MODELO DE FLUJO ÓPTIMO DE POTENCIA UTILIZANDO TECNICAS DE OPTIMIZACIÓN FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA INGENIERO ELECTRICISTA

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1 UNIVERSIDAD CENTROAMERICANA JOSÉ SIMEÓN CAÑAS MODELO DE FLUJO ÓPTIMO DE POTENCIA UTILIZANDO TECNICAS DE OPTIMIZACIÓN TRABAJO DE GRADUACIÓN PREPARADO PARA LA FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA PARA OPTAR AL GRADO DE INGENIERO ELECTRICISTA POR: JULIO CÉSAR FERNÁNDEZ GONZÁLEZ EVER ESMITH FUENTES LÓPEZ OCTUBRE 2011 ANTIGUO CUSCATLÁN, EL SALVADOR, C.A.

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3 RECTOR ANDREU OLIVA DE LA ESPERANZA, S.J. SECRETARIA GENERAL CELINA PÉREZ RIVERA DECANO DE LA FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA CARLOS GONZALO CAÑAS GUTIÉRREZ COORDINADOR DE LA CARRERA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA OSCAR ANTONIO VALENCIA MONTERROSA DIRECTOR DEL TRABAJO RIGOBERTO CONTRERAS VÁSQUEZ LECTOR DAVID ADONAY MURCIA ANDRADE

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5 RESUMEN EJECUTIVO Hoy en día, la electricidad es, sin lugar a dudas, el principal motor que impulsa las actividades en cualquier país y permite su desarrollo. Un sistema eléctrico de potencia (SEP), es el conjunto de centrales generadoras, de líneas de transmisión interconectadas mediante centros de transformación (subestaciones) y redes de distribución esenciales para el suministro de energía eléctrica. Todos los sistemas de potencia deben estar diseñados para adaptarse a sus usuarios respetando varios criterios de calidad en el servicio. Estos criterios se refieren a los valores mínimo y máximo de la tensión en los puntos de entrega, la frecuencia de máxima excursión en el valor nominal, etc. El problema de flujo de potencia es calcular la magnitud del voltaje y el ángulo de fase en cada bus de un sistema de potencia en condiciones de estado estable trifásico. Como subproducto de este cálculo, se pueden calcular flujos de potencia real y reactiva en equipo como líneas de transmisión y transformadores, así como pérdidas de equipo. El punto de partida para un problema de flujo de potencia es un diagrama unifilar del sistema de potencia, a partir del cual se pueden obtener los datos de entrada para las soluciones por computadora. Es de tener en cuenta que no solo importa la solución de flujos de potencia para la satisfacción de la demanda, también es muy importante el aspecto económico, por lo cual en este trabajo de graduación también se enfatizara en la resolución de flujos de potencia óptimo. Su principal objetivo es optimizar las condiciones de operación en estado estacionario de un sistema eléctrico de potencia. Un OPF ajusta las cantidades controlables para optimizar una función objetivo mientras satisface un conjunto de restricciones operativas. Una función objetivo puede incorporar aspectos económicos, de seguridad o medioambientales, que se resuelve utilizando técnicas de optimización adecuadas. Las restricciones son leyes físicas que gobiernan a los generadores, el sistema de transmisión, límites constructivos de los equipos eléctricos y estrategias operativas. i

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7 ÍNDICE RESUMEN EJECUTIVO... i ÍNDICE DE FIGURAS... v PRÓLOGO... vii CAPITULO 1. MODELADO DE LOS ELEMENTOS DEL SISTEMA DE POTENCIA Modelado de líneas de transmision CIircuitos equivalentes de líneas de transmision Modelado de los transformadores Circuitos equivalentes por unidad de transformadores trifásicos balanceados de dos devanados Transformadores de tres devanados... 7 CAPITULO 2. FLUJOS DE POTENCIA Introduccion Metodo de Newton-Raphson El problema de flujo de potencia Solucion de flujos de potencia por el método de Newton-Raphson CAPITULO 3. PROGRAMA DE FLUJOS DE POTENCIA Mosulos de programación en PYTHON Modulo de Carga Modulo de ybus Modulo Newton Modulo fpotencia Modulo salida Ejemplo de flujo de potencia Flujo de potencia en un sistema de catorce nodos CAPITULO 4. FLUJO ÓPTIMO DE POTENCIA Introduccion El problema de flujo optimo de potencia Formulacion general Variables Funcion objetivo Restricciones de igualdad Restricciones de desigualdad Casos de flujo optimo de potencia (OPF) iii

8 4.3.1 OPF de un sistema de dos nodos y modelado AC: sin restricciones de desigualdad. Por método de Newton-Raphson OPF de un sistema multimodal y modelado DC: sin restricciones de desigualdad. Por método de Newton-Raphson CAPITULO 5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES Conclusiones Recomendaciones BIBLIOGRAFIA ANEXOS ANEXO A. PROGRAMA DE FLUJOS DE POTENCIA ANEXO B. PROGRAMA DE FLUJO OPTIMO DEPOTENCIA (OPF) MODELO AC ANEXO C. PROGRAMA DE FLUJO OPTIMO DE POTENCIA (OPF) MODELO DC iv

9 INDICE DE FIGURAS Figura 1.1 Modelo línea corta... 1 Figura 1.2 Modelo línea media... 1 Figura 1.3 Modelo línea larga... 2 Figura 1.4 Modelo nominal... 2 Figura 1.5 Modelo equivalente... 4 Figura 1.6 (a) Transformador Ideal Estrella-Estrella... 6 Figura 1.7 Modelos de transformadores... 7 Figura 2.1 Representación grafica Figura 2.2 Variables del bus Figura 2.3 Bus típico de un sistema de potencia Figura 3.1 Diagrama unifilar (impedancias en pu, en 100MVA base) Figura 3.2 Diagrama de Flujo de Potencia Figura 3.3 Sistema de 14 Buses Figura 3.4 Interfaz del programa Figura 4.1 Variables de control y de estado Figura 4.2 Diagrama unifilar de sistema de dos nodos Figura 4.3 Hessiano sistema de dos nodos Figura 4.4 Diagrama Unifilar con flujos en las líneas y costos marginales AC Figura 4.5 Diagrama Unifilar de sistema de cuatro nodos Figura 4.6 Hessiano sistema de cuatro buses Figura 4.7 Diagrama Unifilar con flujos en las líneas y sus costos marginales DC v

