1.1.- CLASIFICACION Y PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES

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1 1.1.- CLASIFICACION Y PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES Dios hizo los Naturales, los demás números los hicieron los hombres. Objetivo.- Que el alumno conozca las propiedades de los números reales, sepa identificarlos y sepa cual es el interés de conocerlos a la luz del cálculo Definición de Número Real Introducción Iniciaremos este tema con una pregunta: Recuerda como fue su primera aproximación al estudio de las matemáticas? Seguramente, y con un par de excepciones que esperamos se multipliquen, a usted lo iniciaron en el estudio de las matemáticas aprendiendo primero los números. Cierto?. Por qué esta aproximación?. Porque parece lógico que si vamos a operar con y sobre NUMEROS, entonces, antes que nada hay, que conocerlos. Cierto?. Recuerda cómo confundía el 2 con el 5 y no sabía porqué al 7 le antecedía el 6 y cómo el 8 le parecía un doble 3?. Recuerda las páginas y páginas que llenó de números?. Recuerda los grandes cartelones que su miss tenía en el salón con chicos numerotes estampados en ellos?. El objetivo era que a base de machacar día tras día con los famosos números, lograra conocerlos y reconocerlos. Ya después veríamos para qué sirven y en qué y cuándo se utilizan. Por supuesto que, a menos que usted sea disléxico, en estos momentos ya tiene una gran habilidad en el manejo de los enteros. Los conoce, los reconoce, sabe cuándo utilizarlos y sabe cómo utilizarlos para resolver cierto tipo de problemas. 10

2 Además, para estas alturas de su vida de estudiante, usted ya conoce y ha manejado diferentes elementos de trabajo de las matemáticas, los que por lo general se definen mediante un conjunto. Recordemos: El Conjunto N de los Naturales.- El conjunto de los Naturales ( N ) que son los enteros positivos excluyendo el cero. N = { 1, 2, 3, 4, 5,..., k,... } que nos sirven para contar y que utilizamos en una primera aproximación a la aritmética El Conjunto Z de los Enteros.- El conjunto de los Enteros ( Z ) que son los enteros positivos y negativos mas el cero. Z = {..., k,... 3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,..., k,... } y que hemos utilizado en una segunda aproximación a la aritmética El Conjunto Q de los Racionales.- El conjunto de los Racionales ( Q ) que vienen a ser los quebrados o números fraccionarios, y que son números cuya expresión es de la forma n/m con n y m enteros y m diferente de cero. Q = {..,-n/m,.., -1,.. -,.., -,... -,.. 0,..,,..,,..,,.., 1,..,n/m,... } y que hemos utilizado en una etapa avanzada de la aritmética El Conjunto I r de los Irracionales.- También ha utilizado el conjunto de los Irracionales ( I r ; Quizá no los conoce con este nombre) y que son los números que no se pueden expresar como el cociente de dos enteros, como por ejemplo: el número π, empleado para calcular el perímetro de una circunferencia o el área de un círculo; el número e que es la base del logaritmo natural y, en fin, la raíz cuadrada de los números que NO son cuadrados perfectos, por ejemplo, la raíz cuadrada de: 2, 3, 5, 6, 7, 8, etc. I r = { a / a Q } Comentarios.- Nótese que en este proceso de aproximación a los números, el conjunto que va quedando atrás está contenido en el siguiente. Por ejemplo, los Naturales forman parte de los Enteros y estos de los Racionales, sin embargo, los Racionales NO contienen a los Irracionales ni estos a aquellos. 11

