasa de incidencia crece rápidamente y se estabiliza en aproximadamente.9 casos/persona*día a los 9 días. Es un indicativo de que en la situación endémica se están produciendo aproximadamente 9 casos diarios de enfermedad.

37 Dmnl Modelo SIR con medidas de frecuencia Escenario IT 4 Tasa de ataque Tiempo (días) La Tasa de ataque supera a la unidad a los 9 días, y crece indefinidamente debido a que las personas recaen en la enfermedad. Luego en aproximadamente 9 días toda la población se ha visto afectada por la enfermedad.

38 Ejercicio 4 sobre Modelo SIR de las ET Incorporar las medidas de frecuencia en el modelo SIR. Observación: proteger la división por cero en t=. Reproducir los resultados del escenario básico con inmunidad transitoria. Comparar las medidas de frecuencia en los dos escenarios básicos: IP e IT. Utilizar el modo Synthesim para comparar escenarios de IT intermedios.

39 Dmnl Dmnl 1/dia Ejercicio 4 sobre Modelo SIR de las ET Solución: Medidas de frecuencia en los dos escenarios básicos: IP e IT..2 Prevalencias.1 Tasas de incidencia Tiempo (días) Inmunidad transitoria Inmunidad permanente Tiempo (días) Inmunidad transitoria Inmunidad permanente Los escenarios de IT intermedios estarían comprendidos entre el trazo rojo (tasa de vuelta a la susceptibilidad=) y el trazo azul (.2) Tasas de ataque Tiempo (días) Inmunidad transitoria Inmunidad permanente

40 La vacunación en ET La vacunación es una de las medidas de prevención primaria. Hipótesis: Tiene lugar en una ventana temporal concreta (campaña de vacunación). La cobertura vacunal es fija, se distribuye uniformemente en la población y en el tiempo. Las vacunas no son 1% efectivas. La protección no es inmediata, pero sí permanente.

41 La vacunación en ET: modelo SIRV Tasa de vuelta a la susceptibilidad en recuperados Casos de vuelta a la susceptibilidad en recuperados Tasa de curacion S Casos incidentes I Casos de curacion R Retraso en la adquisicion de inmunidad Vacunaciones Tasa de contagio Vacunaciones efectivas V Contactos por unidad de tiempo Probabilidad de transmision de la enfermedad Tasa de efectividad de las vacunas Vacunas diarias Total de vacunas Poblacion total inicial Cobertura vacunal Inicio de la vacunacion Fin de la vacunacion Apartado 3 del Tema 8

42 La vacunación en ET Cambios en el modelo matemático SIR. Total de vacunas = Cobertura vacunal 1 Total de vacunas Vacunas diarias( t) Fin de la vacunacion Inicio de la vacunacion Poblacion total inicial si t Inicio de la vacunacion si Inicio de la vacunacion t Fin de la vacunacion si t Fin de la vacunacion Vacunaciones efectivas( t) Tasa de efectividad de la vacuna Vacunaciones diarias( t) Vacunaciones( t) Vacunaciones efectivas( t Retraso en la adquisicion de inmunidad) d S( t) dt d V ( t) dt Vacunaciones(t) Casos de vuelta a la susceptibilidad(t) Casos incidentes(t) Vacunaciones(t) Tasa de contagio( t) = Contactos por unidad de tiempo Probabilidad de transmision de la enfermedad It () S( t) I( t) R( t) V ( t) Apartado 3 del Tema 8

43 personas/dia La vacunación en ET Ejemplo en el escenario básico IT. Cobertura vacunal del 4%, con inicio el día 1 y fin el día 4. Tasa de efectividad del.95. Proporciona inmunidad a los 2 días. 2 Vacunaciones con cobertura del 4% Tiempo (días) Vacunas diarias : ET_SIRV Vacunaciones : ET_SIRV

44 personas La vacunación en ET Ejemplo en el escenario básico IT. 1 Susceptibles Tiempo (días) Sin cobertura vacunal Con cobertura vacunal del 4% La vacunación no afecta a R o, luego la enfermedad evoluciona a la misma situación endémica en la población de susceptibles.

45 personas personas personas La vacunación en ET Ejemplo en el escenario básico IT Vacunados Tiempo (días) Sin cobertura vacunal Con cobertura vacunal del 4% Como la vacunación desvía una gran parte de la población susceptible al estado Vacunados, el resto de población, a repartir entre Sintomáticos y Recuperados, es mucho menor que antes. Este efecto se aprecia muy bien en la nueva situación endémica de estos dos grupos de población Sintomáticos Tiempo (días) Sin cobertura vacunal Con cobertura vacunal del 4% Recuperados Tiempo (días) Sin cobertura vacunal Con cobertura vacunal del 4%