MATEMÁTICA FINANCIERA

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1 MATEMÁTICA FINANCIERA Hola amigos mi nombre es keplerín Yo los estaré guiando durante el desarrollo de esta cartilla, bienvenidos al mundo de las matemáticas financieras: Valor Presente Neto (VPN) Recordemos! Qué es la matemática financiera? Esta hace parte de la matemática básica, y es una herramienta apropiada para saber cuanto debemos pagar por prestamos que pedimos y cuánto debemos cobrar por los que hacemos, nos ayuda a desarrollar cálculos para decidir si es aconsejable invertir nuestro dinero o no. Con ayuda de esta, se conoce realmente cuánto nos cobra el sistema financiero o sea los bancos por facilitarnos préstamos. ALGUNOS CONCEPTOS BÁSICOS: VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO: el precio del dinero está representado por el aumento o la disminución de lo que se puede comprar con la misma cantidad. INTERÉS: El interés es el valor en pesos que nos cobran de más por prestarnos un dinero. TASA DE INTERÉS: Es la representación en porcentaje (%) del INTERÉS ej: 10%, 5% y más. Valor Presente Neto (VPN): es un método para evaluar proyectos de inversión, este nos sirve para identificar si una inversión es rentable o no. INVERSIÓN INICIAL: Es la cantidad de dinero que se coloca en el presente para recibir beneficios en el futuro. TASA DE DESCUENTO: nos muestra la oportunidad que se pierde por no invertir en el presente, también la podemos llamar tasa de oportunidad. Tasa Interna de Retorno (TIR): sirve para evaluar la eficiencia de una inversión, a diferencia del VPN, esta entrega porcentajes. Vamos a empezar amigos keplerianos, en este módulo revisaremos un tema importante que todos debemos conocer, nos adentraremos en el campo de análisis de la inversión. Debemos tener claro que la inversión es la utilización de recursos (dinero) en el presente, con la intención de recibir ganancias en un futuro. Cuando se decide invertir en proyectos, muchas veces hay obstáculos para calificar o medir el grado de conveniencia o de importancia de las inversiones, la mayoría de las personas no saben evaluar estos conceptos, es por ello que se van a dar unas luces para desarrollar, este tipo de análisis. 44

2 I. VPN O VALOR PRESENTE NETO El Valor Presente Neto es la forma más factible de medir las alternativas de inversión, con ayuda de este lo que se hace comparar los ingresos con los egresos en pesos en un mismo periodo, en este caso se utiliza el periodo cero (0) para mayos facilidad. Para esto es necesario tener en cuenta una tasa de interés que en este caso se conoce como la tasa de descuento o de oportunidad: es el precio que se paga por invertir ese dinero y no utilizarlo en otras cosas. Qué se muestra en el VPN? - Si en valor de VPN es igual a cero: el inversionista gana lo que quería ganar después de recuperar la inversión. - Si el VPN es mayor a cero, se gana más de lo que se quería después de recuperar la inversión - Si el VPN es menor a cero, no indica ninguna pérdida, muestra la cantidad de pesos de hoy que faltaron para que se ganara lo que se quería. ECUACIÓN DEL VALOR PRESENTE NETO Y SU RESPECTIVO FLUJO DE CAJA Recuerden que lo primero que se debe hacer es graficar el flujo de caja del VPN. Estudiantes keplerianos, ya conocemos algo del VPN ahora tenemos que saber cómo se haya y cómo se dibuja, vamos a prestar mucha atención es muy fácil, pero requiere un poquitín de cuidado. Acompáñenme! Ahora viene la formula: p= a la inversión inicial, el dinero que se coloca en el proyecto. FNE= ingresos futuros en la misma fecha de la inversión o sea en el momento cero T.O.= tasa de descuento o de oportunidad. Hola papito keplerín, he estado estudiando el VPN para poder evaluar las inversiones a largo plazo, pero no entiendo muy bien un poco de formulas, me puede ayudar? Claro Keplercita, te voy a enseñar con un ejemplo y te vas a dar cuenta que es muy, muy fácil, pon atención. 45

3 Ejemplo: A Keplerina y a Keplerín de forma independiente, les hacen una oferta de inversión, por un lado a Keplerina y keplerín les plantean empezar un proyecto de inversión, donde tiene que invertir 1000 pesos, que luego les va arrojar los siguientes flujos de dinero: Periodo 1: 340 Periodo 2: 390 Periodo 3: 410 Periodo 4: 500 La tasa de oportunidad de Keplerina es de 20% y la de Keplerín es del 30%. Solución: Lo primero que se hace es dibujar el flujo de caja: NOTA: QUÉ ES EL FLUJO DE CAJA FLUJO DE CAJA: Es la representación gráfica de las operaciones financieras, esta se caracteriza por tener egresos e ingresos, y se colocan sobre una recta de tiempo, los ingresos se señalan con una flecha hacia arriba y los egresos con una flecha hacia abajo. Ya que sabemos que es un flujo de caja, ahora si continuemos con el ejemplo. Como se estaba diciendo lo primero es hacer el flujo de caja: Vamos a hallar el VPN para Keplerina, entonces vamos todos a recoger los datos: P= 1000 T.O= 20% = (20/100)= 0.2 Recordemos la formula: FNE= ingresos futuros n= 4 porque son cuatro periodos. 46

