Tablas de mortalidad dinámicas para España. Una aplicación a la hipoteca inversa

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1 Tablas de mortalidad dinámicas para España. Una aplicación a la hipoteca inversa Debón Aucejo, Ana Montes Suay, Francisco Sala Garrido, Ramón

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3 La redacción de este texto y el desarrollo de la aplicación E-VITA que le acompaña, han sido posibles gracias a la ayuda financiera concedida a los autores por parte de la Fundación ICO

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5 Índice general Introducción 1 1. Tablas de mortalidad Introducción Probabilidades relacionadas con el tiempo de supervivencia Estimación de las curvas de supervivencia Algunos modelos para la distribución del tiempo de supervivencia Tablas de mortalidad Estructura y clasificación de las tablas de mortalidad Estructura Clasificación: tablas estáticas y tablas dinámicas Evolución de la mortalidad Revisión de los modelos dinámicos para la graduación de la mortalidad Introducción Modelos paramétricos Modelos estructurales Modelos no estructurales Modelos no paramétricos Suavizado con p-splines Algoritmo Median-polish Últimas propuestas para la graduación de tablas dinámicas Modelización de los residuos Modelos frágiles (Frailty models) Riesgo de la longevidad La esperanza de vida residual Intervalos de confianza para la predicción i

6 ii ÍNDICE GENERAL 3. Análisis y predicción de la mortalidad española. Periodo Introducción Descripción de los datos y análisis preliminar Tratamiento de las edades superiores a 85 años Aplicación del modelo de Lee-Carter Resultados del ajuste Bondad de ajuste Predicción Predicción de q xt para el periodo Predicción de e xt para el periodo Cálculo de la hipoteca inversa Introducción Rentas vitalicias Determinación del valor de las rentas vitalicias anuales Determinación del valor de las rentas vitalicias fraccionadas Perspectiva general de la hipoteca inversa El planteamiento de la hipoteca inversa del ICO Apéndices 75 A. Aplicación E-VITA 77 A.1. Ventana Presentación A.2. Ventana Hipoteca Inversa A.3. Ventana Ajustes Lee-Carter A.4. Ventana Parámetros del modelo A.5. Ventana Proyección B. Código en R 83 Bibliografía 87

7 Índice de figuras 1.1. Gráfico de descenso de la mortalidad para algunas edades Rectangularización y expansión para los hombres Rectangularización y expansión para las mujeres Evolución de la esperanza de vida Descomposición de la Ley de Heligman y Pollard Regresión con B-splines (izquierda) y con p-splines (derecha) Residuos para un ajuste de Lee-Carter (izquierda) y residuos independientes (derecha) Probabilidades de muerte para los hombres Probabilidades de muerte para las mujeres Valores estimados para el modelo de Lee-Carter Residuos Deviance para el modelo de los hombres Residuos Deviance para el modelo de los mujeres Proyecciones para el periodo Predicciones para algunas edades Predicciones para edades avanzadas Esperanza de vida residual para edades elevadas A.1. La ventana Presentación A.2. La ventana Hipoteca Inversa A.3. La ventana Ajuste de Lee-Carter A.4. Gráfica de los parámetros a x que muestra la ventana Parámetros del modelo A.5. Gráfica de los parámetros b x que muestra la ventana Parámetros del modelo A.6. Gráfica de los parámetros k t que muestra la ventana Parámetros del modelo A.7. La ventana Proyección iii

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9 Índice de tablas 4.1. Expresiones para las rentas vitalicias con cuotas constantes Expresiones para las rentas vitalicias con cuotas en progresión aritmética Expresiones para las rentas vitalicias fraccionas con cuotas constantes Estimación de los gastos de formalización y gestión Rentas percibidas a lo largo de los n años v

