a = mq m (a)+r m (a) y 0 r m (a) < b

Transcripción

1 Divisibilidad [1] Múltiplos y divisores Divisores. Definición. Un número entero m es divisor de un número entero a si hay un número entero q tal que a = mq. Se indica esta relación escribiendo m a, y su negación se denota m a. Notas y ejemplos. 8 24, 6 24, 7 7, , 12 8, 6 15, 7 1, Según la definición, si m es un divisor de a, entonces hay un entero q tal que a = mq;nótese que q es también un divisor de a. Para cualquier entero a se cumplen las igualdades a = a.1 =( a)( 1) = 1.a =( 1)( a), por tanto a, a, 1, 1 son divisores de a y, en particular, el conjunto de los divisores de un entero cualquiera es no vacío. Si m es un divisor de a y a 0, digamos a = mq, entonces a = mq = m q ;de donde m a, y a m a. Por tanto se tiene que todo divisor de un entero a (a 0) está comprendido entre a y a ;en particular: el conjunto de los divisores de un entero a no nulo es finito. Para cualquier entero m se tiene 0 = m0;por tanto m 0. En particular 0 0. Si a es un entero, a 0, entonces a 0q para todo entero q;por tanto 0 a, si a 0. El conjunto de los divisores de 12 es {1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 6, 6, 12, 12}. El conjunto de los divisores de 7 es {1, 1, 7, 7}. El conjunto de los divisores de 1 es {1, 1}. [ Se tiene 1 1=( 1) ( 1)=1;ysiu y v son enteros tales que uv = 1, entonces u v = uv = 1, de donde u =1= v, por tanto debe ser u = v =1ó u = v = 1 ] Un test efectivo de divisibilidad. Cómo decidir si un entero m 0 es divisor o no de un entero a? Recuérdese la propiedad de la división: Dados a, m Z, m 0, existen enteros q m (a) yr m (a) únicos que cumplan a = mq m (a)+r m (a) y 0 r m (a) < b Esta propiedad proporciona un criterio eficiente de divisiblidad: 1

2 Proposición. Para que un entero m sea divisor de un entero a es necesario y suficiente que se cumpla una de las dos condiciones siguientes: (a) m =0y a =0,ó (b) m 0y r m (a) =0. Demostración. Es inmediata. Ejemplos. Es 17 un divisor de 2096? Realizando la división de 2096 entre 17 se obtiene 2096 = ; con lo que r 17 (2096) = 5 0 y, por tanto, , porque r 17 (9809) = 0. Enteros asociados. La relación de divisibilidad en el conjunto de los enteros cumple las siguientes propiedades: Es reflexiva (para todo entero a se tiene a a). Es transitiva (si a b y b c, entonces a c). No es antisimétrica (7 7, 7 7y7 7). Por tanto la relación de divisibilidad no es de orden el el conjunto Z de los enteros. Definición. Dos enteros a y b son asociados si a b y b a; en este caso se pone a b. Lema. La relación es asociado de ( ) es de equivalencia en el conjunto Z de los enteros. Demostración. Es sencilla y se deja como ejercicio. Veamos cómo son las clases de equivalencia de enteros módulo la relación de equivalencia. Se cumple 0 0;si a 0, entonces a = 0, por tanto 0 es el único asociado de 0. Si a b, ya 0ó b 0, entonces b = aq y a = bq, por tanto a 0yb 0ya = aqq, con lo que (por la propiedad de simplificación en Z) 1=qq ;debe ser q = q =1ó q = q = 1, de aquí se obtiene a = b ó a = b. Recíprocamente, si a = b osi a = b, entonces (obviamente) a b. Por tanto, para cualquier entero a, la clase de a módulo es [a] = {a, a} Nótese que el paso del conjunto Z al correspondiente conjunto cociente Z/ f : Z Z/ a [a] = {a, a} consiste en identificar cualquier entero a con su opuesto a. Convendremos en escoger como representante de cualquier clase de equivalencia [a] al entero no negativo a de ese conjunto. Dado que, para enteros cualesquiera a y b, a b si,ysólo si, a = b, la aplicación f induce una biyección f : Z/ N [a] a La relación de divisibilidad en el conjunto de los enteros no negativos (esto es, en el conjunto de los números naturales) es de orden;nótese que esta relación de orden no es lineal (hay elementos que no son comparables, p. e. 8 12y12 8). 2

