Juegos con Información Incompleta. Guillermo Owen y Luis Jorge Ferro

Transcripción

1 Juegos con Información Incompleta Guillermo Owen y Luis Jorge Ferro Abril 1, 2006

2 JUEGOS ESTATICOS CON INFORMACIÓN INCOMPLETA O JUEGOS BAYESIANOS En un juego de información incompleta al menos uno de los jugadores no conoce la función de pagos de alguno de los jugadores. Recuerde que un juego de información completa se puede representar en forma estratégica G = {J, (S i ) i J, (p i ) i J } Para representar en forma estratégica un juego Bayesiano, el primer paso es representar el hecho que cada jugador conoce su propia función de pagos pero no conoce con certeza la de cualquier otro jugador. Denote por {p i (s 1, s 2,..., s n ; t i )t i T i } al conjunto de posibles funciones de pago del i-ésimo 1

3 jugador, donde t i se denomina el tipo de jugador del i-ésimo jugador, el cual puede variar dentro del conjunto T i. Dada la definición del concepto tipo de jugador, decir que el i-ésimo jugador conoce su propia función de pagos, es equivalente a decir que conoce su propio tipo, análogamente decir que el i-ésimo jugador no conoce las funciones de pagos de los otros jugadores, es equivalente a decir que no conoce con certeza los tipos de los otros jugadores, denotados por t i = {t 1, t 2, t 3,..., t i 1, t i+1,..., t n } Las creencias de cada jugador i, acerca de los tipos de los otros jugadores, dado que él conoce su propio tipo t i, están expresadas en la distribución de probabilidad q i (t i t i ).

4 Definición La representación estratégica de un juego estático Bayesiano especifica para cada jugador i, el espacio de sus acciones A i, el espacio de sus tipos T i, sus creencias q i y su función de pagos p i, y se denota por G = {J, (A i ) i J, (q i ) i J }, (p i ) i J }. Por convención (Harsany, 1967 ) se supone que es de conocimiento común que en una etapa inicial la naturaleza elige el vector t 1, t 2,..., t n asignándole a cada jugador su tipo acorde a una distribución de probabilidad q i. Así cada jugador a partir de su tipo genera sus creencias por medio de la regla de Bayes. q i (t i t i ) = q i(t i,t i ) q i (t i ) 2

5 Definición En el juego Bayesiano estático G = {J, (A i ) i J, (q i ) i J }, (p i ) i J }. Una estrategia del jugador i es una función s i () donde para cada tipo t i T i, s i (t i ), determina la acción del conjunto factible A i que el tipo t i elegiría. Equilibrio Bayesiano De Nash En el juego Bayesiano estático G = {J, (A i ) i J, (q i ) i J }, (p i ) i J } el perfil estratégico s 1, s 2,..., s n forma un equilibrio Bayesiano de Nash (sobre estrategias puras) si para cada jugador i, y para cada uno de sus tipos t i T i, se tiene que s i (t i) es una solución de max ai A i Σ t i T i p i (s 1 (t 1), s 2 (t 2),.., a i,.., s n (t n); t i )q i (t i t i ) 3

6 MODELO DE JUEGOS NO COPERATIVOS CON INFORMACION INCOMPLETA EJEMPLO: Owen - Ferro Suponga que existen un país poderoso (1) y un país desarrollando un plan armamentista (2). Hay dos tipos de país poderoso T 1 : El que considera costoso atacar en la segunda etapa y por lo tanto si descubre un plan elimina a (2) en la primera etapa. T 2 : El que considera que no es muy costoso pasar a la segunda fase y lo elimina con una frecuencia de 0.4 en la primera etapa. Existen dos fases F 1 : El país (2) desarrolla el armamento. F 2 : El país (2) despliega su armamento. COSTOS Y BENEFICIOS PARA (2) - Costo de iniciar el programa K - El tiempo de terminacíon del programa es una variable aleatoria W que se distribuye exponencialmente con parámetro θ 4

7 - El tiempo que emplea (1) para descubrir el programa de (2), denotado T es una exponencial con parámetro τ. - Los ingresos generados por el proyecto para (2) son positivos y constantes por unidad de tiempo ( t) si el plan llega a la segunda fase, y son proporcionales a los costos en que incurre el primer jugador para eliminar el plan ya desarrollado. O son negativos y constantes ( P ) por unidad de tiempo si el plan de (2) es descubierto antes que el plan de desarrollo se termine, 2 recibe ( P ) por unidad de tiempo. Así, los beneficios esperados del segundo jugador son de la siguiente forma: Sea: π 2 (S 1, S 2 ) = beneficio de 2 E[π 2 (W < T ) T 1 ] = E[ W e t V 1 dt (W < T )] W es el tiempo de desarrollo, T el tiempo de descubrimiento y es la tasa de descuento. = V 1 E[ e W W < T ] = V 1 E[ e W = V 1 0 E[e W donde E[ e W W T < 0] W T = Z]f(z)dz W T = Z]

