Series de Tiempo I. Alvaro J. Riascos Villegas Universidad de los Andes y Quantil. Febrero de 2012

Transcripción

1 Contenido Motivación Vectores Autorregresivos (VAR) Priors Series de Tiempo I Alvaro J. Riascos Villegas Universidad de los Andes y Quantil Febrero de 2012

2 Contenido Motivación Vectores Autorregresivos (VAR) Priors 1 Motivación 2 Vectores Autorregresivos (VAR) 3 Priors

3 Motivación Contenido Motivación Vectores Autorregresivos (VAR) Priors Algunos problemas de interés en macroeconomía requieren de pronósticar variables económicas. Para esto resulta valiosos contar con la mayor cantidad de información disponible (series de tiempo). Modelos tradicionales que han resultado ser útilies para realizar pronósticos y son a la vez bastante flexibles son los modelo de vectores autorregresivos. Al utilizar muchas variables se corre el riesgo de sobre parametrizar y es necesario reducir la incertidumbre de los parámetros (shrink).

4 Motivación Vamos a discutir modelos VAR Bayesianos con diferentes priors. 1 No informativa. 2 Natural conjugada. 3 Minnesota. 4 Independinte Normal - Wishart. Modelos lineales de esapcio estado (un caso particular siendo los modelos con parámetros cambiantes TV-VARS)

5 VAR Contenido Motivación Vectores Autorregresivos (VAR) Priors Un VAR es un proceso estocástico multivariado Y t (K dimensional) tal que: Y t = ν + A 1 Y t A p Y t p + ɛ t (1) que se puede expresar de forma equivalente como: y t = (I K Z) β + ɛ t (2) donde y t es la vectorización de Y, Z es una matriz K T, ɛ t = N(0, Σ I T ) y es el producto directo o producto de Kronecker de dos matrices.

6 VAR Dadas dos matrices A, B (sin importar las dimensiones) el producto de Kronecker se define como: Obsérvese que C ij es una matriz. A B = C (3) C ij = a ij B (4) La distribución muestral es: p(y t β, Σ) La función de verosimilitud se puede expresar como el producto de dos. 1 La condicional de β dado Σ y y es normal. 2 La condicional de Σ 1 dado y es Wishart.

7 Contenido Motivación Vectores Autorregresivos (VAR) Priors Cuatro ideas para evaluar la conveniencia de los priors. 1 Los VARs son modelos que típicamente utilizan muchos parámetros. Las distribuciones iniciales sirven para imponer restriciones flexibles en forma de distribuciones. 2 Algunos priors permiten obtener distribuciones posteriores de forma análitica y disminuir el peso computacional de ejercicios como estimadores puntuales o pronósticos. 3 Pueden evaluarse con respecto a la flexibilidad que le permiten a los parámetros del modelo: parámetros que varian en el tiempo, correlaciones entre variables, etc. 4 Demanda computacional. Por ejemplo, si el interés es hacer pronósticos recursivos el esfuerzo computacional es grande.

8 Priors Vamos a considerar cuatro tipos de distribuciones iniciales. 1 Minnesota. 2 No informativa. 3 Natural conjugada. 4 Independiente Normal - Wishart.

9 Contenido Minnesota Prior natural conjugada Prior no informativa Prior Normal - Wishart independiente Pronósticos y análisis de impulso respuesta Modelos de Espacio Estado Series de Tiempo II Alvaro J. Riascos Villegas Universidad de los Andes y Quantil Febrero de 2012

10 Contenido Minnesota Prior natural conjugada Prior no informativa Prior Normal - Wishart independiente Pronósticos y análisis de impulso respuesta Modelos de Espacio Estado 1 Minnesota 2 Prior natural conjugada 3 Prior no informativa 4 Prior Normal - Wishart independiente 5 Pronósticos y análisis de impulso respuesta 6 Modelos de Espacio Estado

11 Contenido Minnesota Prior natural conjugada Prior no informativa Prior Normal - Wishart independiente Pronósticos y análisis de impulso respuesta Modelos de Espacio Estado Minnesota La prior de Minnesota consiste en una simplificación sustancial del problema motivada por su simplicidad pero no completamente fiel al espíritu Bayesiano. En esta se sustituye la matriz varianza - covarianza Σ por un estimador putual. Por ejemplo el estimador clásico. En ese caso basta con definir una prior para β. Por ejemplo: β N(µ M 0, V M 0 ) (1)

