Aritmética mental. Introducción

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1 Aritmética mental Introducción Introducción Todo el mundo sabe lo que es aritmética mental : este es el título de un artículo influyente acerca de la aritmética mental a finales de De hecho, todos necesitan aritmética mental en su vida diaria u ocasionalmente en su trabajo por lo tanto, deben tener una idea de lo que esto implica. No obstante, es menos obvio que surja en el primer vistazo. Es la aritmética mental primeramente calculada en la mente, o puede usarse un lápiz y un papel? O la aritmética mental, como en algunos países, significa aprender hechos matemáticos de memoria tales como = 13 or 6 7 = 42? En las últimas décadas, un concepto cada vez más claro de la aritmética mental se ha establecido en Holanda, debido en parte a la influencia del artículo antes mencionado. Este concepto de la aritmética mental tiene sus raíces en la manera en que se ha mirado esta área del aprendizaje por los últimos 100 a 150 años, y en parte, debido a la introducción a gra escala de la calculadora, la aritmética mental está ganando una importancia mayor en los libros de texto de aritmética y matemáticas. Este concepto, escrito en forma breve, es que la aritmética mental es un cálculo diestro y flexible basado en relaciones numéricas conocidas y las características de los números. el concepto ha sido adoptado por un amplio grupo de practicantes profesionales y expertos y ha ganado la aceptación internacional. A continuación se presentan algunos ejemplos de los que se encuentran en el dominio del concepto de aritmética mental: > = = = > Peter está comprando un walkman. El paga con un billete de 200 dólares. El precio del artículo es de 189 dólares. Cuánto le ha sobrado? > = = = > Ana está comprando 8 panecillos de pasas. Un panecillo cuesta 95 centavos. >8 28 = = = > Sander mira su reloj. Son las 4.51 p.m. El tiene que estar en su casa después de las cinco y media. Cuántos minutos le faltan para llegar? >84 4 = = = La aritmética mental, como medio práctico y flexible del cálculo es también la base para la descripción de la trayectoria y enseñanza-aprendizaje. El capítulo comienza con una breve explicación y algunos ejemplos buscando ocuparse de la importancia de incrementar la aritmética mental y del trasfondo histórico para esto. Luego se delinean las sub-trayectorias para otras seis áreas: aritmética hasta el cien conteo y resta hasta mil Mental arithmetic 121

2 multiplicación con números grandes división con números pequeños y grandes multiplicación y división con números enteros aritmética mental en los grados más altos de la escuela primaria. En la última sección, se examina el caracter diferencial de la trayectoria enseñanza-aprendizaje y se presenta una selección de los problemas que los niños deben poder solucionar con estrategias aritméticas mentales para el final de sus años escolares primarios. Qué es aritmética mental? La aritmética mental como destreza matemática elemental, no se relaciona estrictamente con cierta área numérica o ciertas operaciones. En primer lugar, es una manera de enfocarse en los números y la información numérica en la que estos son tratados de una manera práctica y flexible, caracterizados por: trabajar con valores del número y no con los dígitos; en la aritmética mental los números mantienen su valor. usar propiedades de cálculos elementales y relaciones numéricas tales como la propiedad de intercambio ( = ; 28 3 = 3 28) propiedad de rompimiento (13 6 = (10 6) + (3 6)) relaciones inversas (62 59 = 3, porque = 62; = 60, porque 7 60 = 420), y sus combinaciones el estar apoyado por un sentido bien desarrollado acerca de los números y un conocimiento profundo de los mismos hasta el veinte y hasta el cien. posiblemente, usando notas intermedias convenientes según la situación, pero principalmente calculando mentalmente. 2 La aritmética mental se puede describir como una de rápido movimiento y flexibilidad a través del mundo de los números. Realmente no importa si ésta implica adición, sustracción, multiplicación, división o una combinación de estas operaciones; ni importa de qué área numérica proviene el número en sí. Sin embargo, una característica importante es que no todos los niños tienen que alcanzar una solución de la misma manera al resolver mentalmente problemas matemáticos. Por el contrario, en aritmética mental se puede desarrollar una diferenciación natural porque los niños tienen la libertad, dentro de ciertos límites, de continuar en su enfoque, de utilizar sus propias estrategias y números de referencia y adoptar su propia estrategia de simplificación. La siguiente ilustración de la sala de clases demuestra algunas de las maneras en que los niños pueden trabajar con problemas aritméticos mentales. 3 Al final del año escolar, se le da un ejercicio a una clase del grado 4 que contiene adición y sustracción hasta mil. Una discusión sobre las maneras que se puede abordar se utiliza como una actividad de inicio. Primero se le permite a Nancy proponer su solución. ella resta 600 a 702 (102) y después resta 5 (97) y finalmente 30. su respuesta es 67 Simone responde con: Voy a contar hacia delante. ella explica su método: Primero añado 60 a 365 es 695. Entones añado 5 (700) y entonces 2 que quedan 702. en total he sumado 60 y 5 y 2, eso es 67. El maestro resume esto como: Entonces estas buscando la diferencia entre 702 y 635. Otros tres niños explican su manera de trabajarlo. El maestro escribe todas las maneras paso a paso en la pizarra de manera que haya la descripción siguiente: 122 CALCULATION WITH WHOLE NUMBERS Upper Grades Primary School

