Análisis de Datos en Física de Partículas

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Marta Cruz Ojeda
hace 5 años
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Análisis de Datos en Física de Partículas Sección de Posgrado Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Ingeniería C. Javier Solano jsolano@uni.edu.

1 Análisis de Datos en Física de Partículas Sección de Posgrado Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Ingeniería C. Javier Solano Página del curso: curso-analisis-estadistico-de-datos-en-fisica-de-particulas-mf708/ Capítulo 2 página 1

2 Análisis de Datos en Física de Partículas: Capítulo Teorema de Probabilidad de Bayes, Variables aleatorias, y pdfs Funciones de r.v.s, Valores de expectación, propagación de errores Catálogo de pdfs El método de Monte Carlo Test estadísticos: conceptos generales Test statistics, métodos multivariantes Tests Bondad de ajuste (goodness-of-fit) Parámetros de estimación, maximum likelihood Mas de maximum likelihood Método de mínimos cuadrados (least squares) Intervalo de estimación, establecimiento de límites Parámetros molestos (nuisance), incertidumbres sistemáticas Ejemplos de aproximación Bayesiana Capítulo 2 página 2

3 Funciones de una variable aleatoria Una función de una variable aleatoria es en sí misma una variable aleatoria. Supongamos que x sigue una pdf f(x), consideremos una función a(x). Que es la pdf g(a)? ds = región del espacio x para el cual a está en [a, a+da]. Para el caso de variable con inversa única esto simplemente es Capítulo 2 página 3

4 Funciones sin inversa única Si inversa de a(x) no es única, incluir todos los intervalos dx en ds que corresponden a da: Ejemplo: Capítulo 2 página 4

5 Funciones de mas de una r.v. Considerar r.v.s y una función ds = región del espacio-x entre (hyper)superficies definidas por Capítulo 2 página 5

6 Funciones de mas de una r.v. (2) Ejemplo: r.v.s x, y > 0 siguen pdf conjunta f(x,y), considerar la función z = xy. Qué es g(z)? (Convolución de Mellin) Capítulo 2 página 6

Más en la transformación de variables Considerar un vector aleatorio con pdf conjunta Formar n funciones linealmente independientes existan.

7 Más en la transformación de variables Considerar un vector aleatorio con pdf conjunta Formar n funciones linealmente independientes existan. Para las que las funciones inversas Entonces la pdf conjunta del vector de funciones es donde J es el determinante Jacobiano: Por e.g. integra sobre componentes que no queremos. Capítulo 2 página 7

8 Valores de expectación Considerar r.v. continuo x con pdf f(x). Definir valor de expectación (medio) como Notación (frecuente): ~ centro de gravedad del pdf. Para una función y(x) con pdf g(y), (equivalente) Variancia: Notación: Desviación Standard: σ ~ ancho del pdf, mismas unidades que x. Capítulo 2 página 8

9 Covariancia y correlación Definir covariancia cov[x,y] (tambien usar notación matricial Vxy) como Coeficiente de correlación (adimensional) definido como Si x, y, independiente, i.e.,, entonces x e y, no correlacionados N.B. lo contrario no siempre es cierto. Capítulo 2 página 9

10 Correlación (cont.) Capítulo 2 página 10

11 Propagación de errores Suponer que medimos un conjunto de valores y que tenemos las covariancias que cuantifican los errores de medición en xi. Ahora considerar la función Cual es la variancia de El camino difícil: usar pdf conjunta para hallar la pdf entonces de g(y) hallar V[y] = E[y2] (E[y])2. Frecuentemente impráctico, puede ni siquiera ser bien conocido. Capítulo 2 página 11

12 Propagación de errores (2) Suponer que tenemos en la práctica sólo estimaciones dadas por la medida Expandir a 1st orden en una serie de Taylor como Para hallar V[y] necesitamos E[y2] y E[y]. desde que Capítulo 2 página 12

13 Propagación de errores (3) Poniendo los ingredientes juntos da la variancia de Capítulo 2 página 13

14 Propagación de errores (4) Si los xi no están correlacionados, i.e., entonces esto se convierte en Similar para un conjunto de m funciones O en notación matricial donde Capítulo 2 página 14

Propagación de errores (5) La formulae de propagación de errores nos da las y(x) covariancias de un conjunto de funciones σy en términos de σx las covariancias de las variables originales.

15 Propagación de errores (5) La formulae de propagación de errores nos da las y(x) covariancias de un conjunto de funciones σy en términos de σx las covariancias de las variables originales. Limitaciones: exacta solo si lineal. Aproximación falla si función es nonlineal sobre una región comparable en tamaño al σi. x y(x)? σx x N.B. No hemos dicho nada acerca de la pdf exacta del xi, por ejemplo, que no tiene que ser gaussiano. Capítulo 2 página 15

diferencia), añadir errores relativos cuadráticamente para el producto

16 Propagación de errores casos especiales Esto es, si los xi no son correlacionados: añadir errores cuadráticamente para la suma (o diferencia), añadir errores relativos cuadráticamente para el producto (o radio). Pero correlaciones pueden cambiar esto completamente... Capítulo 2 página 16

17 Propagación de errores casos especiales (2) Considerar con Ahora supongamos ρ = 1. Entonces i.e. para 100% de correlación, error en la diferencia 0. Capítulo 2 página 17

18 Terminando Capítulo 2 Conocemos como determinar el pdf de una funcion de una r.v. una variable, inversa única: también vimos inversa no-única y caso multivariante. Conocemos como describir un pdf usando valores de expectación (media, variancia), covariancia, correlación,... Dada una función de una variable aleatoria, conocemos como hallar la variancia de la función usando propagación de errores. También para matriz covariancia en caso multivariante; basado en aproximación lineal. Capítulo 2 página 18

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