Transcripción

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2 Creación de diagramas complejos El aspecto gráfico de un modelo de simulación es importante tanto para facilitar el trabajo de la propia persona que lo crea, como para poder compartirlo con claridad con otras personas. Un diagrama con una clara presentación evita errores en su diseño y da confianza a la persona que lo debe de interpretar. Por ello, vamos a hacer a continuación un ejercicio cuyo principal interés es que el alumno conozca la forma de manejar diagramas que adquieren una cierta complejidad gráfica. Los principales puntos de interés de este tema son: 1.- crear canales de flujos con curvas y bifurcaciones. 2.- añadir color a los gráficos para resaltar ciertos aspectos. 3.- uso de las shadow variables 4.- creación de avisos para valores máximos y mínimos de una variable. 5.- representaciones con gráficos X-Y Juan Martín García Ejercicios avanzados en Dinámica de Sistemas 9

3 Caso. Desarrollo de una epidemia Supongamos una población inicialmente sana, en la cual aparece un cierto número de infectados por una enfermedad contagiosa. Un individuo podrá transmitir o infectarse de la enfermedad de otros individuos. La transmisión de la enfermedad se produce debido a la proximidad física. Durante el proceso infeccioso, los individuos pueden pasar por todos o algunos de los siguientes estados: o Susceptibles (S), estado en el cual el individuo puede ser contagiado por otra persona que esté infectada; o Infectado (I),estado durante el cual el individuo se halla infectado y puede además infectar a otros; o Recuperado (R), o curado, estado durante el cual el individuo no puede ni ser infectado por haber adquirido inmunidad (temporal o permanente) ni infectar (por haber recuperado o haber pasado la etapa contagiosa de la enfermedad). Entre las enfermedades infectocontagiosas encontramos dos grupos principales: o Las que confieren inmunidad al infectado (temporal o permanente) una vez recuperado, la mayoría de origen viral (sarampión, varicela, poliomielitis); y o Las que, una vez recuperado, el individuo vuelve a ser susceptible inmediatamente, entre las que encontramos las causadas por agentes bacterianos (enfermedades venéreas, peste, algunas meningitis) o protozoos (malaria). Teniendo en cuenta los distintos estadios relacionados con un proceso infeccioso, los modelos epidemiológicos se dividen en tres grandes grupos: SIR: El modelo susceptible-infectado-recuperado, relacionado con las enfermedades que confieren inmunidad permanente y un ciclo típico incluye los tres estados. Esto no quiere decir que todos los individuos de una población deban pasar por estos, algunos no serán infectados y permanecerán sanos, o sea siempre en estado S, otros serán inmunizados artificialmente por vacunación, o algún otro método y pasarán a ser R sin haber estado infectados. SIRS: El modelo susceptible-infectado-recuperado-susceptible, idéntico al anterior, pero aplicable a casos en que la inmunidad no es permanente y el individuo vuelve a ser susceptible después de un cierto periodo, tal como la gripe. SIS: El modelo susceptible-infectado-susceptible; se usan en casos en que la enfermedad no confiere inmunidad y el individuo pasa de estar infectado a susceptible nuevamente, saltando la etapa R. Un modelo puede tener en cuenta la dinámica vital de la población (nacimientos, muertes, movimientos migratorios) dependiendo del horizonte temporal analizado, y de las características de la enfermedad y de la población estudiada. 10 Juan Martín García Ejercicios avanzados en Dinámica de Sistemas

4 El modelo Vamos a utilizar como referencia de nuestro modelo a uno de los modelos epidemiológicos más conocidos de la literatura biológica. Es el modelo SIR de Kermack y Mc Kendrick, /Kermack-McKendrickModel.html que se expresa como: siendo S la población susceptible de enfermar, I la población infectada, y R la población que ha pasado la enfermedad y se halla recuperada. Existen dos constantes que son la tasa de infección (beta) y la tasa de curación o recuperación (gamma). Para dibujar el Diagrama de Flujos pulsamos Model New File, indicamos Initial Time = 0, Final Time = 20, Time Step=1, Units for time=mes y seguimos los siguientes pasos. Creamos los 3 niveles Añadimos el flujo de vacunados Desplazamos el flujo hacia abajo Juan Martín García Ejercicios avanzados en Dinámica de Sistemas 11

5 Pulsamos en el círculo situado sobre el canal del flujo y lo desplazamos abajo a la derecha para dibujar la entrada en recuperados. Dibujamos el flujo de expuestos y repetimos el proceso. obteniendo un conjunto de flujos que se realimentan. Completamos el modelo con los flujos de enferman, curan y mueren. Pulsando con el ratón derecho sobre el símbolo del flujo de muertes podemos modificar la situación del texto, y su color. 12 Juan Martín García Ejercicios avanzados en Dinámica de Sistemas

6 Pulsando con el botón derecho del ratón sobre los círculos que hay en las flechas o los flujos es posible modificar los colores de los mismos para resaltar determinadas relaciones en el modelo. Variable duplicadas Podemos añadir elementos duplicados (o shadow variables). Pulsando en se nos abre un menú donde podemos escoger la variable que deseamos copiar. La utilidad de estas copias es evitar que se produzcan excesivos cruces de flechas en el modelo. En nuestro caso crearemos la variable Total población como suma de los tres posibles estados. Juan Martín García Ejercicios avanzados en Dinámica de Sistemas 13

