Universidad de la Frontera

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1 Universidad de la Frontera Facultad de Ingeniería, Ciencias y Admistración Departamento de Matemática Actividad Didáctica: El Abaco TALLER # 2 - Sistema Decimal El ábaco es uno de los recursos más antiguos utilizados en didáctica de las matemáticas. Está formado por un soporte de madera y una serie de varillas paralelas (con un número variable de ellas) colocadas vertical u horizontalmente (ábaco vertical o ábaco horizontal). En estas varillas se van introduciendo bolas de distintos colores, con la condición de que en cada varilla sólo se introducen 10 bolas del mismo color. Cada varilla representa un orden de unidades: unidades, decenas, centenas,...; y cada bola de cada color ha de ser introducida en su varilla correspondiente. El ábaco nos va a ayudar, como cualquier otro material que utilicemos, a despertar en el alumnado una actividad mental que les ayude a comprender el significado del número y el sentido de las operaciones básicas. La iniciación a las operaciones de una manera abstracta puede provocar errores en la adquisición de los conceptos. La enseñanza de la suma y de la resta con el truco de me llevo una, hace que el alumnado aprenda de manera mecánica las operaciones y que obviemos el verdadero objetivo: aprender el significado del número, el sentido de las operaciones y el efecto que estas operaciones hacen sobre los números. La fase manipulativa, por la que debe pasar cualquier tipo de conocimiento matemático en la escuela primaria, se cubre con el ábaco en la enseñanza de los sistemas de numeración posicional. Antes de ponernos a trabajar con el ábaco es conveniente haber trabajado la noción de cantidad. Una vez trabajadas estas actividades el ábaco puede convertirse en un gran aliado para la enseñanza aprendizaje del concepto de sistema posicional de numeración. Abaco plano Es muy conveniente que, al mismo tiempo que se trabaja manipulativamente con el ábaco los distintos conceptos, trabajemos a un nivel de abstracción superior, representando gráficamente las operaciones, lo que hacemos en el ábaco plano. Éste consiste en hacer en una hoja de papel una tabla en la que representemos un orden de unidades, escritas de derecha a izquierda y comenzando por las unidades, decenas, Es conveniente hacer uso, al principio, del color. Actividad 0 En una cartulina blanca recortamos una porción rectangular de Trazar una recta horizontal, de lado a lado, a 2 cms de la parte superior y tres rectas verticales cada 5 cms. Finalmente, pintar las tres partes superiores de colores, azul, rojo y amarillo. Ver la siguiente figura. 1

2 Una primera actividad, para introducir al niño en el sistema de numeración decimal, es realizar una serie de cambios que les conduzca a comprender el orden de unidades. Actividad 1 Se proporciona a cada niño 7 fichas azules y se les pide las coloquen en el ábaco plano. Las acciones pueden ser: Profesor Les cambio 2 fichas azules por una roja. Las rojas se ubican en el color rojo. Profesor Les cambio 4 fichas azules Cuántas rojas debo entregarles? Los alumnos dirán 2, aceptan el canje y las ponen en el ábaco plano. Profesor Cuántas fichas azules te quedan?... Puedes cambiarlas por más fichas rojas?... Profesor Vamos a deshacer los cambios para que tengan las 7 fichas azules del principio. Cuántas fichas azules debo entregarles por las tres rojas que tiene?... Muy bien, pasen a mi esctitorio para hacer el cambio. La figura siguiente muestra la acción inicial y final en el ábaco plano. Actividad 2 Cada niño o niña tiene 7 fichas azules ubicadas en el ábaco plano. Las acciones son: Profesor Les cambio 3 fichas azules por una roja. Las rojas las ubican en el color rojo. Profesor Cuánto es el máximo de fichas rojas que pueden lograr con este canje?... Cuántas azules les quedan?... La figura siguiente muestra la acción inicial y final en el ábaco plano. Actividad 3 Cada niño o niña ubica 7 fichas azules y 3 rojas en su ábaco plano. Las acciones son: Profesor Si el cambio es una roja por dos azules Cuál el máximo de canjes que puedes hacer?... cuántas azules te quedan?... Profesor Si el cambio es una roja por tres azules Cuál el máximo de canjes que puedes hacer?... Cuántas azules te quedan?... Profesor Si el cambio es una roja por cuatro azules Cuál el máximo de canjes que puedes hacer?... Cuántas azules te quedan?... Profesor Si el cambio es una roja por siete azules Cuál el máximo de canjes que puedes hacer?... Cuántas azules te quedan?... Profesor Si el cambio es una roja por ocho azules Cuál el máximo de canjes que puedes hacer?... Actividad 4 Cada niño o niña ubica 12 fichas azules en su ábaco plano. Las acciones son: Profesor Si el cambio es una roja por diez azules Cuántas azules te quedan?... Cuántas rojas tienes?... Ubica tus fichas en el ábaco plano e indica la cantidad que tienes en la parte inferior del ábaco 2

