Capítulo 1: Ecuaciones diferenciales ordinarias

Transcripción

1 3 de noviembre de 2005

2 Utilización de la rutina ode45 de Matlab Ejercicios Contenidos Ensamblaje de naves Utilización de la rutina ode45 de Matlab Ejercicios El plano de fases La ecuación logística Modelo más complejo: 4 tipos de población

3 Utilización de la rutina ode45 de Matlab Ejercicios Método de Euler Ejemplo más simple de los llamados Métodos Taylor y = f (x, y) y(x + h) = y(x) + y (x)h + O(h 2 ) Se reemplaza y por f (x, y): y k+1 = y k + hf (x k, y k ) Si continuamos calculando términos con el polinomio de Taylor podemos obtener métodos más precisos con el coste de tener que calcular las derivadas parciales de f.

4 Utilización de la rutina ode45 de Matlab Ejercicios Método de Runge-Kutta Se evita calcular las derivadas de f mediante más evaluaciones de la función: y (x) = f (x, y) y (x) = f x + f y y = f x + f y f y = hf + h2 2 (f x + f y f ) + O(h 3 ) = h 2 f + h 2 (f + hf x + hf y f ) + O(h 3 ) f + h(f x + f y f ) = f (x + h, y + hf ) + O(h 2 ) F 1 = f (x, y) F 2 = f (x + h, y + hf 1 ) y k+1 = y k + h 2 (F 1 + F 2 )

5 Utilización de la rutina ode45 de Matlab Ejercicios Ecuación para la trayectoria de la nave x (t) = s(t)(x (t) x(t)), y (t) = s(t)(y (t) y(t)), z (t) = s(t)(z(t) z(t)). X s(t) = k (t) 2 + Y (t) 2 + Z (t) 2 (X (t) x(t)) 2 + (Y (t) y(t)) 2 + (Z(t) z(t)) 2

6 Utilización de la rutina ode45 de Matlab Ejercicios Pasos de la resolución numérica Definir una función para la trayectoria circular de la nave.

7 Utilización de la rutina ode45 de Matlab Ejercicios Pasos de la resolución numérica Definir una función para la trayectoria circular de la nave. Utilizar el comando ode45( funcion,tspan,y0).

8 Utilización de la rutina ode45 de Matlab Ejercicios Pasos de la resolución numérica Definir una función para la trayectoria circular de la nave. Utilizar el comando ode45( funcion,tspan,y0). Visualización: estática o dinámica.

9 Utilización de la rutina ode45 de Matlab Ejercicios Trayectoria de la nave function c=circulo(t) global w teta fi %fi es el angulo del eje de rotacion %respecto de e3 %teta es el angulo sobre el plano xy del corte del %plano de rotacion con el xy t=t ; w=1; fi=pi/3; teta=pi/4; x=cos(w*t).*cos(teta)-sin(w*t).*cos(fi)*sin(teta); y=cos(w*t).*sin(teta)+sin(w*t).*cos(fi)*cos(teta); z=sin(w*t).*sin(fi); c=[x; y ;z];

10 Utilización de la rutina ode45 de Matlab Ejercicios Método de Runge-Kutta-Fehlberg Utiliza dos métodos R-K para adaptar el paso

11 Utilización de la rutina ode45 de Matlab Ejercicios Método de Runge-Kutta-Fehlberg Utiliza dos métodos R-K para adaptar el paso Es eficiente en el número de evaluaciones.

12 Utilización de la rutina ode45 de Matlab Ejercicios Visualización: Ejemplo de animación en 3D clear all. p=plot3(estacion(1,1),estacion(2,1),estacion(3,1),... +g, EraseMode, none, MarkerSize,5);hold on; % poner EraseMode none para que se vea la estela q=plot3(y(1,1),y(2,1),y(3,1), *r,... EraseMode, xor, MarkerSize,10); legend( nave, estacion ) y=y ; axis([ ]) for i=2:length(t); set(p, XData,estacion(1,i), YData,estacion(2,i),... ZData,estacion(3,i)) set(q, XData,y(1,i), YData,y(2,i), ZData,y(3,i)) drawnow, end, hold off

13 Utilización de la rutina ode45 de Matlab Ejercicios Ejercicio 1: Modelo de competencia Definir una función competicion.m.