3 = = = = = = = Nancy Simone = = = = = = = 67 Después de estas discusiones de calentamiento, los niños han refrescado su conocimiento sobre las diferentes maneras de abordar estos problemas y que pueden usar su manera para solucionarlos. El ejercicio aritmético puede comenzar. El propósito de la aritmética mental En la vida diaria, la aritmética mental (junto a la estimación) es extremadamente importante. si se refiere a calcular con dinero, tiempo, peso o distancia, las buenas habilidades aritméticas mentales son esenciales para mantener un buen agarre en situaciones con números, poder mirarlas críticamente e interpretarlos de una manera apropiada. En este sentido la aritmética mental forma un elemnto crucial de la capacidad para calcular que un niño debe poder utilizar en confianza. Pero la aritmética mental es también importante en la educación secundaria. No solamente forma la base para las actividades aritméticas de diversos temas, particularmente en situsciones en las cuales la calculadora se está convirtiendo en una herramienta común: pero es también importante porque el buen conocimiento de las características fundamentales de nuestro sistema numérico, es parte de la base para las matemáticas aquí discutidas. Un buen dominio de las propiedades de rompimiento e 67 Cindy Faranas Damiën intercambio a un nivel más abstracto que en la educación primaria es de gran importancia, particularmente, al explorar el concepto de las variables y de operaciones algebraicas que serán realizadas a su debido tiempo. Tres formas básicas de aritmética mental La aritmética mental en general toma tres formas elementales que, desde el punto de vista de los procesos de aprendizaje continúan de forma lógica una tras otra, y su adquisición está acompañada depor una comprensión cada vez más amplia de los números y las operaciones.: la aritmética mental mediante una estrategia de ordenar en hileras (filas) en la cual los números se consideran sobre todo como objetos a contar en la hilera y para los cuales las operaciones son movimientos a lo largo de la fila de cuenteo: en la cual los números son primeramente considerados como objetos en una fila de conteo y las operaciones son movimientos a través de la fila de conteo: hacia adelante (+) o para atrás ( ), hacia adelante repetidamente ( ) o repetidamente hacia atrás ( ) la aritmética mental por una estrategia de rompimiento en la cual los números son considerados primeramente como objetos con una estructura decimal y en los cuales las operaciones son realizadas mediante división (rompimiento) y procesando los números en esta estructura. la aritmética mental como una estrategia que varía basada en las características aritméticas en las cuales los números se consideran como objetos que pueden ser estructurados en toda clase de formas y en el cual los operaciones ocurren escogiendo una estructura conveniente y utilizando las caractwerísticas aritméticas apropiadas. Cada una de estas formas básicas se pueden ejecutar en diversos niveles: en un nivel bajo usando modelos tales como la recta numérica o el dinero, en un nivel más alto observando pasos intermedios en lenguaje matemático o simplemente mentalmente. En las diversas sub-áreas en las cuales se desarrolla la aritmética mental, estas formas básicas pueden ser introducidas como extensiones las Mental arithmetic 123

4 unas de las otras y practicadas. La introducción de una forma más alta no implica que desaparezcan las formas más bajas, más bien se integran para desarrollar gradualmente un repertorio cada vez más amplio de las estrategias matemáticas mentales entre las cuales los estudiantes pueden elegir, según el tipo de problema y de su propia preferencia. Así pues, a mediados del grado 4 se pueden utilizar para un problema como : una estrategia de ordenar en filas en la cual el primer número se considera en su totalidad y se le resta el segundo en partes. una estrategia de variación donde los números se estructuran de diversas maneras y en las cuales las propiedades aritméticas se utilizan para restarlas unas de otras para determinar la diferencia.a una estrategia de rompimieto (descomponer) el la cual ambos números están divididos basado en en su estructura decimal y restados el uno del otro en partes separadas. Cómo llegar a ser un experto en aritmética mental? Cómo aprenden los niños a hacer matemática mental? Para adquirir habilidades de aritméticas mentales es esencial, en el sentido aquí delineado, que haya un proceso similar al de la exploración del número dentro de los diversos dominios, y un desarrollo y expansió de las estrategias en las que las tres formas básicasa se exploran y se dominan cada vez más: comenzando con una amplia exploración de los números como tal; y partiendo de esto, las estrategias ordenar en filas (hileras) se investigan y estas fluyen naturalmente de la exploración de los números que pueden construir los niñosen gran parte para sí mismo 124 CALCULATION WITH WHOLE NUMBERS Upper Grades Primary School

5 bajo la dirección del maestro. cuando están suficientemente confiados y su comprensión de los números y las relaciones numéricas han aumentado, el proceso se extiende a estrategias de rompimiento que algunos niños habrán descubierto en una etapa más temprana. cuando los niños han alcanzado suficiente confianza con esta estrategia y su comprensión de las operaciones se haya profundizado, hay una extensión a la estrategia de variación. Esto, por supuesto, no significa que los niños no usen estrtegias de variación mucho más temprano, pero de primera instancia el énfasis de la enseñanza descansa en el uso de estrategias de ordenar en filas y en cómo pueden utilizarse estos más eficientemente en la reducción del cálculo. Solamente cuando los niños hayan dominado ésto es que se le ofrece énfasis a las estrategias de rompimiento. Esto también se aplica en una etapa posterior a las estrategias de variación. Si este proceso de aprendizaje no ocurre en el orden correcto y con suficiente profundidad, existe el peligro de que los estudiantes más lentos pierdan el rastro y mezclen los diversos tipos de enfoques. Al igual que el desarrollo de estrategias de aritmética mental, en ciertos momentos los niños se sentirán más confiados al utilizar las estrategias estandarizadas del cálculo en columna y los algorítmos. A mediados del grado 4, los niños pueden usar el cálculo en columna así como las estrategias aritméticas mentales antes mencionadas para solucionar el problema : es típico de la manera en que se presenta el cálculo en columna. Esta forma de cálculo es una extensión obvia de la aritmética mental para ellos y en particular, esto es cierto para la estrategia de rompimiento. En este sentido este procedimiento estándar del cálculo se puede considerar como una cristalización y abstracción adicional de la aritmética mental. El cálculo en columna ocurre con cierta regularidad junto con aritmética mental en la continuación del futuro programa. Es también característico que los niños tengan su propia contribución de aprender matemática mental. Con la dirección del maestro se da la oportunidad, dentro de ciertos límites, de dominar los diferentes tipos de estrategias del cálculo en la discusión con sus compañeros. Haciendo esto, pueden construir su propio repertorio de estrtegias, con su propia escala y flexibilidad, y así aprenderán a decidir cuándo es conveniente usar anotaciones que lo ayuden. Aritmética mental en una perspectiva histórica Históricamente, la aritmética mental no ha tenido siempre tanto valor. Hubo épocas en que no desempeñó virtualmente ningún papel en el programa de la escuela primaria. Esto era particularmente verdad antes de 1850, cuando era más importante la capacidad de realizar algoritmos. En ese período, solo se le prestó atención a la aritmética mental en el sentido de las tablas de la adición que memorizaban, la substracción, la multiplicación y la división de memoria, principalmente por práctica mecánica. Hacia finales del siglo19, un cambio inicial fue introducido bajo la influencia de Versluys, el matemático y didácta holandés. Él interpretó la aritmética mental mucho más en el sentido descrito en las secciones anteriores de este capítulo: no tanto cubriendo los hechos básicos y su impresión, sino trabajando más con números, usando todas las clases de relaciones de trabajo astuto y características de las operaciones. La aritmética mental, según Versluys, se diferencia del cálculo algorítmico por la flexibilidad con la cual se realizan las operaciones. Esta visión condujo inicialmente, en el siglo 20 a series de libro de textos en el cual se le prestó mucha atención al trabajo con algoritmos. Mental arithmetic 125

