Introducción a la Teoría de Subastas

Transcripción

1 Introducción a la Teoría de Subastas Correval - Sesión 2 Alvaro J. Riascos Villegas Universidad de los Andes y Quantil Enero 25 de 2012 Alvaro J. Riascos Villegas (Universidad de los Andes Introducción y Quantil) a la Teoría de Subastas Enero 25 de / 25

2 Introduccion Las subastas son un mecanismo de asignación de recursos y formación de precios. Son un mecanismo universal y anónimo. Taxonomía, éstas se pueden clasificar por: Tipo de bien (unitarias o multiunidades). Estructura de información (independiente o afiliadas). Estructura de valoración (privada, interdependiente, común). Alvaro J. Riascos Villegas (Universidad de los Andes Introducción y Quantil) a la Teoría de Subastas Enero 25 de / 25

3 Introduccion Tipos de subastas: Para subastas unitarias existen cuatro subastas básicas. Primer precio (cerrada) Segundo precio (cerrada) Inglesa (abierta) Holandesa (abierta) Otros ejemplos de subastas son: Subastas al tercer precio. Todos pagan. Guerra del desgaste. Una loteria (ésta, sin embargo, no es una subasta estándar; una subasta es estándar cuando el ganador es el que más ofrece por el bien). Alvaro J. Riascos Villegas (Universidad de los Andes Introducción y Quantil) a la Teoría de Subastas Enero 25 de / 25

4 Introduccion Las preguntas fundamentales que se hace la teoría son: Existencia del equilibrio del juego bayeasiano inducido. Equivalencia en asignación de recursos y precios de equilibrio. Optimalidad para el subastador. Eficiencia productiva y asignativa. Qué tan lejos está el equilibrio de la asignación eficiente (la literatura estudia esto bajo los nombres de precio de la anarquía y precio de la estabilidad). Incentivos a coludir. Simplicidad de las reglas. Identificación y refutabilidad. Alvaro J. Riascos Villegas (Universidad de los Andes Introducción y Quantil) a la Teoría de Subastas Enero 25 de / 25

5 El modelo básico de subastas El modelo estándar tiene la siguiente estructura: Estructura de información independiente y simétrica. Estructura de valoración privada y agentes neutros al riesgo. En particular, agentes simétricos. Alvaro J. Riascos Villegas (Universidad de los Andes Introducción y Quantil) a la Teoría de Subastas Enero 25 de / 25

6 El modelo básico de subastas El modelo estándar es un juegos de información incompleta con la siguiente estructura: BG = I, (R + ) i I, [0, ω], (π i ) i I, F I es un conjunto de jugadores (finito). El conjunto de acciones es el mismo para todos: A = R + El conjunto de información, que en este caso lo interpretamos como la valoración privada que del objeto tiene el agente, es el mismo para todos: X i = [0, ω]. Igualmente, denotamos por F la distribución sobre X i el conjunto de información individual. F tiene densidad f. π i : R I + [0, ω] I R es el payoff de cada jugador y su forma específica depende del tipo de subasta que estémos considerando. Alvaro J. Riascos Villegas (Universidad de los Andes Introducción y Quantil) a la Teoría de Subastas Enero 25 de / 25

7 Subasta al segundo precio En esta subasta cada agente observa su valoración x i X i y escribe en un sobre su oferta por el bien. Gana el jugador que más ofrezca y paga la segunda oferta más alta. En caso de empate se asigna el objeto aleatoriamente entre los ganadores. El payoff de los agentes es: π i : R I + [0, ω] I R π i (b i, b i, x i, x i ) = x i max j =i π i (b i, b i, x i, x i ) = 0 si b i < max j =i {b j } si b i > max {b j } j =i {b j } La expresión del payoff pone en evidencia algunos de los supuestos que hicimos anteriormente (valoración privada y neutralidad al riesgo). Alvaro J. Riascos Villegas (Universidad de los Andes Introducción y Quantil) a la Teoría de Subastas Enero 25 de / 25

8 Subasta al segundo precio La estrategia de revelar la verdad para cada jugador, b II (x i ) = x i es un equilibrio en estrategias dominantes (débilmente). Obsérvese que la estrategia es la misma para cada jugador. Esto es lo que se conoce como un equilibrio simétrico. Este equilibrio es independiente de la estructura de información (en particular vale aún en el caso en que la información es correlacionada o los conjuntos de información son diferentes). El argumento anterior también funciona cuando los agentes son aversos al riesgo. Alvaro J. Riascos Villegas (Universidad de los Andes Introducción y Quantil) a la Teoría de Subastas Enero 25 de / 25