14 Utilización de la rutina ode45 de Matlab Ejercicios Ejercicio 1: Modelo de competencia Definir una función competicion.m. animar la solución para visualizar los puntos de equilibrio.

15 Utilización de la rutina ode45 de Matlab Ejercicios Ejercicio 2: Modelo de Robertson Utilizar el comando subplot para comparar la evolución de las distintas especies.

16 Utilización de la rutina ode45 de Matlab Ejercicios Ejercicio 2: Modelo de Robertson Utilizar el comando subplot para comparar la evolución de las distintas especies. Comparar el número de nodos de cada solución.

17 Utilización de la rutina ode45 de Matlab Ejercicios Ejercicio 2: Modelo de Robertson Utilizar el comando subplot para comparar la evolución de las distintas especies. Comparar el número de nodos de cada solución. Comparar el tiempo de resolución de ambos métodos utilizando los comandos tic,toc o etime

18 Contenidos Ensamblaje de naves El plano de fases El péndulo no lineal Ejercicio 1 Ejercicio 2 Ensamblaje de naves Utilización de la rutina ode45 de Matlab Ejercicios El plano de fases La ecuación logística Modelo más complejo: 4 tipos de población

19 Sistema autónomo de dos ODE s El plano de fases El péndulo no lineal Ejercicio 1 Ejercicio 2 x (t) = f (x(t), y(t)) y (t) = g(x(t), y(t))

20 Sistema autónomo de dos ODE s El plano de fases El péndulo no lineal Ejercicio 1 Ejercicio 2 x (t) = f (x(t), y(t)) y (t) = g(x(t), y(t)) dy dx = g(x, y) f (x, y)

21 Sistema autónomo de dos ODE s El plano de fases El péndulo no lineal Ejercicio 1 Ejercicio 2 x (t) = f (x(t), y(t)) y (t) = g(x(t), y(t)) dy dx = g(x, y) f (x, y)

22 Ecuación de segundo orden El plano de fases El péndulo no lineal Ejercicio 1 Ejercicio 2 y = f (y, y ) y 2 = y (t) y 1 = y(t)

23 Ecuación de segundo orden El plano de fases El péndulo no lineal Ejercicio 1 Ejercicio 2 y = f (y, y ) y 2 = y (t) y 1 = y(t) y 1 = y 2 y 2 = f (y 1, y 2 )

24 Ecuación de péndulo El plano de fases El péndulo no lineal Ejercicio 1 Ejercicio 2 y + sen(y) = 0 y 1 = y 2, y 2 = sen(y 1 )

25 Ecuación de péndulo El plano de fases El péndulo no lineal Ejercicio 1 Ejercicio 2 y + sen(y) = 0 y 1 = y 2, y 2 = sen(y 1 ) Definir la función del segundo miembro pend.m

26 Ecuación de péndulo El plano de fases El péndulo no lineal Ejercicio 1 Ejercicio 2 y + sen(y) = 0 y 1 = y 2, y 2 = sen(y 1 ) Definir la función del segundo miembro pend.m Definir el intervalo temporal para las soluciones y fijar los datos iniciales.

27 Ecuación de péndulo El plano de fases El péndulo no lineal Ejercicio 1 Ejercicio 2 y + sen(y) = 0 y 1 = y 2, y 2 = sen(y 1 ) Definir la función del segundo miembro pend.m Definir el intervalo temporal para las soluciones y fijar los datos iniciales. Programa pendulo.m (script).