6 El ejemplo siguiente del grado 2 se tomó de un libro de texto llamado "Give Me Eight." 5 En algunas de estas series del libro de textos, el curso para los algoritmos fue diseñado por separado al de la aritmética mental como forma independiente de trabajo, pero había también la serie del libro de textos en las cuales este curso estaba alineado más de cerca con la aritmética mental. Aritmética mental = = = 2 / 3 of 18 = 100 = = = 4 / 5 of 30 = 200 = = = 5 / 9 of 27 = 200 = = = 3 / 4 of 28 = 400 = = = 5 / 6 of 24 = = 4 25 = 6 25 = 8 25 = = 3 25 = 5 25 = 7 25 = 9 25 = = = = = = = = = = = = semanas = 100 x7 días =...días 100 nickels = 100 x 5 ct. =... centavos 100 horas = minutos =.. minutos 100 docena de lápices = lápices =.. lápices 100 kilo = libras =.. libras Estos dos enfoques pueden también encontrarse en libros de texto utilizados después de la segunda guerra mundial, aunque desapareció más adelante.bajo la influencia de una tendencia fuerte hacia la individualización, la educación aritmética se convirtió cada vez más en una actividad de individuo -papel que se centró en hacer algoritmos. Pero otro cambio ocurrió gradualmente en los Países Bajos, en parte bajo la influencia de algunas series renovadas de libros de texto y algunos programas educativos de la televisión holandesa. 6 Entre otras cosas, éstos prestaban atención al conocimiento, una variedad amplia de ejercicios, y aritmética mental en forma de juegos y rompecabezas. El énfasis residía principalmente en estrategias certeras y variadas, (también llamadas "propiedades de cálculo" o "calculo astuto") y menos en las formas más básicas de aritmética mental por encadenamiento y rompimiento. Solamente cuando la educación realista de las matemáticas se trabajó en forma detallada en los años 80 y los años 90 fue que la visión de la aritmética mental se amplió en la dirección descrita anteriormente. Esta tendencia dio una seria importancia a la aritmética mental. Con la introducción a gran escala de la calculadora, se le dio menos importancia al uso de algoritmos- un desarrollo que no ha llegado a su fin.. La opinión sobre el lugar y la naturaleza de la aritmética mental parece haber sido muy bien aceptada. En un estudio reciente 7 reciente en el cual estaban implicados más de doscientos expertos aritméticos, una gran mayoría parecía apoyar esta visión. Al mismo tiempo, tres cuartas partes de éstos abogaron por un plan de estudios en el cual la aritmética mental forma el tronco del programa aritmético en la educación de las matemáticas siempre y cuando funcione sistemáticamente en una red de la trayectoria de enseñanza-aprendizaje. El cálculo en columnas y los algoritmos son una rama importante de este tronco. Calcular hasta el cien Con los números hasta el cien, los niños se familiarizan con la aritmética mental en su forma más elemental primero con la adición y la substracción, y más adelante con la multiplicación y la división. Según lo descrito en los capítulos para los grados más bajos de la escuela primaria la base para esto es formada en gran parte por los niños que adquieren una buena comprensión de los números como tal: de los patrones de diez en la fila de contar, de los diversos significados verdaderos de los números, de su posición global respecto a la recta 126 CALCULATION WITH WHOLE NUMBERS Upper Grades Primary School

7 numérica, y de la cuenta variada mediante saltos. Las operaciones aritméticas que se realizan aquí incorporan los cuatro procesos principales.se trabaja entonces con la adición y la substracción como base de esta exploración del número. Los capítulos para los grados más bajos describen detalladamente cómo los niños ganan gradualmente confianza al usar la primera estrategia de solución básica, la estrategia de encadenación. En esto el primer número sigue siendo quedando intacto y el segundo número se agrega o se resta por partes. La recta numérica vacía funciona como modelo central proporcionando aun a los niños con la ayuda necesaria, y también en un nivel mental ("piensa en la línea numérica otra vez..."). Cuando los niños están lo suficientemente seguros de usar la estrategia de encadenación y cuando también han ampliados su conocimiento en la estructura decimal de números, se explora la estrategia de rompimiento en la cual ambos números han sido "rotos" y añadidos o restados en partes. Esta estrategia se enseña en el último período del grado 2 o en la primera mitad del grado 3, usando el dinero u otro material estructurado para apoyar las operaciones. Esto se hace especialmente con la visión de desenmascarar los errores conocidos del rompimiento de los números de forma incorrecta según se muestra a continuación = = = = 44 En una discusión con toda la clase la situación es ejemplificada usando el dinero (uno tiene 83 euros y uno quisiera comprar algo por 47 euros) y la falta de corrección de este enfoque sido criticada públicamente. Se discuten las razones por las cuales esta manera es incorrecta. Entonces, varios niños proponen los siguientes comentarios: Usted no tiene 7 monedas de un euro. Sólo consiguió 3 y usted tiene que quitar 7." Sí, exactamente. Entonces usted puede primero quitar 3 y entonces usted necesita quitar 4 billetes de diez euros. Después de que el grupo haya reflexionado sobre tales comentarios, se proponen algunas maneras de un rompimiento adecuado: = 40 or = = = 4 (4 short) 43 7 = = 36 Durante el transcurso del grado 3, una tercera categoría de estrategias, la estrategia de variación, se presenta, aunque algunos niños habrán entendido esto anteriormente. Esto se aplica, por ejemplo, a la estrategia de añadir en la sustracción.. Se utilizan situaciones que envuelven hacer pagos (uno tiene 80 euros y compra algo por 67 euros) para revelar y explicar esta estrategia.. La recta numérica vacía y las notaciones en lenguaje aritmético sirven para describirlo en diversos niveles. En una manera similar, otras estrategias de variación tales como compensar, usar relaciones inversas, y el transformar se utilizan con cierta regularidad. El resultado de todo esto es que los niños se hacen cada vez más expertos en el cálculo rápido y flexible en todo tipo de problemas hasta el cien. Ellos adquieren un incremento en el repertorio de estrategias de aritmética mental eficientes del cual pueden hacer uso según el problema.. Por supuesto, no todos los niños consiguen llegar tan lejos: no todos desarrollan un amplio repertorio ni todos ellos ven rápidamente qué estrategia se presta para resolver ciertos problemas de una forma hábil. Esto explica porqué utilizan una libreta de apuntes para anotar un paso intermedio que puede seguir siendo una valiosa ayuda para algunos niños. Pero es cierto que si durante el grado 4 a esta área se le da bastante atención en forma de lecciones cortas con mucha práctica, incluso los estudiantes más débiles pueden progresar de una manera óptima y obtener una idea sobre lo que es la aritmética mental.. Junto con todo esto, los niños también están desarrollando sus habilidades para solucionar problemas con las tablas de forma rápida y automática. Los capítulos Mental arithmetic 127