3 Múltiplos e ideales Definición. Un entero a es múltiplo de un entero m si m es un divisor de a. Se denota (m) al conjunto de los múltiplos de m: (m) ={a a = mz, z Z} = {mz z Z}. Ejemplos. (7) = ( 7) = {..., 7n,..., 21, 14, 7, 0, 7, 14, 21,...,7n,...}, (n N) (12) = ( 12) = {..., 12t,..., 36, 24, 12, 0, 12, 24, 36,...,12t,...}, (t N) (0) = {0}. (1) = Z =( 1). Proposición. Sean a y m enteros, las relaciones siguientes son equivalentes: (1.) a es múltiplo de m, (2.) m a, (3.) a (m), (4.) (a) (m). Demostración. Es elemental y se deja como ejercicio. Proposición. Sean a y b números enteros. (a) =(b) si, y solamente si, a b; es decir, si, y sólo si, a = b ó a = b. Si a>0, entonces a es el menor entero positivo en (a). Demostración. Es elemental y se deja como ejercicio. En la figura adjunta se pretende ilustrar la equivalencia de la relación m a entre enteros del conjunto {2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 24, 30, 60} y la relación (a) (m) entre los respectivos conjuntos de múltiplos: 60 (2) (3) (5) (4) (6) (10) (9) (8) (12) (24) (30) (60) En el diagrama de la izquierda un segmento ascendente desde a hasta b significa a b, mientras que en el diagrama de la derecha un segmento ascendente desde (b) hasta (a) significa (b) (a). 3

4 El conjunto (m) de los múltiplos de un entero cualquiera m verifica tres propiedades formales, especialmente importantes, relacionadas con las operaciones de adición y multiplicación y que se exponen en la siguiente Proposición. Para cualquier entero m se cumplen: (1.) 0 (m). (2.) Si a, b (m), entonces a + b (m). (3.) Si z Z y a (m), entonces az (m). Demostración. (1.) 0=m0. (2.) Si a = mz a y b = mz b con z a,z b Z, entonces (3.) Si a = mz a, entonces az = m(z a z) (m). a + b = mz a + mz b = m(z a + z b ) (m). Dicho en otra forma: (1.) El elemento neutro 0 es múltiplo de cualquier entero m. (2.) La suma de dos múltiplos de un entero m es un múltiplo de m. (3.) Todo múltiplo de un múltiplo de un entero m es un múltiplo de m. Como consecuencias se tienen: (m), porque 0 (m). Si a (m), entonces a = 1a (m);es decir, el opuesto de un múltiplo de m es también un múltiplo de m. Si a, b (m), entonces a b = a +( b) (m);es decir, dos múltiplos de m difieren en un múltiplo de m. Definición. Un ideal del anillo Z de los enteros es un subconjunto I de Z tal que: (1.) 0 I. (2.) Si a, b I, entonces a + b I. (3.) Si z Z y a I, entonces az I. Ejemplo. Para cada entero m, el conjunto (m) de los múltiplos de m es un ideal de Z. Una propiedad crucial del anillo de los enteros es que si un subconjunto I de Z es un ideal de Z, entonces I debe ser de la forma (d) para algún entero d;esto es, existe (al menos) un entero d tal que I = {dz z Z} =(d). Ejemplo. El subconjunto S(8, 12) = {8x +12y x, y Z} de Z es un ideal de Z, en efecto: 0 = S(8, 12) Si a, b son elementos de S(8, 12), digamos a =8x a +12y a y b =8x b +12y b, entonces a + b =8(x a + x b ) + 12(y a + y b ) S(8, 12) Si z es un entero y a =8x a +12y a es un elemento de S(8, 12), entonces az =8(x a z) + 12(y a z) S(8, 12) En el cuadro adjunto se escriben algunos elementos del conjunto S(8, 12) correspondientes a valores de x en el rango 3 x 3 y a valores de y en el rango 2 y 2: 4