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11 Prólogo Una de las más importantes derivaciones obtenidas a partir de los datos censales son las tablas de mortalidad de la población, instrumentos relevantes tanto para el cálculo actuarial (cálculo de primas y/o indemnizaciones) como para el estudio de la evolución de la población y sus movimientos. El profesional del seguro de vida ha de ser capaz de determinar adecuadamente las primas para garantizar así las cantidades que habrá de pagar la compañía a la muerte del asegurado. En consecuencia, la predicción adecuada de las probabilidades de muerte constituye un elemento principal en la reducción del riesgo que se asume. Otra característica de interés ligada a las tablas de mortalidad es la esperanza de vida de un individuo para las distintas edades. Se trata también de un indicador de la capacidad de supervivencia de una sociedad y su incremento supone, en todos los aspectos, una mejora de las condiciones de vida de la misma. A pesar de la importancia de ambas características, probabilidad de muerte y esperanza de vida, y de la indudable influencia que la edad y el tiempo del calendario (año) ejercen sobre ellos, son pocos los trabajos que las han estudiado conjuntamente para los datos de mortalidad españoles. El objetivo final de este trabajo ha sido la construcción de tablas de mortalidad dinámicas a partir de los datos de mortalidad y población publicados por el INE correspondientes al periodo , y la obtención de predicciones de la mortalidad y de la esperanza de vida para los años venideros. El presente texto presenta una exposición exhaustiva y actual de los distintos métodos de ajuste de tablas dinámicas, intentando encontrar el equilibrio entre el rigor teórico que los especialistas exigen y la claridad que los usuarios técnicos desean. Sólo uno de estos métodos será utilizado para obtener el producto final buscado, las tablas dinámicas de mortalidad española. La elección se ha basado en criterios de bondad tanto para el ajuste como para la predicción, y el resultado se ofrece en forma del software interactivo E-VITA accesible a través de la dirección La estructura del texto es la siguiente: El Capítulo 1 está dedicado a la definición de los conceptos fundamentales que se utilizan en una tabla de mortalidad estática, finalizando con un análisis de la evolución de la mortalidad en España durante el último siglo. Se persigue con ello evidenciar la necesidad de introducir modelos que 1

12 2 Prólogo recojan y expliquen dicha evolución. El Capítulo 2 se ocupa de este tipo de modelos, los dinámicos, que introducen el tiempo del calendario. En algunos casos se trata de modelos clásicos adaptados a esta nueva circunstancias, otros son modelos ex-novo. Resumir convenientemente la información contenida en las tablas de mortalidad es una tarea que tradicionalmente se le ha encomendado a la esperanza de vida. A su definición y predicción se ha dedicado el final del Capítulo 2. El Capítulo 3 se ocupa del análisis de la mortalidad española en los últimos 25 años, ajustando a los datos del periodo una tabla dinámica mediante el modelo de Lee-Carter, el que presenta mejor comportamiento global entre los expuestos en el capítulo anterior. El Capítulo 4 introduce el concepto de hipoteca inversa, un producto financiero que está adquiriendo gran popularidad a medida que envejece la población y menguan las pensiones. Un simulador de cálculo de la hipoteca inversa, y del seguro asociado para poder hacer frente a la eventualidad de sobrevivir al periodo para la que fue contratada, ha sido incorporado al software E-VITA, cuyo manual de uso se detalla en el Apéndice A. En el Apéndice B se reproduce el código R utilizado para obtener los resultados del Capítulo 3. El texto se cierra con una exhaustiva y actualizada bibliografía que los autores esperan sea de utilidad para los lectores que deseen profundizar en parte o todos de los temas tratados. Valencia, julio de 2008

13 Capítulo 1 Tablas de mortalidad 1.1. Introducción Probabilidades relacionadas con el tiempo de supervivencia Estimación de las curvas de supervivencia Algunos modelos para la distribución del tiempo de supervivencia Tablas de mortalidad Estructura y clasificación de las tablas de mortalidad Estructura Clasificación: tablas estáticas y tablas dinámicas Evolución de la mortalidad