8 en los grados más bajos delinean cómo este proceso trabaja. Aquí también puede verse que los niños alcanzan mayor flexibilidad en su comportamiento de solucionar problemas. El proceso de automatización no es tanto una cuestión dejar impreso algo sino de realizar más y más cálculos en formas cortas. Al finalizar el grado 3, los niños utilizan las siguientes estrategias de cálculo: >6 8 = Luego hago 5 8 is 40. Eso ya lo sé. Entonces le añado 8 igual 48. >7 9 = Lo coloco al revés porque 9 7 esmás fácil: esto es 70 7 es 63. >8 7 = Primero 4 7 es 28. Y entonces 28 y 28 es 56. El adquirir conocimiento preciso en esta área es también fomentado por ejercicios invertidos. Por ejemplo, el maestro dice un número (48, 35, 61,...)y los niños piensan en qué multiplicación satisface la repuesta. De esta forma las multiplicaciones que son mayores que las tablas son entonces descubiertas. Para 48, por ejemplo, 6 8 y 8 6, pero funcionan también 2 24, 4 12, y así sucesivamente.además, haciendo estos ejercicios, los niños comienzan a darse cuenta que hay también algunos números (por ejemplo 61) que no caben en cualquiera de las tablas. Las investigaciones con estos números (primos) pueden continuarse de una manera sistemática en una etapa mas tarde. Todo esto resulta no tan solo en más problemas de las tablas que se automatizan y luego se memorizan, si no también en que los niños llegan a sentirse más confiados al usar estrategias importantes de multiplicación (basadas en rompimiento y propiedades de intercambio) que son de gran valor para su desarrollo posterior aritmético. Durante el grado 3 y 4 el énfasis aumenta y cambia a cálculos hasta mil y más. Los cálculos hasta el cien todavía se practican con regularidad sobre todo en la forma de ejercicios cortos y variados como pruebas cortas, rompecabezas del cálculo, ejercicios de velocidad para las tablas y los juegos de la aritmética entre otros.i 1 Al final del grado 3 los estudiantes pueden resolver arimética mental para la adición y sustracción hasta cien de forma rápida y con profundidad. Si fuera necesario hacen uso de notaciones intermedias. Al final del grado 4 los estudiantes pueden ejecutar estas operaciones por completo mentalmente. 2 Al final del grado 3 los estudiantes pueden resolver las tablas de multiplicación del 2 al 10 automáticamente. Para la mitad del grado 4 todas estas operaciones han sido memorizadas. 128 CALCULATION WITH WHOLE NUMBERS Upper Grades Primary School

9 Los niños han tenido amplia oportunidad de trabajar a través de las tres estrtegias para la aritmética mental que han sido definida: encadenación, rompimiento y variación. Al hacer esto, ellos están completamente confiados usando la forma más básica de aritmética mental antes de intentar un método más complicado. Esto significa que estarán concientes y dudan sobre un enfoque, pero siempre podrán recurrir al encadenamiento como la estrategia más segura y básica.this means they are aware if they doubt an approach, that they can always revert to stringing as the safest and most basic strategy. Al darle a los ejercicios un carácter divertido y variado luego de la introducción inicial, los niños son alentados a desarrollar su flexibilidad natural de manera que mejorarán continuamente en la selección de la estrategia más conveniente. En lo que a las tablas se refiere, las lecciones se concentran primeramente en los problemas más difíciles (tal como 7 8, 8 6, 7 7, 6 8, 7 6) y entra la pregunta sobre qué estrategia adecuada tiene disponible en caso de que no pueda resolver el problema inmediatamente. La clave para una automatización recae en compartir y practicar las estrategias que se producen al contestar esta pregunta (tal como regresar, usando 5 y 10 como ancla o patrones, y doblar). Adición y sustracción hasta mil La trayectoria de enseñanza-aprendizaje para la adición y lasustracción hasta mil muestra una correlación sólida para estos problemas hasta el cien de diferentes maneras. en primer lugar existe el hecho de que se explora cabalmente el área numérica. Se discuten nuevamente diferentes aspectos de los números que son la base el conocimiento que los niños han adquirido para los números hasta el cien. De esta manera no tienen que comenzar desde cero. Por el contrario, al etender que la recta numérica hasta el mil es una continuación de la del cien, le facilita a ls niños aprender bien su estructura. Es especialmente viendo la posición de los números hasta el mil como una extensión de la posición hasta el cien lo que anima al conocimiento de la posición global de los números..así como como en el área hasta el cien, se utilizan contextos del campo de las medidas: > Cuán lejos es si saltas 2 m 45 cm? Y si alguien salta 3 m 79 cm? O 7 m 98 cm? Se podría aplicar esto salto al salón de clases? Una vez los números hayan adquirido suficiente sentido y significado, entonces los niños trabajarán con la tripleta de estrategias de filas (encadenar)- rompimiento - variación de una manera similar para la suma y la resta hasta el cien. Ellos comienzan con una exploración extensa de la estrategia de encadenar en donde la recta numérica vacía funciona como modelo central. Además, ejecutando cálculos mentales en la recta numérica vacía y Mental arithmetic 129

10 describiéndolos en términos del lenguaje matemático pronto se adopta como una manera para sustentar sus cálculos. > Robin iba de vacaciones con su familia a Francia. En la tarde el odómetro del carro marcaba 356. En un letrero se da cuenta que faltan 48 km para llegar al pueblo donde acamparán. Cuántos km habrán recorrido en total durante el día? La clase propone la siguiente manera para abordar este problema de contexto: = = = = = = = 404 encadenando a lo largo de la recta numérica vacía con diferentes grados de reducción estrategia de encadenar escribiendo lenguaje matemático estrategia de romper, también escrita en lenguaje matemático En la siguiente discusión el énfasis recae en la estrategia de encadenación y en los diferentes niveles en los cuales estos pueden ser ejecutados. Pensando en esto durante la clase, el niño crea conciencia del hecho de que los cálculos sobre cien no son realmente tan diferentes de los cálculos hasta el cien. Lo que si es nuevo es que el límite de cien ha sido cruzado. Los niños se dan cuenta de cómo pueden tratar ese cruce eficientemente. La capacidad de de contar hacia adelante y hacia atrás en saltos de 10 y 100 juega un papel importante aquí. Los niños ponen esto en práctica en problemas de ahorros (ahorrando o gastando un billete de 10 o de 100) solo como sumar y restar hasta el cien. En general, en adición a la estrategia de encadenación, todas las estrategias son propuestas por la clase. La estrategia de rompimiento mostrada anteriormente es un ejemplo, y también el compensar ( vía ). Los niños ya conocen estos enfoques para cálculo cálculo hasta cien y algunas veces son tentados a usarlos en áreas sobre cien. Por supuesto, el maestro puede mencionar tales estrategias pero no prestarle atención especial a las mismas. El objetivo principal es hacer que los niños se sientan seguros con la encadenación como estrategia más básica. En la segunda mitad del grado 3 cuando su conocimiento de la estructura decimal ha aumentado, el énfasis es la estrategia de rompimiento. Aquí el cálculo nuevamente es apoyado con el material estructural como el dinero y descrito en términos matemáticos. cuando los niños están lo suficientemete familiarizados con esto se dará más atención a las estrategias de variación. Por ejemplo, añadir como una sustracción astuta cuando los números están próximos unos a otros ( así por el estilo) y compensando cuando el segundo término está próximo a un número entero (620 99). Esto amplía el repertorio de los niños de manera eficiente para trabajar más allá y también crece el entendimiento de lo que es en esencia aritmética mental: seleccionar una ejecución adecuada basada en su conocimiento de los números y su entendimiento de las diferentes estrategia, y alcanzar la solución con rapidez basado en su destreza para implementar estas estrategias Sin embargo, existe una diferencia importante con el cálculo hasta el cien. A medida en que los números son más grandes y más difíciles de comprender, se hace aparente la necesidad para una forma estandarizada una forma en la cual los números son procesados en fila y de acuerdo a unos pasos fijos. 130 CALCULATION WITH WHOLE NUMBERS Upper Grades Primary School