7 Las ecuaciones son sencillas ya que los Niveles varían en función de las entradas y salidas que les hemos asignado, con su signo correspondiente, y los flujos son en general el producto del valor de un nivel por el de una tasa. Hay algunas formulas más complejas: enferman Aplicamos en la ecuación la fórmula del modelo de Kermack y Mc Kendrick, según la que el número de personas que enferman se puede calcular como el producto del número de personas susceptibles, por el de personas infectadas por la tasa de contagio. tensión La formula básica de las personas vacunadas es igual al número de personas susceptibles multiplicado por la tasa de vacunación (ésta depende del tipo de enfermedad, de factores culturales, etc.), es decir: vacunadas=susceptibles x tasa de vacunación. Deseamos introducir en esta ecuación el hecho de que las personas se vacunan más cuando perciben que existe un riesgo importante de contraer la enfermedad. Calculamos este riesgo como el cociente enferman/susceptibles, que indica cuantas personas enferman en relación a la cantidad de personas que pueden enfermar. Creamos la variable tensión que recoge tanto la tasa de vacunación como el cociente enferman/susceptibles, es decir tensión= (enferman/susceptibles)*tasa de vacunación. Alertas de valores mínimo y máximo Podemos indicar al software que nos interesa recibir un aviso (Warning) cuando una variable toma una valor menor a cierto límite inferior, o bien un valor mayor que un cierto límite superior. Para ello indicaremos estos valores en la parte superior de la ventana de la ecuación: Gráficos X-Y El software nos muestra como resultado de la simulación la evolución temporal de las variables, pero podemos también observar esta evolución en un gráfico XY donde aparece reflejada la evolución de dos variables, una en el eje X y otra en el eje Y. Para ello hemos de definir la gráfica en la opción Control Panel indicando la variable que deseamos ver en el eje X y cual en el eje Y, por ejemplo podemos desear ver en el eje X a la variable enferman y en el eje Y la variable muertes. 14 Juan Martín García Ejercicios avanzados en Dinámica de Sistemas

8 En este caso el resultado es la siguiente gráfica, que nos permite observar la relación que existe entre ambas variables en diferentes puntos de la simulación. Así tenemos un valor igual a 10 muertos para dos situaciones diferentes del número de personas que enferman, la primera con 90 personas que enferman y la segunda con solo 20. En cierta forma esto mismo se puede observar con la representación tradicional pero es mucho más complicado hacerlo. Para ver la siguiente gráfica seleccionar las variables muertes y enferman en el menú Windows Control Panel Graph - New Juan Martín García Ejercicios avanzados en Dinámica de Sistemas 15

9 Ecuaciones del modelo Nota 1: En este modelo no entraremos información sobre las unidades de las variables ya que el propósito del mismo es aprender a dibujar un diagrama de flujos complejo. Nota 2: Es normal que el software nos de un mensaje de aviso de que la variable Total población no se utiliza, ya que es un elemento que no influye en ningún otro elemento. Nota 3. La ecuación de enferman reproduce el modelo SIR de Kermack y Mc Kendrick, porque los expertos nos aseguran que funciona bien en la vida real, aunque no es coherente desde el punto de vista de las unidades. Niveles Flujos Variables auxiliares Susceptibles = +expuestos-enferman-vacunados Initial Value = 900 Infectados = +enferman-curan-muertes Initial Value = 100 Recuperados = curan+vacunados-expuestos Initial Value = 0 curan = Infectados*tasa de curación enferman = Susceptibles*tasa de contagio*infectados expuestos = Recuperados*tasa de exposición muertes = Infectados*tasa de mortalidad vacunados = Susceptibles*tensión tasa de contagio= tasa de curación= 0.4 tasa de exposición= 0.05 tasa de mortalidad= 0.1 tasa de vacunacion= 0.5 tensión=(enferman/susceptibles)*tasa de vacunacion Total poblacion=infectados+recuperados+susceptibles 16 Juan Martín García Ejercicios avanzados en Dinámica de Sistemas

10 Comportamiento observado Pulsando en los iconos de la izquierda de la pantalla podemos ver con más detalle el comportamiento de algunas variables especialmente significativas. Juan Martín García Ejercicios avanzados en Dinámica de Sistemas 17

11 Ejercicio práctico - Definir que deseamos recibir un aviso de información (warning) cuando la variable de Infectados tome un valor mínimo de 50 o bien uno máximo de 150, y comprobar que se reciben estos tres avisos al ejecutar este modelo. - Representar en un gráfico XY la evolución de las variables que recogen el flujo de personas expuestas y de las que enferman. - Con ayuda de un grafico XY identificar qué Población total existe en aquellos periodos que se producen 15 muertes. Nota Para visualizar la evolución de las variables en las gráficas con marcas ( 1, 2, 3,..) además de colores, cosa que es útil si vamos a hacer copias en blanco y negro del documento, pulsar en Options Options Show Line Markers on Graph Lines 18 Juan Martín García Ejercicios avanzados en Dinámica de Sistemas