5 y \ x De la observación de la tabla parece desprenderse que S(8, 12) = (4);esta afirmación, que es cierta, será comprobada más adelante una vez que se estudie el algoritmo extendido de Euclides. De momento se probará la siguiente Proposición: Proposición. Sea I un ideal del anillo Z de los enteros. Hay un único entero m 0 tal que I =(m). Además, si I {0}, entonces m es el menor entero positivo en I. Demostración. Si I = {0}, tomar m = 0. Suponer I {0}, de modo que hay enteros no nulos a en I; si a I, entonces a I, luego hay enteros positivos en I. Sea m el menor entero positivo en I. Veamos que I =(m), para ello se probarán las dos inclusiones: (m) I y I (m). La primera, (m) I, es consecuencia inmediata de que m pertenezca a I y de la condición (3.) de la definición de ideal. Para demostrar la segunda, I (m), hay que comprobar que todo elemento a I es múltiplo de m: por la propiedad de la división existen enteros q m (a) yr m (a) tales que a = mq m (a)+r m (a) y0 r m (a) <m.se cumple r m (a) =a mq m (a) I [porque a, mq m (a) I];por elección m es el menor entero positivo en I; en conclusión debe ser r m (a) = 0, de donde a I. Ejemplo. Sean m 1,m 2,...,m s números enteros. El conjunto S(m 1,m 2,...,m s )= { m 1 x 1 + m 2 x m s x x x 1,x 2,...,x s Z } es un ideal de Z [compruébese esta afirmación como ejercicio], luego hay un (único) entero m 0 tal que S(m 1,m 2,...,m s )=(m). [2] Máximo común divisor El conjunto de los divisores de 12 es: el conjunto de los divisores de 30 es D 12 = { 12, 6, 4, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 12}; D 30 = { 30, 15, 10, 6, 5, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}; el conjunto de los divisores comunes de 12 y 30 (la intersección de los dos conjuntos anteriores) es: D 12 D 30 = { 6, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 6}. Nótese que D 12 D 30 = D 6, el conjunto de los divisores de 6;y que 6 cumple las siguientes propiedades (respecto de 12 y 30): (1.) 6 12 y 6 30;(esto es, 6 es un divisor común de 12 y 30) (2.) para cualquier entero c que cumpla c 12 y c 30, se tiene c 6;(esto es, cualquier divisor común de 12 y 30 es un divisor de 6) 5

6 El número 6 también cumple estas propiedades. Definición. Un máximo común divisor de dos enteros a y b no ambos nulos es un entero d que cumpla: (1.) d a y d b, y (2.) si c es un entero tal que c a y c b, entoces c d. Ejemplos. El entero 6 es un máximo común divisor de 12 y 30. También 6 esunmáximo común divisor de 12 y 30. Los enteros 1 y 1 son máximos comunes divisores de 25 y 18. Se estudiarán los siguientes tópicos relativos al máximo común divisor de dos enteros: Unicidad, existencia, propiedades y cálculo efectivo. Proposición (Unicidad). Si d y d son ambos máximos comunes divisores de dos enteros a y b, entonces d d. Demostración. Por ser d un máximo común divisor de a y b, yd un divisor común a a yab, se tiene d d;por simetría d d. Por tanto, si d y d son máximos comunes divisores de a y b, se tendrá d = d o d = d. Reciprocamente, si d es un máximo común divisor de a y b, entonces d también lo es. Se conviene en poner mcd(a, b) para denotar el máximo común divisor positivo de dos enteros a y b. También por convenio se pone mcd(0, 0) = 0. Ejemplos. mcd(12, 30) = 6. mcd( 30, 12) = 6. mcd(25, 18) = 1. mcd( 25, 18) = 1. Teorema. (Existencia del máximo común divisor) Para dos enteros cualesquiera a y b se tienen; (1.) existe el máximo común divisor d = mcd(a, b) de a y b, y (2.) existen enteros s y t tales que d = as + bt. Demostración. Pongamos S(a, b) ={ax + by x, y Z}. Dado que el conjunto S(a, b) es un ideal de Z, existe un entero d S(a, b), d 0, y tal que S(a, b) =(d);y existen enteros s d, t d tales que d = as d + bt d. Veamos que d = mcd(a, b): Como a, b S(a, b) =(d), se tiene a, b (d);esto es, d a y d b Si c a y c b, entonces c (as d + bt d );esto es, c d Ni el teorema ni su demostración proporcionan un método efectivo que permita calcular mcd(a, b) para dos enteros a y b. En las secciones siguientes se estudian, primero, un algoritmo (el algoritmo de Euclides) para el cálculo del máximo común divisor de dos enteros y, después, una modificación de dicho algoritmo (el algoritmo extendido de Euclides) que permite calcular el máximo común divisor d de dos enteros a y b así como enteros s y t tales que d = sa + tb. Notas y ejemplos El teorema asegura la existencia del máximo común divisor d de dos enteros a y b, así como la existencia de enteros s y t tales que d = as + bt pero debe notarse que ni s ni t son únicos: pongamos a =4yb = 6, entonces d = mcd(4, 6)=2yse tienen las identidades 2 = 4 ( 1) = 4 ( 4) = ( 1) = 4( 1 3t) + 6(1+2t), (t Z) 6

