REGULACION DE LAS MODALIDADES DE PENSION EN LOS SISTEMAS DE CAPITALIZACION DE AMERICA LATINA*

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1 REGULACION Revista de Análisis DE Económico, LAS MODALIDADES Vol. 17, Nº DE 2, pp. PENSION (Diciembre 2002) 49 REGULACION DE LAS MODALIDADES DE PENSION EN LOS SISTEMAS DE CAPITALIZACION DE AMERICA LATINA* ANA LEJARRAGA GARCIA** CARLOS VIDAL MELIA** JOSE E. DEVESA CARPIO** Universidad de Valencia, España Abstract In this paper we analyze the different types of pension plans available in those Latin American countries which have pension systems based on individual capitalization accounts with defined contributions. Based on ideas first put forward by Yaari (1965) and developed by Kotlikoff and Spivak (1981) and Brown (1999), we set out an optimization model to determine the expected utility of each type of pension plan according to the different preferences and perceptions of the individual. We also carry out an analysis of individual welfare based on the concept of equivalent wealth. Finally, other characteristics are gradually incorporated into the basic model in order to answer whether the types of pension plans available should be limited exclusively to lifetime annuities, as is the case in most countries with pay-as-you-go systems and in some countries with capitalization systems, or whether the individual should have some degree of freedom to choose according to his personal circumstances and preferences. * Este trabajo ha recibido una ayuda financiera de la Fundación de Cajas de Ahorros Confederadas para la Investigación Económica y Social (FUNCAS). Los autores agradecen la ayuda recibida en los aspectos más matemáticos de R. Meneu y, especialmente, de M. Ventura, así como los valiosos comentarios y sugerencias realizados por dos evaluadores anónimos, el comité editorial y por R. Soto, editor de la Revista de Análisis Económico. Versiones preliminares de este trabajo han sido presentadas en tres congresos internacionales celebrados en México, Portugal y España. Cualquier error que pueda contener el trabajo es enteramente imputable a los autores. ** Facultad de Economía. Departamento de Economía Financiera. ana.larraga@gseguros.com. carlos.vidal@uv.es. enrique.devesa@uv.es (autor al que debe dirigirse la correspondencia).

2 50 REVISTA DE ANALISIS ECONOMICO, VOL. 17, Nº 2 I. Introducción Un numeroso grupo de países de América Latina ha transformado parcial o totalmente sus sistemas de pensiones 1 en sistemas de capitalización individual de aportación definida, en donde alcanza una mayor importancia la idea de responsabilidad individual y libertad de elección. Se ha buscado con estos sistemas una consolidación de los mercados de capitales, una reducción de la carga estatal, una mayor participación de la gestión privada y del individuo en la previsión de los riesgos personales, una mayor equidad, la diversificación de los riesgos asociados a los sistemas puros y, sobre todo, un aumento de la claridad y transparencia del sistema al hacerlo más independiente de los vaivenes políticos, aunque, por lo sucedido en Argentina, todavía no lo suficiente. Chile (1981) fue el pionero en las reformas y, quizás, el que la ha llevado a la práctica de la forma más drástica, debido a sus especiales condiciones políticas en el momento de la reforma. En la década siguiente, Perú (1993) y Colombia (1993) fueron los que, tomando elementos del modelo chileno, reformaron sus sistemas, pero manteniendo en paralelo el sistema público de reparto. Argentina (1994) creó un sistema integrado, en donde la pensión proviene de diversas fuentes. Uruguay (1995) introdujo un sistema similar al argentino, pero ha cerrado la incorporación al sistema antiguo. México (1995) ha establecido un sistema con muchos puntos en común con el chileno, pero con administración pública y privada de los fondos. También Costa Rica (1995 y 2000), Bolivia (1997), El Salvador (1998) han realizado recientes reformas, siendo estos dos últimos, los países que se aseman más al modelo pionero. Las modificaciones de los sistemas previsionales se están extendiendo a otros países de América Latina 2. Este trabajo se va a ocupar, mediante el desarrollo y aplicación de un modelo de optimización, de proporcionar mayor información para poder hacer frente a la importante decisión que debe adoptar, en el momento de su jubilación, el pensionista que provenga de un sistema de capitalización de aportación definida: cómo distribuir sus ingresos a partir de esa fecha. Para ello se van a utilizar dos elementos fundamentales: la cuantificación de la utilidad esperada y la medición del bienestar mediante la denominada riqueza equivalente. Además, para dicho análisis se deberán tener en cuenta, entre otras, las siguientes cuestiones: sus expectativas de vida, motivaciones respecto a la posibilidad de dar una herencia, la mayor o menor impaciencia por el consumo, la protección frente a riesgos de difícil aseguramiento, su situación personal (casado o soltero), la posible existencia de otras pensiones de la Seguridad Social en forma de renta y las modalidades de pensión disponibles. Parece lógico que esta decisión sea mucho más compla en los sistemas de aportación definida que en aquéllos en los que las prestaciones ya estén predeterminadas. Uno de los elementos más importantes, desde el punto de vista económico, que debe abordar el pensionista, gira en torno a la decisión de contratar o no una renta vitalicia. En el caso de que así lo haga, la compañía de seguros asume el riesgo de longevidad del asegurado y garantiza un determinado tipo de interés a cambio de una prima única. Sin embargo, está empíricamente contrastado, Friend-

