Introducción a la enseñanza de: Matemáticas

Transcripción

1 Distribución gratuita Introducción a la enseñanza de las matemáticas Programa y materiales de apoyo para el estudio Licenciatura en Educación Secundaria Programa para la Transformación y el Fortalecimiento Académicos de las Escuelas Normales Introducción a la enseñanza de: Matemáticas Prohibida su venta de apoyo para el estudio Programa y materiales o semestre

2 Introducción a la Enseñanza de: Matemáticas Programa y materiales de apoyo para el estudio Licenciatura en Educación Secundaria Segundo semestre Programa para la Transformación y el Fortalecimiento Académicos de las Escuelas Normales México, 2001

3 Introducción a la Enseñanza de: Matemáticas. Programa y materiales de apoyo para el estudio. Licenciatura en Educación Secundaria. 2 o semestre fue elaborado por el personal académico de la Subsecretaría de Educación Básica y Normal de la Secretaría de Educación Pública. La SEP agradece la participación de los profesores de las escuelas normales en el diseño del programa y en la selección de los materiales. Coordinación editorial Esteban Manteca Aguirre Diseño Dirección Editorial de la DGMyME, SEP Formación Lourdes Salas Alexander Primera edición, 2000 Segunda edición, 2001 Primera reimpresión, 2001 D. R. Secretaría de Educación Pública, 2000 Argentina 28 Centro, C. P México, D. F. ISBN Impreso en México DISTRIBUCIÓN GRATUITA-PROHIBIDA SU VENTA

4 Índice Presentación 5 Introducción a la Enseñanza de: Matemáticas Programa 9 Introducción 9 Organización de los contenidos 9 Orientaciones didácticas 10 Propósitos generales 10 Bloques temáticos 11 Bloque I. Por qué y para qué estudiar matemáticas en secundaria? 11 Bloque II. Qué enseñar? 13 Bloque III. Primeras consideraciones didácticas 15 Materiales de apoyo para el estudio Bloque I. Por qué y para qué estudiar matemáticas en secundaria? Nuevo curriculum de matemáticas en el nivel básico Hugo Balbuena Corro 21 Bloque III. Primeras consideraciones didácticas Organización de las interacciones de los alumnos entre sí y con el maestro C. Parra, I. Saiz y P. Sadovsky 31 Cambian los problemas, cambian los procedimientos de solución Claudia Broitman 38

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6 Presentación La Secretaría de Educación Pública, en coordinación con las autoridades educativas estatales, ha puesto en marcha el Programa para la Transformación y el Fortalecimiento Académicos de las Escuelas Normales. Una de las acciones de este programa es la aplicación de un nuevo Plan de Estudios para la Licenciatura en Educación Secundaria, que se inicia en el ciclo escolar Este cuaderno está integrado por dos partes: el programa y los textos que constituyen los materiales de apoyo para el estudio de la asignatura; estos últimos son recursos básicos para el análisis de los temas y se incluyen en este cuaderno debido a que no se encuentran en las bibliotecas o son de difícil acceso para estudiantes y maestros. Otros textos cuya consulta también es fundamental en el desarrollo del curso y que no están incluidos en este volumen son los propuestos en el apartado de bibliografía básica. Para ampliar la información sobre temas específicos en cada bloque se sugiere la revisión de algunas fuentes citadas en la bibliografía complementaria. Las obras incluidas en estos dos apartados están disponibles en las bibliotecas de las escuelas normales. Es importante que los maestros y los estudiantes sean usuarios constantes de estos servicios, con la finalidad de alcanzar los propósitos del curso. Este cuaderno se distribuye en forma gratuita a los profesores que atienden las asignaturas y a los estudiantes que cursan el segundo semestre de la Licenciatura en Educación Secundaria. Es importante conocer los resultados de las experiencias de trabajo de maestros y alumnos, ya que sus opiniones y sugerencias serán revisadas con atención y consideradas para mejorar este material. La Secretaría de Educación Pública confía en que este documento, así como las obras que integran el acervo de las bibliotecas de las escuelas normales del país, contribuyan a la formación de los futuros maestros que México requiere. Secretaría de Educación Pública

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8 Introducción a la Enseñanza de: Matemáticas Horas/semana: 4 Créditos: 7.0