7 Habitualmente se conoce con el nombre identidad de Bezout cualquier expresión del máximo común divisor d de dos enteros a y b como combinación lineal de éstos (sobre Z): d = as + bt con s, t Z. Debe notarse que de una identidad tal como h = as + bt donde a, b, h, s, t son enteros no se concluye que h sea (necesariamente) el máximo común divisor de a y b, por ejemplo 18 = 4 ( 3)+6 5 Lo que si se puede asegurar, en estas condiciones, es que mcd(a, b) h ( demostración?). Consecuencias de la identidad de Bezout Sea d el máximo común divisor de dos enteros a 0yb 0, pongamos d = as + bt ( ) para adecuados enteros s, t. Dado que d a y d b, existen enteros a y b tales que a = a d y b = b d substituyendo en ( ) d = a ds + b dt = d(a s + b t) Dado que d 0, se puede cancelar el factor d y se obtiene De donde se deduce que mcd(a,b )=1. 1=a s + b t Definición. Dos enteros a 0y b 0son primos entre sí o primos relativos si mcd(a, b) =1. De las consideraciones previas a la definición se concluye Proposición. Sea d el máximo común divisor de dos enteros a 0y b 0. Pongamos a = a d y b = b d. Los enteros a y b son primos entre sí. Proposición. Sean a 0y b 0dos enteros. Las condiciones siguientes son equivalentes (i) a y b son primos entre sí (ii) Existen enteros s y t tales que as + bt =1 Proposición. Si un entero divide a un producto de otros dos y es primo relativo con uno de ellos, entonces divide al otro. Demostración. Suponer que un entero m divide a un producto ab de dos enteros a y b, y que m y a son primos entre sí, probaremos que m b. Existen enteros z, s y t tales que ab = mz y1=ms+at;multiplicando los dos miembros de la última igualdad por b, se obtiene b = msb + abt = msb + mzt = m(sb + zt) 7

8 Proposición. Sean a y b enteros primos entre sí, y sea m un entero tal que a m y b m. Entonces ab m. Demostración. Existen enteros u y v tales que au + bv = 1, multiplicando ambos miembros por m se obtiene amu + bmv = m. Por otra parte, dado que a m, se cumple ab bm;y dado que b m, se cumple ab am. En consecuencia ab (amu + bmv) =m. Notas, ejemplos y contraejemplos Los siguientes pares de enteros son primos entre sí: 3 y 7, 12 y 25, 33 y 32, -35 y 18, 12 y 1 Los siguientes pares de enteros no son primos entre sí: 35 y 49, 4 y 2, -81 y 39, -12 y -8, 2925 y 2002 El entero 6 divide al producto 8 9, pero 6 8y6 9 Se tiene: 2 12y4 12, pero 2 4=8 12. Puesto que ( 796) = 1 (compruébese), se concluye que (1) mcd(2925, 1694) = 1, (2) mcd(2925, 796) = 1, (3) mcd(461, 1694) = 1 y (4) mcd(461, 796) = 1 Cálculo del máximo común divisor Recordemos la propiedad de la división en Z: Dados dos enteros a y b con b 0, existen enteros q b (a) y r b (a) (únicos) tales que a = bq b (a)+r b (a), 0 r b (a) < b y hay un algoritmo que calcula q b (a) y r b (a). El algoritmo que se expondrá para el cálculo del máximo común divisor de dos enteros se basa en la siguiente Proposición. Sean a y b enteros. Se tiene (1.) mcd(a, 0) = a, y (2.) mcd(a, b) = mcd(b, r b (a)), sib 0. Demostración. La primera afirmación se obtiene directamente de la definición de máximo común divisor y del convenio relativo al signo. Para probar la segunda afirmación pongamos a = bq b (a)+r b (a). Si c a y c b, entonces c b y c r b (a) =a bq b (a);reciprocamente, si c b y c r b (a), entonces c a = bq b (a)+r b (a) yc b. Por tanto el conjunto de los divisores comunes de a y b coincide con el conjunto de los divisores comunes de b y r b (a). El interés de esta proposición radica en el hecho de que permite calcular efectiva y eficientemente el máximo común divisor de dos enteros cualesquiera. Antes de justificar esta afirmación veamos algunos ejemplos sencillos. Ejemplos. mcd( 747, 0) = 747 mcd(0, 16) = mcd(16, 0)=16 mcd(12, 8) = mcd(8, 4) = mcd(4, 0)=4 mcd(9, 15) = mcd(15, 9) = mcd(9, 6) = mcd(6, 3) = mcd(3, 0) = 3 8