4 Reemplazamos los valores: Vamos a utilizar la calculadora y desarrollamos parte por parte para no confundirnos. De esta manera: Y así con todas las otras partes. Entonces queda así: Cómo entender este resultado? Como el VPN es mayor a cero, este nos indica que Keplerina va a recibir peso más de lo que estaba esperando después de haber recuperado su inversión. Por ende se debe aceptar la alternativa. Ahora vamos a calcular el VPN para Keplerín: cómo los flujos de efectivo y la inversión son los mismos entonces se deja el mismo flujo de caja: Describimos los datos: P= 1000 T.O= 30% = (30/100)= 0.3 n= 4 porque son cuatro periodos. FNE= ingresos futuros Reemplazamos los valores: Ya saben operamos por partes para no confundirnos con la calculadora. Cómo entender este resultado? Cómo el VPN es menor a cero, está indicando que faltaron pesos para que Keplerín recibiera lo que quería después de haber recuperado su inversión, por tanto esta propuesta se debe rechazar. 47

5 Entonces, si bien entendí mi mamá si hizo la inversión, pero tú no porque no recibías lo que querías, mientras que ella recibía más de lo que esperaba. Perfecto hija ya sabes cómo analizar el VPN, si ves es muy fácil. CÓMO ESCOGER LA OPCIÓN DE INVERSIÓN CON VPN? 1. Cuando el VPN es mayor a cero se debe aceptar 2. Cuando el VPN en igual a cero es indiferente 3. Cuando el VPN en menor a cero se debe rechazar TALLER Cuando se quiere hacer una inversión, siempre hay un monto de dinero que se tiene que colocar al comienzo de las operaciones, este dinero se conoce cómo: a. Tasa de descuento c. Rentabilidad b. Inversión inicial d. VPN 2. Un análisis de inversión se desarrolla para ver si es rentable o no destinar dinero a un proyecto, una forma muy fácil y efectiva de revisar esto, es analizando los ingresos y los egresos totales en el periodo cero, esta comparación se puede lograr con: a. VFN c. VPN b. VIN d. VEN 3. El Valor Presente Neto tiene unos criterios de evaluación de los proyectos de inversión, cuando por ejemplo el resultado de este es mayor a cero, se recomienda que: a. No se invierta porque no se recibe lo que se quiere b. Se invierta porque no está entrando en pérdidas c. Da lo mismo invertir o no d. Se invierta porque después de recuperada la inversión se recibió más de lo que se estaba esperando. 4. Ejercicio: Keplerín ha recibido dos opciones de inversión donde tiene que colocar un monto de 2000 y va a tener los siguientes ingresos: Periodo 1: 700 Periodo 3: 820 Periodo 2: 780 Periodo 4: 1000 Le dan dos opciones de tasa de oportunidad: 1: 20% 2: 30% a. Dibujar el flujo de caja c. Hallar los dos VPN b. Describir los datos d. Escoger la mejor opción de inversión para Keplerín. I. TASA INTERNA DE RETORNO También se conoce como la tasa de rentabilidad, se define como la tasa de interés que hace que el VPN sea igual a cero, se puede entender también como aquella tasa máxima a la que un inversionista estaría dispuesto a colocar dinero en un proyecto. Estoy seguro que con un ejemplo se puede entender mejor el concepto por esta razón les voy a contar la historia de mi compadre Erasmito, resulta que él invirtió en un proyecto y al cabo de un año recibió , entonces me preguntó que cuál había sido su tasa de rentabilidad y yo le explique así: 48

6 Lo primero que hay que hacer es elaborar el flujo de caja: La TIR es la tasa de interés que hace el VNP=0 Planteamos la ecuación del VPN: Identificamos los datos: P= inversión inicial; FNE= ingresos futuros; n= 1 porque es un año. Reemplazamos valores: El VPN= 0 Pasamos (1+i) a multiplicar al otro lado y a dividir. (1+ i) = 1.10 i= i=0.10 i=0.10 * 100% = 10% anual Por lo tanto al compadre Erasmito se le dio una tasa de rentabilidad o tasa interna de retorno TIR de 10% anual, esta tasa es la máxima que Erasmito pudo aceptar para poder invertir en el proyecto. Gracias compita Keplerín, pero quisiera saber el resultado si fueran por ejemplo 2 años. Mi compa, por supuesto, ahí va. En este caso lo único que cambia n, porque ahora es 2. Bueno, lo primero es hacer el flujo de caja: La TIR es la tasa de interés que hace el VNP=0 Planteamos la ecuación del VPN: Identificamos los datos: P= inversión inicial; FNE= ingresos futuros; n= 2 porque son dos años. Reemplazamos valores: 49