12 Minnesota Para determinar la media de la prior recordemos que las variables explicativas contienen una constante, rezagos de la variable dependiente y posiblemente otras variables exógenas. Si las variables están en tasas de crecimiento y se sospecha una perisitencia baja, lo natural es hacer cero la media de la prior. Si la prior es en niveles es natural poner en uno la prior en los rezagos de la variable dependiende sugiriendo caminatas aleatorias en niveles.

13 Minnesota La matriz de varianza covarianza típicamente se supone diagonal (véase página 7 de Koops y Korobilis). La gran ventaja de esta prior es que la posterior es normal: p(α y) N(µ M, V M ) (2) donde existen exiten fórmulas expĺıcitas para la media y varianza covarianza posterior. En cualquier caso desonocer que la matriz de varianza covarianza es una variable aleatoria es una sobre simplificación de esta escogencia.

14 Contenido Minnesota Prior natural conjugada Prior no informativa Prior Normal - Wishart independiente Pronósticos y análisis de impulso respuesta Modelos de Espacio Estado Prior natural conjugada La prior natural conjugada (sobre todos los parámetros) se define como: 1 La condicional de β dado Σ es normal. 2 La prior de Σ 1 es Wishart. La posterior tiene la misma estructura. 1 La posterior condicional de β dado Σ y y es normal. 2 La posterior condicional de Σ 1 dado y es Wishart. Para este modelo se puede demostrar que la distribución predictiva un paso adelante es t. Para un horzionte más largo se desconoce una forma anaĺıtica.

15 Contenido Minnesota Prior natural conjugada Prior no informativa Prior Normal - Wishart independiente Pronósticos y análisis de impulso respuesta Modelos de Espacio Estado Prior no informativa La prior no informativa se escoge seleccionando de forma adecuada los hiperparámteros de la prior natural conjugada. El procedimiento es completamente análogo al caso de la prior no informativa en el modelo normal gamma. El resultado e usar la prior no informativa es que otenemos actualizaciones de los parámetros que coinciden con los estimadores clásicos. En este sentido no hay un shrinkage que mitigue el problema de sobre parametrización del modelo VAR.

16 Contenido Minnesota Prior natural conjugada Prior no informativa Prior Normal - Wishart independiente Pronósticos y análisis de impulso respuesta Modelos de Espacio Estado Prior Normal - Wishart independiente A diferencia del caso de la prior conjugada donde se usa una distribución condicional normal para los parámetros β, en este caso se supone los paramétros β y Σ son independientes siendo normal y Wishart (Σ 1 ). De la misma forma que la el modelo de regresión lineal con prior normal - gamma indpendiente, la posterior no es fácil de simular y es necesario apelar método de muestroe de Gibbs.

17 Contenido Minnesota Prior natural conjugada Prior no informativa Prior Normal - Wishart independiente Pronósticos y análisis de impulso respuesta Modelos de Espacio Estado Pronósticos y análisis de impulso respuesta Consideramos dos formas de evaluar pronósticos. MSFE y evaluacion de la distribución pronósticadas. En ambos casos se usan pronósticos recursivos. MSFE es el tradicional usando pronósticos puntuales. Para el segundo caso se evalua el valor de la distribución predictiva en el valor observado. Una medida de rendimiento es entonces la suma del logaritmo del valor de la densidad predictiva en el valor observado (condicional a los datos).