9 mcd(121393, 17711) = mcd(17711, 15127) = mcd(15127, 2584) = = mcd(2584, 2207) = mcd(2207, 377) = mcd(377, 322) = mcd(322, 55) = = mcd(55, 47) = mcd(47, 8) = mcd(8, 7) = mcd(7, 1) = mcd(1, 0) = 1 Algoritmo mcd (El algoritmo de Euclides sobre Z) Entrada: a, b Z, dos enteros. Salida: mcd(a, b), el máximo común divisor (no negativo) de a y b. mcd(a, b) 1 (r, r ) (a, b) 2 mientras r 0 3 hacer (r, r ) (r, resto(r, r )) 4 devolver r Ejemplo. Se muestra una forma de disponer los cálculos para el cómputo, con lápiz y papel, del máximo común divisor de los números 1127 y 354 según el algoritmo mcd: En consecuencia mcd(1127, 354) = 1. q r r Ejercicio. Calcular mediante el algoritmo mcd el máximo común divisor de 3757 y Notas de programación Un programa en Maple que implementa el algoritmo de Euclides sobre Z mcd := proc(a::integer, b::integer) local r, rp ; r, rp := a, b; while rp <> 0 do r, rp := rp, irem(r, rp) od; abs(r) end; La primitiva igcd (integer greatest common divisor) de Maple hace, esencialmente, lo mismo. El Algoritmo extendido de Euclides El máximo común divisor d de dos enteros a y b se puede expresar en la forma d = as+bt para adecuados enteros s y t. Nos ocupamos del desarrollo de un algoritmo eficiente que permita computar, simultaneamente, d, s y t. El algoritmo que discutiremos será una extensión del Algoritmo de Euclides. 9

10 Sean pues a y b números enteros;analicemos detalladamente el algoritmo de Euclides para el cálculo de mcd(a, b). Pongamos r 0 = a y r 1 = b. Sib = 0, entonces el máximo común divisor de a y b es a. Sib 0, los pasos dados para el cálculo de mcd(a, b) se pueden explicitar, simbólicamente, en la forma: r 0 = r 1 q 1 + r 2, 0 r 2 < r 1 (r 2 es no negativo) r 1 = r 2 q 2 + r 3, 0 r 3 <r r i = r i+1 q i+1 + r i+2, 0 r i+2 <r i+1 r i+1 = r i+2 q i+2 + r i+3, 0 r i+3 <r i r n 2 = r n 1 q n 1 + r n, 0 r n <r n 1 r n 1 = r n q n +0, de donde se concluye que el máximo común divisor d de a y b es r n. Proposición. En la situación anterior se cumple: Para todo i, (0 i n), existen enteros u i,v i tales que r i = au i + bv i Demostración. Se expone una prueba constructiva;esto es, no sólo se prueba la existencia de los u i,v i, sino que se proporciona un método para calcularlos. Se tienen: r 0 = a = a 1+b 0 r 1 = b = a 0+b 1 Por tanto pueden tomarse u 0 =1, v 0 =0 u 1 =0, v 1 =1 Suponer (hipótesis inductiva) que están calculados enteros u i,v i,u i+1,v i+1 tales que r i = au i + bv i y r i+1 = au i+1 + bv i+1 entonces r i+2 = r i r i+1 q i+1 = au i + bv i (au i+1 + bv i+1 )q i+1 = = a(u i u i+1 q i+1 )+b(v i v i+1 q i+1 ). Por tanto pueden tomarse u i+2 = u i u i+1 q i+1, v i+2 = v i v i+1 q i+1 Como caso particular se obtiene la versión constructiva del teorema de existencia del máximo común divisor: Teorema. Sea d el máximo común divisor de dos enteros a y b. Existen enteros u y v tales que d = au + bv De las consideraciones anteriores se obtiene un método para el cálculo simultáneo de d, u y v a partir de a y b. Veamos un par de ejemplos. 10

