Epidemiología Matemática: virus, bacterias y malware

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Francisco José Álvarez Rey
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1 ! Epidemiología Matemática: virus, bacterias y malware Ángel Martín del Rey Departamento de Matemática Aplicada Instituto de Física Fundamental y Matemáticas Universidad de Salamanca, Salamanca, España delrey@usal.es 2 de diciembre de 2015 Bachillerato de Investigación y Excelencia, I.E.S. Vaguada de la Palma, Salamanca

Matemáticas Universidad de Salamanca, Salamanca, España delrey@usal.

2 Introducción La Modelización Matemática es una de las ramas de las Matemáticas de mayor uso en Medicina. Grosso modo, el objetivo fundamental de la Modelización Matemática es la descripción, simulación y predicción del comportamiento de fenómenos de todo tipo. Interpretación Problema existente en el mundo real Simplificación Resultados y Conclusiones Modelo de Trabajo Simulación Representación Modelo Computacional Modelo Matemático Implementación 2 Ángel Mar*n del Rey, 2014

comportamiento de fenómenos de todo tipo.

3 Introducción Qué buscamos con un modelo matemático? Representación matemática de un determinado fenómeno de tal forma que su análisis teórico y numérico proporcione información para entender mejor los mecanismos que lo rigen. Implementación computacional para poder realizar simulaciones. Cuál es el interés de la modelización matemática? Interés académico: estudio de las propiedades matemáticas del modelo y sus implicaciones. Interés práctico: dotar al gestor de una herramienta informática que permita predecir y simular comportamientos y tomar decisiones de control. 3 Ángel Mar*n del Rey, 2014

mecanismos que lo rigen. Implementación computacional para poder realizar simulaciones. Cuál es el interés de la modelización matemática?

4 La Epidemiología Matemática La Epidemiología Matemática es la disciplina científica que se ocupa del diseño y análisis de modelos matemáticos que simulan la propagación de agentes infecciosos (virus, bacterias, ) y código malicioso (troyanos, gusanos computacionales, ). La Epidemiología Matemática trata de dar respuesta a las siguientes preguntas: Cuál será el alcance final de la epidemia? Cuál será el efecto de las medidas de prevención y de control tomadas? Qué medida tomada será más eficiente y eficaz? 4 Ángel Mar*n del Rey, 2014

5 La Epidemiología Matemática: algo de historia El primer modelo epidemiológico de carácter matemático apareció en 1760 y es debido a Daniel Bernoulli. Estudiaba la propagación de la viruela. Estaba basado en un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias: u '(t) = ( λ(t) + µ(t) )u(t) w'(t) = ( 1 c(t) )λ(t)u(t) µ(t)w(t) u(0) = 1 w(0) = 0 5 Ángel Mar*n del Rey, 2014

6 La Epidemiología Matemática: algo de historia En 1906, W.H. Hamer propuso un modelo matemático discreto para estudiar la propagación del sarampión. Hamer sugiere que la evolución de una epidemia depende de la tasa de contacto entre los individuos susceptibles de contraer la enfermedad y los individuos infectados con capacidad de transmitirla (individuos infecciosos). Este principio de acción de masas establece que la incidencia (número de nuevos casos por unidad de tiempo) es proporcional al producto de la densidad de individuos susceptibles por la densidad de individuos infecciosos. 6 Ángel Mar*n del Rey, 2014

infectados con capacidad de transmitirla (individuos infecciosos).

7 La Epidemiología Matemática: algo de historia En 1911, R. Ross desarrolla un modelo matemático basado en ecuaciones diferenciales para predecir el comportamiento de un brote infeccioso de malaria. En dicho modelo se explica la relación entre el número de mosquitos y la incidencia de la malaria en humanos. 7 Ángel Mar*n del Rey, 2014

predecir el comportamiento de un brote infeccioso de malaria.

8 El Modelo de Kermack-McKendrick: Historia El objetivo de este taller es presentar el modelo de Kermack- McKendrick para estudiar la propagación de malware. El modelo de Kermack-McKendrick fue inicialmente desarrollado en 1927 para estudiar la propagación de la peste bubónica y es considerado como la piedra angular de los modelos que se propusieron posteriormente. 8 Ángel Mar*n del Rey, 2015

El modelo de Kermack-McKendrick fue inicialmente desarrollado en 1927 para estudiar la propagación

9 El Modelo de Kermack-McKendrick Su característica fundamental es que se trata del primer modelo compartimental en el que la población es dividida en tres clases diferentes: Individuos Susceptibles. Individuos Infecciosos. Individuos Recuperados a b Suscep'ble Infectado Recuperado Otra aportación extremadamente importante de este trabajo es la introducción del Teorema Umbral que permite determinar cuando un brote infeccioso se convierte en epidémico. 9 Ángel Mar*n del Rey, 2014

Individuos Recuperados a b Suscep'ble Infectado Recuperado Otra aportación extremadamente importante de este trabajo es

10 El Modelo de Kermack-McKendrick: el SEDO La dinámica del modelo viene regida por el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias: ( ) = a S t ( ) = a S t ( ) = b I ( t) S' t I ' t R' t ( ) I t ( ) I t ( ) ( ) b I ( t) La variación del número de susceptibles es proporcional a dicho número de susceptibles La variación del número de infectados es el balance entre una proporción de susceptibles y una de infectados La variación del número de recuperados es proporcional al número de infectados Coeficiente de transmisión: a = k q, Tasa de recuperación: b = T 1, k : contactos efectivos con infectados por unidad de tiempo, q : probabilidad de que un contacto efectivo acabe en contagio, T : duración del periodo infeccioso. 10 Ángel Mar*n del Rey, 2015

proporción de susceptibles y una de infectados La variación del número de recuperados es proporcional al número de infectados Coeficiente de transmisión: a = k q, Tasa de recuperación: b = T