3 Actividad 5 Cada niño o niña ubica 25 fichas azules en su ábaco plano. Las acciones son: Profesor Si el cambio es una roja por diez azules Cuántas rojas obtienes al hacer todos los cambios?... Cuántas azules te quedan?... Ubica tus fichas en el ábaco plano e indica la cantidad, de rojas y azules, que tienes en la parte inferior del ábaco. Te diste cuenta que 25 fichas azules se han transformado en 2 rojas y 5 azules? Actividad 6 Cada niño o niña ubica 38 fichas azules en su ábaco plano. Las acciones son: Profesor Si el cambio es una roja por diez azules Cuántas rojas obtienes al hacer todos los cambios?... Cuántas azules te quedan?... Ubica tus fichas en el ábaco plano e indica la cantidad, de rojas y azules, que tienes en la parte inferior del ábaco. Te diste cuenta que 38 fichas azules se han transformado en 3 rojas y 8 azules? Si lo anterior lo tienes claro y el canje sigue siendo una roja por diez azules, dime cuántas fichas rojas obtienes al canjear 64 fichas azules?... y cuántas azules?... Y en el caso de tener 97 fichas azules cuántas rojas después del canje?... cuántas azules? Juntando fichas Esta actividad va encaminada a introducir la operación suma de forma manipulativa y gráfica. Empezamos desde el principio a darle sentido a la operación y no a darle importancia al algoritmo para resolverla. Vamos a trabajar por parejas, y cada pareja utilizará tres ábacos. Actividad 5 Cada alumno tendrá un ábaco, el tercero lo utilizaremos para representar el resultado final. Definimos al comienzo un tipo de agrupamiento o canje, por ejemplo, Una roja por seis azules. En cada ábaco de los alumnos hay representadas ciertas cantidades, por ejemplo: 3

4 No olvides los colores. En el rectángulo de la derecha van las azules y en el siguiente, hacia la izquierda, las rojas. Considerando el canje establecido y contando todas las fichas, cuántas fichas azules debiera tener cada alumno?... y... En el tercer ábaco juntamos todas las fichas. Debes tener algo como lo siguiente: Considerando el canje de una roja por seis azules, estableces la situación final de las fichas en el tercer ábaco que aparece a continuación. Sistema de Numeración Decimal De aquí en adelante vamos a considerar sólo canjes de una ficha roja por diez azules. Partimos de una situación de conteo. Empezamos contando y representado acciones u objetos hasta el 9. Por ejemplo, si pedimos ubicar 7 fichas en ambos ábacos, la situación será la siguiente: 4

5 Actividad 6. La primera dificultad con la que nos vamos a encontrar a la hora de construir nuestro sistema de numeración decimal es la formación de la primera decena (la construcción del 10). Qué pasará cuando queramos contar diez cosas? Cómo las representaremos? Evidentemente, todos los alumnos colocarán las diez fichas azules en la columna de las azules. Tendremos que inventarnos algo para construir nuestro sistema de numeración decimal. Recuerdas los cambios de fichas que hacíamos? Bien, el cambio que vamos a hacer es que por cada diez fichas azules que tengamos las vamos a cambiar por una ficha roja, que colocamos en la columna de las fichas rojas. Es imprescindible que el niño asimile la equivalencia establecida, y que le ayudemos a comprender que el cero significa que no hay fichas azules en la columna de la derecha. Por eso la representación del diez en el ábaco plano es 1 (una ficha roja en la segunda columna) y 0 (ninguna ficha azul en la primera de la derecha). El convenio de que una ficha roja en la segunda columna vale por diez fichas azules en la primera columna, nos va a permitir seguir avanzando en la construcción del sistema posicional de base 10. A partir de aquí, introducimos el concepto de decena. Los alumnos representarán, sin mayor dificultad, los números, entendiendo por qué se escriben así. Más adelante haremos actividades para construir decenas completas, trabajar el valor de posición de las cifras de un número, así como reconocer el valor del cero según la posición que ocupe. De esta forma llegamos a tener lo siguiente: 5