3 Esto significa que dado un número A: Si es Natural, entonces es Entero y por lo tanto es Racional. Sin embargo, si A es Z puede NO ser N y Si A es Q puede NO ser ni Z ni N. Por otro lado, si A es Racional NO puede ser Irracional y Si es Irracional NO puede ser Racional. Esto significa que dado un Número A, o es Racional o es Irracional. De acuerdo con lo anterior se dice que: El conjunto de las Naturales es un subconjunto de los Enteros: N Z. El conjunto de los Enteros es un subconjunto de los Racionales: Z Q. Los conjuntos de los Racionales y los Irracionales son ajenos: Q I r y además: I r Q Cuáles son los números reales?. Entonces, y como ya lo dijimos en el capitulo anterior, como el cálculo se trabaja en los reales, antes que nada tendremos que aproximarnos al conjunto de los números Reales ( R ) para así conocerlos y poder operar con y sobre ellos. Ahora: Cuáles son los Reales ( R )?. Simple: Los números reales son los elementos del conjunto formado por la unión de los Racionales ( Q ) y los Irracionales ( I r ). Así de simple?. R = Q + I r. Entonces, dado un número cualquiera, si es Racional es un Real y si es Irracional también es un Real. Los racionales son un subconjunto de los Reales Q R y los irracionales también son un subconjunto de los Reales I r R El Conjunto C de los Complejos.- Por supuesto que existen otra clase de números que no son Reales. Cuáles son estos números?. Los imaginarios o, en forma más general, los complejos. Son los que se obtienen al sacar la raíz 12

4 cuadrada de un número negativo. Así: (- 4) = 2i donde la partícula i se define como i 2 = -1. Por el momento esta clase de números NO nos interesan. Nuestro interés se centrará en los Reales, ya que en ellos es en los que vamos a trabajar el cálculo Qué podemos decir de los números Reales? Qué podemos decir de los Narturales?. Para contestar esta pregunta, empecemos con los Naturales ( N ): Se dice que el conjunto de los Naturales, es un conjunto BIEN ORDENADO, ya que: Posee un primer elemento, que viene a ser el 1. A todo elemento del conjunto le sigue otro bien definido. Por ejemplo al 45 le sigue el 46. Al 1203 le sigue el 1204, etc. Y dado un subconjunto de las naturales también es BIEN ORDENADO. Por ejemplo el conjunto formado por los naturales divisibles entre 5. Si a este conjunto le llamamos C ( de cinco), entonces sus elementos son: C = { a / a = 5b donde b ε N }. C = { 5, 10, 15, 20, 25,...5k,... } Es un conjunto Bien ordenado. Por otro lado: Cuántos Naturales hay?. Se dice que el número de naturales es infinito, pero: Qué tan infinito es?. El matemático alemán G. Cantor, que fue el que desarrollo la Teoría de Conjuntos, le asigno al número de naturales la cardinalidad χ 0 (que se lee Aleph cero, y es la primera letra de alfabeto hebreo). A este número le llamó el primer número transfinito y es la cardinalidad de los conjuntos infinitos Numerables, que son aquellos que se pueden poner en correspondencia uno a uno con los naturales. Se dice también que los naturales son un conjunto discreto, ya que dado un elemento n el siguiente se brinca a n+1. Entre n y n+1 no existe ningún natural. Por ejemplo: entre 50 y 51 no existe ningún natural. Este salto es el que determina la característica de ser discreto. 13

5 Qué más podemos decir de los Naturales?. Que es un conjunto que satisface el principio del Buen Orden, principio que define la Ley de la Tricotomía: Ley de la Tricotomía: Si el conjunto A satisface la Ley de la Tricotomía, entonces, para cualquier par a y b arbitrario de elementos de A, uno y solo uno de los siguientes postulados se satisface: a < b a = b a > b Qué podemos decir de los Enteros ( Z )?. Lo que podamos decir de este conjunto estará en función de lo que dijimos de los Naturales. Veamos. Serán un conjunto Bien Ordenado?. Por qué?. Porque se puede ordenar de tal forma que en ese ordenamiento se defina un primer elemento y a todo elemento del conjunto le siga otro BIEN definido. Por ejemplo: Z = { 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3,..., k, -k,.. } En este ordenamiento en particular el primer elemento es el 0, al 3 le sigue el 3 y, en general, al k le sigue el k. Es decir, satisface el principio del buen orden. Asimismo cualquier subconjunto infinito de los enteros será un conjunto bien ordenado. Son mas enteros que naturales?. Porque se pueden ordenar ambos conjuntos de tal forma que a cada Entero k le toque uno y solo un Natural n. 14