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10 Programa Introducción Seguramente existen múltiples razones por las cuales los estudiantes normalistas han decidido estudiar la especialidad de matemáticas, tal vez porque a lo largo de su formación han visto que cuentan con ciertas habilidades en esta asignatura, o porque en algún ciclo educativo se encontraron con un profesor que les despertó el interés por ellas; quizá porque piensan que ser profesor de matemáticas equivale a vencer un reto adicional, pues suponen que al estudiar esta asignatura hay mayor campo de trabajo, o bien, tienen interés en resolver los múltiples obstáculos que, como se sabe, enfrentan los alumnos de secundaria en esta materia. Cualquiera que sea la razón, es necesario que en este curso introductorio los estudiantes normalistas aprecien con suficiente claridad lo que significa estudiar, enseñar y aprender matemáticas, con base en un enfoque didáctico que asigna al alumno la tarea de estudiar y al profesor la responsabilidad de dirigir el estudio, ambos con miras a lograr aprendizajes significativos. Dado que uno de los aspectos centrales para la formación de los futuros profesores de matemáticas es la vinculación entre el conocimiento de la disciplina y su didáctica, este curso introductorio sienta las bases para lograr dicho propósito. Es por ello que el estudio de las matemáticas se analiza desde varios puntos de vista: de la sociedad, del curriculum, de la teoría didáctica y de la propia disciplina. Organización de los contenidos Los contenidos del programa se organizan en tres bloques temáticos. El primero centra la atención en el valor social que adquiere el alumno de nivel básico al estudiar matemáticas, se analizan las relaciones entre el estudio, la enseñanza, el aprendizaje y el uso de las matemáticas y se ejemplifican las habilidades que se pretende desarrollar en la educación primaria y secundaria. En el segundo bloque se revisan la estructura y algunos temas fundamentales de los programas de matemáticas de secundaria, a la vez que se analizan los materiales de apoyo con que cuentan los profesores de matemáticas, con la idea de reconocer las características de las situaciones de estudio que pueden proponerse a los alumnos de secundaria. En el tercer bloque se sientan las bases de la teoría didáctica para orientar el estudio, la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Dado que es muy difícil comprender el porqué, el qué y el cómo del estudio de las matemáticas sólo mediante la lectura o la plática sobre estos aspectos, en los tres 9

11 bloques se propone que los estudiantes resuelvan algunos problemas para que con base en su propia experiencia puedan entender mejor el reto que enfrenta un profesor de matemáticas. Orientaciones didácticas Se sugiere desarrollar el curso en forma de taller, distribuyendo las actividades en sesiones de dos horas cada una. En general, cuando se trata de leer algún artículo se recomienda tanto la lectura individual como la revisión del material en equipos, con el fin de resaltar los aspectos principales que se tratan y confrontar posibles diferencias en la interpretación. Con estos antecedentes el profesor puede organizar un trabajo colectivo tendiente a socializar los aspectos relevantes, vincularlos con el contexto propio de los estudiantes y profundizar en los casos en que sea necesario. En la sección de actividades sugeridas hay algunos ejemplos de cómo puede organizarse el trabajo colectivo. Se recomienda que los estudiantes destinen un cuaderno de notas a este curso, para que en cada sesión registren los asuntos fundamentales que se trataron y las conclusiones a que llegaron. Este cuaderno puede aportar información al profesor con fines de evaluación y servir como material de consulta cuando los alumnos tengan que realizar prácticas en los próximos semestres. En las actividades donde se sugiere resolver problemas es fundamental que la búsqueda de procedimientos de solución recaiga en los alumnos y que el profesor trate de organizar las puestas en común de la manera más adecuada posible. Para esto puede apoyarse en el documento 2 de los materiales de apoyo para el estudio.* Seguramente algunas actividades requerirán más de una sesión para llevarse a cabo. Propósitos generales Al término del estudio de los contenidos de este programa se espera que los estudiantes normalistas: 1. Comprendan aspectos fundamentales de la actividad matemática, tales como aplicar los conocimientos que se tienen, aprender y enseñar matemáticas, generar nuevos problemas y formas de solución. 2. Conozcan los contenidos básicos de matemáticas que se imparten en secundaria y analicen la continuidad con los conocimientos obtenidos en primaria. * C. Parra, I. Saiz y P. Sadovsky, Organización de las interacciones de los alumnos entre sí y con el maestro, en Matemática y su enseñanza, documento curricular PTFD, Argentina,