18 seen that for this empirical example, which involves a moderately large data set, Pronósticos the prior is having y análisis relatively de little impulso impact. respuesta That is, predictive means and standard deviations are similar for all six priors, although it can be seen that the predictive standard deviations with the Minnesota prior do tend to be slightly smaller than the other priors. bayesian vars.pdf Table 3. Predictive mean of y (st. dev. in parentheses) T +1 PRIOR T +1 u T +1 r T +1 Noninformative (0.315) (0.318) (0.776) Minnesota (0.302) (0.319) (0.741) Natural conjugate (0.313) (0.314) (0.748) Indep. Normal-Wishart (0.322) (0.324) (0.780) SSVS - VAR (0.323) (0.323) (0.787) SSVS (0.304) (0.317) (0.785) True value, y T Figures 2 and 3 present impulse responses of all three of our variables to all

19 Pronósticos y análisis de impulso respuesta likelihooh bayesian vars.pdf Table 4: MSFEs as Proportion of Random walk MSFEs Sums of log predictive likelihoods in parentheses Variable Minnesota Prior SSVS Prior SSVS+Minnesota M = 3 M = 20 M = 3 M = 20 M = 3 M = 20 Forecast Horizon of One Quarter GDP 0:650 0:552 0:606 0:641 0:698 0:647 ( 206:4) ( 192:3) ( 198:40) ( 205:1) ( 204:7) ( 203:9) CPI 0:347 0:303 0:320 0:316 0:325 0:291 ( 201:2) ( 195:9) ( 193:9) ( 196:5) ( 191:5) ( 187:6) FFR GDP CPI FFR 0:619 ( 238:4) 0:514 ( 229:1) 0:844 ( 252:4) Forecast Horizon of One Year 0:744 0:609 0:615 ( 220:6) ( 214:7) ( 207:8) 0:525 0:522 0:501 ( 209:5) ( 219:4) ( 208:3) 0:668 0:587 0:527 ( 243:3) ( 249:6) ( 231:2) 0:579 ( 237:2) 0:754 ( 293:2) 0:772 ( 276:4) 0:881 ( 268:1) 0:744 ( 252:7) 0:844 ( 221:6) 0:468 ( 194:4) 0:618 ( 228:8) 3 Bayesian State Space Modeling and Stochastic Volatility 3.1 Introduction and Notation In the section on Bayesian VAR modeling, we showed that the (possibly restricted) VAR could be written as: yt = Zt + " for appropriate de nitions of Zt and. In many macroeconomic applications, it is undesirable to assume to be constant, but it is sensible to assume that 0:543 ( 228:9) 0:667 ( 219:0) 0:489 ( 201:6) 0:518 ( 233:7)

20 Pronósticos y análisis de impulso respuesta response bayesian vars.pdf Figure 2: Posterior of impulse responses - Noninformative prior.

21 Contenido Minnesota Prior natural conjugada Prior no informativa Prior Normal - Wishart independiente Pronósticos y análisis de impulso respuesta Modelos de Espacio Estado Considere el siguiente modelo: y t = X t β + Z t αt + ɛ t (3) α t+1 = T t αt + µ t (4) donde: X es 1 k, Z es 1 p, T t es 1 T, ɛ t iid N(0, h 1 ) y µ t iid N(0, H 1 ). X, Z, T son conocidos pero el modelo se puede extender fácilmente al caso en el que T es desconocido. α se llama la variable de estado y su dinámica se denomina ecuación de estado. y es la variable de observación y su ecuación se denomina la ecuación observación. Muchos modelos de series de tiempo se pueden representar de esta forma.

22 Modelos de Espacio Estado Obsérvese que si los parámetros α t son conocidos entonces el modelo se puede representar como: donde y t X t β. y = X t β + ɛ t (5) Esto reduce el modelo a uno de regresion lineal estándar y sugiero el algoritmo de Gibbs para simular la posterior ya que si definimos una distribución para p(α 1,..., α T y, β, h, H) bastaría con especificar p(β, h, H y, α 1,..., α T ) y básicamente se podría apelar a la teoría del caso de regresión lineal.

23 Modelos de Espacio Estado Específicamente supongamos que las priors son independientes, β es normal, h es normal gamma, H es Wishart y la distribución de p(α 1,..., α T y, β, h, H) la determina la ecuación de estado. Entonces: p(β, h, H, α 1,..., α T ) = p(β)p(h)p(h)p(α 1,..., α T H) (6) La prior de los parámetros alpha se determina de forma jerárquica usando la dinámica de las variables de estado: p(α 1,..., α T H) = p(α 1 H) p(α 2 α 1, H)... (7) donde p(α t+1 α t, H) es normal y p(α 1 H) es normal.