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11 PRÓLOGO El objetivo principal de este trabajo es el diseñar un programa que sea capaz de solucionar el problema de flujo de carga para cualquier sistema eléctrico de potencia que se desee analizar. Así como implementar un programa capaz de resolver problemas de flujo óptimo de potencia. En base a esto se tiene que tener en cuenta que: Para la aplicación de cualquier método para la solución de un flujo de carga, requiere un conocimiento detallado de los elementos que componen un sistema de potencia. En este sentido el capitulo 1 presenta una revisión a los componentes o elementos que se tomaran en cuenta para el análisis del flujo de potencia, presentando como se modela cada uno de estos componentes. En el capitulo 2, se presenta el método de solución para el flujo de carga, detallando el método de una forma general y grafica para la comprensión de este. Se plantea también el problema del flujo de potencia el cual es calcular la magnitud del voltaje y el ángulo de fase en cada uno de los buses del sistema. Al final del capitulo se presenta la solución del flujo de potencia por el método de Newton-Raphson. A lo largo del capitulo 3 se elabora el programa para la solución del flujo de potencia, así como los módulos que conforman este programa detallando cada uno de estos. También se presenta un problema sencillo de un sistema de 3 nodos al cual se le aplica el programa elaborado para la solución de este. Además se resuelve un sistema de potencia compuesto por 14 nodos presentando sus resultados y comparándolos con otro programa. En el capitulo 4 y ultimo, se define lo que es un flujo optimo de potencia, así como el problema de flujo optimo de potencia. Se presenta su formulación general, variables y sus restricciones, por último se resuelve 2 sistemas de potencia, uno modelando AC y el otro modelado DC el cual se procederá a realizar un programa de forma general para el modelo DC. vii

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13 CAPITULO 1. MODELADO DE LOS ELEMENTOS DEL SISTEMA DE POTENCIA Se detallaran los diferentes elementos del sistema de potencia que se tomaran en cuenta para el análisis del flujo de potencia, por lo cual se explicaran los distintos modelos de cada uno de estos elementos. 1.1 Modelado de líneas de transmision Las líneas de transmisión pueden clasificarse en: cortas medianas y largas, y en base a eso se obtiene un modelo matemático que debe ser tomado en cuenta al momento de la simulación de flujos de potencia. Líneas Cortas: El circuito de la figura 1.1 representa una línea de transmisión corta, por lo común aplicadas a líneas con menos de 80 km de largo y a 60 Hz. Además para este caso la admitancia en derivación se desprecia. Figura 1.1 Modelo línea corta Líneas Medianas: Para las líneas de longitud media, que por lo general varían de 80 a 250 km, a 60 Hz, es frecuente concentrar la capacitancia total en derivación y situar la mitad en cada extremo de la línea. En la figura 1.2 se muestra el circuito equivalente para este tipo de línea. Figura 1.2 Modelo línea media Líneas Largas: Las líneas a 60 Hz, con una longitud mayor a 240 km, son consideradas como largas. Para este tipo de línea debe considerarse el hecho de que los parámetros de la línea no están agrupados sino distribuidos uniformemente a lo largo de la línea. El circuito de la figura 1.3 muestra una sección de línea. 1

14 Figura 1.3 Modelo línea larga CIircuitos equivalentes de líneas de transmision CIRCUITO NOMINAL A continuación se presenta el modelaje del circuito equivalente de una línea de transmisión Figura 1.4 Modelo nominal Por KCL la corriente en la impedancia en serie es designado por la es: Ec.1.1 La corriente en el extremo receptor es: Ec.1.2 Por LVK el voltaje en el extremo transmisor es: Ec.1.3 Donde: Ec.1.4 Por tanto, si es la tensión en el extremo emisor y la tensión en el extremo receptor, se tiene las siguientes relaciones: Ec.1.5 La corriente en el extremo del transmisor será: 2

15 Ec.1.6 Sustituyendo en se tiene: Ec.1.7 Donde: Ec.1.8 Ec.1.9 Ec.1.10 A las constantes ABCD se les llama constantes generalizadas de circuito de la línea de transmisión. En general, son números complejos, A y D son adimensionales e iguales entre sí, si la línea es la misma cuando se ve desde cada terminal. Las dimensiones de B y C son los ohmios y los mhos o siemens, respectivamente. Las constantes se aplican a cualquier red lineal, pasiva y con cuatro terminales en dos lados, y cada uno tiene un par de ellas. A tal circuito se le conoce como red de dos puertos. Se puede dar un significado físico a las constantes, así: Cuando, es cero se observa que A es la relación sin carga. La constante B es la relación cuando el extremo receptor esta en corto circuito. La constante A es útil en el cálculo de la regulación. Si es el voltaje en el extremo receptor a plena carga para un voltaje en el extremo generador la ecuación será: Por ciento de regulación: Ec

16 CIRCUITO EQUIVALENTE El circuito que se muestra en la figura 1.5 se llama circuito equivalente. Es idéntico en estructura al circuito nominal excepto en que se usan y en lugar de Z y Y. El objetivo es determinar y tales que el circuito equivalente tenga los mismos parámetros ABCD que los de la línea distribuida. Los parámetros ABCD del circuito equivalente, el cual tiene la misma estructura que el circuito nominal, son: Ec.1.12 Ec.1.13 Ec.1.14 Figura 1.5 Modelo equivalente Ec.1.15 Ec.1.16 En donde se ha reemplazado Z y Y con Z y Y al igualar las ecuaciones con Ec.1.13 Ec.1.17 Al escribir de nuevo la ecuación (1.17) en términos de la impedancia del circuito nominal, En donde Ec.1.18 por unidad Ec.1.19 De modo similar, igualando la ecuación (1.1.12) con por unidad, 4