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15 1.1 Introducción Introducción La tabla de mortalidad, también llamada tabla de vida, es un modelo teórico que permite medir las probabilidades de vida o de muerte de una población en función de la edad. Las probabilidades de muerte asociadas a cada edad constituyen la piedra angular en todo cuanto se relaciona, directa o indirectamente, con la demografía de un grupo humano, desde el nivel y tendencia de la mortalidad hasta los sistemas de previsión y seguros, pasando por los estudios de fecundidad, la evaluación de programas de salud o el estudio de los movimientos de población. Estos son sólo alguno de los campos de aplicación de las tablas de mortalidad. Centrándonos en el campo de los seguros y el sistema de pensiones, tanto público como privado, las tablas de mortalidad son utilizadas, entre otras actividades, para: i) estimar las reservas actuariales que garanticen el pago de la obligaciones previsionales del sistema público de pensiones, ii) efectuar los cálculos del otorgamiento de pensiones y capital asegurado que administran los seguros de rentas vitalicias y los seguros de invalidez y supervivencia en el caso del Sistema Privado de Pensiones y, iii) determinar las primas de seguros vida y la constitución de las reservas técnicas en el caso del sistema asegurador. El interés de las tablas de mortalidad queda fuera de toda duda a la vista de las distintas aplicaciones mencionadas en los dos párrafos anteriores. Hemos de señalar que la probabilidad de muerte para cada edad es la primera y más inmediata forma de medir las mortalidad, basta para ello con conocer los datos absolutos de defunciones y la población expuesta a riesgo de morir. Existen sin embargo otras medidas alternativas de gran utilidad que se recogen en una tabla de mortalidad. El capítulo está dedicado a introducir todos aquellos conceptos que permiten obtener una tabla de mortalidad, la descripción de su contenido y la clasificación de los distintos tipos de tablas. Y finaliza con una descripción de los cambios sufridos en la mortalidad española durante el periodo Probabilidades relacionadas con el tiempo de supervivencia Denotemos por x la edad de un individuo, con x [0,ω], donde ω representa el límite superior de supervivencia. Para dicho individuo, T o T x, representa su tiempo futuro de supervivencia, una variable aleatoria a la que podemos asociarle ξ = T +x, la edad de fallecimiento. La función de distribución de probabilidad de T, G(t) = P(T t), t 0,

16 6 Capítulo 1. Tablas de mortalidad representa la probabilidad que el individuo tiene de morir dentro de los t años siguientes. A partir de G(t) podemos definir la función de supervivencia s(t) = 1 G(t). Para cualquier t > 0, s(t) es la probabilidad que el individuo tiene de sobrevivir t años, de ahí que la hayamos denominado función de supervivencia. De su definición se derivan las dos propiedades siguientes: es una función no creciente, y en los extremos del intervalo de supervivencia toma los valores s(0) = 1, puesto que G(0) = 0, y s(ω) = 0, por tratarse de la edad máxima alcanzable. Algunos autores sugieren (Villalón, 1997) que es razonable y conveniente suponer que s(t) es una función continua de t. Probabilidades y valores esperados de interés pueden ser expresados en términos de las funciones g y G. La comunidad internacional de actuarios utiliza una notación propia para designar alguno de estos valores (Gerber, 1997). Así, tq x = G(t) = 1 s(t) es la probabilidad de que un individuo de edad x muera en t años. De igual forma tp x = 1 G(t) = s(t), (1.1) denota la probabilidad de que un individuo de edad x sobreviva al menos t años. Otra notación habitualmente utilizada es s tq x = P(s < T < s + t) = G(s + t) G(s) = s+t q x s q x, que denota la probabilidad de que un individuo de edad x sobreviva s años y muera dentro de los t años siguientes. De igual forma se usan frecuentemente y s+tp x = 1 G(s + t) = (1 G(s)) s tq x = G(s + t) G(s) = (1 G(s)) 1 G(s + t) 1 G(s) G(s + t) G(s) 1 G(s) = s p x tp x+s = s p x tq x+s. Si t = 1, el índice t se omite en los símbolos, por ejemplo q x denota la probabilidad de morir durante el año siguiente. Una medida de mortalidad muy utilizada es la llamada fuerza de mortalidad de x a la edad x+t, también conocida como función de riesgo o tasa de hazard, definida mediante µ x+t = g(t) 1 G(t) = d ln (1 G(t)). (1.2) dt