11 Ejemplo. Calcular (a mano, con lápiz y papel) el máximo común divisor d de 256 y 117, y enteros u y v tales que d = 256u + 117v. i q i r i r i+1 u i u i+1 v i v i En consecuencia, mcd(256, 117) = 1 = ( 35). Ejemplo. Calcular (a mano, con lápiz y papel) el máximo común divisor d de 8320 y -6591, y enteros u y v tales que d = 8320u +( 6591)v. i q i r i r i+1 u i u i+1 v i v i En consecuencia, mcd(8320, 6591) = 13 = ( 6591) 77. Se tiene así el Algoritmo Extendido de Euclides: Algoritmo mcdex (El Algoritmo Extendido de Euclides sobre Z) Entrada: a, b Z, dos enteros. Salida: (d, u, v) Z 3 tal que d = mcd(a, b) yu, v cumplen d = au + bv. mcdex(a, b) 1 (r, r ) (a, b) 2 (u, u ) (1, 0) 3 (v, v ) (0, 1) 4 mientras r 0 5 hacer q coct(r, r ) 6 (r, r ) (r,r r q) 7 (u, u ) (u,u u q) 8 (v, v ) (v,v v q) 9 devolver sign(r) (r, u, v) Notas de programación Un programa en Maple que implementa el algoritmo extendido de Euclides sobre Z 11

12 mcdex := proc(a::integer, b::integer) local r, rp, u, up, v, vp, q; r, rp := a, b; u, up := 1, 0; v, vp := 0, 1; while rp <> 0 do q := iquo(r, rp); r, rp := rp, r rp*q; u, up := up, u up*q; v, vp := vp, v vp*q; od; signum(r)*[r, u, v] end; La primitiva igcdex (integer greatest common divisor extended) de Maple hace, esencialmente, lo mismo. [3] Mínimo común múltiplo El concepto de mínimo común múltiplo es dual del concepto de máximo común divisor. Definición. Un mínimo común múltiplo de dos enteros a 0y b 0es un entero m que cumpla: (1.) a m y b m, y (2.) si c es un entero tal que a c y b c, entonces m c. Ejemplos. El entero 24 es un mínimo común múltiplo de 12 y 8. También -24 es un mínimo común múltiplo de 12 y 8. Elentero6esunmínimo común múltiplo de 2 y -3. El entero -6 también es un mínimo común múltiplo de 2 y -3. Proposición (Unicidad). Si m y m son mínimos comunes múltiplos de dos enteros a 0y b 0, entonces m m. Demostración. Es trivial y se deja como ejercicio simple. Veamos que existe el mínimo común múltiplo de dos enteros a y b cualesquiera. Para ello usaremos la siguiente Proposición. La intersección I 1 I 2 de dos ideales I 1 e I 2 de Z es un ideal de Z. Demostración. Es trivial y se deja como ejercicio simple. Sean a y b enteros. La intersección (a) (b) de los ideales (a) y(b) es un ideal de Z, por tanto existe un entero m 0 tal que (a) (b) =(m). Veamos que m es un mínimo común múltiplo de a y b: como (m) (a), se tiene a m; como (m) (b), se tiene b m; si c es un entero tal que a c y b c, entonces (c) (a) y(c) (b);por tanto (c) (a) (b) =(m);de donde se concluye que m c. En consecuencia se puede enunciar el siguiente resultado. 12

