Tema 19 Modelo de Weibull para predecir la fractura de los materiales frágiles.

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1 Tema 19 Modelo de Weibull para predecir la fractura de los materiales frágiles. Los Materiales Cerámicos tienen las siguientes características: Son compuestos químicos o soluciones complejas que contienen elementos metálicos y no metálicos. El enlace de sus átomos es iónico. Son materiales muy duros y frágiles. Poseen dislocaciones pero éstas no pueden desplazarse debido a las largas eléctricas de sus átomos. Su temperatura de fusión es elevada. El enlace iónico es un enlace muy fuerte por lo que se requiere de mucha energía (temperatura) para separar sus átomos. Por esta razón las cerámicas pueden utilizarse como materiales refractarios (resistentes a las temperaturas elevadas) Su conductividad eléctrica y térmica es baja. Son muy estables químicamente. Son estables (inertes) a la mayoría de químicos. Su resistencia en compresión es elevada, sin embargo su resistencia en tensión es baja. Los materiales cerámicos son muy sensibles a la presencia de defectos. Los defectos reducen la resistencia en tensión del material. Griffith planteó una teoría que explica la fractura de los materiales frágiles. σ σ Rr r a r 2a r = radio de curvatura del extremo de la grieta σ = esfuerzo nominal aplicado sobre el material σ σ 161

2 Griffith dedujo que el esfuerzo real en el extremo de la grieta se puede estimar así: σ 2σ real a r Para grietas finas (r pequeño) o largas (a grandes), la relación a/r aumenta, incrementando el esfuerzo real aplicado en la punta de la grieta. Si el esfuerzo real, amplificado por la grieta, excede la resistencia del material, la grieta puede crecer y causar fractura. Esto puede darse aún cuando el esfuerzo nominal aplicado sea pequeño. Se sabe que para que la grieta crezca espontáneamente, se requiere que la energía elástica liberada al romperse los enlaces químicos entre sus átomos sea igual o mayor que la energía requerida para formar la superficie de la grieta. Griffith desarrolló un criterio para la propagación de una grieta elíptica en un material elástico haciendo un balance de energía entre la energía elástica de los enlaces y la energía requerida para formar superficie nueva. El demostró que el esfuerzo crítico requerido para hacer que una grieta crezca espontáneamente en un material frágil se puede calcular por medio de la siguiente ecuación: σ c = 2Eγ πa Donde: σ c = esfuerzo requerido para que la grieta cause la fractura del material. E = módulo de elasticidad del material. γ = energía de superficie específica o tensión superficial. a = mitad de la longitud de una grieta interna, o longitud total de una grieta superficial. A partir de este modelo se concluye que la resistencia en tensión de un material cerámico depende del tamaño (a y r) de los defectos que posea. En los cerámicos existe una dispersión considerable de defectos, es decir, existen muchos defectos de tamaño diferente. Estos defectos son generados durante la etapa de fabricación del material. Por esta razón, la resistencia a la fractura de estos materiales tiene valores dispersos. Esto significa que piezas fabricadas con el mismo material cerámico pueden fallar a valores diferentes fuerzas aplicadas. A manera de ejemplo, se tomaron 100 ladrillos de barro cocido (los ladrillos rojos que se utilizan para hacer paredes) y se sometieron a una prueba para determinar la fuerza que los fractura. Los resultados se resumen en el histograma siguiente: 162

3 [100,125) [150,175) [200,225) [250,275) [300,325) [350,375) [400,425) [450,475) [500,525) [550,575) [600,625) [650,675) [700,725) [750,775) [800,825) [850,875) El eje de las x describe los intervalos de fuerza, mientras que en el eje de las y se han colocado las frecuencias para cada intervalo. Las fuerzas de fractura variaron desde 129 hasta 855 kgf. Esta dispersión de valores no permite definir con exactitud la resistencia a la fractura de estos ladrillos. Para describir la fractura de una cerámica, se utiliza la distribución de probabilidad acumulada de Weibull. Dicha distribución responde a la siguiente ecuación: F = 1 exp [ - V E (σ/σ o ) m ] Donde: F = probabilidad de fractura del material F = 0, no hay fractura F = 1, hay fractura V E = Volumen efectivo. Es el volumen equivalente al que debería someterse una muestra del material en tensión, para que falle de manera similar a la muestra en flexión. σ = esfuerzo en tensión aplicado sobre el material. 163

4 σ o = esfuerzo característico. Es una propiedad del material sin un significado físico concreto. Simplemente define que tan elevados o bajos son los valores de la distribución de esfuerzos. Se define como el esfuerzo uniforme para el cual la probabilidad de falla es Sus unidades son (esfuerzo) (volumen) 1/m m = módulo de Weibull. Define que tan dispersa es la distribución del esfuerzo. Para construir la distribución de Weibull de un material cerámico, se realiza lo siguiente: 1. Se fabrica una muestra estandarizada del material a probar. b = ancho d = altura o peralte L T = longitud de la muestra 2. La muestra se somete a una prueba en flexión y se mide la fuerza P que causa la fractura del material. Existen dos tipos de pruebas: P/2 P/2 L/2 + + Flexión en 4 puntos + + L P/2 P/2 164