17 1.3 Estimación de las curvas de supervivencia 7 Se trata de una probabilidad condicionada, en concreto la de morir inmediatamente después del tiempo t, t + dt, siendo así que se ha sobrevivido hasta t. De (1.1) se obtiene µ x+t = d dt ln ( tp x ), e integrando ( tp x = exp t 0 ) µ x+s ds. (1.3) 1.3. Estimación de las curvas de supervivencia La estimación de las curvas de supervivencia puede plantearse desde dos enfoques distintos, que como veremos dan lugar a su vez a modelos específicos. El primero de ellos consiste en postular una distribución de probabilidad para la variable T. El segundo, que podríamos denominar enfoque actuarial, supone la construcción de una tabla de mortalidad Algunos modelos para la distribución del tiempo de supervivencia La modelización de T a partir de una función de distribución explícita, G, tiene la ventaja de permitir su estimación mediante un reducido número de parámetros. Ventaja nada desdeñable cuando se dispone de pocos datos. A lo largo del tiempo diversos autores han propuesto modelos para el comportamiento probabilístico de T. Entre los más utilizados, los que se exponen a continuación. De Moivre (1724) postula la existencia de una edad ω máxima y supone que T se distribuye uniformemente entre las edades 0 y ω x, de forma que g(t) = 1 ω x, 0 < t < ω x, µ x+t = 1 ω x t, 0 < t < ω x. Gompertz (1825) supone que la fuerza de mortalidad crece exponencialmente µ x+t = Bc x+t,t > 0, lo que expresa mejor el comportamiento de T y además no requiere la hipótesis de la edad máxima ω.

18 8 Capítulo 1. Tablas de mortalidad Makeham (1860) añade una componente constante A > 0 al crecimiento exponencial y postula la siguiente ley µ x+t = A + Bc x+t,t > 0. La probabilidad de supervivencia en este modelo es ( tp x = exp At B ) ln c cx (c t 1). Weibull (1939) sugiere que la fuerza de mortalidad crece como una potencia de t en lugar de hacerlo exponencialmente µ x+t = k(x + t) n, siendo k > 0 y n > 0 parámetros fijos. La probabilidad de supervivencia se expresa ahora ( tp x = exp k ( (x + t) n+1 x n+1)). n + 1 Otros autores proponen modelos más sofisticados, en la creencia que una sola ley no recoge adecuadamente toda la experiencia de mortalidad. Thiele (1972) propone un modelo que relaciona la fuerza de mortalidad con la edad de distinta forma según el rango de ésta última, µ x = a 1 exp( b 1 x) + a 2 exp ( 12 ) b 2(x c) 2 + a 3 exp(b 3 x), donde el primer término representa la mortalidad infantil, el último, que es una curva Gompertz, corresponde a la mortalidad para edades avanzadas y el central es una curva normal. Perks (1825) introduce una nueva familia de curvas cuya expresión general es, µ x = A + Bc x Kc x Dc x. Estas leyes son sólo aplicables a las edades adultas y muchas fallan al representar lo que conoce como la joroba de los accidentes en las edades adultas. Heligman y Pollard (1980) mejoran la propuesta de Perks con el modelo q x p x = A (x+b)c + D exp ( E(log x log F) 2) + GH x,