17 Ec.1.20 Usando la ecuación (1.1.17) y la identidad, la ecuación (1.1.20) queda Ec.1.21 Al escribir de nuevo la ecuación (1.1.21) en términos de la admitancia del circuito nominal, En donde Ec.1.22 por unidad Ec.1.23 Las ecuaciones (1.1.19) y (1.1.23) dan los factores de corrección y para convertir Z y Y, para el circuito nominal, en Z y Y para el circuito equivalente. En el caso de estudio se utiliza un modelo PI equivalente para la línea, el cual, a través de sus elementos, representa los efectos físicos producidos en la línea de transmisión. Con este modelo se establece la relación entre las corrientes y tensiones a través de la matriz compleja de admitancias. Las magnitudes de los elementos del modelo PI, son utilizados por el OPF (Flujo Optimo de Potencia) para calcular la matriz de admitancia nodal compleja del sistema completo. Ésta participa directamente en las ecuaciones de flujo de potencia y determina las pérdidas en las líneas de transmisión. 1.2 Modelado de los transformadores Los transformadores, son elementos que tienen la capacidad de transformar tensiones alternas. Además, pueden cambiar su razón de transformación a través de los denominados taps, que dependiendo del tipo de transformador, pueden ser manipulados de distintas formas por los operadores de la red. El modelo de transformador, incluye además el efecto de transformación de tensión debida al tap. Los transformadores poseen la capacidad de cambiar su razón de transformación a través de los taps, lo cual fue modelado como variable de control en el OPF. 5

18 Al igual que en el caso de las líneas de transmisión, se establece la relación entre las corrientes y tensiones través de la matriz de admitancias Circuitos equivalentes por unidad de transformadores trifásicos balanceados de dos devanados La figura 1.6(a) es una representación de un transformador ideal estrella-estrella, conectado a tierra a través de las impedancias y del neutro. En la figura 1.6 (b) se muestra el circuito equivalente por unidad de este transformador ideal para la operación trifásica balanceada. Por convención, se adoptaran las dos reglas siguientes para seleccionar las cantidades bases: 1. Se selecciona una común tanto para la terminal H como para la X. 2. Se selecciona la relación de transformación respecto a las tensiones bases,, para que sea igual a la relación de las tensiones nominales línea a línea,. Figura 1.6 (a) Transformador Ideal Estrella-Estrella Figura 1.6 (b) Circuito equivalente por unidad Cuando se aplican corrientes trifásicas balanceadas al transformador, las corrientes en el neutro son igual a cero y no se tienen caídas de tensión a través de las impedancias de neutro. 6

19 1.2.2 Transformadores de tres devanados En la figura 1.7 (a) se muestra un transformador monofásico básico de tres devanados. Se puede extender con facilidad las relaciones del transformador ideal de dos devanados, con el fin de obtener las relaciones correspondientes para un transformador ideal de tres devanados. En unidades reales, estas relaciones son: Ec.1.24 Ec.1.25 En donde entra por la terminal con punto, e salen por las terminales con punto, y, y tienen sus polaridades en las terminales con punto. Por unidad las ecuaciones quedan así: Ec.1.26 Ec.1.27 En donde se selecciona una para los tres devanados, y las bases de tensión se seleccionan en proporción a las tensiones nominales de los devanados. El circuito equivalente por unidad mostrado en la figura 1.7 (b) satisface estas dos relaciones por unidad. En el circuito del transformador practico de tres devanados que se muestra en la figura 1.7 (c), también se incluye la impedancia externa en serie y las ramas de admitancia en derivación. Figura 1.7 Modelos de transformadores Las ramas de admitancia en derivación, un resistor de pérdidas en el núcleo en paralelo con un inductor magnetizado, se puede evaluar a partir de una prueba de circuito abierto. Asimismo, cuando un devanado se deja abierto, el transformador de tres devanados se comporta como uno de dos devanados y se pueden aplicar las pruebas estándar de cortocircuito para evaluar las impedancias de dispersión por unidad, las cuales se definen como sigue: 7

20 = impedancia de dispersión por unidad medida del devanado 1, con el devanado 2 en cortocircuito y el 3 abierto. = impedancia de dispersión por unidad medida del devanado 1, con el devanado 3 en cortocircuito y el 2 abierto. = impedancia de dispersión por unidad medida del devanado 2, con el devanado 3 en cortocircuito y el 1 abierto. De la figura 1.6 (c), con el devanado 2 en cortocircuito y el 3 abierto, la impedancia de dispersión medida del devanado 1 es, despreciando la rama de admitancia en derivación, Ec.1.28 De igual modo, Ec.1.29 y Ec.1.30 Resolviendo las ecuaciones anteriores, Ec.1.31 Ec.1.32 Ec.1.33 Se puede usar las ecuaciones antes mencionadas para evaluar las impedancias en serie por unidad,, y, del circuito equivalente del transformador de tres devanados, a partir de las impedancias de dispersión por unidad, y, las cuales, a su vez, se determinan a partir de pruebas de cortocircuito. Note que cada uno de los devanados en un transformador de tres de ellos puede tener una capacidad nominal diferente en KVA. Si las impedancias de dispersión de las pruebas de cortocircuito se expresan por unidad, con base en las capacidades nominales de los devanados, primero deben convertirse por unidad respecto a una común, antes de que se usen en las ecuaciones. 8

21 CAPITULO 2. FLUJOS DE POTENCIA 2.1 Introduccion Con los antecedentes del capitulo anterior, ya se tienen las bases para estudiar las características de operación de un sistema eléctrico de potencia. El régimen permanente simétrico es, de hecho, el modo más importante de operación de un sistema eléctrico de potencia. Enseguida se relacionan, en orden jerárquico, tres importantes problemas que se encuentra en este modo de operación: Problema de flujo carga Problema de programación optima de carga Problema de control de sistemas Este capitulo se dedica al problema de flujo de carga. El estudio de flujo de carga, en la jerga de sistemas eléctricos de potencia, es la solución de régimen permanente de la red del sistema. La principal información que se obtiene de este estudio incluye las magnitudes y los ángulos de fase de voltajes de buses, potencia reactiva en los buses del generador, flujo real y reactivo de potencias en las líneas de transmisión y otras variables que se especifiquen. Esta información es esencial para el monitoreo continuo del estado actual del sistema y para analizar la eficacia de plantas alternas para futuras expansiones del sistema para satisfacer una demanda creciente de carga. La red contiene cientos de nodos y ramas con una impedancia especificada en por unidad sobre una base imponible común MVA. Las ecuaciones de red pueden ser formuladas de forma sistemática en una variedad de formas. Sin embargo, el método de voltaje de nodos, que es la forma más adecuada para muchos análisis del sistema de potencia, es comúnmente usado. La formulación de las ecuaciones de red en la admitancia nodal forma resultados de ecuaciones algebraicas lineales simultáneas complejas en términos de corrientes de nodo. Cuando las corrientes de nodo se especifican, el conjunto de ecuaciones lineales pueden ser resueltas por los voltajes de nodo. Sin embargo, en un sistema de potencia, las potencias son conocidas y no las corrientes. Por lo tanto, las ecuaciones resultantes en términos de potencia, son conocidas como las ecuaciones de flujo de potencia, se convierten en ecuaciones no lineales y deben ser resueltas por técnicas iterativas.. Los estudios de flujo de potencia, comúnmente conocido como flujo de carga, son necesarios para el funcionamiento, la programación económica y el intercambio de energía entre empresas de servicios públicos. Además, el análisis de flujo de potencia se requiere para muchos otros análisis, tales como la estabilidad transitoria y los estudios de contingencia. 9