13 Proposición. Sean a y b números enteros. Existe un mínimo común múltiplo de a y b. Un entero m es un mínimo común múltiplo de a y b si, y sólo si, (m) =(a) (b). [4] Números Primos Para todo entero a 0 se tienen las relaciones 1 a, 1 a, a a y a a; porque a =1a = a1 ya =( 1)( a) =( a)( 1). Los divisores 1, 1,a, a de un entero no nulo a se denominan divisores impropios, los demás (si los hay) se denominan divisores propios. Definición. Un entero mayor que 1 es primo si sus únicos divisores son impropios. Un entero mayor que 1 es compuesto si no es primo. Nótese que los conceptos de entero primo y de entero compuesto sólo se definen para enteros > 1. Un entero p>1 es primo si y sólo si sus únicos divisores positivos son 1 y p. Un entero a>1 es compuesto siysólo si posee divisores positivos distintos de 1ydea;esto es, si y sólo si existen enteros b, c > 1 tales que a = bc. Se pueden interpretar los primos como los elementos minimales en el conjunto ordenado (por la relación ) de los enteros mayores que 1. Ejemplos. Los enteros 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 1997, 1999 son primos. Los enteros 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 221, son compuestos. Los enteros 1, -1, -3, -6, -12 no son ni primos ni compuestos. Proposición. Todo entero n>1 posee, al menos, un divisor primo. Demostración. Suponer que hay algún entero mayor que 1 que no posea divisores primos. Sea m el menor entero m>1 que no posee divisores primos (aquí se usa la buena ordenación de los enteros positivos). Como m es un divisor de m y m no posee divisores primos, se sigue que m no es primo. Por tanto hay enteros a y b tales que m = ab, 1 <a<m, 1 <b<m Dado que a<m, se sigue que a tiene, al menos, un divisor primo (que puede ser el propio a);y todo divisor de a es divisor de m, con lo que m posee divisores primos. Esta contradicción proviene de suponer que hay algún entero mayor que 1 que no posea divisores primos. En consecuencia se cumple el enunciado de la proposición. Proposición. El conjunto de los números primos es infinito. Demostración. Se deja como ejercicio. [ Una forma de proceder: Suponer que el conjunto P de los primos es finito, digamos P = {p 1,p 2,...,p s }. Considerar el entero z = p 1 p 2...p s + 1. Probar que z posee un divisor primo que no está enp.] Definición. Una factorización de un entero es una expresión del entero dado como producto de factores. Ejemplo. Las expresiones 2 6, 3 4, 2 2 3, 2 3 2, 6 2 1, y 12 son distintas factorizaciones del entero

14 Teorema. (Existencia de una factorización en primos) Todo entero n 2 se puede factorizar en primos. Demostración. Por inducción sobre n. El entero 2 es primo, luego 2 es una factorización de 2 en primos. Suponer el teorema probado para todo entero m, 2 m n. Si n + 1 es primo, ya está. Si n +1 es compuesto, entonces tiene una factorización de la forma n +1=ab;donde 2 b<n+1y2 b<n+1. Por inducción, a y b se expresan como producto de primos, digamos a = p 1...p r y b = q 1...q s ;por tanto ab = p 1...p r.q 1...q s. Antes de estudiar la unicidad de la factorización en primos, veamos un lema que tiene interés independiente (este resultado ya fue probado previamente y con mayor generalidad dónde?): Lema. Si p es un primo y p ab, entonces p a ó p b. (Si un primo divide a un producto de dos factores, entonces divide al menos a uno de ellos). Demostración. Suponer que p ab y p a. Como p a y p es primo, el único divisor positivo común de a y p es 1;esto es, mcd(a, p) = 1. Luego existen enteros s y t tales que 1 = sa + tp;entonces b = sab + tpb;por hipótesis p ab, en consecuencia p b. Corolario. Sea p un primo. Si p a 1 a 2...a n, entonces p a i para algún i, 1 i n. Teorema. (Unicidad de la factorización en primos) Todo entero n 2 se expresa de modo esencialmente único como producto de primos. Precisamente, si n = p 1...p s = q 1...q t, (con p 1,...,p s,q 1,...,q t primos), entonces s = t y existe una reordenación de los q 1,...,q t tal que p 1 = q 1,...,p s = q s. Demostración. Por inducción sobre n. Para n = 2 la afirmación es trivialmente cierta (porque 2 es primo). Suponer el teorema probado para cualquier m, 2 m n. Sin+1 es primo, ya está. Si n+1 es compuesto, se puede expresar en producto de primos, digamos de dos formas: n +1=p 1 p 2...p s = q 1 q 2...q t, (s, t 2). Como p 1 n + 1, se tiene p 1 q 1 q 2...q t, luego p 1 q j para algún j, 1 j t. Reordenando los q j, podemos suponer que p 1 q 1. Como q 1 es primo, sólo posee un divisor > 1;luego p 1 = q 1. Dividiendo n +1 por p 1 (= q 1 ) queda n +1 = p 2...p s = q 2...q t. p 1 Ahora 2 n+1 p 1 n. Por hipótesis inductiva obtenemos s 1=t 1 (por tanto s = t) y, mediante una reordenación de q 2,...,q s, tenemos p 2 = q 2,...,p s = q s. Corolario. Todo entero n 2 posee una única descomposición en primos elevados a exponentes de la forma n = p e1 1 pe2 2...pes s, (e i 1), donde los p i son los distintos divisores primos de n. BIBLIOGRAFIA Childs, L., A Concrete Introduction to Higher Algebra. Springer (1.979). Páginas 19 a 36. Lipson, J. D., Elements of Algebra and Algebraic Computing. Páginas 46 a 50, y 203 a