19 1.3 Estimación de las curvas de supervivencia 9 cuyo número de parámetros puede parecer excesivo. Sin embargo, todos ellos tienen una interpretación real. Así, A es q 1, C mide la ratio con la que los niños se adaptan al entorno, G indica el nivel de mortalidad de las edades elevadas mientras que H mide el incremento de esa mortalidad, D representa la intensidad de la joroba de los accidentes, que más adelante se describe, F la sitúa y E indica su velocidad. Una descripción más detallada y un listado más exhaustivo de las leyes de mortalidad puede encontrarse en Benjamin y Pollard (1992), Gerber (1997) y Tabeau, van den Berg Jeths y Heathcote (Eds) (2001) Tablas de mortalidad A partir de T podemos definir una variable aleatoria discreta, K = T, que representa el número entero de años futuros vividos. Su distribución de probabilidad viene dada por P(K = k) = P(k T < k + 1) = k p x q x+k, k = 0, 1, 2... y su valor esperado, la esperanza de vida abreviada, e x = kp(k = k) = k=1 k k k p x q x+k, k=1 o, alternativamente, e x = P(K k) = k=1 kp x. Si S representa la fracción del año de muerte durante la cual el individuo de edad x sobrevive, se tiene T = K +S. Esta nueva variable, S, es continua y toma valores en [0, 1[. Suponiendo su distribución uniforme, podemos aproximar su valor esperado por 1/2, y k=1 ė x = E[T] e x La distribución de probabilidad del tiempo de vida futuro puede ser construida a partir de lo que denominamos una tabla de mortalidad. Se trata, esencialmente, de una tabla que recoge las probabilidades de morir en el año siguiente a la edad que se ha sobrevivido, q x, y que definen completamente la distribución de K. La distribución de T puede obtenerse a partir de una tabla de mortalidad mediante interpolación, para lo cual son necesarias hipótesis sobre el comportamiento probabilístico de u q x, o de la fuerza de mortalidad, µ x+u, para edades intermedias x + u, con x entero positivo y 0 < u < 1. Veamos alguna de estas hipótesis.

20 10 Capítulo 1. Tablas de mortalidad A) Linealidad de u q x Si suponemos que u q x es una función lineal de u, la interpolación entre u = 0 y u = 1 conduce a uq x = uq x, luego y B) µ x+u constante Si µ x+u = µ x+ 1 2 up x = 1 uq x, µ x+u = q x 1 uq x. u ]0, 1[, de (1.3) se sigue up x = e uµ x+ 1 2 = [e µ x+ 1 2 ] u = (p x ) u. Se deduce de aquí que la distribución de S, dado K = k, es una distribución exponencial truncada que depende de k, P(S u K = k) = 1 pu x+k 1 p x+k. (1.4) Las variables S y K no son independientes en este caso. C) Linealidad de 1 u q x+u Esta hipótesis se conoce como la hipótesis de Balducci. A semejanza de lo que ocurre en A), 1 uq x+u = (1 u)q x. De forma que, y Finalmente, up x = p x 1 up x+u = µ x+u = P(S u K = k) = 1 q x 1 (1 u)q x q x 1 (1 u)q x. u 1 (1 u)q x+k, (1.5) muestra que tampoco ahora las variables aleatorias S y K son independientes.

21 1.3 Estimación de las curvas de supervivencia 11 Observemos que en los tres supuestos considerados la fuerza de mortalidad es discontinua en los valores enteros, pero lo más llamativo y poco creíble es que bajo la hipótesis de Balducci la fuerza de mortalidad decrece entre dos enteros consecutivos. Cuando las probabilidades de muerte son muy pequeñas, en las hipótesis B) y C) las expresiones (1.4) y (1.5) conducen a una distribución uniforme para S independiente de K. La problemática de los tantos interanuales, según las tres hipótesis consideradas, la resume Betzuen (1995) en el siguiente cuadro, en el que t [0, 1] y l x es el número de supervivientes con edad x. Hipótesis A Hipótesis B Hipótesis C tq x = a + bt µ x+t = µ 1 tq x = a + bt tq x = tq x t q x = 1 exp( µt) 1 tq x+t = (1 t)q x l x+t = l x tq x l x+t = l x exp( µt) l x+t = l xl x+t l x+1 + td x 1 hq x+t = (1 h)q x 1 tq x 1 hq x+t = (1 h)q x 1 (h t)q x Señalemos por último que la asignación de la edad de un individuo incide en los resultados del estudio, tal como señala Betzuen (1995). El problema surge porque existen diferentes criterios para llevar a cabo dicha asignación. Los dos más utilizados en la práctica dan lugar a los conceptos de edad actuarial y edad entera alcanzada. Edad actuarial.- Se trata de un método muy popular entre los actuarios y consiste en atribuir como edad de fallecimiento la edad entera más próxima al cumpleaños. Se asigna la edad x a todos los individuos con edad comprendida en el intervalo [x 1/2, x + 1/2[. Edad entera alcanzada.- Consiste en atribuir la edad como número de años enteros vividos, es decir, la forma habitual de asignar la edad a un individuo. Se asigna la edad x a todos los individuos con edad comprendida en el intervalo [x,x + 1[.