28 Efectos de fricción Ensamblaje de naves El plano de fases El péndulo no lineal Ejercicio 1 Ejercicio 2 y + y + sen(y) = 0 y 1 = y 2, y 2 = sen(y 1 ) y 2

29 Efectos de fricción Ensamblaje de naves El plano de fases El péndulo no lineal Ejercicio 1 Ejercicio 2 y + y + sen(y) = 0 y 1 = y 2, y 2 = sen(y 1 ) y 2 Definir la función del segundo miembro pendf.m

30 Efectos de fricción Ensamblaje de naves El plano de fases El péndulo no lineal Ejercicio 1 Ejercicio 2 y + y + sen(y) = 0 y 1 = y 2, y 2 = sen(y 1 ) y 2 Definir la función del segundo miembro pendf.m Definir el intervalo temporal para las soluciones y fijar los datos iniciales.

31 Efectos de fricción Ensamblaje de naves El plano de fases El péndulo no lineal Ejercicio 1 Ejercicio 2 y + y + sen(y) = 0 y 1 = y 2, y 2 = sen(y 1 ) y 2 Definir la función del segundo miembro pendf.m Definir el intervalo temporal para las soluciones y fijar los datos iniciales. Programa pendulof.m (script).

32 Modelo depredador-presa El plano de fases El péndulo no lineal Ejercicio 1 Ejercicio 2 Utilizar los comandos meshgrid y contour para ver las curvas de nivel de la solución exacta.

33 Modelo depredador-presa El plano de fases El péndulo no lineal Ejercicio 1 Ejercicio 2 Utilizar los comandos meshgrid y contour para ver las curvas de nivel de la solución exacta. Utilizar quiver para visualizar el plano de fases.

34 Modelo depredador-presa El plano de fases El péndulo no lineal Ejercicio 1 Ejercicio 2 Utilizar los comandos meshgrid y contour para ver las curvas de nivel de la solución exacta. Utilizar quiver para visualizar el plano de fases. Valores de las constantes: a=0.2, b=0.005, c=0.15*b, d=0.3 y realizar la gráfica entre los ĺımites: [0 1000,0 100].

35 El plano de fases El péndulo no lineal Ejercicio 1 Ejercicio 2 Modelo depredador-presa con competición Utilizar los comandos meshgrid y quiver para visualizar los puntos de equilibrio en el plano de fases.

36 El plano de fases El péndulo no lineal Ejercicio 1 Ejercicio 2 Modelo depredador-presa con competición Utilizar los comandos meshgrid y quiver para visualizar los puntos de equilibrio en el plano de fases. Valores de c : 2, 2.

37 La ecuación logística Modelo más complejo: 4 tipos de población Contenidos Ensamblaje de naves Utilización de la rutina ode45 de Matlab Ejercicios El plano de fases La ecuación logística Modelo más complejo: 4 tipos de población

38 La ecuación logística Modelo más complejo: 4 tipos de población Ejemplo Un modelo simplificado: La tasa de infectados es proporcional al número de interacciones entre la población sana y la enferma: A (t) = c(p A(t))A(t) P es la población total, A(t) es el número de afectados por la enfermedad en el instante t. P A(t) representa el número de individuos sanos dentro de la población en el instante t. Si P = 50000, A(0) = 100, se puede calcular c a partir de algún dato empírico A(10) = c = 4, Para infectar a la mitad de la población harían falta aproximadamente 27 semanas.

39 La ecuación logística Modelo más complejo: 4 tipos de población Hipótesis El flujo de nuevos individuos susceptibles de ser contagiados es constante.

40 La ecuación logística Modelo más complejo: 4 tipos de población Hipótesis El flujo de nuevos individuos susceptibles de ser contagiados es constante. Los individuos susceptibles pueden convertirse en infecciosos o morir de muerte natural.

41 La ecuación logística Modelo más complejo: 4 tipos de población Hipótesis El flujo de nuevos individuos susceptibles de ser contagiados es constante. Los individuos susceptibles pueden convertirse en infecciosos o morir de muerte natural. Los individuos infecciosos pueden morir de muerte natural, desarrollar el SIDA o convertirse en no infecciosos.