9 Subasta al segundo precio En la subasta al segundo precio la estrategia de revelar la verdadera valoración es un equilibrio en estrategias dominantes (débilmente). Una estrategia para cada jugador es una función b i : [0, ω] R +. Vamos a demostrar que la estrategia de revelar la verdad para cada jugador, b II (x i ) = x i es un equilibrio en estrategias dominantes (débilmente). Supongamos que cada agente observa su valoración privada y hace una oferta por el bien. Fijemos un agente, digamos el agente i y concentremonos en su estrategia. Sea Y 1 = max {b j }. Y 1 determina si el agente i gana o no. j =i Alvaro J. Riascos Villegas (Universidad de los Andes Introducción y Quantil) a la Teoría de Subastas Enero 25 de / 25

10 Subasta al segundo precio Primero algunas observaciones: b i (x i ) > x i no es racional (en el sentido débil) pues la estrategia b i que es igual b i en todas partes excepto en x i, donde es revelar la verdadera valoración, la domina débilmente - cuando la valoración es x i, el payoff del agente nunca es menor y con probabilidad positiva es mayor. El argumento es independiente de las estrategias utilizadas por los demás jugadores. Alvaro J. Riascos Villegas (Universidad de los Andes Introducción y Quantil) a la Teoría de Subastas Enero 25 de / 25

11 Subasta al segundo precio Si b i (x i ) < x i pueden suceder tres cosas: Payoff Estrategia b i Estrategia b II Y 1 b i < x i i gana x i Y 1 x i Y 1 b i < Y 1 < x i i pierde 0 x i Y 1 b i < x i Y 1 i pierde 0 0 Comparando con el resultado que hubiera tenido de utilizar la estrategia de revelar la verdad, es claro que esta última domina. Alvaro J. Riascos Villegas (Universidad de los Andes Introducción y Quantil) a la Teoría de Subastas Enero 25 de / 25

12 Subasta al segundo precio Formalmente lo que hemos hecho es demostrar que la estrategia b II (x i ) = x i domina a cualquier otra estrategia b i.esto es: π i (x i, b i, x i, x i ) π i (b i (x i ), b i, x i, x i ) para todo x X y b i Obsérvese que en ninguna parte utilizamos la estructura de información. Es fácil extender el argumento al caso en que los agentes son aversos al riesgo. El pago esperado de un agente con valoración x, m II (x) es: m II (x) = G (x)e i [Y 1 x > Y 1 ] donde G (x) es la probabiidad de ganar (la probabilidad que el agente le atribuye al conjunto [x > Y 1 ], es decir, la distribución de Y 1 y E i [Y 1 x > Y 1 ] es el pago esperado del agente dado que es ganador). Alvaro J. Riascos Villegas (Universidad de los Andes Introducción y Quantil) a la Teoría de Subastas Enero 25 de / 25

13 Subasta al primer precio En esta subasta los agentes observan su valoración (información) y hacen una oferta. Gana el que oferte más alto y paga lo ofertado. En caso de empate se asigna aleatoriamente. El payoff de los agentes es: π i : [0, ω] I R I + R π i (b i, b i, x i, x i ) = x i b i si b i > max {b j } j =i π i (b i, b i, x i, x i ) = 0 si b i < max {b j } j =i Existe un compromiso claro entre ofertar alto y el pago. Nos vamos a concentrar en el equilibrio simétrico. En este caso no existe un equilibrio en estrategias dominantes. Alvaro J. Riascos Villegas (Universidad de los Andes Introducción y Quantil) a la Teoría de Subastas Enero 25 de / 25

14 Subasta al primer precio Vamos a caracterizar el equilibrio de Nash-Bayesiano. Supongamos que i tiene una valoración x i y ofrece b i R +. Supongamos que todos los jugadores j = i utilizan una estrategia b I diferenciable y creciente. Es claro que b i b I (ω). También es fácil de ver que si x i = 0 entonces b i = 0 y b I (0) = 0. Alvaro J. Riascos Villegas (Universidad de los Andes Introducción y Quantil) a la Teoría de Subastas Enero 25 de / 25

15 Subasta al primer precio Entonces, { b i > max j =i { b I (x j )} } { } { ( ) } = b i > b I (Y 1 ) = b I 1 bi > Y 1 Denotamos por G la distribución de Y 1 (la probabilidad de recibir la valoración más alta). Si la estructura de información es independiente y simétrica tenemos que G = F N 1 y su densidad g es g = (N 1) F N 2 f. Entonces la probabilidad de ganar con una oferta b i es: { b i > max j =i { b I (x j )} } ( ) = G ( b I 1 (bi )) Alvaro J. Riascos Villegas (Universidad de los Andes Introducción y Quantil) a la Teoría de Subastas Enero 25 de / 25