8 = e W 0 f W T,W (Z,W )dw f W T (Z) = 0 e W f W Z Cómo se determinan las dos funciones f W T,W f W T Es fácil obtener la función de demidad conjuntamente ente W y T, pues sabemos que W y T son variables independientes con distribuciones exponenciales. Así: f W,T (W, T ) = { θτe θw τt W, T > 0, 0 si no. Por el método de transformación de variable pueden hallar las dos densidades requeridas. Consideremos la transformación. X = W Z = W T T = W Z = X Z, J = 1 Así: f W,Z (W, Z) = { θτe θw τ(w Z 0 si no. si Z < W < y Z > 0 0 < W < y Z < 0,

9 Por lo tanto: f Z (Z) = { θτe θw τ(w Z) dw si Z > 0, z 0 θτe θw τ(w Z)dW si Z < 0 Debido a que dado un valor fijo de Z = W T, no se pueden tener valores de W inferiores a Z, ya que T > 0. Pero si Z < 0 los valores de W no varían desde Z ya que W 0. Así si Z > 0 f Z (Z) = Z θτe θw τ(w Z) dw = θτe τz Z e (θ+τ)w dw = θτeτz e (θ+τ)z = θτ θ+τ θ+τ e θz Si Z < 0f Z (Z) = 0 θτe θw τ(w Z) dw = θτe τz θ+τ Finalmente: f Z (Z) = { θτe τz θ+τ Z < 0, θτe θz θ+τ Z > 0. Ahora: f w Z = f W,Z(W,Z) f Z (Z) 5

10 θ τ(w Z) θτe θτ θτe = (θ + τ)e θw τw, θ+τ eτz θ W τ(w Z e θz = (θ + τ)e (θ+τ) w + (θ + τ)z. θτ θ+τ Por lo tanto. E[ V 1e W W T = Z] = 0 = 0 V 1 e W (θ + τ)e (θ+τ) W dw siz < 0 V 1 (θ + τ)e(+θ+τ) W dw = V 1 (θ+τ) (+θ+τ) si Z 0 Ahora si Z > 0 E[] = 0 V 1 e W (θ + τ)e (+τ)w +(θ+τ)z = V 1 (θ + τ)e (θ+τ)z 0 e (+θ+τ) W dw = V 1(θ+τ) (θ+τ) e Z( + θ + τ) si Z > 0 Finalmente E[ V 1 e W Z < 0] = 0 E[V 1 e W Z = Z]f z (z)dz Recuerde que f z (Z) = θτeτz θ+τ si Z < 0 y que E[ V 1 e W Z = Z] = V 1 Así E[, ] = 0 V 1 (θ+τ) (+θ+τ) (θ+τ) θτe τz (+θ+τ) (θ+τ) dz

11 = V 1θ (+θ+τ) = E[Π 2 (W < T ) T 1 ] De manera análoga se puede calcular que: E[Π 2 (W > T ) T 1 ] = P τ θ+τ+ Agrupando se obtiene que: E[Π 2 1 ] = V 1θ τ (θ+τ+)k (θ+τ +) A esta expresión la vamos a llamar H 1 En caso que el país 1 sea de tipo II, las ganancias esperadas están dadas por: E[Π 2 T 2 ] = V 2θ(θ++0.6τ) 0.4P τ(θ+) (θ+)(θ+τ+)k (θ+)(θ+τ +) = H 2 Así dependiendo de los valores de los múltiples parámetros varían los signos tanto de H 1 como de H 2. Es evidente que si H 1 0 H 2 0 el país 2 actuará (es decir iniciará el plan armamentista) Si H 1 0 H 2 0 seguramente no actuará. sin embargo si tienen signos distintos, la decisión del país 2 dependerá de sus creencias acerca del tipo de país I. Vamos a suponer que λ, con 0 < λ < 1 representa la probabilidad que el país 2 la asigna al evento que el país 1 es de tipo I.

12 Así la utilidad esperada del entrante es e(λ) = λh 1 + (1 λ)h 2 Asuma primero que H 1 > 0 > H 2 entonces e(λ) es positivo para valores de λ lo suficientemente cercanos a 1 y negativa en caso contrario. Específicamente existe un valor crítico λ para el cual e(λ) = 0 dado por λ = H 2 H 2 H 1 En caso que H 1 < 0 < H 2, el valor crítico λ se mantiene, pero ahora e(λ) < 0 si λ > λ e(λ) > 0 si λ < λ Surge ahora una interesante pregunta: ASPECTOS DE DISUASIÓN Y DE PROVOCACIÓN Cuando existe una sucesión de paises que quieren entrar a un plan armamentista, nosotros esperaríamos que cada ENTRANTE potencial, revisara como ha actuado el país 1 en ocasiones anteriores cuando un país intentó desarrollar un plan armamentista. Existen dos posibilidades:

