Modelización de Sistemas Biológicos (por computadora) Parte I Modelos de Transmisión de enfermedades infecciosas FIUNER

Transcripción

1 Modelización de Sistemas Biológicos (por computadora) Parte I Modelos de Transmisión de enfermedades infecciosas FIUNER

2 Enfermedades Infecciosas Tasa de Infección

3 Modelo SIR S: Individuos susceptibles a enfermar I: Individuos infectados R: Individuos Removidos o Recuperados de la enfermedad o muertos (No se pueden volver a infectar) Relaciona la tasa de infección con el numero de casos.

4 Modelo SIR: enfoque compartimental/poblacional Los brotes epidémicos suelen ser mucho más rápidos que la dinámica vital de la población se desprecian nacimientos y muertes naturales se mantiene la cantidad total de individuos Población fija de tamaño N= S + I + R

5 Modelo SIR: enfoque compartimental/poblacional Las enfermedades infecciosas se transmiten por contacto entre individuos enfermos y sanos (competencia interespcífica) β*s*i v depende de la durac. promedio de la infección

6 Modelo de Kermack-McKendrick (1927) β tasa de transmisión o contacto o contagio v tasa de recuperación R(t)=N-S(t)-I(t) Se puede eliminar la última ecuación diferencial del sistema

7 Duración de la enfermedad El termino de curación o recuperación ν*i representa una perdida exponencial en el numero de casos di vi I( t) I(0) e vt El promedio de la duración de la enfermedad o período promedio de infección es : 1/ν

8 Número básico de reproducción R 0 Si y si si S S R 0 1 R 1o S 0 di 1 R 0 0 di 0 la cantidad de infectados crece la cantidad de infectados decrece 1/R 0 es un umbral para S por encima del cual la cantidad de infectados crece

9 Número básico de reproducción R 0 S/I/R 1/R 0 t 1/R 0 es un umbral para S por encima del cual la cantidad de infectados crece Al comienzo S es grandes e I ; cuando S=1/R 0 I también comienza a decrecer

10 Otra definición de R 0 Cuándo un enfermo desencadenará una epidemia? di I(0) IS 1 (0) 0 S(0) R0 S(0) 1o S(0) 1 R0 Cuando R 0 por la cantidad inicial de susceptibles sea mayor que uno vi cuando la cantidad inicial de susceptibles sea mayor que 1/ R0 Si N es grande S(0) N di R 1/ 0 N v

11 ds di dr SI SI vi vi ; ; N 763

12 I

13 Modelo SIR con nacimientos, muertes y población constante S I R N ds di dr 0

14 Modelo SIR con nacimientos y muertes ds I N S S N di I S vi I N dr vi R Sistema sobreamortiguado que tiende a un equilibrio estable No condice con la realidad Agregar aleatoriedad a los parámetros acerca a la solución real Agregar estacionariedad I ( t) 0 1 cos 2t acerca a la solución real

15 Modelo Físico DiagramáticoEcuaciones Una vez que se cuenta con el modelo físico diagramático, es sencillo generar el modelo matemático

16 Modelos SIS En algunas enfermedades el individuo no desarrolla inmunidad: ds di IS I IS I Se pueden contemplar nacimientos y muertes ds di N IS IS I I I S

17 Modelos SIRS (con pérdida de inmunidad) Tasa de pérdida de inmunidad ds N IS S di IS I I dr I R R R

18 Modelo SEIS

19 Modelo SEIR El compartimento E le brinda el fenómeno de latencia al modelo σ 1/σ es el Período de Latencia

20 Modelo SEIRS con nacimientos y muertes R R I dr I I E di E E IS de R S IS N ds

21 Modelo SEIR con muertes por enfermedad fϒ (1-f)ϒ ds IS de IS E di E I dn 1 f I R N S I E

22 Enfermedades mediadas por Vector El vector es un organismo, que transmite un agente infeccioso desde los individuos afectados a otros que aún no portan ese agente. Malaria, Dengue, Chagas, Chukunguña y otras son ejemplos de enfermedades transmitidas principalmente por insectos hematófagos como los mosquitos, vinchucas, etc.. Los agentes patógenos que transmiten los vectores son diversos virus y protistas.

23 Enfermedades mediadas por Modelo general Vector S A E I R Vector I Agente

24 Enfermedades mediadas por Vector Modelo simplificado de Malaria (paludismo): enfermedad provocada por el parásito Plasmodium Transmitida por el mosquito Anopheles hembra s h a i v m i a Para simplificar se trabaja con proporciones, siendo i=i/n y s=s/n s=(1-i) y a=a/m y v=v/n v=(1-a)

25 Enfermedades mediadas por Vector Modelo simplificado de Malaria h s h a i v m i m a di da (1 i) a i h m (1 a) i h m a

26 Modelo simplificado de Malaria Análisis de puntos de equilibrio s v h h a m i m i a di h(1 i) a hi da m(1 a) i i* 1 =0, a* 1 =0 es equilibrio inestable *2 h m m h es equilibrio estable para i ( ) valores coherentes de los m h h parámetros m a

27 Bibliografía Mathematical Epidemiology. Brauer, F.; Van den Driessche, P.; Wu, J., Mathematical Biosciences Subseries, Springer, Berlin, Modeling Biological Systems. J.W. Haefner, Springer, NY, 2005 Mathematical Biology I: An Introduction. JD Murray, Third Edition, Springer, 2002 Mathematical and Statistical Estimation Approaches in Epidemiology. Gerardo Chowell, James M. Hayman, Luis M. A. Bettencourt, Carlos Castillo-Chave Matemáticas para Biólogos. Hadeler VIH/SIDA y Salud Publica: Manual para Personal de Salud. Carlos Magis Rodriguez, Hermelinda Barrientos Barcenas.