11 El Modelo de Kermack-McKendrick: el R0 El número reproductivo básico asociado al modelo propuesto es: R 0 = a N b. de manera que se verifica que: Si R0 < 1 no se producirá una epidemia. Si R0 > 1 se producirá una epidemia. 11 Ángel Mar*n del Rey, 2015

de manera que se verifica que: Si R0 < 1 no se producirá una

12 El Modelo de Kermack-McKendrick: el R0 Simulación I: R0 > 1 a = 0.001, b = 1 24 R , S(0) = 99, I ( 0) = 1, R( 0) = 0, 12 Ángel Mar*n del Rey, 2015

13 El Modelo de Kermack-McKendrick: el R0 Simulación II: R0 < 1 a = 0.001, b = 1 24 R 0 = 0.96., S(0) = 30, I ( 0) = 1, R( 0) = 0, 13 Ángel Mar*n del Rey, 2015

14 El Modelo de Kermack-McKendrick: el R0 El número reproductivo básico se puede definir como el número esperado de dispositivos infectados causados por el contagio de un único dispositivo infeccioso en una población enteramente susceptible: R 0 = a N b = q k N = q k T N. 1/ T k T = q k T = R 0 = q k T N = contactos efectivos de cada dispositivo con el dispositivo infectado durante todo su periodo infeccioso contactos efectivos de cada dispositivo con el infectado durante todo su periodo infeccioso y que acaban en contagio contactos efectivos totales con el dispositivo infectado durante todo su periodo infeccioso y que acaban en contagio 14 Ángel Mar*n del Rey, 2015

1/ T k T = q k T = R 0 = q k T N = contactos efectivos de cada dispositivo con el dispositivo infectado durante todo su periodo infeccioso contactos efectivos de cada

15 El Modelo de Kermack-McKendrick: el R0 El objetivo en el control de cualquier epidemia es conseguir que el número reproductivo básico sea menor que 1. Cómo se consigue ello? R 0 = a N b Disminuyendo a haciendo disminuir el número de contactos k mediante aislamiento. Disminuyendo a haciendo disminuir la probabilidad q de que un infectado contagie a un susceptible. Disminuyendo N aplicando programas de vacunación. Aumentando b mejorando el tratamiento de los infectados. 15 Ángel Mar*n del Rey, 2015

R 0 = a N b Disminuyendo a haciendo disminuir el número de contactos k mediante aislamiento.

16 El Modelo de Kermack-McKendrick: Soluciones Evolución del número de dispositivos susceptibles, S(t): susceptibles 800 S( t) = S( 0) e a b R( t) < S( ) = lim S t t ( ) = S( 0)e a b R( ) horas 16 Ángel Mar*n del Rey, 2015

t) = S( 0) e a b R( t) 600 400 200 0 < S( ) = lim S t t ( ) =

17 El Modelo de Kermack-McKendrick: Soluciones Evolución del número de dispositivos infectados, I(t): I(t) satisface: I ( t) = N S( t) + b a log S ( t ) S( 0). Si R 0 < 1, entonces I(t) es monótona decreciente de manera que: Si I ( ) = lim I t t ( ) = 0. R 0 > 1, entonces I(t) crece hasta alcanzar su valor máximo: I max = N b a b a a S 0 log b y posteriormente decrece de manera que: ( ), ( ) = lim I t I ( t) = Ángel Mar*n del Rey, 2015

Si R 0 < 1, entonces I(t) es monótona decreciente de manera que: Si I ( ) = lim I t t ( ) = 0.

18 El Modelo de Kermack-McKendrick: Soluciones Evolución del número de infectados, I(t): I max = I(t max ) infectados 150 S(t max ) = b a 100 R 0 > 1 50 t max I ( ) = lim I ( t) = 0 t horas 18 Ángel Mar*n del Rey, 2015

19 El Modelo de Kermack-McKendrick: Soluciones Evolución del número de dispositivos recuperados, R(t): R( t) = N S( t) I ( t) = b a log S ( t ) S( 0). recuperados R( ) = lim R( t) = N S( ) t horas 19 Ángel Mar*n del Rey, 2015

20 Algunas conclusiones La mayor parte de los modelos se encuentran basados en SEDOs (son deterministas, globales y continuos). Aunque desde el punto de vista matemático se encuentra bien fundamentados y gracias a la Teoría Cualitativa de SEDOs es posible analizarlos en detalle, presentan serios inconvenientes: No tienen en cuenta las características individuales de los dispositivos. La topología del sistema es homogénea. No son capaces de predecir el comportamiento individual. 20 Ángel Mar*n del Rey, 2015

posible analizarlos en detalle, presentan serios inconvenientes: No tienen en cuenta las características individuales de los

21 Algunas conclusiones Estas deficiencias se podrían subsanar si utilizáramos modelos individuales: Modelos basados en autómatas celulares. Modelos basados en agentes. 21 Ángel Mar*n del Rey, 2015

22 Aplicaciones Ejemplo: Brote de ébola 22 Ángel Mar*n del Rey, 2014

23 Aplicaciones Ejemplo: Brote de ébola (continuación) 23 Ángel Mar*n del Rey, 2014

24 Aplicaciones Ejemplo: Brote de ébola (continuación) 24 Ángel Mar*n del Rey, 2014

25 Aplicaciones Ejemplo: Brote de ébola (continuación) 25 Ángel Mar*n del Rey, 2014

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