22 2.2 Metodo de Newton-Raphson El método de Newton-Raphson es un método para resolver ecuaciones algebraicas no lineales. Funciona más rápidamente y es seguro que converge en la mayor parte de los casos al compararlo con otros métodos. Es sin duda el método práctico para la solución de flujo de carga en redes eléctricas de potencia grandes. Antes de explicar como se aplica el método NR para resolver el problema de flujo de carga, es útil revisar el método en su forma general. Considere un sistema de n ecuaciones algebraicas no lineales ; Ec.2.1 Suponga que los valores iniciales de las incógnitas son Sean las correcciones que, al hacerse a la primera suposición, dan la solución real. Por lo tanto, Ec.2.2 Al desarrollar estas ecuaciones en serie de Taylor con la suposición inicial, se tiene Donde son las derivadas de con respecto a, evaluadas en Si los términos de orden superior se desprecian, puede escribirse en forma matricial Ec.2.3 O en forma de matriz vectorial Ec.2.4 se conoce como matriz jacobiana (que se obtiene al diferenciar el vector función con respecto a y se evalúa en ). La ecuación anterior se puede escribir como: Ec

23 Se puede obtener valores aproximados de corrección. Como estos constituyen un sistema de ecuaciones algebraicas lineales se pueden resolver de manera eficiente mediante triangulación y resustitucion. Los valores actualizados de son entonces O, en general, para la iteración, Ec.2.6 Las iteraciones se continúan hasta que la ecuación (2.1) se satisfaga para cualquier exactitud deseada, es decir, (un valor especificado); Ec.2.7 REPRESENTACION GRAFICA Este método, el cual es un método iterativo, es uno de los más usados y efectivos. El método de Newton-Raphson no trabaja sobre un intervalo sino que basa su fórmula en un proceso iterativo. Supongamos una función a la que se desea calcular su raíz Figura 2.1 Representación grafica Evaluando un valor cercano a la raíz en la función y trazando una recta tangente en el punto se obtiene un nuevo valor que es mucho más cercano a la raíz que Para encontrar el valor de, se tomara la ecuación de la recta. Ec

24 Se supone que sea igual a 0 para que sea una raíz de Ec.2.9 Pero en el punto, la pendiente m puede tomarse como por ser la mejor aproximación a la pendiente en dicho punto. Ec.2.10 Ec.2.11 Y despejamos Ec.2.10 Si buscamos una mejor aproximación a la raíz utilizando este nuevo valor Ec.2.11 Si nuevamente se busca otra aproximación que es cada vez más cercana a la raíz, Ec.2.12 Entonces podemos generalizar la ecuación de la siguiente manera, Ec.2.13 Note que el método de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos asegure que encontraremos la raíz, y de hecho no tenemos ninguna garantía de que nos aproximaremos a dicha raíz. Desde luego, existen ejemplos donde este método no converge a la raíz, en cuyo caso se dice que el método diverge. Sin embargo, en los casos donde si converge a la raíz lo hace con una rapidez impresionante, por lo cual es uno de los métodos preferidos por excelencia. También observe que en el caso de que, el método no se puede aplicar. De hecho, vemos geométricamente que esto significa que la recta tangente es horizontal y por lo tanto no intercepta al eje en ningún punto, a menos que coincida con éste, en cuyo caso mismo es una raíz de. 12

25 2.3 El problema de flujo de potencia El problema de flujo de potencia es calcular la magnitud del voltaje y el ángulo de fase en cada bus de un sistema de potencia en condiciones de estado estable trifásico. Como subproducto de este cálculo, se pueden calcular flujos de potencia rea y reactiva en equipo como líneas de transmisión y transformadores, así como pérdidas de equipo. El punto de partida para un problema de flujo de potencia es un diagrama unifilar del sistema de potencia, a partir del cual se pueden obtener los datos de entrada para soluciones por computadora. Los datos de entrada consisten en datos de buses, datos de las líneas de transmisión y de los transformadores. Como se muestra en la figura 2.2, las cuatro variables siguientes están asociadas con cada bus k: magnitud de voltaje, ángulo de fase, potencia neta real y potencia activa abastecida al bus. Bus k G Carga Figura 2.2 Variables del bus En cada bus, dos de las variables se especifican como datos de entrada y las otras dos son incógnitas que se calcularan mediante el programa de flujo de potencia. Por conveniencia, la potencia entregada al bus en la figura 2.2 se separa en generación y carga. Es decir, Cada bus se clasifica en uno de los tres tipos siguientes: Bus compensador: Solo hay un bus compensador, que por conveniencia en este trabajo se le asigna el numero 1. El bus compensador es una referencia para la cual, por lo 13