12 3. Conozcan las ventajas y desventajas de diferentes estilos docentes, así como sus repercusiones en relación con los conocimientos, habilidades y actitudes que pueden lograr los alumnos de educación secundaria. Bloques temáticos Bloque I. Por qué y para qué estudiar matemáticas en secundaria? Temas 1. Las matemáticas en la sociedad y en la escuela. 2. Conocimientos, habilidades y actitudes que subyacen al estudio de las matemáticas en la educación primaria y secundaria. Bibliografía básica Balbuena, H. (1998), Nuevo curriculum de matemáticas en el nivel básico, ponencia presentada en el foro Las Matemáticas en México: educación y desarrollo, Cocoyoc, Morelos, diciembre. Chevallard, Yves et al. (1997), Hacer y estudiar matemáticas. Las matemáticas en la sociedad, en Estudiar matemáticas. El eslabón perdido entre la enseñanza y el aprendizaje, México, SEP (Biblioteca del normalista), pp SEP (1994), Libro para el maestro. Matemáticas. Educación secundaria, México. SEP (1993), Plan y programas de estudio. Educación secundaria, México, pp Actividades sugeridas 1. En trabajo colectivo el profesor planteará la siguiente pregunta: cuáles son sus propósitos al estudiar la especialidad de matemáticas? Mientras los estudiantes responden a la pregunta, el profesor anotará en el pizarrón los aspectos relevantes, por ejemplo: enseñar mejor, aprender más matemáticas, etcétera. Una vez que se agoten las opiniones, los estudiantes leerán individualmente las páginas 13 a 26 del libro de Chevallard y al término de la lectura analizarán nuevamente la pregunta planteada al principio. El profesor puede agregar las siguientes preguntas y consignas: Qué implicaciones tiene el hecho de considerar que se inicia un proyecto de estudio en vez de simplemente un proceso de interacción entre enseñanza y aprendizaje? Comenten brevemente en qué consiste la experiencia de la tienda de matemáticas. A qué se refiere la enfermedad didáctica, según el texto? 11

13 Comenten alguna experiencia en la que hayan tenido que resolverle a alguien un problema de matemáticas fuera de la escuela. Individualmente, escriban un texto en el que expresen lo que les pareció más importante de la sesión. Se sugiere que algunos alumnos lean el texto que escribieron y hagan comentarios para lograr cada vez mayor claridad. 2. En trabajo colectivo el profesor planteará la siguiente pregunta: qué significa ser matemático? A medida que los estudiantes expresan sus opiniones, el profesor anotará en el pizarrón los aspectos relevantes. Después, organizados en parejas, leerán las páginas 26 a 33 del texto de Chevallard, de manera que uno asuma el papel de estudiante y el otro de profesor o profesora. Al término de la lectura el profesor organizará una discusión con base en las siguientes preguntas: En qué sentido el profesor hace el papel de matemático ante sus alumnos? En qué sentido los alumnos hacen el papel de matemáticos ante el profesor o ante otros compañeros? Registrar en su cuaderno de notas lo que cada uno considere más importante, con base en las ideas previas, la lectura y la discusión. 3. En trabajo colectivo el profesor planteará la siguiente pregunta: por qué es importante estudiar matemáticas en la escuela secundaria? A medida que los estudiantes expresen sus opiniones el profesor anotará en el pizarrón las ideas relevantes. Después, individualmente se leerán las páginas 33 a 37 del libro de Chevallard, así como las páginas 9 a 15 del plan y programas de estudio de secundaria y la página 11 del Libro para el maestro. Matemáticas. Educación secundaria. Al terminar, se organizará una discusión con base en las siguientes preguntas: Cuál es la principal finalidad de estudiar, enseñar y aprender matemáticas? Por qué es importante que los alumnos del nivel básico estudien matemáticas en la escuela? Qué relación existe entre el valor social (mencionado en el texto de Chevallard) de la persona que conoce, y las necesidades básicas de aprendizaje a que se hace referencia en el plan y programas de estudio? Individualmente registrarán en un texto los puntos de coincidencia de los tres materiales leídos, así como las discrepancias, si las hay. Algunos alumnos leerán su trabajo ante el grupo para comentarlo entre todos. 4. El maestro organizará al grupo en equipos y les planteará cuatro de los problemas que aparecen en el texto Nuevo curriculum de matemáticas en el nivel básico. Después de resolver los problemas, en forma colectiva revisarán los procedimientos y resultados. A continuación, el maestro comentará que uno de los propósitos fundamentales del nuevo curriculum de matemáticas para el nivel básico es el desarrollo de habilidades, tales como: estimar, medir, operar, inferir, comunicar, generalizar, imaginar y deducir. Aunque, en general, la resolución de un problema implica más de una habilidad, con 12