3 REGULACION DE LAS MODALIDADES DE PENSION man y Warshawsky (1990) o Brown (1999), el hecho de que muy pocos individuos contratan rentas aseguradas voluntariamente, sin que se conozcan los motivos exactos que provocan esta escasez de demanda, aunque se sabe que existen determinados factores que influyen en esta decisión. Esto ha conducido a una serie de investigaciones para encontrar soluciones al denominado enigma de las rentas en Estados Unidos. Entre las explicaciones estudiadas está el papel que desempeñan los motivos de herencia (Bernheim, 1991; Abel y Warshawsky, 1990), selección adversa y costos de administración (Friendman y Warshawsky, 1988; Mitchell et al., 1999), y la capacidad de las familias para agrupar riesgos y así sustituir el mercado de rentas privadas (Brown y Poterba, 2000; Kotlikoff y Spivak, 1981). Otros motivos son: la existencia de pensiones de la Seguridad Social, la escasa flexibilidad en la forma de cobro de las prestaciones, la falta de conocimiento por parte de los consumidores sobre el beneficio que supone cobrar en forma de renta vitalicia o el diferente tratamiento fiscal al que se ven sometidas en algunos países las distintas modalidades de pensión (que no siempre benefician a la alternativa de cobro en forma de renta vitalicia). El trabajo se estructura de la siguiente manera: en la sección II se realiza un análisis de las modalidades de pensión disponibles en los países de América Latina con cuentas de capitalización individual de aportación definida. Posteriormente, se desarrolla un modelo de optimización basado en el planteamiento inicialmente realizado por Yaari (1965), desarrollado por Kotlikoff y Spivak (1981) o Brown (1999), entre otros, y que se aplica para determinar la utilidad esperada que proporciona cada una de las modalidades de pensión analizadas en función de las distintas preferencias por el consumo y percepciones sobre el riesgo de los individuos. Una diferencia importante respecto a otros trabajos es que se introduce el retiro programado, modalidad con gran implantación en los países de América Latina. También se realiza un análisis del bienestar individual a partir del concepto de riqueza equivalente en la sección V. Posteriormente, al modelo básico se le van incorporando, en la sección VI, diversas características con el fin de poder contestar a la pregunta de si las modalidades de pensión disponibles se deberían limitar exclusivamente a las rentas vitalicias, tal y como ocurre en los sistemas de reparto, o dar algún grado de libertad para que el individuo pueda ajustarse a sus circunstancias y preferencias personales. Finalmente, en la última sección se presentan las conclusiones del estudio. II. Modalidades de Pensión en los Países de América Latina con Cuentas de Capitalización Individual La descripción de las modalidades de pensión 3 se va a centrar en los países de América Latina con sistemas de pensiones reformados, tomando como referencia el caso chileno y comentando las particularidades de otros países. Las opciones básicas de cobro de la pensión de jubilación en Chile son: renta vitalicia, retiro programado, o una combinación de ambas. También, en Colombia, Perú y El Salvador se pueden encontrar las mismas opciones (véase Tabla 1). En los otros