26 común 1.0 por unidad, es un dato de entrada. El programa de flujo de potencia calcula y. Sus instrucciones, por así decirlo, es hacer lo que sea necesario para mantener el equilibrio de potencia real en el sistema, esto significa mantener el ángulo de tensión constante. Bus de carga: y son datos de entrada. El programa de flujo de potencia calcula y. La mayor parte de los buses en un programa normal de flujo de potencia son de carga. Bus de voltaje controlado: y son datos de entrada. El programa de flujo de potencia calcula y. Como ejemplos están los buses a los que están conectados los generadores, capacitores en derivación desconectables, o sistemas compensadores estáticos de VARs. Los límites de VARs máximo y mínimo y que este tipo puede suministrar son también datos de entrada. Otro ejemplo es un bus al que esta conectado un transformador con cambiador de derivaciones; el programa de flujo de potencia calcula entonces la posición del cambiador. Observe que cuando el bus k es un bus de carga sin ninguna generación, es negativo; es decir que la potencia real suministrada al bus k en la figura 2.2 es negativa. Si la carga es inductiva, es negativa. Las líneas de transmisión están representadas por el circuito la figura 1.5. equivalente, que se muestra en Los datos de entrada para cada línea de transmisión son la impedancia y la admitancia de derivación del circuito equivalente por unidad, los dos buses a los que esta conectada la línea y la capacidad máxima en MVA. De manera similar, los datos de entrada para cada transformador son las impedancias de derivación por unidad, la admitancia de la rama de excitación por unidad, los buses a los que están conectados los devanados y las capacidades máximas en MVA. La matriz de admitancia de se puede construir a partir de los datos de entrada de transformadores y líneas. Los elementos de son: Elementos de la diagonal: es igual a la suma algebraica de todas las admitancias que terminan en el nodo. Elementos fuera de la diagonal: Es igual al negativo de la suma de todas las admitancias conectadas directamente entre estos dos nodos. Además, 14

27 2.4 Solucion de flujos de potencia por el método de Newton-Raphson Debido a su convergencia cuadrática, el método de Newton es matemáticamente superior al método de Gauss-Seidel y es menos propenso a la divergencia con problemas mal condicionados. El número de iteraciones necesarias para obtener una solución es independiente del tamaño del sistema, pero más evaluaciones funcionales se requieren en cada iteración. Dado que en el problema de flujo de potencia, la potencia real y la magnitud del voltaje se especifican para los buses controlados por voltaje, la ecuación de flujo de potencia se formula en forma polar. Para el bus típico del sistema de alimentación que muestra en la Figura 2.3, la corriente que entra al bus viene dada por. Ec.2.14 Figura 2.3 Bus típico de un sistema de potencia Esta ecuación puede ser reescrita en términos de la matriz de admitancia de bus como Ec.2.15 En la ecuación anterior, j incluye bus i. Expresando esta ecuación en forma polar, tenemos Ec.2.16 La potencia compleja en el bus i es Ec.2.17 Sustituyendo la ecuación (2.13) en (2.14) 15 Ec.2.18

28 Separando la parte real e imaginaria Ec.2.19 Ec.2.20 Las ecuaciones (2.19) y (2.20) constituyen un grupo de ecuaciones algebraicas no lineales en términos de variables independientes, la magnitud del voltaje en por unidad, y el ángulo de fase en radianes. Tenemos dos ecuaciones por cada bus de carga, dadas por (2.19) y (2.20), y una ecuación por cada bus de controlador de voltaje dada por (2.19). Expandiendo (2.19) y (2.20) en serie de Taylor sobre la estimación inicial y dejando de lado los términos de orden superior da como resultado el siguiente conjunto de ecuaciones lineales. En el conjunto de ecuaciones anterior, el bus numero 1 es asumido como el bus slack. La matriz Jacobiana da la relación entre cambios pequeños en el ángulo del voltaje y la magnitud del voltaje con los cambios pequeños en la potencia real y reactiva y. Los elementos de la matriz jacobiana son las derivadas parciales de (2.19) y (2.20), evaluados en y. En una forma corta esta se puede escribir como Ec.2.21 Para el bus controlado por voltaje, la magnitud del voltaje es conocida. Por lo tantos si m buses de el sistema son controlados por voltaje, m ecuaciones involucran y y las columnas correspondientes en la matriz Jacobiana serán eliminada. Por consiguiente hay restricciones de potencia real y restricciones de potencia reactiva, y la matriz Jacobiana es de orden. El es de orden. El es de orden. El es de orden, y el es de orden. La diagonal y los elementos fuera de la diagonal de son 16

29 Ec.2.22 Ec.2.23 La diagonal y los elementos fuera de la diagonal de son Ec.2.24 Ec.2.25 La diagonal y los elementos fuera de la diagonal de son Ec.2.26 Ec.2.27 La diagonal y los elementos fuera de la diagonal de son Ec.2.28 Ec.2.29 Los términos y son la diferencia entre el valor previsto y calculado, conocida como residuo de potencia, dada por Ec.2.30 Ec.2.31 La nueva estimación para el voltaje de bus son Ec.2.32 Ec.2.33 El procedimiento para la solución de flujos de potencia por el método de Newton-Raphson es el siguiente: 1. Para el bus de carga, donde y son especificados, la magnitud del voltaje y el ángulo de fase son valores iguales al del bus slack, o 1.0, y. Para los buses regulado por voltaje, donde y son especificados, el ángulo de fase es igual al ángulo de fase del bus slack, o 0,. 2. Para el bus de carga, y son calculados con (2.19) y (2.20) y y son calculados con (2.30) y (2.31) respectivamente. 3. Para el bus controlado por voltaje, y son calculados con (2.19) y (2.30). 4. Los elementos de la matriz Jacobiana y son calculados con (2.22)-(2.29). 5. La nueva magnitud de voltaje y ángulo de fase son calculados por (2.32) y (2.33). 6. El proceso se continua hasta que los residuos y son menores que la precisión especificada 17

30 Ec.2.34 Ec

31 CAPITULO 3. PROGRAMA DE FLUJOS DE POTENCIA Para tener una optima operación de los sistemas de potencia en condiciones normales balanceadas de estado estable trifásico, se requiere lo siguiente: La generación abastece la demanda (carga) más las perdidas. Las magnitudes de voltaje en las barras permanecen cercanas a sus valores nominales Los generadores operan dentro de limites especificados de potencia real y reactiva Las líneas de transmisión y los transformadores no están sobrecargados. El programa de computadora de flujos de potencia (conocidos como flujos de carga) es la herramienta básica para investigar estos requerimientos. Con este programa se calcula la magnitud del voltaje y el ángulo en cada barra o bus en un sistema de potencia en condiciones balanceadas en estado trifásico. También permite calcular los flujos de potencia real y reactiva para los equipos que interconectan las barras, así como las perdidas en los equipos. En este capitulo se desarrollara el modelo de flujo de carga, el método que se utilizara para la solución de los flujos de carga será el de Newton-Raphson. Se realizara todo el código de programación en lenguaje Python, el programa se desarrollara de una forma modular para una mayor comprensión, y se explicara en que consiste cada uno de estos módulos. 19