6 Actividad 7. Representar el 15 en el ábaco plano Una vez que tienes ubicadas las fichas, escribe la cantidad de éstas en la última fila. Ahora saca de a una todas las fichas azules y anota el número de fichas que van quedando. Se efectuarán todas las representaciones que hagan falta para que el alumno comprenda cómo se forman los números y el por qué de su escritura. Les haremos preguntas como: Cuántas fichas azules tienes? Y rojas? Si cambio las rojas por azules, cuántas azules tengo? encaminadas a la comprensión de que la decena está formada por diez unidades del orden inmediatamente inferior. A continuación podemos hacer la actividad recíproca, es decir, le damos a los alumnos números escritos en el ábaco plano y éstos tienen que hacer la representación. Actividad 8. Representa los números que aparecen en la última fila de cada ábaco. 6

7 El Ábaco Vertical Abierto El ábaco es uno de los recursos más antiguos utilizados en didáctica de las matemáticas. Está formado por un soporte de madera y una serie de varillas paralelas. En estas varillas se van introduciendo fichas, con la condición de que en cada varilla no pueden haber más de nueves fichas. Cada varilla representa un orden de unidades: unidades, decenas, centenas. Dejaremos, paulatinamente, de lado el color, pero para empezar asociamos el azul con la primera varilla derecha y el rojo con la que está a la izquierda de ésta. No olvidar que el canje aquí estipula que 10 fichas en una varilla corresponde a una ficha en la varilla inmediatamente a la izquierda 1 roja por 10 azules). Veamos ejemplos para una mejor comprensión de la idea. Actividad 9 La siguiente figura muestra la representación del número 7 en el ábaco plano y en el abierto. Actividad 10 Representa el número 13 en el ábaco plano y su equivalente en el abierto. 7

8 Escribimos el siguiente de un número Esta actividad la pueden realizar por parejas. Un alumno representa un número en el ábaco vertical y lo escribe en el ábaco plano. El compañero tiene que hacer la representación del número siguiente y efectuar la misma operación. La dificultad, y por tanto el punto de aprendizaje, se presentará cuando haya que construir una nueva decena. La acción que tenemos que valorar es ver si el alumno, efectivamente, cambia las 10 bolas azules de la varilla de la derecha, por una bola roja, y la introduce en la varilla siguiente. Actividad 11 Hay que representar los siguientes números, en el mismo órden, 17, 18, 19, 20, 21 en el ábaco plano y en el vertical 8

9 Quién es mayor? Con esta actividad queremos trabajar el valor de posición de las cifras, que el alumno comprenda que el valor de la cifra 1 en los números 18 y 31 no es el mismo. Actividad 12 En los ábacos siguientes representa los números 18 en el de la izquierda y el 31 en el de la derecha. La pregunta es: Qué número es más grande? Si el alumno se fija en el número de fichas, evidentemente la representación del número 18 en el ábaco tiene más bolas que la representación del numero 31. El punto de enseñanza está en hacer que el niño comprenda que la cifra que ocupa el lugar de las decenas es en la que nos tenemos que fijar para saber qué número es mayor. Para los alumnos que pudieran haberse dejado llevar por la percepción visual, y hubieran dicho que el 18 es más grande que el 31, habría que recordarles el cambio: una ficha roja en la segunda varilla, vale por 10 bolas azules en la varilla de la derecha. Entonces haremos que el niño cuente las fichas azules que hay en cada representación. Volveremos a pedirle al alumno que deshaga el cambio para que queden los números representados como al principio. Preguntamos de nuevo: Qué número es, entonces, más grande? Número con ceros La idea a trabajar con esta actividad es que cuando no haya fichas en una varilla, lo representamos con la cifra cero. Así, el alumno tendrá que distinguir entre la representación del 05 y del 50. El proceso sería parecido a que empezáramos construyendo, al mismo tiempo, en el ábaco vertical y en el ábaco plano, las decenas completas hasta el 90, a través de situaciones de conteo que fueran múltiplos de 10. Actividad 13 En los ábacos siguientes representa los números 30, 50, 70, 80, 90. 9

10 A partir de este momento damos nuevos nombres a las fichas azules, unidades (U) y a las rojas decenas (D) Números de tres cifras Se recuerda que seguimos con el canje de 1 ficha roja por 10 azules y que ahora agregamos el canje de 1 ficha amarilla por 10 rojas. Actividad 13 La representación del número 99, en los ábacos plano y abierto es En tu ábaco plano agrega una ficha azul en las unidades (U) cuántas fichas azules tienes?... Es correcto, pero no olvides que el canje es una roja por diez azules, lo que significa que NUNCA puedes tener más de 9 fichas en un color Qué se te ocurre hacer? Dijiste hacer el canje! correcto, hazlo notar en el siguiente ábaco (rojas por azules) 10