7 Si ven que cambia en el denominador el exponente antes era 1 y ahora es 2, si fueran cinco periodos o años el exponente sería 5. ElVPN=0 Pasamos (1+i) a multiplicar al otro lado y a dividir. i = ; i=0.05; i=0.05 * 100% = 5% anual En este caso compita Erasmito su tasa de rentabilidad disminuiría en la mitad porque es el doble de tiempo y recibe lo mismo, por esta razón la TIR = 5%. Teniendo la TIR puedo hallar el VPN. Claro que sí! Vamos a hallar el VPN con la primera TIR que se encontró, de antemano podemos decir que va ser igual a cero. Aquí reemplazamos i= 10% = (10/100)=0.1 VPN=0 Ups!!! Y por qué? Erasmito recuerde que dije que la TIR era la tasa máxima que se podía aceptar en un proyecto, donde uno ganaba exactamente lo que esperaba, por eso el VPN es igual a cero. Bueno y si mi tasa es igual a 11% anual, entonces qué pasa? Vamos a verlo! En este caso lo que hacemos es cambiar la tasa de interés por la de 11%. 11% = (11/100)=0.11 Si ve compa al colocar una tasa mayor a la TIR el VPN se torna negativo quiere decir que le faltan para ganar lo que espera, por tanto ya no debe aceptar la oferta del proyecto 50

8 Gracias por enseñarme Keplerín y ustedes amigos Keplerianos, por favor nunca olviden lo aprendido en esta cartilla, en algún momento que estoy seguro será muy pronto van a necesitar de estos conceptos para no caer en trampas propias del sistema capitalista, que no le importa nada más que apropiarse del dinero de nosotros los pobres para utilizarlo a su antojo, recibir la mayor ganancia y darnos moronas, a nosotros que invertimos ilusamente además ya están preparados para iniciar su propio proyecto, ya saben evaluarlo, ánimo únanse y crear su propia empresa!... Yo lo voy a hacer! ÉXITO A TODOS. TALLER 2 Pregunta con múltiple respuesta una sola verdadera. 1. se define como la tasa de interés que hace que el VPN sea igual a cero, se puede entender también como aquella tasa máxima a la que un inversionista estaría dispuesto a colocar dinero en un proyecto, en este caso estamos hablando de: a. Tasa de interés b. Tasa de pérdida c. Tasa de ganancia d. Tasa Interna de Retorno 2. Cuando se dice que la TIR es la tasa máxima para invertir en un proyecto, esta tiene inferencia en el VPN, qué pasa con el Valor Presente neto: a. Es mayor a cero b. Es igual a cero c. Es menor a cero d. No se sabe Ejercicios: 3. Keplerina invirtió en un proyecto y al cabo de un año recibió , a. Elabore el flujo de caja b. halle la Tasa Interna de Retorno TIR c. qué pasa con el VPN 4. Keplerín recibió una oferta de inversión así, invierte y al cabo de dos años recibe a. Elabore el flujo de caja b. halle la Tasa Interna de Retorno TIR c. qué pasa con el VPN 51

9 SOPA DE LETRAS DE CONCEPTOS TIR TASA DE INTERES VALOR PRESENTE NETO FLUJO DE CAJA INVERSIÓN INICIAL TASA DE RENTABILIDAD INTERES VPN TASA DE DESCUENTO AUTOEVALUACIÓN 1. Después de terminar el curso usted cree que las matemáticas financieras son: a. Muy importantes b. Importantes c. No tan importantes d. No son importantes 52

10 2. Usted considera que la materia: a. Le sirve para su vida b. Le sirve por conocimiento c. No le sirve 3. Durante el transcurso del módulo, cuál tema fue el que más se le dificulto? 4. Después de recibir las clases, Cuál fue el tema que más le gusto? 5. Cuál capítulo le gustaría reforzar 6. Usted considera que su profesor ( nombre del profesor): a. Desarrollo muy bien el tema b. Desarrollo bien el tema c. Desarrollo aceptablemente el tema d. No supo desarrollarlo. 7. Si tuviera que darle calificación a la materia por la pertinencia en su formación, la calificaría: Califique entre 1 y 5; 1 es la nota más baja y 5 la más alta. Bibliografía: Meza Orozco, Jhonny de Jesús. (2008). Matemáticas Financieras Aplicadas (3 ed.). Bogotá: Ecoe Ediciones. Haeussler, Jr, Ernest F.; Paul Richard y Wood Richard. (2008). Matemáticas para administración y economía (12 ed.): Cap. 5 matemáticas financieras. México: Pearson Educación. Arya, Jagdish C. y Lardner, Robin W. (2002). Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía (4 ed.): cap. 7 progresiones y matemáticas financieras. México: Pearson Educación. 53

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