32 3.1 Módulos de programación en PYTHON El programa de flujo de potencia desarrollado consta de los siguientes módulos: 1. Modulo de Carga de datos. Es el encargado de la lectura de datos. 2. Modulo Ybus. Se formara la matriz de admitancia. 3. Modulo Newton. Resuelve el problema de flujo de carga por el método de Newton- Raphson. 4. Modulo fpotencia. Calcula los flujos de potencia activa y reactiva. 5. Modulo Salida. Muestra los resultados obtenidos. Se cuenta con una interfaz para la introducción de datos de manera flexible. La interfaz se ha realizado en Notepad en donde primeramente se detalla los MVA base que se utilizarían para el análisis de algún sistema en particular. A continuación se encuentra lo que son los datos de los buses en donde se introducen los datos como el nombre del bus, el tipo de bus (en este se coloca si el bus es de tipo PV, PQ o Bus de referencia con el cual el programa desarrollado entiende la siguiente nomenclatura: se colocara 2 si el bus es de tipo PV, se colocara 0 si es de tipo PQ, y 1 si es el Bus de referencia), la magnitud de voltaje del bus, el ángulo en radianes, la demanda (carga) en MW, la demanda (carga) en MVAR, los MW del generador conectado al bus, los MVAR del generador conectado al bus. En el siguiente bloque de la interfaz se encuentran la interconexión de los buses y los parámetros de la línea que los interconecta siendo dichos parámetros resistencia (R), reactancia (X) y susceptancia (B). Después se encuentra el bloque en donde se especifica la interconexión de las líneas en paralelo del sistema con sus parámetros respectivos. En el bloque siguiente se encuentran los datos de transformadores de dos devanados en el cual se introducen los parámetros de resistencia, reactancias y susceptancia. Y por ultimo se encuentra el bloque donde introduciremos los datos de transformadores de tres devanados, sus resistencias del primario al secundario, del primario al terciario, del secundario al terciario, y así mismo sus reactancias y susceptancias. A continuación se presenta un ejemplo de la interfaz del programa elaborado. 20

33 3.2 Modulo de Carga Este genera la carga de datos desde Notepad hasta Python, generando las matrices necesarias de datos para poder manipularlas como tal. A continuación se presenta la sección del programa elaborado que lee el archivo de datos, en el mismo hay comentarios explicativos. 21

34 3.3 Modulo de ybus Este modulo o función genera la matriz de admitancias conocida en el análisis de sistemas de potencia como YBUS. El código de este modulo se encuentra a continuación 22

35 3.4 Modulo Newton Este modulo tiene por función hacer todas las iteraciones pertinentes en cuanto a la búsqueda de la solución del sistema de potencia, considerando las ecuaciones necesarias en el análisis AC de los sistemas de potencia, empezaremos por describir brevemente las etapas de este modulo. La primera etapa del diseño de este modulo consta del calculo de potencia con los parámetros de iniciación del sistema, en otras palabras, las potencias tanto la activa como la reactiva se calculan con los voltajes y ángulos iníciales introducidos por el usuario. La segunda de la etapas importantes de este modulo es la etapa de formación de la matriz Jacobiana la cual se divide en cuatro submatrices llamadas J1, J2, J3 y J4 23

36 Después de formadas las submatrices hay que formar la matriz Jacobiana completa Cuando la matriz Jacobiana ya esta completa para la primera iteración y las siguientes que se formaran se invierte y multiplica por los deltas que para el caso de la primera iteración los deltas corresponden a los valores inicialmente calculados en la primera etapa de este modulo. Luego se despejan los nuevos valores calculados para Voltaje y Ángulos y se procede nuevamente desde la primera etapa hasta lograr la convergencia cuando los deltas de potencia son comparados que el nivel de tolerancia establecido para nuestro caso de

37 3.5 Modulo fpotencia Como subproducto de calculo iterativo de voltajes y ángulos utilizando el método de Newton se derivan los cálculos de flujos de potencia activa y reactiva en cada una de las líneas y elementos que existen en el sistema de potencia en análisis, y para ello el modulo fpotencia calcula estos flujos de potencia actica y reactiva a partir de los valores proporcionados por el método de Newton. Una de las aclaraciones que cabe retomar es que cuando el sistema lleva elementos como transformadores el calculo de los flujos en cada elemento del sistema se vuelve mas complejo, por lo que cabe señalar que debido a esta consideración se tomo la decisión de calcular primero las corrientes nodales y en base a ellas obtener las potencias puesto que el voltaje de nodo se conoce. Así se calculo la potencia compleja S separando sus componentes real e imaginario, a los que se les denomina potencia activa y potencia reactiva respectivamente. 25

38 3.6 Modulo salida El ultimo de los módulos es el modulo que genera el reporte de resultados. Se crea un archivo de block de notas los resultados de magnitud de voltaje y ángulos en grados de cada uno de los buses del sistema analizado y a continuación el flujo de potencia real y reactiva de cada unos de los elementos que conforman el sistema de potencia. Con el objeto de demostrar la aplicación del programa diseñado se presenta a continuación ejemplos a distintos sistemas de potencia. 26