14 cuál o cuáles de ellas se relaciona más cada uno de los problemas que resolvieron y por qué? Una vez que los equipos establezcan la relación, el profesor organizará una puesta en común procurando que en cada caso se formulen otros problemas similares. Los alumnos leerán por separado el texto mencionado y después se organizará una discusión para confrontar sus propios puntos de vista con los del texto leído. 5. Organizados en equipos, los alumnos analizarán y contestarán por escrito: Qué se entiende por proceso enseñanza/aprendizaje? Puede haber enseñanza sin aprendizaje? Puede haber aprendizaje sin enseñanza? Cómo se puede aprender sin que haya de por medio una enseñanza? Cómo se imaginan un proceso didáctico fuera de la escuela? Puede haber aprendizaje sin enseñanza y sin estudio? Dar algunos ejemplos. Qué entienden por didáctica de las matemáticas? Cuando la mayoría de los equipos termine, se organizará una puesta en común para ver las similitudes y las diferencias de los puntos de vista expresados. Individualmente leerán las páginas 37 a 45 del texto de Chevallard para confrontar sus puntos de vista con los del autor. Después escribirán un texto en el que contrastarán sus ideas originales con las que resultaron de las preguntas. Bloque II. Qué enseñar? 1. Los contenidos básicos de matemáticas en la educación secundaria. 2. Situaciones para el estudio de las matemáticas en la educación secundaria. 3. La secuencia y organización de los contenidos. 4. Los materiales de apoyo para los profesores de matemáticas. Bibliografía básica SEP (1999), Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Educación secundaria, México. (1994), Libro para el maestro. Matemáticas. Educación secundaria, México. (1993), Plan y programas de estudio. Educación primaria, México. (1993), Plan y programas de estudio. Educación secundaria, México. (1994), Secuencia y organización de contenidos. Matemáticas. Educación secundaria, México. Libros de texto de matemáticas para la educación secundaria de primero, segundo y tercer grados, autorizados por la SEP. Actividades sugeridas 1. Se organizará al grupo en cinco equipos y se planteará la siguiente tarea: analizar, en los respectivos planes y programas de estudio para la educación primaria y secunda- 13

15 ria, los siguientes temas: fracciones, medición de superficies, simetría, interpretación y elaboración de gráficas y proporción directa, atendiendo a los siguientes aspectos: De dónde se parte y hasta dónde se llega? Tipos de problemas que se esperaría pudieran resolver los alumnos que terminan la educación secundaria. Vínculos que se pueden establecer con los contenidos de otras asignaturas. Cada equipo se hará cargo de un tema. Contarán con el tiempo suficiente para el análisis y, posteriormente, expondrán su trabajo al resto del grupo. 2. Para realizar esta actividad es necesario contar por lo menos con una colección de los libros de texto de matemáticas autorizados por la SEP para su uso en los tres grados de secundaria. Se organizará al grupo en equipos según el número de libros de texto disponibles. Se asignará un libro a cada equipo y se planteará la siguiente tarea: cada equipo elegirá un tema de estudio y analizará cómo se desarrolla en el texto, apoyándose en las siguientes preguntas: En qué medida se favorece la reflexión de los alumnos con los problemas planteados? Qué tipo de información se proporciona a los alumnos? Cuál es la estructura general de las lecciones? Finalmente, cada equipo presentará al resto del grupo el resultado de su análisis. 3. El profesor organizará al grupo en equipos y les planteará el problema 1 de la página 100 del Libro para el maestro. Matemáticas. Educación secundaria. Se organizará una confrontación para poner en claro los procedimientos utilizados. Después, el maestro pedirá que la mitad de los equipos proponga un problema similar pero más difícil y el resto de los equipos elabore uno más fácil. Se analizarán algunos problemas para ver hasta dónde se logró dicho propósito. Finalmente, el maestro invitará a los alumnos a tratar de resolver otros problemas de este libro en su tiempo libre. 4. El profesor organizará al grupo en equipos y les planteará el primer problema del tema 6, segundo grado, Las ventanas del calendario, del Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Educación secundaria. Cuando los equipos terminen se organizará una confrontación de resultados y se continuará de la misma manera con los siguientes problemas. Después de resolver todos los problemas de la ficha se hará un análisis general apoyándose en las siguientes preguntas: Qué contenidos matemáticos se pusieron en juego? A qué temas del programa corresponden? Qué diferencias hay entre los dos primeros problemas? Y entre los dos últimos? Consideran que esta actividad permite entrar en el estudio de algún tema en particular? Cuál? Finalmente, se leerá y comentará la introducción del fichero para que los alumnos conozcan su estructura y contenido. 14