4 52 REVISTA DE ANALISIS ECONOMICO, VOL. 17, Nº 2 TABLA 1 MODALIDADES DE PENSION EN LOS PAISES DE AMERICA LATINA Países Modalidades Chile Perú Colombia Argentina Uruguay México Bolivia El Salvador Costa Rica Retiro Programado Sí Sí Sí Sí No Sí No Sí No Retiro Fraccionado No No No Sí No No No No No Retiro Permanente No No No No No No No No Sí Renta Vitalicia Sí Sí Sí Sí Sí Sí Sí Sí Sí Retiro Programado o Renta Temporal con Renta Vitalicia Diferida Sí Sí Sí No No No No Sí No Excedente de Libre Disponibilidad 5 Sí Sí Sí Sí No Sí No Sí Sí Fuente: Elaboración propia basada en Vidal, Lárraga y Devesa (2002) y diversos Organismos Reguladores países contemplados hay más variaciones. Asimismo, cabe señalar que en algunos países no todos los pensionistas pueden escoger modalidad de pensión, sino sólo aquéllos que pueden financiar una renta vitalicia superior a la pensión mínima establecida en su caso. En el retiro programado, el afiliado obtiene el cobro de la pensión con cargo al saldo de su cuenta de capitalización individual (CCI), que al permanecer bajo la responsabilidad y gestión de la administradora permite que el jubilado se beneficie de la rentabilidad del Fondo. La pensión se fija por períodos anuales y se expresa en unidades de fomento, que es una unidad monetaria que se corrige mensualmente de acuerdo a la variación del Indice de Precios al Consumidor (IPC) del mes anterior 4. La cuantía se calcula considerando el saldo de la cuenta individual, el tipo de interés técnico definido por ley y las expectativas de vida del trabajador y de su grupo familiar según las tablas de mortalidad del Instituto Nacional de Estadísticas. El perfil que el contratante de esta modalidad suele poseer se caracteriza por: expectativa de vida reducida, tolerancia a la fluctuación anual del importe de la pensión (normalmente con perfil decreciente), preferencia por una eventual mayor rentabilidad de su fondo (el jubilado asume el riesgo de reinversión) y por dar herencia a familiares o terceros. La renta vitalicia es la modalidad de pensión que contrata el afiliado con una compañía de seguros de vida. Se suscribe un contrato irrevocable entre las partes

5 REGULACION DE LAS MODALIDADES DE PENSION por el que el afiliado transfiere los fondos de su cuenta individual a la compañía aseguradora, a cambio de lo cual ésta se obliga a pagar al nuevo pensionista una renta mensual fija de por vida expresada en unidades de fomento, una cuota mortuoria y pensiones de supervivencia a los beneficiarios, según sea el caso. El perfil del comprador de la renta vitalicia se caracteriza por: elevada expectativa de esperanza de vida, aversión al riesgo, preferencia por una pensión estable (con lo que renuncia a rentabilidades potencialmente elevadas a cambio de mayor seguridad), tener beneficiarios de pensión de supervivencia jóvenes. La administradora asume todos los riesgos, lo que se traduce en un mayor precio por sus servicios. La renta temporal con renta vitalicia diferida es una combinación de las dos modalidades de pensión antes referidas. En este caso, el afiliado contrata con una compañía de seguros de vida el cobro de una renta mensual a contar desde una fecha expresamente determinada, quedando la diferencia en una cuenta de capitalización individual de la que el pensionista recibe una renta temporal durante el período que transcurrirá hasta que entre en vigor la renta vitalicia diferida. En esta modalidad, el afiliado mantiene la propiedad de los fondos de la renta temporal y, por lo tanto, durante este plazo asume el riesgo financiero. El fondo restante es transferido a la compañía de seguros con la que contrató la renta vitalicia diferida, compañía que pasa a ser propietaria de los fondos, por lo que queda obligada a asumir los riesgos financiero y de supervivencia del afiliado. La renta vitalicia que se contrate no puede ser inferior al 50% del primer pago de la renta temporal ni superior al 100% de dicho pago. En este caso, el perfil del contratante presenta similares características al anterior, pero tiene preferencia por una mayor pensión al inicio. En la mayoría de los países, la renta vitalicia es de tipo familiar : el afiliado contrata con una compañía de seguros de vida el cobro de una renta mensual hasta su muerte y una pensión de supervivencia para sus beneficiarios. En algunos países aparecen también las rentas vitalicias con período de pago garantizado. Las particularidades más relevantes son las que a continuación se indican. En Bolivia, existen dos opciones: renta vitalicia fija y mensualidad vitalicia variable. Esta última modalidad se puede definir como un retiro programado de grupo. Se diferencia del retiro programado normal porque cubre el riesgo de supervivencia individual, aunque, al contrario de la renta vitalicia, no otorga garantía demográfica alguna, lo cual abarata su precio. En realidad, es un tipo de autoseguro de supervivencia asumido por el grupo de personas que, permaneciendo en la misma administradora, han elegido esta modalidad. Además, se suele ofrecer la posibilidad de poder invertir el saldo entre Fondos con diferentes combinaciones de rentabilidad-riesgo. En Perú, la cuantía de la renta es constante en el tiempo, si bien en el caso de renta vitalicia familiar, cuando se percibe en soles, se reajusta la pensión por el índice de precios al consumo de la ciudad de Lima (IPC) o el indicador que lo sustituya, mientras que si se percibe en dólares no se reajusta según dicho IPC. El retiro fraccionado es una modalidad exclusiva del sistema argentino y sólo pueden optar aquellos afiliados cuyo saldo en su CCI no alcance el mínimo para