39 3.7 Ejemplo de flujo de potencia La solución de flujo de potencia por el método de Newton-Raphson es demostrado en el siguiente ejemplo: 1 2 Slack Bus 3 Figura 3.1 Diagrama unifilar (impedancias en pu, en 100MVA base) La Figura 3.1 muestra el diagrama unifilar de un sistema de potencia sencillo de tres buses, con generadores en los buses 1 y 3. La magnitud de voltaje del bus 1 es ajustada a 10.5 p.u. La magnitud de voltaje en el bus 3 es fijada en 1.04 p.u. con una potencia real de generación de 200 MW. Una carga que consiste de 400 MW y 250 Mvar conectadas al bus 2. Las impedancias de líneas mostradas se encuentran en por unidad tomando como base 100 MVA, y la susceptancia de la línea de carga se desprecian. Obtener la solución de flujo de potencia por el método de Newton-Raphson incluyendo flujos y perdidas en las líneas. Solución Las impedancias de línea se convierten en admitancias: Esto da lugar a la matriz de admitancia de bus Convirtiendo la matriz de admitancia de bus a forma polar con sus ángulos en radianes De (2.16) y (2.17), la expresión de la potencia real en el bus 2 y 3 y la potencia reactiva en el bus 2 son 27

40 Los elementos de la matriz Jacobiana son obtenidas por las derivadas parciales con respecto a, y. La carga y generación expresada en por unidad son El voltaje del bus slack es pu, y en el bus 3 la magnitud del voltaje es pu. Iniciando con una estimación inicial de,, y, los residuos de potencia son calculados con (2.27) y (2.28) Evaluando los elementos de la matriz Jacobiana con la estimación inicial, el conjunto de ecuaciones lineales en la primera iteración se convierte en Obteniendo la solución de la ecuación de la matriz anterior, los nuevos voltajes de bus en la primera iteración son 28

41 El ángulo del voltaje de fase es en radianes. Para la segunda iteración, tenemos Y Para la tercera iteración, tenemos Y La solución converge en 3 iteraciones con un desfasamiento máximo de potencia de con y. De (2.17) y (2.18), las expresiones de la potencia reactiva en el bus 3 y las potencias real y reactiva en el bus slack son Tras la substitución, tenemos 29

42 Para encontrar los flujos en las líneas, primero se encuentran las corrientes de línea Los flujos en las líneas son Y las perdidas en las líneas son 30

43 El diagrama de flujo de potencia es mostrado en la figura 3.2, indicando la dirección del flujo tanto de potencia activa como reactiva Figura 3.2 Diagrama de Flujo de Potencia. Flujo en MW Flujo en Mvar Comparando los resultados anteriores con los obtenidos con el programa desarrollado en Python, los resultados son exactamente los mismos. A continuación se presenta el reporte de salida que genera el programa. 31

44 3.8 Flujo de potencia en un sistema de catorce nodos El programa realizado en Python se aplicara a un sistema de potencia de catorce nodos figura 3.3, comparando respuestas con los resultados obtenidos en PSAT. Figura 3.3 Sistema de 14 Buses El sistema esta compuesto por catorce buses, líneas en paralelo, transformadores de dos y tres devanados, generadores y cargas. 32

45 Primeramente se introducen los datos a nuestra interfaz como se muestra en la figura 3.4 Figura 3.4 Interfaz del programa 33

46 Luego corremos el programa y los resultados son los siguientes: En los perfiles de voltaje de la simulación se puede apreciar que para los buses de carga los voltajes de dichos buses son inferiores a los voltajes nominales de cada uno de ellos, esto es debido al efecto que las cargas producen por la gran demanda de potencia en conjunto con las perdidas de las líneas de transmisión, lo contrario para los buses de generación o compensadores, el voltaje se mantiene en su nominal debido a la inyección de potencia y a que en estos las perdidas de las líneas son compensadas por la generación propia de cada bus. Los resultados obtenidos se compararon con los resultados que se obtienen de PSAT, teniendo resultados similares con ambos programas. 34

47 CAPITULO 4. FLUJO ÓPTIMO DE POTENCIA 4.1 Introduccion El Flujo Optimo de Potencia (OPF) por sus siglas en ingles, es un problema que fue definido en los principios del año 1960 como una extensión del problema de despacho económico de carga convencional, que se utiliza para la determinación óptima de las variables de control en un SEP, considerando variadas restricciones. OPF, en su formulación general, es un problema de optimización con función objetivo y restricciones no lineales, que representa la operación en estado estacionario del sistema eléctrico. Dos objetivos básicos se deben cumplir en la operación de un sistema eléctrico de potencia: i) Asegurar una operación segura, y ii) Encontrar un punto de operación económico. La operación económica significa reducir los costos por la utilización de la energía eléctrica, esto incluye los costos de producción, transporte y consumo. A pesar de que los costos de transporte de la energía eléctrica hacia los centros de consumo, podría representar un pequeño porcentaje de los gastos totales de operación. La aplicación de técnicas de optimización a los problemas de planificación y operación de SEP (Sistema Eléctrico de Potencia), como lo es OPF, es una activa área de investigación. De esta forma, OPF puede ser visto como un término genérico que describe una amplia gama de clases de problemas en los cuales se busca optimizar una función objetivo específico, sujeto a restricciones que representan los balances de potencia activa y reactiva en los nodos de la red, en función de las tensiones y ángulos de las barras. Existen variadas funciones objetivos que puede considerar un modelo OPF, entre las cuales se pueden mencionar (Ristanovic, 1996): Minimización de los costos por generación de potencia activa, Minimización de pérdidas de potencia activa, Minimización del cambio en las variables de control, Minimización de la potencia no servida, etc. Una gran variedad de técnicas de optimización han sido aplicadas para resolver OPF (Momoh y El- Hawary, 1999): Programación lineal. Versiones híbridas de programación lineal y programación entera. Métodos de punto interior. Programación no lineal. 35