13 A. Los entrantes subsecuentes consideran que ellos también serán eliminados en la primera fase y no entrarán. B. Los entrantes al revisar el historial del país 1 consideran aún más probable alcanzar la segunda etapa, que si no hubiesen revisado el historial. El efecto A se denominará disuasivo y el efecto B provocador. A lo largo del tiempo, muchos prospectos de entrante pudieron haber comenzado el desarrollo del plan armamentista. En cada caso el país I pudo o no haber eliminado los planes antes de su fase de despliegue. Esta acción o falla sirve como senal a los subsecuentes entrantes, permitiéndoles actualizar sus creencias De hecho nosotros hemos visto que el país 1 tipo I tiene mayor probabilidad de destruir el programa en la primera fase, que los que tiene el país 1 de tipo II. Por lo tanto cada destrucción de un programa en su fase inicial incrementa la creencia del país 2 acerca del hecho que el país 1 es de tipo I. Esencialmente ahora asumimos un juego dinámico entre un país 1 y múltiples paises 2, juego en cuya primera etapa juega la naturaleza y determina la tipología del

14 país 1 con una probabilidad a priori λ 0 tipo 1. de que sea de El entrante conoce esto pero no conoce el resultado escogido por la naturaleza. Denote por S 1 la probabilidad de exito del país 1 tipo I en destruir un programa en su primera fase, es decir que: S 1 = P {W > T }. Así mismo sea S 2 la probabilidad análoga en el caso del país 1 tipo II, es decir que S 2 = 0.4P {W > T } Suponga ahora que en el momento en que el Entrante decide entrar en acción, n previos entrantes han intentado entrar, de estos K han sido destruidos en la primera fase y h = n K han desplegado su armamento, la probabilidad de esto, bajo la hipótesis de país 1 tipo I es: B(n, K, S 1 ) = n! K!h! SK 1 (1 S 1) h mientras bajo la hipotesis del país 1 de tipo II es: B(n, K, S 2 ) = n! K!h! SK 2 (1 S 2) h Por lo tanto utilizando la regla de Bayes, se tiene que si ocurre el evento (n, K) la probabilidad que el país 1 sea de tipo I, denotada por λ n,k esta dada por:

15 P (T ipoi (n, K)) = = P ((n,k) T ipoi)p (T ipoi) P (T ipoi)p ((n,k) T ipoi)+p ((n,k) T ipoii)p (T ipoii) S K 1 (1 Sn K 1 λ 0 ( n K ) ( n K)S 1 K(1 S 1 ) K λ 0 +( n K )SK 2 (1 Sn K 2 )(1 λ 0 ) Así λ n,k (1 λ n,k = λ 0 (1 λ 0 ) (S 1 S 2 ) K [ 1 S 1 1 S 2 ] n K Por lo tanto como vimos, si H 1 > 0 > H 2 actuará si λ > λ, lo cual implica λ 1 λ > decir si λ 0 (1 λ 0 ) (S 1 S 2 ) K [ (1 S 1) (1 S 2 ) ]n K > H 2 H 1 el entrante es λ 1 λ = H 2 H 1 Tomando logaritmo natural (que mantiene la desigualdad) log( S 1 S 2 )K + log[ 1 S 1 1 S 2 ](n K) > log( H 2 H 1 ) + log[ 1 λ 0 λ 0 ] Dado que S 1 > S 2 el equivalente de K es positivo mientras que el de n K es negativo, así un número mayor de exitos en detener programas en la primera fase genera un efecto provocador. Suponga ahora que H 1 < 0 < H 2, así la condición para que el entrante entre es: log( S 1 S 2 )K + log( 1 S 1 1 S 2 )(n K) < log( H 2 H 1 ) + log[ 1 λ 0 λ 0 ] En este caso un mayor número de éxitos en destruir programas en la primera fase genera un efecto disuasivo.

16 Ejemplo: Considere los datos V 1 = 100, V 2 = 40, θ = 1, τ = 1, = 0.1, K = 300, P = 100, λ 0 = 0.1 Se tiene que S 1 = P {W > T } = P {W T > 0} = P {Z > 0} 1 0 f Z(Z)dZ = 1 0 = 1 θ θ+τ = = 1 2 S 2 = = 0.2 θτe τz θ+τ dz Se puede mostrar que el entrante A priori actuará si λ > A posteriori sin embargo el entrante actuaria si: 0.916K 0.470K > Así el entrante A priori no tiene intenciones de entrar, sin embargo si el nota que por ejemplo el país I ha tenido éxito en 2 de 4 intentos, el entrante decidirá entrar.