16 5. Organizados en equipos leerán la introducción de la secuencia y organización de contenidos, analizarán sus características y algunas formas en que este material de apoyo puede ser usado por los profesores. Con base en las actividades anteriores, en las que se analizaron actividades para el estudio de las matemáticas, los alumnos tratarán de vincular la secuencia y organización de contenidos con problemas o actividades que consideren adecuados. Por ejemplo, si un equipo eligió el tema de fracciones en primer grado, le corresponderá revisar su desarrollo en la secuencia y organización de contenidos y buscar en el fichero de actividades didácticas, el libro para el maestro o los libros de texto las situaciones que corresponden a esos contenidos. La información puede concentrarse en una tabla como la siguiente: Tema: Fracciones Secuencia de contenidos Lecciones o problemas del libro para el maestro Revisión de los usos y significados de las Problemas 1, 2, 3 y 6 (pp del libro fracciones en distintos contextos; para el maestro). aplicaciones y problemas diversos. Expresión decimal de una fracción (exacta o aproximada) y como porcentaje. Acotación del valor de una fracción entre dos decimales. Por ejemplo... Bloque III. Primeras consideraciones didácticas 1. Los estilos docentes y sus consecuencias en los aprendizajes que logran los alumnos. 2. Las variables didácticas que hacen evolucionar los conocimientos previos. 3. La didáctica de las matemáticas como ciencia de estudio. 4. La puesta en común en la clase de matemáticas. 5. El plan de clase como herramienta de trabajo. Bibliografía básica Broitman, Claudia (1999), Cambian los problemas, cambian los procedimientos de solución, en Las operaciones en el primer ciclo, Buenos Aires, Ediciones Novedades Educativas, pp Chevallard, Yves et al. (1997), Matemáticas, alumnos y profesores. Las matemáticas en el aula, en Estudiar matemáticas. El eslabón perdido entre la enseñanza y el aprendizaje, México, SEP (Biblioteca del normalista), pp

17 Parra, C., I. Saiz y P. Sadovsky (1994), Organización de las interacciones de los alumnos entre sí y con el maestro, en Matemática y su enseñanza, documento curricular PTFD, Argentina. SEP (1994), Libro para el maestro. Matemáticas. Educación secundaria, México. Actividades sugeridas 1. Organizados en equipos, los alumnos resolverán los siguientes problemas: El precio neto de un traje es de $500.00, cuál es su precio bruto si se vende con 15% de IVA? Un comerciante obtuvo $ de ingresos brutos anuales. Cuánto tiene que pagar de IVA (15%) y cuánto obtuvo de ingresos netos? Un comerciante ha vendido un artículo en $ con el IVA incluido (15%). Cuál es el precio neto del artículo y cuánto le debe a Hacienda por concepto de IVA? La cuenta de un restaurante, incluyendo el IVA fue de $ A esta cantidad hay que agregar la propina, que es de 10% sobre el costo neto. Cuánto hay que pagar en total? Un comerciante compra un artículo en $ y quiere venderlo a un precio que le permita ganar 80% sobre el precio de venta. A qué precio debe vender el artículo y cuánto es la ganancia? Después de resolver los problemas, se organizará una confrontación para dejar en claro los procedimientos utilizados. En particular, se analizará si algún equipo logró encontrar un procedimiento general para resolver los cinco problemas. 2. En un proceso de estudio escolar intervienen tres factores fundamentales: el tipo de problemas que se utilizan para que los alumnos logren entrar en el tema que se quiere estudiar; el dominio de los estilos docentes por parte del profesor para poner en marcha la situación; y la manera en que actúan conjuntamente el profesor y los alumnos, lo que suele llamarse el contrato didáctico. Individualmente, leerán las páginas 151 a 159 del texto de Chevallard. Al término de la lectura organizarán una discusión con base en las siguientes preguntas: Cuál es su opinión acerca del estilo o técnica docente utilizada por la maestra Marta? Qué diferencias hay entre el estilo docente utilizado por la maestra Marta y el que se usó al resolver los problemas de la actividad uno? Consideran que los problemas planteados por la maestra Marta permiten entrar al estudio de algún contenido matemático? Cuál? Individualmente, cada alumno elaborará un texto con las conclusiones que se deriven de la discusión. 16