22 12 Capítulo 1. Tablas de mortalidad 1.4. Estructura y clasificación de las tablas de mortalidad Las tablas de mortalidad surgen de la necesidad de establecer reservas apropiadas con las que hacer frente a las obligaciones derivadas de los contratos de seguros de larga duración. El problema exige establecer una distriución de probabilidad, una estadística de la mortalidad y un instrumento matemático adecuados. Detalles acerca de los orígenes de las tablas y su evolución pueden consultarse en el libro de Nieto y Vegas (1993), quién atribuye a Halley (1693) el primer trabajo conocido de tablas de mortalidad completas construidas a partir de la hipótesis de estacionariedad, de la que más tarde nos ocuparemos. Posteriormente, Nicolás Titens, Jorge Barret y F. Bayly introdujeron los llamados símbolos de conmutación que permitieron agilizar el cálculo de las operaciones de seguro Estructura Palacios (1996) define la tabla de mortalidad como una serie temporal que indica la reducción paulatina de un grupo inicial de individuos debido a los fallecimientos. Así pues, lo que realmente contiene la tabla es el número de individuos que sobreviven. La tabla de mortalidad es una abstracción matemática que representa un modelo del comportamiento de la evolución y constante decrecimiento de un colectivo, construida a partir de las observaciones de un colectivo real. Su estructura básica, como nos describe Villalón (1994), debe estar constituida, al menos, por cinco columnas, encabezadas por los símbolos x, l x, d x, q x y p x. La primera, x, representa la edad del individuo en el rango, 0 x ω, siendo ω la edad límite. La segunda, l x, representa el número de individuos que sobreviven a la edad x. La tercera, d x, representa el número de los individuos que fallecen entre las edades x y x + 1, d x = l x l x+1. La cuarta, q x, es el tanto anual de fallecimiento a la edad x, proporción de los individuos que fallecen entre las edades x y x + 1, q x = d x l x.

23 1.4 Estructura y clasificación de las tablas de mortalidad 13 La quinta, p x, es el tanto anual de supervivencia a la edad x, p x = l x+1 l x. Una tabla básica como la descrita permite la obtención de algunas características de interés, como por ejemplo la esperanza de vida residual a la edad x, que representa los años que le restan por vivir a un individuo que ha cumplido x años. Su expresión es e x = T x l x, (1.6) donde T x es el total de años que todos los individuos que sobreviven a la edad x esperan vivir, T x = i x L i, siendo L x = l (x+1) + d x /2 el correspondiente número de personas-años. Las tablas pueden completarse, y habitualmente lo hacen, con los símbolos de conmutación: D x, N x, S x, C x, M x y R x. Estos símbolos son relaciones que facilitan los cálculos de primas, reservas y otras operaciones de seguros. Están calculados para un determinado tipo de interés, denominado tipo de interés técnico i, a partir del cual se obtiene el llamado factor de actualización, v x, o factor de descuento compuesto. Éste factor permite convertir un capital futuro a n años en un capital inicial, al eliminar el efecto de los intereses, v x = 1 (1 + i) x. Las expresiones de los símbolos de conmutación son las siguientes: D x N x = l x v x = D x + D x D ω S x = N x + N x N ω C x = d x v x+1 M x = C x + C x C ω R x = M x + M x M ω Clasificación: tablas estáticas y tablas dinámicas El fenómeno de la supervivencia viene caracterizado porque sus sucesos hacen referencia al hecho de que un individuo cualquiera perteneciente a un grupo específico, alcance y supere una edad concreta. Al intentar modelizarlo aparece la edad como como parámetro fundamental. A la edad se la denomina también en ocasiones tiempo biológico, para diferenciarla del tiempo cronológico que es el tiempo físico o del