42 La ecuación logística Modelo más complejo: 4 tipos de población Hipótesis El flujo de nuevos individuos susceptibles de ser contagiados es constante. Los individuos susceptibles pueden convertirse en infecciosos o morir de muerte natural. Los individuos infecciosos pueden morir de muerte natural, desarrollar el SIDA o convertirse en no infecciosos. La gente con SIDA puede morir de SIDA o de muerte natural.

43 La ecuación logística Modelo más complejo: 4 tipos de población Tipos de población X representa a los individuos susceptibles de desarrollar el SIDA.

44 La ecuación logística Modelo más complejo: 4 tipos de población Tipos de población X representa a los individuos susceptibles de desarrollar el SIDA. Y representa a los individuos infecciosos, capaces de contagiar el HIV.

45 La ecuación logística Modelo más complejo: 4 tipos de población Tipos de población X representa a los individuos susceptibles de desarrollar el SIDA. Y representa a los individuos infecciosos, capaces de contagiar el HIV. Z representa al número de individuos seropositivos no infecciosos.

46 La ecuación logística Modelo más complejo: 4 tipos de población Tipos de población X representa a los individuos susceptibles de desarrollar el SIDA. Y representa a los individuos infecciosos, capaces de contagiar el HIV. Z representa al número de individuos seropositivos no infecciosos. A representa a los individuos que han desarrollado el SIDA.

47 La ecuación logística Modelo más complejo: 4 tipos de población Parámetros β tasa de reclutamiento de individuos susceptibles.

48 La ecuación logística Modelo más complejo: 4 tipos de población Parámetros β tasa de reclutamiento de individuos susceptibles. µ tasa de muerte natural.

49 La ecuación logística Modelo más complejo: 4 tipos de población Parámetros β tasa de reclutamiento de individuos susceptibles. µ tasa de muerte natural. λ probabilidad de infectarse a partir de una pareja aleatoria.

50 La ecuación logística Modelo más complejo: 4 tipos de población Parámetros β tasa de reclutamiento de individuos susceptibles. µ tasa de muerte natural. λ probabilidad de infectarse a partir de una pareja aleatoria. c número de parejas que tiene un individuo por unidad de tiempo (año).

51 La ecuación logística Modelo más complejo: 4 tipos de población Parámetros β tasa de reclutamiento de individuos susceptibles. µ tasa de muerte natural. λ probabilidad de infectarse a partir de una pareja aleatoria. c número de parejas que tiene un individuo por unidad de tiempo (año). d tasa de muerte por SIDA.

52 La ecuación logística Modelo más complejo: 4 tipos de población Parámetros β tasa de reclutamiento de individuos susceptibles. µ tasa de muerte natural. λ probabilidad de infectarse a partir de una pareja aleatoria. c número de parejas que tiene un individuo por unidad de tiempo (año). d tasa de muerte por SIDA. ν tasa de seropositivos infecciosos que mutan a seropositivos no-infecciosos.

53 La ecuación logística Modelo más complejo: 4 tipos de población Parámetros β tasa de reclutamiento de individuos susceptibles. µ tasa de muerte natural. λ probabilidad de infectarse a partir de una pareja aleatoria. c número de parejas que tiene un individuo por unidad de tiempo (año). d tasa de muerte por SIDA. ν tasa de seropositivos infecciosos que mutan a seropositivos no-infecciosos. p proporción de individuos que contraen el sida entre los infecciosos.

54 La ecuación logística Modelo más complejo: 4 tipos de población X = β µx λcx λ = A + Y N Y = λcx (µ + ν + p)y A = py (d + µ)a Z = νy µz Valores de las constantes: N(t) = X (t) + Y (t) + Z(t) + A(t) X (0) = 90000, Y (0) = 10000, A(0) = 0, Z(0) = 0 β = 13333,3, d = 1,33, ν = 0,237, µ = 1/32, p = 0,3