16 Subasta al primer precio El payoff (interim) del jugador i es: ( ) E i [π i X i = x i ] = G ( b I 1 (bi ))(x i b i ) Las condiciones de primer orden con respecto a b i son: g( ( b I ) 1 (bi )) ( ) (x d b I ((b I ) 1 i b i ) G ( b (b i )) I 1 (bi )) = 0 dx Alvaro J. Riascos Villegas (Universidad de los Andes Introducción y Quantil) a la Teoría de Subastas Enero 25 de / 25

17 Subasta al primer precio Si existe un equilibrio simétrico entonces b I (x i ) = b i y las CPO se reducen a: g(x i ) (x i b i ) G (x i ) = 0 d b I (x i ) dx d ( G (x)b I (x) ) dx = xg(x) b I (x) = 1 x yg(y)dy G (x) 0 Alvaro J. Riascos Villegas (Universidad de los Andes Introducción y Quantil) a la Teoría de Subastas Enero 25 de / 25

18 Subasta al primer precio Example Si la estructura de información es uniforme en [0, 1] entonces b I (x) = N 1 N x lvaro J. Riascos Villegas (Universidad de los Andes Introducción y Quantil) a la Teoría de Subastas Enero 25 de / 25

19 Equivalencia entre subastas La subasta al primer precio y la subasta holandesa son estratégicamente equivalentes. Este resultado es independiente de la estructura de información, valoración o actitud frente al riesgo. Por eso decimos que es una equivalencia fuerte. Bajo el supuesto de valores privados, la subasta inglesa es equivalente a la subasta al segundo precio. Alvaro J. Riascos Villegas (Universidad de los Andes Introducción y Quantil) a la Teoría de Subastas Enero 25 de / 25

20 El teorema de equivalencia del ingreso esperado para el subastador Supongamos que estamos bajo las condiciones del modelo estándar. Supongamos que el pago esperado de un jugador con valoración privada cero es cero. Un ejemplo son los cuatro formatos de subastas discutidos anteriormente. Alvaro J. Riascos Villegas (Universidad de los Andes Introducción y Quantil) a la Teoría de Subastas Enero 25 de / 25

21 El teorema de equivalencia del ingreso esperado para el subastador Theorem (Teorema de equivalencia del ingreso para el subastador) Bajo las condiciones enunciadas arriba, cualquier equilibrio simétrico creciente genera el mismo ingreso esperado al subastador. Sea m A (x) el pago esperado de un individuo con valor x en una subasta A y b A (x) un equilibrio creciente simétrico. Por hipótesis m A (0) = 0. El payoff esperado del jugador que reporta b A i (z) (como si su valoración hubiera sido z) es: E i [π i (b A i (z), b A i (X i ), x, X i )] = G (z)x m A (z). lvaro J. Riascos Villegas (Universidad de los Andes Introducción y Quantil) a la Teoría de Subastas Enero 25 de / 25

22 El teorema de equivalencia del ingreso esperado para el subastador Las condiciones de primer orden con respecto a z evaluadas en z = x son: dm A (y) dy = yg(y) = m A (x) = G (x)e i [Y 1 Y 1 < x]. Lo que muestra que el pago esperado de cada jugador es independiente del mecanismo particular de la subasta. Alvaro J. Riascos Villegas (Universidad de los Andes Introducción y Quantil) a la Teoría de Subastas Enero 25 de / 25

23 Subasta al primer precio Example Si la estructura de información es uniforme en [0, 1] entonces m A (x) = N 1 N x N y el ingreso esperado del subastador, E [R A ] es: E [R A ] = NE [m A ] = N 1 N + 1 lvaro J. Riascos Villegas (Universidad de los Andes Introducción y Quantil) a la Teoría de Subastas Enero 25 de / 25

24 Subastador averso al riesgo Si el subastador es averso al riesgo el prefiere la subasta al primer precio que al segundo precio. La subasta al segundo precio genera un ingreso más volatil. En la subasta al segundo precio las ofertas están en [0, w]. En la subasta al primer precio están en [0, E [Y 1 Y 1 < x]] [0, E [Y 1 ]]. Alvaro J. Riascos Villegas (Universidad de los Andes Introducción y Quantil) a la Teoría de Subastas Enero 25 de / 25

25 Introducción Las subastas son casos particulares de mecanismos de asignación de recursos. El problema fundamental es diseñar un mecanismo que en equilibrio resulte en asignaciones deseables para el diseñador. Vamos a estudiar la idea básica a través de un ejemplo. Alvaro J. Riascos Villegas (Universidad de los Andes Introducción y Quantil) a la Teoría de Subastas Enero 25 de / 25