11 En la primera mitad del grado 4 el cálculo en columna se presenta como una continuación de la estrtegia de rompimiento, y seguido posteriormente por algoritmos en los cuales se trabaja con los dígitos en lugar de números. Durante la segunda mitad del grado 4 cuando los números por encima de mil ya han sido también explorados y el cálcuo en columnase hace familiar, se practica calculando con números hasta mil de diferentes maneras.. Esto puede llevarse a cabo mediante pruebas cortas (que contengan más problemas simples), situaciones con dinero y otras aplicaciones, filas análogas y también en la forma de ejercicios que estén dirigidos a aprender a distinguir si un problema requiere aritmética mental o cálculo en columna o ejecutarlo con algoritmo. > Trabaje esto. Utilice aritmética mental o alguna forma en que los números sean colocados debajo de cada uno = = = = = = = = = = El primer problema es visto como uno de aritmética mental por casi todos los niños. el segundo algunos lo hacen comomediante aritmética mental, mientras que los otros ejecutan un algoritmo. Principalmente seleccionan el cálculo en columna o llevando un algoritmo para el tercer y el quinto poblema, aunque en contraste, para resolver el cuarto muchos utilizan aritmética mental. En los problemas de sustracción se ven formas similares para trabajarlos. Una discusión con toda la clase debe revelar las diferencias en los enfoques y los niños discutir por qué (por ejemplo) seleccionaron aritmética mental para un problema como a pesar que involucra dos números grandes... 3 Al finalizar el grado 3 los estudiantes pueden sumar y restar hasta mil mediante encadenamiento, algunos con la ayuda de la recta numérica vacía. Al finalizar el grado 4 ellos pueden resolver sumas y restas hasta mil ( y por encima de mil hasta cierto grado) mediante encadenamiento, rompimiento y variando. Ellos pueden hacer selecciones sensibles entre utilizar aritmética mental o cálculo en columnas o algoritmos. Las metas de logros establecidas para el grado 3, por supuesto, no significa que ninguno de los niños utilizará otras estrategias tales como rompimiento o variación como añadir ( ) o o compensar (+ y ). esto significa que la estrategia de encadenación actúa como estrategia básica que puede ser empleada a conciencia por todos los niños. La meta del logro para el grado 4 se rcomienda si los niños tienen la suficiente oportunidad para trabajar mediante las tres estrategias descritas en cadenas, rompimiento y variación. el maestro debe asegurarse de que los niños gradualmente amplien su repertorio de estrategias de aritmética mental de manera apropiada y de forma individual. Por una parte, esto implica mantenerse al tanto del tema principal y trabajar a través de la trayectoria enseñanza -aprendizaje a un nivel macro con cierta disciplina, y por otro lado, en un nivel micro, dando todos los tipos de problemas con números puros y problemas de contexto, y permitiéndo le a los niños toda la libertad y la oportunidad de construir estrategias de simplificación para diferentes niveles y grados. La frontera de mil se hará cada vea menos importante. Mental arithmetic 131

12 Multiplicando con números grandes Durante la segunda mitad del grado 3, los niños trabajan hacia una forma diestra de lidiar con problemas de multiplicación más complejos, tales como 12 6, 5 24, 7 80 y En este punto ellos están avanzados con la suma y la resta hasta mil, de tal manera que están bien confiados con la estrategia de encadenación en este campo, mientras que también están familiarizados con la de rompimiento. En este período el proceso automatizado de las tablas de multiplicación también está avanzado. El conocimiento que han dominado hasta aquí (datos pero también conocimiento sobre estrategias importantes de multiplicación basadas en propiedades de intercambio y de rompimiento) junto con su conocimiento de la suma y la resta hasta mil forman la base para explorar multiplicaciones más complejas. El punto de partida surge con problemas como: > El barco holandés De Mondriaan navega alrededor del mundo. En el armario del almacén hay por lo menos seis cajas de café con 24 paquetes en cada caja. Cuántos paquetes de café hay en total? En estas situaciones el niño principalmente utiliza adición repetida ayudada a menudo por sus propias notaciones informales, por ejemplo: Todas estas estrategias son de hecho, una forma de encadenación: el multiplicando se ve como un todo y que es añadido un número de veces, de la misma manera en la cuál la adición ocurrió en las etapas iniciales. Cuando los niños han tenido suficiente experiencia con estas situaciones y pueden reconocer la estructura de la multiplicación, estos enfoques parecen ser bastantes incómodos. Por esta razón, despúes de un rato su atención vuelve a la estrategia de rompimiento que algunos niños ya habían descubierto por sí solos. En el caso de la estrategia de rompimiento el multiplicando no es visto como un entero sino que se rompe en decenas y unidades. Las situaciones con dinero son particularmente ideales para iniciar a los niños y concientizarlos en este enfoque. > Cindy va a un campamento donde hay ponies con un grupo de seis amigos el fin de semana. Cada persona tiene que pagar 48 euros. Cuánto costará el campamento en total? 132 CALCULATION WITH WHOLE NUMBERS Upper Grades Primary School