6 Por ejemplo: Z = 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4,..., k, -k,... N = 1, 2, 3, , 8, 9,..., 2k, (2k+1),... Cuántos Enteros hay?. χ 0, es decir el mismo número de naturales. Debido a lo anterior se dice que los Enteros son un conjunto numerable. Será un conjunto discreto?. Porque entre dos Enteros dados NO existe otro entero. Por ejemplo entre el 50 y el 51 no existe otro Entero. Para ir del 50 al 51 hay que dar un SALTO. Y así para cualquier PAR de enteros k y k+1. Satisfacen los Enteros la Ley de la Tricotomía?. Porque dados dos Enteros arbitrarios solo satisfacen uno de los postulados de la citada Ley Qué podemos decir de los Racionales ( Q )?. Lo que podamos decir del conjunto de los Racionales estará en función de lo que dijimos de los Naturales y de los Enteros. Veamos. Serán un conjunto Bien Ordenado?. Por qué?. Porque se pueden ordenar de tal forma que en ese ordenamiento se defina un primer elemento y a todo elemento del conjunto le siga otro BIEN definido. Son mas Racionales que Enteros o Naturales?. 15

7 Porque se pueden ordenar los Racionales y los Naturales de tal forma que a cada Racional q le toque uno y solo un Natural n. Cuántos Racionales hay?. χ 0, es decir el mismo número de Enteros y de Naturales. Es un conjunto numerable?. Porque tienen la misma cardinalidad χ 0, que los Naturales. Satisfacen los Racionales la Ley de la Tricotomía?. Porque dados dos Racionales arbitrarios solo satisfacen uno de los postulados de la citada Ley. Será un conjunto discreto?. Porque entre dos elementos arbitrarios del conjunto de los Racionales, siempre es posible encajar otro diferente que se encuentre entre ellos. Este elemento intermedio esta dado por la semisuma de los elementos dados. Por ejemplo, entre el 2 y el 3, podemos colocar el 5/2; entre el 1/3 y el 1/2 podemos colocar el 5/12 y en general entre los Racionales a y b podemos colocar el racional ( a + b ) / 2. En este sentido se dice que dado un racional no es posible decir cual le sigue. Por ejemplo: Cuál Racional le sigue al ½ o al 1/3 o al 4 o al 5?. No importa el Racional que se proponga como continuación de los anteriores, por muy próximo que se encuentre de él, siempre definirán entre ambos otro racional según indicamos en al inicio de este párrafo. 16

8 1/3 1/2 1/3 + 1/2 5/6 = 5/ /12 a b a + b 2 es el numero entre ellos Qué más podemos decir de los Racionales?. Debido a lo anterior se dice que los Racionales son un Conjunto Denso, es decir, que dados dos elementos arbitrarios de él, siempre es posible encajar otro diferente que se encuentre entre ellos. Como ya lo indicamos en el párrafo anterior, este elemento intermedio esta dado por la semisuma de los elementos dados. Entonces podemos decir que los Racionales son un Conjunto Continuo?. Porque si colocamos todos los racionales sobre una recta, no llenan todos los puntos de ella, es decir, hay huecos en tal recta según veremos en el siguiente artículo Qué podemos decir de los Reales ( R )?. Lo que podamos decir del conjunto de los Reales estará en función de lo que dijimos de los Racionales, Enteros y Naturales. Veamos. Serán un conjunto Bien Ordenado?. Por qué?. 17

9 Porque NO hay forma de ordenarlos para que en ese ordenamiento se defina un primer elemento y a todo elemento del conjunto le siga otro BIEN definido. Aunque casi siempre es posible determinar un primer elemento en un subconjunto de los Reales, NO es posible decir cual real le sigue a alguno dado. Por ejemplo: Cuál real le sigue al 1/3?. Son mas Reales que Racionales, Enteros o Naturales?. Porque NO es posible ordenarlos con los Naturales de tal forma que a cada Real le toque uno y solo un Natural. Cuántos Reales hay?. C, es decir la Cardinalidad del Continuo según definición de G. Cantor. A esta C, Cantor le llamó el segundo número transfinito. En general cualquier subconjunto de los reales tiene las cardinalidad C. Es un conjunto numerable?. Porque NO tienen la misma cardinalidad χ 0, que los Naturales. En realidad, según demostró Cantor, el número infinito C es mucho mayor que el infinito χ 0, es decir, son mucho más elementos en los Reales que en los conjuntos numerables que son aquellos que tienen χ 0 de cardinalidad. Los Reales son un Conjunto Discreto?. Porque dado un Real arbitrario siempre le sigue otro: No obstante que no podemos determinar tal real, sabemos que existe. Satisfacen los Racionales la Ley de la Tricotomía?. 18