18 3. Organizados en equipos leerán y comentarán el texto de Claudia Broitman. Después, el profesor planteará la siguiente tarea: cada equipo elige un problema del Libro para el maestro. Matemáticas. Educación secundaria y lo modifica con base en alguna de las variables didácticas que se explican en el texto leído (tamaño o tipo de números, orden de presentación de las informaciones, etcétera). Analizarán el nivel de dificultad de ambos problemas para establecer cuál es mayor y por qué. Finalmente, cada equipo explicará al grupo el resultado de su análisis. 4. Elaboración y puesta en práctica de un plan de clase. Para la realización de esta actividad el maestro organizará al grupo en cinco equipos, asignando a cada uno alguna de las áreas en las que se agrupan los contenidos matemáticos de secundaria (aritmética, álgebra, geometría, presentación y tratamiento de la información, probabilidad). Cada equipo elegirá, en la secuencia y organización de contenidos, un tema del área que le corresponde y elaborará un plan de clase para llevarlo a cabo en el grupo. Una vez que todos los equipos elaboren su plan de clase, con la asesoría del profesor, harán una lectura comentada del segundo documento que aparece en los materiales de apoyo para el estudio. Después, programarán la participación de los equipos para que cada sesión de clase dure aproximadamente una hora. Si no hay tiempo suficiente para que participen todos los equipos, harán un sorteo para elegir uno o más equipos. Al final de cada presentación se dedicará un tiempo para hacer observaciones y sugerencias con el fin de mejorar el trabajo realizado, procurando vincular esta actividad con lo que se ha estudiado en el curso, particularmente, lo relativo a los retos de ser maestro. A continuación se describen los aspectos que puede contener el plan de clase y en la página siguiente se muestra un plan elaborado que puede servir como ejemplo. Datos generales: escuela, grado y fecha. Tema: contenido matemático que se quiere estudiar, puede ser tomado de la secuencia y organización de contenidos. Propósito: herramientas matemáticas que se espera sean utilizadas para resolver la situación planteada. Consigna: el planteamiento textual de la situación (pueden elegir alguna situación didáctica del fichero, del libro para el maestro, de algún libro de texto autorizado o inventar una). En los tres primeros casos basta con dar la referencia. Por ejemplo, resolver el problema 1, ficha 6, del Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Educación secundaria. Confrontación: describir en qué se pondrá el acento una vez que los alumnos resuelven el problema: enfocar la atención en algún procedimiento, socializar varios procedimientos, etcétera (ver documento 2 de los materiales de apoyo para el estudio). Evaluación de la situación didáctica: una vez concluida la sesión de clase, se hará una valoración somera del interés que provocó la situación y en qué nivel se cubrió el propósito establecido. 17

19 Un ejemplo de plan de clase Escuela: Secundaria Federal Benito Juárez Grado: 1 Fecha: 15 de marzo de 2000 Tema: la noción de razón entre dos cantidades y su expresión por medio de un cociente. Propósito: que utilicen las fracciones para expresar la razón entre dos cantidades. Consigna: resolver el problema 1, ficha 13, del Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Educación secundaria. El problema se plantea de la siguiente manera: un albañil sabe que con cuatro botes de arena y cinco botes de grava puede hacer una buena mezcla. Cuántos botes de arena necesita para tener 27 botes de mezcla? Confrontación: Después de socializar los procedimientos diferentes que surjan, se plantearán las siguientes preguntas para fijar la atención en el uso de las fracciones: Aproximadamente cuántos botes de mezcla se hacen con cuatro botes de arena y cinco de grava? De ese total de botes de mezcla, qué parte es arena? Consideran que la fracción de arena o de grava debe conservarse en cualquier cantidad de botes de mezcla? Por qué? Cómo se puede calcular 4/9 de 27? Evaluación de la situación didáctica: (En este caso es hipotética.) El nivel de dificultad del problema resultó adecuado. Se usaron dos procedimientos correctos para resolverlo: relacionando las cantidades de botes de mezcla, 27 es tres veces nueve y por lo tanto la cantidad de arena debe aumentar tres veces. En 9 botes de mezcla hay 4/9 de arena, 4/9 de 27 es 12. Conviene continuar con el problema para fortalecer el uso de las fracciones. 18