13 las tablas, ahora adquiere una aplicación más amplia. El utilizar situacions de multiplicación basadas en diferentes estructuras puede conducir a que las estrategias de rompimiento sean más independiente de los ejemplos concretos provistos por situaciones de dinero. Esto aplica particularmente a situaciones con una estructura rectangular (por ejemplo, en un camino de losetas de 6 hileras con 48 losetas) y situaciones con estructuras de barra (por ejemplo, viajar 48 km por 6 días por semana). Algunos de los niños seguirán tentados con la idea de alcanzar la solución mediante adición repetida o duplicar, pero otros utilizarán la estrategia de rompimiento, en parte por el contexto de la estructura de dinero. Este problema puede ser abordado de diferentes maneras, como lo muestran los ejemplos a continuación = 120 o 6 40 = = = = = = 288 Por medio de la discusión en clase acerca de las estrategias de cálculo utilizadas, la atención de los otros niños es enfocada en esta estrategia de rompimiento basada en la propiedad de rompimiento. Esto es ilustrado con dibujos de la pizarra o con dinero. Con este tipo de introducción las estrategias en el dominio de la adición repetida se pueden reconocer, de una manera y de otra, se puede obtener conocimiento de las diversas formas de rompimiento. Así los niños pueden imaginar cómo romper 6 veces 48 en 6 veces 40 (o 6 veces 4 billetes de 10 euros) más 6 veces 8. La propiedad de rompimiento que los niños aprendieron primero a usar con En todo esto, aún hay un asunto muy importante, el de la regla del cero. Los niños deben estar concientes del hecho de que uno no puede abordar un problema como 6 x 40 con astucia haciendo 6 veces 4 con un cero después del resultado. Para algunos niños esto no es un dato experimentado que prontamente adquiere el estatus de una regla, pero la base no está absolutamente clara para muchos niños. El contexto del dinero descrito anteriormente se presenta como un apoyo inicial de esta regla. En esta situación es fácil ver que 6 40 puede ser 6 veces 4 billetes de 10 por lo tanto 24 billetes ó 240 dólares. Pero esto no es todo. A primera vista 40 x 6 sigue aparentando ser una historia diferente. Al incluir estructuras rectangulares y permitir que los niños observen que 40 x 6 funcionan de la misma manera, ellos pueden darse cuenta que pueden comenzar con 6 veces 4 grupos de diez en esta sitiación. Este conocimiento es también importante para la división de números mayores que sucederá posteriormente Una vez los niños adquieran una buena base en la estrategia de rompimiento y el uso de la regla del cero, entonces, al igual que en adición y sustracción se dirigen a utilizar Mental arithmetic 133

14 estrategias de variación como lo son el compensar y el duplicar en forma repetida. algunos niños utilizan estas estrategias en una fase temprana, mientras que otros las utilizan más tarde, particularmente en casos en los cuales los números se adaptan fácilmente =? o 8 75 =? = = = = = = 600 Es aquí donde comienza otra fase flexible en la cual los niños están más concientes del hecho de que así como en encadenación y el rompimiento, existen otras estrategias certeras que se pueden emplear con eficiencia. La base de esas estrategias nuevamente sigue siendo importante: comenzando con ejemplos concretos en contextos de dinero o una estructura rectangular, los niños pueden realmente comenzar a entender porqué uno puede trabajar 6 99 haciendo 6 veces 100 menos 6 veces 1. Así como la adición y la sustracción, a su debido tiempo la multiplicación también se amplía en la dirección de procedimientos estándares: los cálculos en columna se introduce en el grado 4 seguidos por algoritmos. El tipo de cálculo estándar en columna con su extensión a los algiritmos, surge de la aritmética mental. Por un lado, es cierto que los niños adquieren un repertorio cada vez más amplio de las estrategias de aritmética mental, mientras que por otro lado, adquieren un aumento en su conocimiento en las formas estándares del cálculo en columna y agoritmos. 134 CALCULATION WITH WHOLE NUMBERS Upper Grades Primary School

15 Al finalizar el grado 4 los estudiantes son capaces de resolver problemas de multiplicaciones mayores con un sólo dígito y un número con varios dígitos (6 48, 7 80, 4 251, 25 7) tanto en problemas con números puros y situaciones de aplicación, utilizar las estrategias de rompimiento y variación que han sido presentadas en relación a esto. Ellos también pueden hacer notaciones intermedias relevantes dependiendo el tipo de problema. Alcanzar esta meta de logro es encouraged si el maestro le permite a los niños experimentar (con dinero u otro material estructurado) esta estrtegia de rompimiento, de hecho, es muy similar a la estrategia de encadenamiento en el área de la suma repetida. Por ejemplo: 6 veces por semana viajando 48 km para el trabajo 6 cajas con 48 paquetes de mantequilla 6 libros a 48 dólares, un cultivo con seis filas de 48 árboles de manzanas un modelo de un carro de 6 cm de largo en una escala de 1 a 48. En parte como consecuencia de esto, los niños aumentan su comprensión sobre la posibilidad de escoger una estrategia cómoda independiente del contexto, aún en problemas en que el contexto parece invitar a otro medio mucho más complicado para trabajar. Para hacer la estrategia de rompimiento aún más accesible para los niños, se les ofrece suficiente oportunidad para verificar la regla del 0. Los contextos de dinero y situaciones rectangulares están envueltos para proveer conocimiento acerca de por qué problemas como 6 40, le permite utilizar 6 veces 4 con un cero después de éste. División con números más pequeños y más grandes La división es la última operación mental aritmética que es explorada sistemáticamente aunque hay una exploración informal que la precede en los grados más bajos. Hay pocas razones para darle a la división un estatus más formal en una etapa más temprana (grados 1 y 2). En situaciones donde esto se aplica se implanta principalmente mediante la multiplicación y la multiplicación contínua. Como se escribió en la Parte I de este libro, la división puede entonces retener se estatus informal y estar fuertemente relacionada a la multiplicación por largo tiempo. Aproximadamente a mediados del grado 3, la operación dividido por y los signos de división correspondientes pueden ser enlazados a situaciones de subdivisión de primera instancia. Por ejemplo, uno tiene 18 huevos que tienen que ser subdivididos en cajas de 6. Cuantas cajas se necesitan? Al enlazar la notación 18 6 a esta situación, la división obtiene primero un significado más independiente en el sentido de: Cuántos grupos de 6 hay en 18? O más corto: s Cuántas veces va el 6 en el 18? Mental arithmetic 135