11 Ahora pasa algo similar, la cantidad de fichas rojas es... Luego, debes hacer canje de fichas. Hazlo en el siguiente ábaco Escribe, en la parte inferior del ábaco, el número que ha resultado. También anota en el ábaco abierto el equivalente al número que pusiste en el ábaco plano Actividad 14 Escribir en el ábaco plano y vertical abierto los siguientes números: 123, 231, 132, 213, 321,

12 Iniciación a la suma Los alumnos ya saben juntar las fichas de dos ábacos en un tercero y hacer los agrupamientos pertinentes. Vamos a pasar de la fase manipulativa y gráfica, a una fase más abstracta: la representación numérica en el ábaco plano del resultado de la operación. En un principio no introducimos el algoritmo clásico de la suma. Se hará posteriormente, cuando el alumno haya interiorizado el sentido de la operación a través de diversas situaciones como la que a continuación explicitamos: La actividad la realizamos por parejas. Cada pareja cuenta con tres ábacos. Cada alumno representa en su ábaco (tanto en el vertical, como en el ábaco plano) un número (estaremos pendientes de que las fichas que se introduzcan en las varillas equivalentes de los dos ábacos, al sumarlas, no superen la decena). Por ejemplo: 12

13 A continuación, cada uno de los alumnos traspasa las fichas de su ábaco, al tercer ábaco, a las varillas equivalentes, respetando el orden de éstas, es decir, las fichas azules en la varilla de la derecha y las fichas rojas en la varilla siguiente. Estamos efectuando la operación. Cada alumno anota el resultado en su ábaco plano. Como en la realización del algoritmo habitual de la suma, en el ábaco introducimos primero las fichas que corresponden a las unidades y posteriormente las que corresponden a las decenas. Un punto de estudio interesante es dar a los alumnos un número en el ábaco plano y que ellos hagan la representación en dos sumandos en los ábacos verticales. Cuando hayamos hecho varias actividades de este tipo, conviene que los alumnos hagan cada suma en el papel (en el mismo ábaco plano), y que se percaten que las unidades se suman con las unidades; y las decenas con las decenas. Actividad 15 El alumno 1 representa en los ábacos plano y vertical el número 44. El alumno 2 representa el 23. En los ábacos siguientes juntan las fichas, recuerdan lo del canje y escriben la cantidad de fichas reunidas 13

14 Con más actividades y si los alumnos han comprendido el proceso llevado hasta ahora, estamos en disposición de introducir la suma con llevadas. La manera de proceder es la misma: trabajo por parejas, cada pareja con tres ábacos. Decimos a cada alumno que represente un número en su ábaco (ahora tendremos que estar pendientes que esos números sobrepasen, al sumarlos, la decena en el orden de las unidades). Por ejemplo: En el tercer ábaco, al juntar las fichas de los dos ábacos correspondientes a las unidades, nos encontramos con que en la varilla de la derecha tenemos que introducir 14 fichas azules. Es el momento de recordar el trabajo previo con los agrupamientos y el cambio de fichas. Cada 10 fichas azules en la primera varilla, las cambio por 1 ficha roja en la varilla siguiente (empieza a tener sentido la frase famosa me llevo una ). Por lo tanto el resultado, después de contar las fichas en el ábaco será: Como en toda operación, la idea es ir dejando paulatinamente el apoyo manipulativo y el apoyo gráfico, para terminar con la representación abstracta de los números y de la operación que se realizó con ellos. Actividad 16 El alumno 1 representa en los ábacos plano y vertical el número 54. El alumno 2 representa el 37. En los ábacos siguientes juntan las fichas, recuerdan lo del canje y escriben la cantidad de fichas reunidas 14