24 14 Capítulo 1. Tablas de mortalidad calendario. Esta distinción es necesaria cuando, por ejemplo, se quiere comparar la mortalidad de individuos de la misma edad en periodos distintos. Los hipótesis básicas, que constituyen la base fundamental de las deducciones que han de conducirnos a la construcción de una tabla de mortalidad (Vegas, 1982), son: Principio de homogeneidad.- Los individuos del grupo son equivalentes en lo que se refiere a mortalidad, en el sentido de que tienen la misma función de distribución de probabilidad para la variable edad de muerte ξ. El grupo es homogéneo. Principio de independencia.- Los individuos que integran el grupo se definen con variables estocásticamente independientes. Esto equivale a decir que las variables asociadas la supervivencia de los individuos del grupo son mutuamente independientes. Principio de estacionariedad.- La probabilidad de que un individuo de no sobreviva a una edad concreta es independiente del año de su cálculo. Con estas hipótesis la probabilidad de que n individuos no sobrevivan a las edades x 1, x 2,..., x n, respectivamente, viene dada por P(ξ 1 < x 1,ξ 2 < x 2,...,ξ n < x n ) = G x1 (x 1 ξ 1 ) G x2 (x 2 ξ 1 )... G xn (x n ξ n ) = x1 ξ 1 q x1 x2 ξ 2 q x2... xn ξ n q xn Es evidente que si el estudio del fenómeno de la supervivencia se refiere sólo al tiempo biológico es porque se admite implícitamente la hipótesis de estacionariedad del fenómeno. Si todas las consideraciones y formulaciones que se hacen vienen referidas al tiempo biológico o edad, con exclusión de toda referencia al tiempo cronológico, la tabla de mortalidad resultante es una tabla de mortalidad estática o de momento. Un estudio completo debería abarcar ambos conceptos temporales, puesto que en su formulación más general la estacionariedad puede estar ausente y la expresión matemática del fenómeno de la supervivencia depende entonces de ambos tiempos. Se obtiene entonces una tabla de mortalidad dinámica. Como reflexión a la comparación teórica de las tablas estáticas y dinámicas, hemos de añadir que las primeras nacen con una fecha de caducidad implícita, puesto que la mortalidad desciende y la esperanza de vida aumenta con el paso de los años, de forma que necesitaríamos pedirle al asegurado una dotación adicional cuando pasaran un número determinado de años, mientras que con las segundas las posibles modificaciones son menores.

25 1.5 Evolución de la mortalidad Evolución de la mortalidad Antes de introducir y desarrollar los diferentes modelos dinámicos de tablas de mortalidad, consideramos importante poner de relieve las diferencias existentes entre las experiencias de mortalidad correspondientes a diferentes periodos. Esta sección esta dedicada a ilustrar dichas diferencia mediante un ejemplo concreto. Se pretende con ello justificar la necesidad de introducir modelos dinámicos que permitan una mejor predicción de la mortalidad futura. Los datos utilizados en el ejemplo corresponden a la mortalidad observada en España durante el periodo de para un rango de edades de 0 a 110, y han sido obtenidos de H.D.M. (2005). La Figura 1.1 permite observar como, en general, las probabilidades de muerte han descendido en el transcurso del tiempo, aunque con diferente comportamiento para los distintos grupos de edad. Al igual que otros países desarrollados, en España han sido especialmente llamativos el descenso que que ha sufrido la mortalidad infantil, el aumento de mortalidad en la última década para edades intermedias y la estabilidad, e incluso ligero aumento, para las edades elevadas debido al aumento de población longeva que se ha producido en los últimos años. log(qx) edats log(qx) edats any any (a) Hombres (b) Mujeres Figura 1.1: Gráfico de descenso de la mortalidad para algunas edades Las tendencias recientes de la mortalidad han sido descritas entre otros por Olivieri (2001), quien define al respecto dos procesos: el de expansión y el de rectangularización de la curva de supervivientes, Figuras 1.2 (a) y 1.3 (a) para hombres y mujeres, respectivamente. La curva de supervivientes se desplaza hacia edades muy elevadas, aspecto que se ha denominado expansión y que se traduce también en un desplazamiento de las moda de la curva de muertes, Figuras 1.2 (b) y 1.3 (b), hacia esas mismas edades. Un incremento de la concentración de muertes en torno a la moda de la curva de muertes implica a su vez, que la curva de supervivientes se

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