16 Más tarde, la división también se conecta a situaciones de justo compartir tales como: dividir 25 canicas entre 4 niños. Cuántas canicas le toca a cada uno? Porque la división no siempre trabaja, el concepto del residuo puede introducirse de inmediato como aquello que ha sobrado luego que el divisor no cabe más en el dividendo. Aún cuando la división ha ganado un estatus más independiente, permanece directamente relacionada a la multiplicación. Es principalmente mediante multiplicación invertida que los niños encuentran la respuesta Cuando a la multiplicación con números más grandes se le ha dado la atención necesaria en el transcurso del grado 3 y los estudiantes conocen bien las posibilidades de rompimiento, entonces se explora la división con números mayores. Los niños estarán ya en la primera mitad del grado 4. Así como con la multiplicación, en primera instancia es la estrategia de encadenación la que los niños utilizan para alcanzar la respuesta. Por ejemplo, en el caso del problema de contexto a continuación: > Mira trabaja en un centro de jardinería. Ella tiene que poner bulbos de jacinto cajas de cuatro. Todavía le quedan 60 bulbos. Cuántas cajas puede ella llenar? Como muestran las soluciones (a) y (b), la encadenación ocurre en la división en forma de sustración repetida y de suma repetida: comenzando con el dividendo y restando el divisor repetidamente, o comenzando con el divisor y añadiéndo hasta alcanzar el dividendo. La solución (c) muestra unmétodo más eficiente para (b) utilizando multiplicación contínua. La solución (d) es de un orden diferente. Aquí el dividendo se rompe en partes separadas y la división se hace en estas partes. Esta es una forma de rompimiento que es similar a la estrategia de rompimiento revelada por las otras operaciones. Durante la discusión en clase se le presta atención primeramente a las soluciones del tipo (c): multiplicación contínua. La relación con la molestosa sustracción repetida y la adición repetida se muestra y los estudiantes son concientizados de cómo esta nueva forma de trabajar puede ser vista como una reducción del proceso. La estructura subdividida de la situación puede proveer el apoyo necesario: un dibujo puede mostrar cómo 10 grupos de 4 pueden utilizarse a un tiempo en vez de 1 grupo de 4 repetidamente. Expandiendo a otras situaciones pueden los niños desarrollar el conocimiento en cuanto a la multiplicación contínua. > Usted puede obtener 6 tazas de café de una cafetera. 72 padres vendrán a la actividad de padres esta noche. Asumiendo que todos toman café, Cuántas cafetersa se necesitarán? > Papá estaba poniendo un nuevo piso con losetas. Hay 5 losetas en una fila. En total tiene 80 losetas. Cuántas filas de 5 puede poner? > Durante un viaje escolar los niños utilizarán bicicletas 136 CALCULATION WITH WHOLE NUMBERS Upper Grades Primary School

17 acuáticas. Hay 125 niños en total y caben 4 niños en cada bicicleta. Cuántas bicicletas de agua se necesitarán? La comprensión del carácter inverso de los procesos de multiplicación y división (6 7 = 42, así 42 7 = 6 y 42 6 = 7) así como también el saber las tablas de división puede ayudar a alcanzar las respuestas en forma rápida. El modelo rectangular en la forma de losetas o patrones con puntos puede ser utilizado como apoyo. Con la experiencia adquirida en tales situaciones, los niños estarán más conscientes de cómo ellos pueden utilizar la multiplicación contínua de manera eficiente. Pero las estrategias de rompimiento mencionados anteriormente tambien recibe más atención. Por ejemplo, en el caso del piso con losetas: 40 5 = 8 o 50 5 = = = = = 16 En todo este trabajo, la confianza en la multiplicación ( y luego en la división) con números redondos es un requisito importante. Aplica particularmente a problemas de tablas grandes (20 3, 30 4, 100 5, 6 40, 20 70, y así sucesivamente) lo cuál tiene que ser calculado con rapidez y eficiencia. Entendiendo la regla del cero que también se describe en la sección previa es parte de la base como también un buen conocimiento de las tablas. Las estrategias de variación desde luego,son podibles con la división. Esto envuelve compensar y la división por dos repetida, por ejemplo: =? =? = = = = = 39 Aquí, también una buena base para esta estrategia es de gran valor para prevenir cálculos erróneos. Aún sucede que para el primer problema, el razonamiento de un niño es como sigue: Puedo redondear 195 a 200; 200 dividido por 5 es 40; y luego resto estos primeros 5, que me da 35. El verificar a través de la multiplicación puede revelar el error (195 5 = 35? entonces 35 5 tiene que ser igual a 195). Y verificando hacia atrás con idea básica de viendo cuantos grupos de 5 puede haber de 195 revelará el error por igual. Esto significa también que el niño puede explicar el pensamientode por qué 1 grupo de 5 fue obtenido de 195; eso tiene que ser restado al igual que con las operaciones. Aquí también la regla es que a medida en que los números aumentan en tamaño, la necesidad a una forma estandarizada de trabajar, seguida por pasos fijos, aumenta. Para proveer esto, el procedimineto de sustaración repetida se introduce en la segunda mitad de grado 4 y se presta atención a todo tipo de estrategias de variación. Como se describió en el capítulo introductorio de la parte II de este libro, la forma de algoritmos puros para la división ya no es parte del currículo. El procedimiento estándar de sustración repetida se compara con el cálculo en columna en las otras tres operaciones. Al igual que las otras operaciones, el resultado de este programa de enseñanza es que el niño gradualmente expande su repertorio sobre las mejores estrategias de aritmética mental. Aquí también la encadenación en el sentido de multiplicación contínua permanece disponible como una estrategia básica segura con la cual ellos pueden alcanzar una solución (aún cuando no sea la manera más eficiente). Pero poco a poco, aún en esta última operación mental, se pone más y más énfasis en estrategias de variación apropiadas para la aritmética mental. Las pequeñas investigaciones hacia la divisibilidad puede también añadir un apoyo necesario. Poe ejemplo: > En la caja hay 48 paquetes de mantequilla en total. Cómo pueden apilarse estos en la caja? > Arno tiene un juego con 65 tarjetas que tienen que ser distribuidas entre los jugadores de forma justa. Cuántos jugadores necesitas para jugarlo justamente? How many players do you need to play the game fairly? > Qué números hay en 100? Qué números hay en 120? Cuál número tiene más divisores? > Cuál es el número más pequeño que puedes dividir con 2, 3, 4, 5 y 6? > Investigaciones con números primos tales como: Qué Mental arithmetic 137