48 Programación cuadrática. Soluciones basadas en condiciones de Newton. El presente trabajo se presentara dos casos de sistemas de potencia, el primero es un sistema compuesto por dos nodos y modelado AC el cual debido a su complejidad para su resolución y formulación general se opto por resolver el segundo caso el cual es un sistema multimodal y modelado DC. El análisis se hará sin restricciones de desigualdad; y solución por método de Newton-Raphson. Se abordaran el métodos antes mencionado para el modelamiento y resolución, considerando función objetivo que contempla la minimización de costos por generación de potencia activa. 4.2 El problema de flujo optimo de potencia Un estudio de flujos de potencia óptimo es utilizado ampliamente en la industria eléctrica para diferentes aplicaciones, que van desde estudios de planeación hasta operación de los sistemas. El principal objetivo de un OPF es optimizar las condiciones de operación en estado estacionario de un sistema eléctrico de potencia. Un OPF ajusta las cantidades controlables para optimizar una función objetivo mientras satisface un conjunto de restricciones operativas. Una función objetivo puede incorporar aspectos económicos, de seguridad o medioambientales, que se resuelve utilizando técnicas de optimización adecuadas. Las restricciones son leyes físicas que gobiernan a los generadores, el sistema de transmisión, límites constructivos de los equipos eléctricos y estrategias operativas. Esta clase de problema es expresado como un problema de programación no lineal, con la función objetivo expresada como una función no lineal, y las restricciones expresadas como ecuaciones lineales y no lineales Formulacion general Se han considerado varias funciones objetivo en un OPF, pero la que más frecuentemente se usa toma en cuenta los costos de generación, la que refleja aspectos económicos del sistema de potencia. De aquí que la formulación matemática del OPF se enfoca en minimizar el costo de generación de potencia activa por un ajuste adecuado de las variables de control. De forma general, el OPF puede ser formulado como un problema de optimización no lineal con restricciones, que matemáticamente se expresa como: 36

49 El conjunto de restricciones de igualdad, de la ecuación anterior está compuesto por las ecuaciones de balance de potencia en las barras. Por su parte el conjunto de restricciones de desigualdad, representa las restricciones del vector de variables de control y de estado, tales como cotas y límites de operación. El planteamiento del problema en forma general que se tratara en este trabajo se puede representar como: Minimizar Sujeto a Variables Las variables de control y de estado a considerar en el OPF se resumen en la Figura 4.1. Se considera la simbología estándar utilizada en la literatura relacionada. G, Figura 4.1 Variables de control y de estado Donde, son variables de control, corresponden a la potencia activa y reactiva inyectadas por el generador. Por su parte, y θ, son variables de estado, corresponden al módulo de la tensión y su ángulo respectivamente. y, son parámetros que representan la potencia activa y reactiva de la carga o consumo. El vector x contiene las variables de control y estado, incluye: : Potencia activa generador j: : Potencia reactiva generador j: : Voltaje en el bus i: 37

50 : Angulo de voltaje en el bus i: : Tap del transformador j: Siendo el conjunto de buses en la red eléctrica y, el conjunto de generadores y transformadores conectados a los buses (o nodos). El vector x entonces será: Ec.4.1 Otro parámetro a considerar es la matriz compleja de admitancia nodal (Y), representada por sus elementos, que define la relación entre corrientes y tensiones nodales del sistema. Ec.4.2 Ec.4.3 Si en el arco (ij) existe un transformador, entonces los parámetros de la matriz de admitancia nodal consideran implícitamente el efecto del tap. Ec.4.4 Ec Funcion objetivo La función objetivo representa el criterio (o índice de desempeño) usado para optimizar. La selección de la función objetivo obedece a un análisis cuidadoso de la seguridad y economía del sistema eléctrico de potencia. Algunas de las funciones objetivo empleadas en un estudio de OPF son: Minimizar el costo de generación. Minimizar las pérdidas de transmisión de potencia activa. Minimizar las pérdidas de transmisión de potencia reactiva. Minimizar el costo por interrupción de carga. Minimizar el número de reprogramación de los controles. Minimizar emisiones contaminantes por parte de los generadores térmicos. La minimización de costos por generación de potencia activa conforma la función objetivo para el OPF considerada en este trabajo. Para cada generador de la red, se supone conocida su función de costos en las potencias activas generadas, tal y como se detalla a continuación. Ec

51 4.2.4 Restricciones de igualdad Las restricciones de igualdad son típicamente las ecuaciones de balance de carga, las que se obtienen al imponer una restricción de balance de potencia activa y reactiva en todos los nodos del sistema. En un punto de operación en estado estable, la potencia generada debe ser tal que sea suficiente para cubrir la demanda más las pérdidas en la red. Las ecuaciones de balance consideran un punto de equilibrio de potencia activa y reactiva que debe satisfacer cada una de los nodos: Ec.4.7 Ec.4.8 Para un caso DC la ecuación a considerar es: Ec.4.9 Para un caso AC las ecuaciones a considerar son: Ec.4.10 Ec Restricciones de desigualdad Las restricciones de desigualdad consideran los límites que deben satisfacer las variables de control y estado. Estas restricciones reflejan los límites operativos impuestos a los dispositivos y al sistema eléctrico de potencia. Las principales restricciones de desigualdad consideradas en un OPF son: Límites de potencia activa y reactiva de generación: La potencia activa y reactiva asignada a las unidades de generación deben estar dentro de límites de operación. Esta restricción refleja los límites operativos y térmicos que un generador debe satisfacer. Ec.4.12 Ec

52 Donde y son los limites de potencia activa mínima y máxima, respectivamente, para el i-esimo generador; y son los limites de potencia reactiva mínima y máxima, respectivamente para el i-esimo generador. Límites de flujos en las ramas.- Con la finalidad de mantener la seguridad en los sistemas de potencia, los enlaces (líneas o transformadores) no deben ser sobrecargados. Por lo tanto, es necesario definir límites para todas las ramas (o para un grupo de ellas). Estos límites pueden deberse a restricciones térmicas de los equipos o por consideraciones de seguridad del sistema. Los límites de los flujos se pueden formular como: Donde los nodos j e i. representa el máximo flujo de potencia activa permitido en la rama que conecta Perfiles de voltaje.- Debido a que el voltaje en los nodos es uno de los criterios de seguridad e índice de calidad de servicio más importante, incluir una restricción que mejore el perfil de voltaje de los nodos de carga del sistema es un aspecto importante a ser considerado en el problema de optimización. Los voltajes en los nodos de generación son constantes, mientras que el nivel de voltaje en los nodos de carga debe mantenerse muy cercano a un voltaje de referencia. Matemáticamente esta restricción se puede definir mediante: Donde representa la magnitud del voltaje en el i-esimo nodo de carga, representa la magnitud de voltaje de referencia, en general definido como Otras restricciones que pueden ser incluidas en un OPF son: Límites del cambiador de fase de un transformador. Límites de las variables de control de los dispositivos FACTS. Límites de compensación de potencia reactiva. Requerimientos de reserva rodante. Límites de emisión de contaminantes al medio. 40