10 Porque dados dos Reales arbitrarios solo satisfacen uno de los postulados de la citada Ley. El conjunto de los reales es un conjunto denso?. Porque dados dos reales arbitrarios siempre es posible encajar otro diferente que se encuentre entre ellos. Este elemento intermedio esta dado por la semisuma de los elementos dados. Por ejemplo, entre el 2 y el 3, podemos colocar el 5/2; entre el 1/3 y el 1/2 podemos colocar el 5/12 y, en general, entre los Reales a y b podemos colocar el Real ( a + b ) / 2. Qué más podemos decir de los Reales? Que es un conjunto continuo. Es decir, que si colocamos TODOS los reales sobre una recta numérica, en esta no habrá huecos. NO hay un lugar vacío a ocupar por otro Real. Los Reales LLENAN completamente todos lo puntos de una recta. Cómo podemos estar seguros que en cada punto sobre la recta existe un Real?. Las Cortaduras de Dedekin nos aseguran tal hecho Ejercicios: 1. A que se le llama conjunto numerable? 2. Cuándo se dice que un conjunto es denso?. 3. Cuándo se dice que un conjunto es discreto?. 4. Cuándo se dice que un conjunto es continuo?. 5. Indique las propiedades de los Naturales. 6. Indique las propiedades de los Enteros. 7. Indique las propiedades de los Racionales. 8. Indique las propiedades de los Reales. 9. Enuncie la Ley de la Tricotomía. 10. Investigue un ordenamiento que nos permita asegurar que los Racionales Q son un conjunto numerable. 19

11 11. Investigue un ordenamiento que nos demuestre que el conjunto de los Reales no es numerable. 12. Investigue en que consisten las cortaduras de Dedekin T R A B A J O: De acuerdo a como quedaron integrados los grupos, ir a la alameda, o a cualquier otro paseo público, y observar el proceso de inflado de un globo mediante el depósito de helio que emplean para el caso los globeros. Estamos interesados en describir el comportamiento del globo durante el proceso de inflado. Entonces de acuerdo con lo anterior: I.- Describa verbalmente lo que sucede con el globo durante el proceso de inflado. Para ayudarse en la descripción se sugiere lo siguiente: 1. Identifique las variables o sea los parámetros involucrados en el inflado como son: la presión, el tiempo, el color, el volumen, la forma, etc. 2. Enliste los parámetros según el orden de importancia en la caracterización del proceso. 3. Justifique su lista. Es decir, argumente porque coloca primero un parámetro de otro, indicativo de que para usted es más importante en el proceso de caracterización. I.1.- Una vez hecho lo anterior conteste lo mas completo que sea posible las siguientes preguntas suponiendo que la forma del globo es la de una Esfera. 1. Cómo se comporta y de que depende el volumen del globo?. 2. Cómo se comporta y de que depende el área del globo?. 3. El crecimiento del radio es continuo?. 4. Cuál es el limite en el crecimiento del área del globo?. 5. Cuál es el limite en el crecimiento del volumen del globo?. 6. Cuál es el limite en el crecimiento del radio?. 7. Dibuje una gráfica que represente la variación del: Área del Globo Volumen del Globo Radio del Globo. 20

12 I.2.- Suponga ahora que queremos construir un globo a partir de su generatriz. Es decir, sabemos que al girar un semicírculo sobre su diámetro genera una esfera. La pregunta es: Podemos construir un semicírculo de cualquier radio? 21