18 tres números entre 120 y 130 no pueden ser divididos por ningún otro número (otro que no sea 1 y el mismo número)? A través de esta investigación los niños amplían no tan solo su destreza s en el campo de la división sino también aumenta su conocimiento de las diferentes estructuras del número. Esto es una manera en la que ese número adquiere su propia imgen. Según los conceptos del número van aumentando de nivel (fracciones, decimales, porcentaje, razones,...) ganan más forma en la segunda mitad del grado 4, la división no sólo encuentra una rica área de aplicación al trabajar con las 5 fracciones como un operador ( -- de una guagua con pasajeros, y así sucesivamente) y en cálculos con porcientos adecuados (25% de descuento en una chaqueta con un costo de150 dólares) pero también el concepto de residuo alcanza un significado más amplio. Los niños están familiarizados en contestar problemas de división más pequeños tales como 25 4 con 6 residuo 1, pero en relación con una situación tal como 25 panqueques compartidos entrercuatro el residuo también puede ser 1 compartido: 25 4 = Enlazado una situación tal como 4 cortar una soga de 25 metros de largo en 4 pedazos iguales la respuesta también sería 6.25 m. De esta manera el horizonte de los niños se expande hacia el mundo de las fracciones, lo cuál aparece como una extensión del conocido mundo de los números enteros. 4 Al finalizar el grado 4 los estudiantes pueden calcular problemas de división más grandes con rapidez y fácilmente (60 4, 75 3, 250 5, ,...) tanto en problemas numéricos puros y en sus aplicaciones.la multiplicación contínua actúa como estrategia básica. A mitad del grado 5 los niños también están familiarizados con la posibilidad de utilizar la estrategia de rompimiento para tales problemas, al igual que algunas estrategias de variación como compensar y dividir por la mitad de forma repetida.los estudiantes pueden interpretar el residuo correctamente en relación al contexto. 138 CALCULATION WITH WHOLE NUMBERS Upper Grades Primary School

19 Distinto a otras operaciones, en la división solo necesitan gradualmente un significado independiente y más formal en el sentido de figurar cuantos grupos de 5 puede tener en 36 (en el caso de 36 5). Haciendo los enlaces con situaciones de subdividir y de compartir equitativamente, los niños aprenden este significado particular durante el grado 3. La confianza en la multiplicación contínua como una estrategia básica para divisiones más grandes es especialmente estimulada si los niños tienen la oportunidad, en un nivel concreto, de ver la relación de esta estrategia con estrategias más complejas en la esfera de adición y sustración repetida. Problemas de contexto como el problema de los jacintos pueden servir como modelo para situaciones como esta. Para poder avanzar la construcción de una red de relaciones de números elementales, se le presta atención regular al carácter inverso de las operaciones de multiplicación y la división y en practicar las tablas de división. Al mismo tiempo, desde la segunda mitad del grado 4, se conducen pequeñas investigaciones hacia la división. Es en parte el resultado de sus experiencias con tales investigaciones que los niños aprenden que ciertos números tienen su propia apariencia. Multiplicación y división con números enteros Al completase el curso, una sub-área específica se distingue en el área de la multiplicación y la división con números grandes, y que juega un papel prominente durante el resto de la escuela primaria: la multiplicación y la división con números redondos = = = = = = = = Estos problemas son regularmente abordados desde la segunda mitad del grado 4, tanto en formas de números puros como en aplicaciones primero en relación a la multiplicación y luego incluyendo la división también. No tan solo es esta area de gran alor en conexión con ganar un conocimiento mayor en operaciones importantes tales como la regla del cero y la propiedad de rompimiento, pero también contribuye a reforzar el sentimiento por los números más grandes. Más aún, forma una base esencial de cálculos con fracciones y por cientos. Por consiguiente, un buen conocimiento del cálculo con números enteros es escencial en relación a problemas tales como : ¾ de un estadio con 10,000 sillas, 5% descuento e un carro que cuesta 12,000 euros, y así por el estilo. Como ya se había descrito, la atención necesaria se ha prestado a problemas tales como 6 40, 30 5 y en la exploración de la multiplicación y la división con números más grandes en la primera mitad del grado 4. Esto concernía principalmente con el aprendizaje de la regla del cero (el hecho de que el cero viene después de un número entero si uno multiplica ese número por 10) y la forma en la cual uno puede utilizar la regla del cero para trabajar estos problemas de una manera diestra. El dinero y el modelo rectangular juega un rol de apoyo central. Mental arithmetic 139

20 La regla del cero, por supuesto, también se aplica en orden invertido para división (si uno divide un número redondo por 10, el cero final se remueve del número). Algunos niños observarán esta propiedad por sí mismos pero esto no aplica a la mayoría de ellos. Por lo tanto hay que considerar los problemas de contexto varias veces durante la segunda mitad del grado 4. > El resultado de unpartido de fútbol fue adivinado correctamente por 10 personas. Ellos podrán compartir el dinero que había en la caja de apuestas de forma justa (250 euro). Cuantos euros tendrá cada uno? Algunos niños se ven tentados a utilizar la forma de multiplicación contínua aquí. Al utilizar la relación invertida (como ya ha sido utilizada por muchos niños en su propia iniciativa) hace claro a todos que hay una ruta más corta: uno puede ver 250 euros como 10 grupos de 25 euros, porque = 250 (la regla del cero para la multiplicación). Por consiguiente cada uno obtendrá un grupo de 25 euros. Al discutir el asunto en otro contexto (colocar 350 huevos en cajas de 10; cortar 150 metros de soga en unidades de 10 metros,...) la regla del cero puede entenderse también como una propiedad para la división. En forma de aumento, la multiplicación y división con números enteros recibe una atención por separado, lecciones cortas basadas en : pruebas cortas (en la cual los niños resuelven tres hileras de cinco problemas, por ejemplo, en un tiempo limitado ) problemas de dinero (si sabe que una toronja cuesta 35 centavos, cuanto se pagará por 5, 10, 20 y 40 toronjas? Cuanto costarán 200?) problemas de dar vueltas ( si sabe el resultado de 42 6, entonces uno puede fácilmente hacer unsinnúmero de sumas con números mayores: 420 6; ; 42 7; 420 7; ; ;...) producciones propias de multiplicación para un número entero grande ( por ejemplo: piense en diez multiplicaciones diferentes para hacer 3600; luego haga lo mismo para 4800)... En las discusiones antes y después de estos ejercicios, poco a poco los niños van construyendo una red más amplia de las relaciones numéricas conocidas y un repertorio mayor de la estrategia de aritmética mental basada en todo lo que se ha discutido.i. Para comenzar, el énfasis es mayor en la multiplicación, luego (en la primera mitad del grado 5) se dará más atención a la división. Aquí se presta la atención necesaria a la relación entre ambas operaciones particularmente con una visión a la posibilidad de verificar los resultados de los problemas de división haciendo la multiplicación que lo acompaña. El siguiente diagrama de la sala de clase demuestra un ejemplo de una prueba corta de artmética para multiplicación. 3 Una prueba corta conlos siguientes diez problemas se le da al grupo de Ingrid (en la segunda mitad del grado 4): 6 60 = = = = = = = = 4 75 = 5 16 = En la preparación, el maestro hace un inventario de las maneras practicas para resolver el problemain the warm up, the teacher makes an inventory of the handy ways to solve the problem 15 x 40. En un período corto de tiempo los niños han sugerido cuatro maneras para escribirlo en la pizarra.: 140 CALCULATION WITH WHOLE NUMBERS Upper Grades Primary School