15 Iniciamos la resta El comienzo de esta actividad es muy parecido al proceso seguido con la suma. Conviene plantear la suma y la resta de manera simultánea. El orden en la que se presentan aquí es pura anécdota. Empezaremos trabajando por parejas. Cada niño tendrá un ábaco. Les pediremos que representen cada uno de ellos un número en su ábaco (con cuidado de que uno de ellos sea mayor que el otro en todos sus órdenes de unidades). Al igual que en la suma, no introducimos el algoritmo hasta que se hayan trabajado suficientes actividades de este tipo. Por ejemplo: La primera pregunta que les hacemos a los niños es: Cuál de los dos números es mayor? Una vez solucionada la pregunta, iremos quitando al número mayor tantas fichas azules y tantas fichas rojas como fichas azules y rojas hay en el otro ábaco. Este proceso conviene que lo hagamos de manera ordenada, para no confundir a los alumnos: por cada ficha que quito en el ábaco del número menor, quito una ficha en el ábaco del número mayor del mismo color y de la misma varilla. Por último representamos en el ábaco plano el resultado obtenido. Al igual que con la suma, si los alumnos han comprendido bien este proceso, es hora de introducir la resta con llevadas. Tenemos que empezar recordando a los alumnos los juegos de cambios de fichas que hacíamos al principio. De igual forma, hemos de trabajar los cambios recíprocos (deshacer los cambios). El proceso podría ser como sigue: Representamos las cantidades 53 y 28 en dos ábacos. Comparamos las cantidades y decidimos cuál es la mayor. El ábaco con mayor cantidad de ficha (53) lo ubicamos a la izquierda y el otro a la derecha. Comenzamos a quitar fichas, empezando por la varilla de las unidades. Preguntamos es posible a 3 fichas quitarle 8? Se procede a recordar lo del canje de 10 fichas azules por una roja. Al pedirles que hagan este canje, la situación en el ábaco es la siguiente 15

16 En el ábaco que hace de minuendo tenemos ahora 4 fichas rojas (una menos de las que teníamos) y 13 fichas azules, diez más de las que teníamos. Lo que hay que hacer ver a los alumnos es que, aunque tengamos distinto número de fichas, el número representado es el mismo. Y por lo tanto, ahora si podemos ir quitando fichas, como lo hacíamos antes, y el resultado es: El algoritmo para la resolución de la operación es el de todos conocidos: Una consideración importante es que las fichas van a perder la propiedad del color, es decir, tomarán el valor dependiendo de la varilla en la que la introduzca. Es un paso más en la adquisición del valor de posición de la cifra. Ya sin colores, el maestro(a) indica si coloco esta ficha aquí (en la primera posición de derecha a izquierda) la ficha vale... 16

17 Los niños y niñas debieran decir que 1. Como en la primera barra de la derecha no hay 10, se dicen que son unidades de orden cero y se simbolizan como Por supuesto que esta es una explicación de la lógica del ábaco para el maestro, que obviamente no se transmite a los niños, pero que se debe tener en cuenta cuando se utiliza este instrumento. Si la coloco aquí (posición correspondiente a la barra siguiente), vale... La respuesta es evidentemente 10. En la barra siguiente (de derecha a izquierda) cada ficha vale 10, entonces esa barra corresponde con las unidades de orden 1, que se representa como 10 1 y que se denominan decenas. Los alumnos deben entender que en el ábaco, el valor de las fichas cambia al cambiar de posición y que una ficha en la barra que vale 10 equivale a 10 fichas en la barra que vale 1. El profesor ahora puede preguntar por el valor que tienen las dos fichas que muestra el ábaco. A partir de esto, el profesor o profesora puede mover las fichas e ir preguntando el valor y corrigiendo los errores. Otra estrategia que resulta adecuada para que los alumnos entiendan la equivalencia y la composición es pedirles representar los números 9, 99 y 999 y pedirles que agreguen 1 ficha más y muestren el efecto que se ha producido. A medida que los alumnos entienden la lógica del sistema, el maestro les pide representar los números que él les dicte. 1. Representar en el ábaco

18 Análisis del ábaco Es claro de los ejemplos anteriores, que este es un material claramente posicional, es decir que ofrece como propiedad, la posibilidad de trabajar con el valor de posición. De esta manera y trabajando adecuadamente, el material coincide con la escritura de numerales. Observemos en detalle como se registra el valor de posición dentro del material: Una misma ficha en diferentes posiciones, representa un valor que corresponde a cada unidad del SNBD (Sistema Numérico de Base Diez). Esto es análogo a lo que ocurre con la escritura de numerales: un dígito escrito en una posición particular, representa el valor de una unidad del SNBD. Para el ejemplo de la gráfica anterior, el numeral a escribir es El cero se representa en el ábaco con la ausencia de fichas. Cada ficha representa al numero de veces que se repite la unidad. De esta manera, las fichas son los operadores del sistema. En el SNBD los operadores son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Por esto, cuando se trabaja con el ábaco de manera adecuada, en cada barra no pueden haber más de 9 fichas. 10 fichas en una barra equivalen a una ficha en la unidad siguiente. Ejercicios Resolver: 1. Sumar, en la tercera fila, las cantidades indicadas en la dos primeras fila, e indicar la cantidad 2. Restar, en la tercera fila, las cantidades indicadas en la dos primeras fila, e indicar la cantidad 18

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