15 Rosen, K. H., Elementary Number Theory and its Applications. ejercicios. Páginas 70 a 104, incluyendo algunos EJERCICIOS. 1. Probar que si a, b y c son enteros tales que a b y b c, entonces a c. 2. Mostrar que si a, b y c son enteros tales que c a y c b, entonces c (ma + nb) para todo m, n Z. 3. Si a y b son enteros no nulos tales que a b y b a, qué puedes concluir con respecto a a y b? 4. Existen enteros a, b y c tales que a bc, pero a b y a c? 5. Probar que si a, b y c son enteros, c 0, se tiene a b si y sólo si ac bc. 6. Probar que si a y b son enteros positivos y a b, entonces a b. 7. Demostrar que si a y b son enteros y a b, entonces an bn, para todo entero positivo n. 8. Probar que 3 (n 3 n) para todo entero n. 9. Probar que el producto de tres enteros consecutivos cualesquiera es múltiplo de Probar que 5 (n 5 n) para todo entero n. 11. Sean a y b enteros positivos;pongamos a = p e1 1 pe2 2...pen n y b = p f1 1 pf2 2...pfn n ;(e i,f i 0); donde p 1,p 2,...,p n son los distintos divisores primos de a ó b. Sean d = p d1 1 pd2 2...pdn n y m = p m1 1 pm2 2...p mn n con d i = min(e i,f i ) y m i =máx(e i,f i ), 1 i n. Probar que d = mcd(a, b) ym = mcm(a, b). 12. Probar que 2 es irracional. 13. (Generalización del ejercicio anterior) Sea r una raíz (esto es, un cero) de un polinomio mónico x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 con coeficientes enteros y a 0 0. Probar que r es entero o irracional. 14. Para cada entero positivo n sea f n el correspondiente término de la sucesión de Fibonacci. (i) Probar que f n+1 f n 1 f 2 n =( 1) n ; (ii) Como consecuencia de (i) calcular mcd(f n,f n+1 ). 15. Sea E(a, b) elnúmero de divisiones necesarias para calcular el máximo común divisor de los enteros a y b (a > b) utilizando el algoritmo de Euclides. (i) Calcular E(21, 13), nótese que 13 y 21 son términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci. (ii) Calcular E(f n+1,f n ); (iii) Sea b un entero b<f n+1. Probar que E(a, b) E(f n+1,f n ) para cualquier a>b. 15

16 16. Sean a, b y c enteros, a 0ó b 0;pongamos d = mcd(a, b). Probar: (i) mcd(a/d, b/d) =1; (ii) mcd(a, b) = mcd(a + bc, b). 17. Sea n un entero positivo. (i) Cómo podrías definir el máximo común divisor, mcd(a 1,a 2,...,a n 1,a n ), de n enteros no todos nulos: a 1,a 2,...,a n 1,a n?. (ii) Demuestra que mcd(a 1,a 2,...,a n 1,a n ) = mcd(a 1,a 2,...,mcd(a n 1,a n )). (iii) Encontrar tres enteros a 1,a 2,a 3 tales que mcd(a 1,a 2,a 3 ) = 1 pero dos a dos no sean primos entre sí. 16