Variables aleatorias

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Victoria Jiménez Cáceres
hace 5 años
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independientes de la forma: S n =c 1 X 1 +.

1 Variables aleatorias Un poco más general: si ahora S n está dada por la suma de variables independientes de la forma: S n =c 1 X c n X n, entonces la función generatriz viene dada por:

2 Variables aleatorias Covarianza y correlación Estas dos cantidades nos dicen que tanto están relacionadas/(dependen entre sí) dos variables aleatorias. Covarianza: sean X e Y variables aleatorias con valores bien definidos y La covarianza se define como

3 Variables aleatorias Covarianza y correlación Se puede mostrar que la covarianza se puede escribir como: De aquí que, si X e Y son variables independientes por lo que

4 Variables aleatorias Covarianza y correlación En cuanto a la correlación, ésta se define como Se puede demostra que: y

5 Variables aleatorias Si hay una dependencia lineal entre las variables X e Y, digamos Y=aX + b, tenemos que Corr[X,Y] =1, si a es una constante positiva y Corr[X,Y]=-1, si a es una constante negativa

6 Variables aleatorias Comentarios: a) la covarianza/correlación miden el grado de relación lineal entre las variables X e Y b) Si las variables son independientes => pero no en el otro sentido, i.e, si no implica que las variables sean independientes

7 Variables aleatorias Si X e Y son variables aleatorias con varianza finita entonces Si las variables son independientes tenemos que es un caso particular de

8 Variables aleatorias Teorema del límite central Sean X 1,...,X n n variables aleatorias independientes cada una descrita (estadísticamente) por funciones de probabilidad f i (x) con valores medios y varianzas. Entonces la variable Tiene las siguientes propiedades

9 Variables aleatorias 1-El valor esperado está dado por 2-La varianza viende dada por 3-Para la función de probabilidad de Z tiene a una distribución normal (Gaussiana) con media y varianza dada en 1 y 2. Nota:las funciones f i (x) pueden ser todas distintas

10 Variables aleatorias Comentarios: 1) Si las X i siguen la misma distribución, para la distribución de Z se aproxima a una distribución normal con valor medio y varianza 2) Si una variable aleatoria está dada por podemos hacer entonces ln(y) sigue una distribución log-normal

11 Hasta ahora hemos supuesto que conocemos o podemos calcular la función/densidad de probabilidad (distribución) de las variables aleatorias. En general, esto no es así. Más bien se tiene una muestra experimental (conjunto de variables aleatorias) que provienen de una distribución desconocida. Uno de los objetivos de la estadística es inferir información sobre la distribución desconocida a partir de los datos (muestra) que tenemos.

12 Si hay un ingrediente aleatorio en el experimento y se mide una variable x, entonces es de esperar que al repetir N veces el experimento se tengan resultados. En general estas N variables aleatorias siguen una distribución conjunta (=población):

13 Generalmente se considera que las variables son obtenidas independientemente de la misma población. De esta forma:

14 Como hemos visto las distribuciones dependen de parámetros como el valor medio o la varianza, por mencionar un par de ejemplos. Supongamos que queremos estimar alguno de esos parámetros a partir de los datos que tenemos. Para ello utilizaremos los llamados estimadores Estimadores: a) sesgados b) no sesgados

15 El sesgo se define como la diferencia: donde a es el valor verdadero. Si b=0 se dice que el estimador es no sesgado. Un par de ejemplos de estimadores no sesgados:

16 Antes de estudiar los estimadores, necesitamos del resultado Ley de los grandes números : Sea una muestra aleatoria de una distribución con valor medio y sea Entonces, cuando

17 Estimador del valor medio: Valor medio de la muestra como estimador del valor medio de la población Y la varianza/error del estimador De modo que

18 Entonces necesitamos un estimador para la varianza Sea y vemos que

19 Pero el valor de no se conoce! Entonces se sustituye por : Sin embargo, si utilizamos s 2 como estimador de la varianza, éste es sesgado:

20 Se puede obtener inmediatamente el estimador no sesgado multiplicando por N/(N-1). De esta forma el estimador no sesgado para la varianza viene dado por:

21 Finalmente, el estimador para la desviación standard viene dado por:

23 Pruebas de hipótesis estadística Problema de tomar una decisión (aceptar, rechazar) basándonos en los datos experimentales Existen diferentes pruebas: Student t-test, Neymann-Pearson test, Fisher's F-test. Aquí el problema que nos interesa es una prueba de bondad de un ajuste (goodness of fit)

25 Información preliminar Gamma distribution Sea Y una variable aleatoria dada por donde con sigue una distribución Gaussiana y

26 Entonces Y sigue una distribución (caso particular de la distribución Gama) con n grados de libertad: con y

27 Generalización: se puede mostrar que la suma de variables aleatorias X i de la forma: donde X i sigue una distribución normal, está dada por una distribución con n grados de libertad:

28 Información preliminar: Cuantil: sea X una variable aleatoria cuya función de distribución cumulativa es F. Para cada valor p valor más pequeño, se define el tal que Así, orden p es el llamado cuantil de X de

30 Nos interesa saber si nuestro modelo teórico describe correctamente (estadísticamente hablando) los datos experimentales (puede ser un experimento numérico). La hipótesis H 0 a verificar (llamada hipótesis nula) es H 0 : nuestro modelo es correcto, desde un punto de vista estadístico. Más que aceptar una hipótesis se habla de ''no rechazar la hipótesis''

31 Consideramos la hipótesis: H 0 : F(x) = F 0 (x) donde F 0 representa nuestro modelo teórico y F el resultado observado. Existen varias pruebas, aquí sólo veremos la llamada -test Esta prueba de bondad considera la suma de las variables estandarizadas: donde N i es el valor observado y f i el valor teórico

32 Detalles: Sea la hipótesis nula: Estadística Consideremos una muestra de tamaño n de la variable aleatoria X, dividida en k clases (exhaustivas y mutuamente excluyentes). Sea el número de observaciones en la i-ésima clase Como sabemos podemos obtener la probabilidad de obtener una observación en la i-ésima clase.

33 De modo que Sea las realizaciones de la i-ésima clase (i=1,2,...,k), de modo que: De esta forma la probabilidad de la muestra agrupada está dada por la distribución multinomial:

34 Tomemos el caso simple: k=2 y consideremos la variable aleatoria Para n grande, sabemos que Y se aproxima a una distribución Gaussiana/Normal. También sabemos que la suma de variables aleatorias con distribución Gaussiana sigue una distribución (en este caso con n-1 grados de libertad)

35 Consideremos entonces el cuadrado:

36 En general tenemos Estadística

37 Regresando a nuestro problema, se puede mostrar que la variable sigue una distribución, con k-1 grados de libertad (en un histograma, k es el número de clases).

38 Ahora fijemos el criterio para no rechazar la hipótesis. Para ello hacemos uso de la función cumulativa de la distribución

39 Así, el criterio para no rechazar la hipótesis nula es comparar el valor de Y con el cuantil de la distribución. El valor del quantil consultarse en tablas. puede

40 Resumiendo, si se satisface que Entonces la hipótesis no se puede rechazar (no hay razones estadísticas para rechazar el modelo). Se acostumbra a imponer un valor de significancia de

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