5 P L/2 + Flexión en 3 puntos + + P/2 P/2 L Para que el modelo sea representativo, se recomienda probar al menos 30 muestras del material. 3. Se calcula el esfuerzo de fractura en tensión. 3PL Para flexión en 4 puntos: σ = 2 4bd 3PL Para flexión en 3 puntos: σ = 2 2bd 4. Se ajustan los esfuerzos de fractura obtenidos en la prueba de modo que cumplan con la ecuación de Weibull. Ajustar los esfuerzos significa encontrar los valores de V E, σ 0 y m de modo que los datos experimentales satisfacen la ecuación. 165

6 Ejemplo: en una prueba de flexión en 3 puntos, se obtienen los siguientes valores: Fuerza de fractura b (mm) d(mm) (N) Paso 1. Se calcula el esfuerzo de fractura σ (MPa) Paso 2. Se ordenan los esfuerzos comenzando del valor menor hacia el valor mayor y se asigna un número correlativo i a cada valor de esfuerzo. Si algún valor del esfuerzo está repetido, se descarta. σ (MPa) i Paso 3. A partir del valor del número correlativo i, se asigna una probabilidad de fractura a cada muestra. La probabilidad de fractura se calcula así: i 0.5 F = N Donde N es el número total de valores de esfuerzo de fractura. 166

7 σ (MPa) i F Probabilidad de fractura asignada a las muestras Paso 4. Se ajusta la ecuación F = 1 exp [ - V E (σ/σ o ) m ] a los valores de σ y F de la tabla. Esto significa encontrar los valores de V E, σ o y m que hacen que al sustituir σ en la ecuación, se obtenga el valor correspondiente F. El ajuste se hace así: F = 1 exp [ - V E (σ/σ o ) m ] exp [ - V E (σ/σ o ) m ] = F 1 - V E (σ/σ o ) m = ln (1 - F) (se aplicó logaritmo natural en ambos lados) V E (σ/σ o ) m = - ln (1 - F) ln [V E (σ/σ o ) m ] = ln [- ln (1 - F)] (se aplicó logaritmo natural en ambos lados) ln V E + m ln (σ/σ o ) = ln [ - ln _1 ] 1 - F ln V E + m ln σ - m ln σ o = ln [ ln _1_ 1 - F ln V E m ln σ o + m ln σ = ln [ ln _1 ] 1 - F valor constante para todas las muestras. 167

8 Si hacemos: x = ln( σ ) 1 y = ln ln 1 F ( V ) mln( σ 0 b = ln E ) Entonces la ecuación de Weibull se puede escribir como: b + m x = y. Esta es la ecuación de una línea recta. ln ln 1 1 F m b ln( σ ) 168

9 σ (MPa) F ln [ ln _1 ] 1 - F ln σ Utilizando mínimos cuadrados, se ajustan los valores de x y y a la línea recta. Y = 3.62 x 6.15, r = 0.95 M = 3.62 Módulo de Weibull b = = ln V E m ln σ o Se sabe que: ln [ ln _1 ] = ln V E m ln σ o + m ln σ 1 - F ln [ ln _1 ] = ln σ 1 - F Cuando σ = σ o, F = Al sustituir se tiene que ln [ ln _1 ] = F Por tanto: 0 = ln σ o σ o = 5.47 esfuerzo característico 169

10 Además: = ln V E m ln σ o = ln V E (3.62) ln (5.47) V E = 1.01 Volumen efectivo La ecuación de Weibull es entonces: 3.62 F = 1 exp [ σ ] 5.47 σ (MPa) F (Experimental) F (Weibull) En este caso el ajuste no es muy bueno porque hay pocos datos. Por esta razón se recomiendan 30 o más datos. 170

11 Al graficar la ecuación se obtiene lo siguiente: F 1 1 σ La probabilidad de fractura es pequeña el material se fractura Existe una probabilidad de fractura A mayor valor de m, menor es el intervalo de esfuerzos para los cuales existe definida una probabilidad de fractura. 171

12 PROBLEMAS (1) A continuación se presentan los resultados de las pruebas de flexión en tres puntos realizadas en el laboratorio de Ciencia de Materiales en piezas de barro. La longitud entre apoyos de las piezas es de 7 cm. Las dimensiones de la sección transversal de las piezas son las siguientes: F d b Encuentre la ecuación de Weibull que describe a este material. Deje constancia de los valores de σ y F para el valor ubicado en la 6º posición de la columna del esfuerzo ordenado. Fuerza de fractura (N) b (mm) d (mm) Fuerza de fractura (N) b (mm) d (mm) (2) El barro del problema anterior será utilizado para fabricar ladrillos de barro con las siguientes dimensiones: 8 cm de ancho x 12 cm de alto x 20 cm de largo. Los ladrillos serán utilizados para fabricar paredes y serán sometidos a una fuerza en tensión sobre la cara de 8 cm x 12 cm. Cuál es la máxima fuerza en tensión que puede aplicarse sobre la cara del ladrillo para que uno de cada 100,000 ladrillos se fracture? 172

13 (3) A continuación se presentan los datos de fractura para 100 ladrillos de barro quemado probados en el laboratorio. Para construir la ecuación de Weibull tome en cuenta lo siguiente: La fuerza de fractura se obtuvo por medio de una prueba de flexión en 4 puntos. 3PL El esfuerzo para flexión en 4 puntos se calcula así: σ = 2 4bd Calcule el esfuerzo en tensión en MPa. Utilice cuatro decimales para el valor del esfuerzo. La fuerza de fractura está en Kgf. Los datos de ancho (b) y peralte (d) están en centímetros. En el laboratorio se tomaron dos medidas del ancho y dos del peralte para cada ladrillo. En la tabla se han colocado los valores promedio de las dos mediciones. Para la prueba, la distancia entre apoyos (L) es de 20 cm. Encuentre la ecuación de Weibull para los ladrillos de barro quemado. Exprese el valor de V E con un decimal, y σ 0 y m con cuatro decimales. Fuerza de Ancho Peralte Fuerza de Ancho Peralte Fractura Promedio Promedio Fractura Promedio Promedio

14 (4) Se tienen dos materiales cerámicos con las siguientes propiedades: El material A tiene un módulo de Weibull m=25 y un valor de σ 0 = 35 MPa(m 3 ) 1/25 El material B tiene un módulo de Weibull m = 40 y un valor de σ 0 = 20 MPa(m 3 ) 1/40 Cuál de los dos materiales posee una mayor resistencia a la fractura? Justifique 174

15 (5) A continuación se muestran los datos de fractura para 20 muestras de barro artesanal. Todas las muestras tienen una longitud L de 6 cm. Muestra b (mm) d (mm) Fuerza de fractura (N) Recuerde que el esfuerzo sobre estas muestras, cuando se someten a la prueba de fractura, se calcula por medio de la siguiente ecuación: σ = 3 P L 2 2 b d A partir de estos datos, encuentre los valores σ o, m y V E, y escriba la ecuación de Weibull para este material. 175

16 (6) Se construirá un comal utilizando el barro del problema anterior. Sobre el comal se colocará un perol con tamales y que pesa 80 lbs, tal como se muestra en la figura. perol comal Se sabe que el esfuerzo máximo sobre el comal, está dado por la siguiente ecuación: P σ máx = t Para esta ecuación se tiene lo siguiente: σ máx : esfuerzo máximo en libras/pulgada cuadrada (psi). t : espesor del comal en pulgadas. P: fuerza aplicada sobre el comal en libras. Recuerde que 1 libra/pulgada cuadrada = kpa, y 1 pulgada = 2.54 cm. a) Si el espesor (t) del comal es de 1 cm, Cuál es la probabilidad que el comal falle cuando se coloque el perol con tamales? b) Cuál debería ser el espesor del comal, para que la probabilidad de falla cuando se coloque el perol sea 0.1%? 176

17 (7) En el laboratorio se determinó que la ecuación de Weibull que describe la resistencia a la fractura del vidrio es la siguiente: F σ = 1 exp Donde: F = probabilidad de fractura. σ = esfuerzo aplicado en MPa Suponga que para ayudarse a pagar las cuotas de la Universidad, usted inicia en su casa un negocio de fabricación de peceras de vidrio. Las paredes de la pecera estarán sometidas a la presión del agua dentro de ella, tal como se ilustra en el siguiente diagrama: Vista en planta Vista lateral En el diagrama, las flechas indican la presión que el agua dentro de la pecera ejerce sobre las paredes de vidrio. Esta presión genera una fuerza sobre las paredes verticales, la cual puede estimarse con la siguiente ecuación: F = 1 ρ g h 2 2 b donde: F = Fuerza que el agua ejerce sobre las paredes verticales de vidrio. ρ = Densidad del agua (1,000 kg/m 3 ) h = Altura de la pared (en metros) b = Ancho de la pared (en metros) g = gravedad (9.8 m/s 2 ) Pared vertical de la pecera h b 177

18 Esta fuerza produce un esfuerzo que puede estimarse con la siguiente ecuación: 3F σ =, donde e= espesor de la pared de vidrio (en metros) 2 2e Suponga que un cliente le pide que le fabrique una pecera que tenga 75 cm de largo por 50 cm de alto y 50 cm de ancho, tal como se ilustra: Alto = 50 cm Ancho = 50 cm Largo = 75 cm Cuál es la probabilidad de que esta pecera se quiebre debido a la presión del agua si usted la fabrica con vidrio de 4 mm de espesor? En función de su respuesta, Es buena idea fabricar la pecera con ese vidrio? Si no es buena idea, Qué espesor recomendaría usted para el vidrio de la pecera? 178

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