6 54 REVISTA DE ANALISIS ECONOMICO, VOL. 17, Nº 2 obtener una prestación periódica mínima (teniendo en cuenta una serie de aspectos, como la esperanza de vida, etc.), extinguiéndose al agotarse el saldo de la CCI o a la muerte del afiliado. En la mayoría de los países, si el afiliado obtiene una pensión superior a un determinado límite, puede utilizar el llamado excedente de libre disponibilidad para el uso que el afiliado estime conveniente. Por último, en Costa Rica, según la Ley 7.983, los afiliados al Régimen Obligatorio de Pensiones Complementarias podrán utilizar sus recursos para comprar una renta vitalicia o acogerse a una renta permanente. Los afiliados podrán elegir una o ambas formas y modificar su elección sólo para trasladarse de una renta permanente a una renta vitalicia. En la modalidad de renta permanente, el afiliado mantiene los fondos en la administradora, pero cada mes recibe a cambio los rendimientos generados. Una vez que fallezca, el monto principal lo hereda la persona o personas que él decida. Asimismo, en la legislación se establece que el Conso Nacional podrá autorizar otras modalidades de prestaciones, siempre y cuando se respete el principio de seguridad económica de los afiliados, y no contravengan los principios de la Ley En resumen, de acuerdo con todo lo anterior, los países de América Latina se pueden agrupar en tres clases diferentes: a) Países en donde no existe libertad de elección y obligatoriamente la modalidad de pensión tiene que ser la renta vitalicia: Bolivia y Uruguay. b) Países en los que sí existe cierta libertad de elección y no hay rentas preexistentes procedentes del primer pilar del sistema de pensiones: Chile, Colombia, México, El Salvador y Perú, cuya problemática se corresponde principalmente con la planteada en la sección IV. c) Países en los que sí existe cierta libertad de elección y puede haber rentas preexistentes procedentes del primer pilar del sistema de pensiones: Argentina y Costa Rica, cuya problemática se analiza, principalmente, en la sección VI. En las secciones siguientes se va a estudiar cuál es el impacto sobre la utilidad y sobre el bienestar del individuo de la elección de algunas de las modalidades expuestas en la Tabla 1. III. El Modelo Básico de Elección de la Modalidad de Pensión En la fecha de jubilación, el individuo debe decidir cómo distribuir su riqueza acumulada, para asegurarse de que podrá hacer frente a sus necesidades de consumo futuras, intentando maximizar la utilidad esperada que obtendrá con el flujo de consumo elegido. Se supone que el individuo puede destinar la totalidad de su riqueza a alguna de las modalidades de pensión que se han descrito en la sección anterior. Más formalmente, obtener el flujo de consumo óptimo en este modelo de ciclo de vida multiperíodo y estocástico (la incertidumbre deviene de la fecha en la que el individuo fallecerá) requiere aplicar técnicas de optimización multi-

7 REGULACION DE LAS MODALIDADES DE PENSION período o dinámicas. No se considera otro tipo de incertidumbre asociada al tipo de interés, evolución de la mortalidad o de la tasa de inflación. Sea U(C t ) la función de bienestar del período correspondiente a la edad t, definida sobre el consumo (C t ); δ es la tasa pura de preferencia del tiempo, es decir, el factor de actualización exponencial clásico de la utilidad futura; ω el máximo largo de vida posible de un individuo; la edad de jubilación. La utilidad esperada (UE) viene dada por la siguiente expresión: UE = 1 UC ( t ) ( 1 + δ ) ω P t+ 1 t+ 1 (1) donde: t+1 P : Probabilidad de que un individuo de edad cumpla t +1 años más. Se parte de la hipótesis de que los individuos manifiestan una aversión relativa al riesgo constante (lo que implica una aversión absoluta al riesgo decreciente), y que su función de utilidad del consumo adopta la siguiente forma: Ct t+ 1 ( β UC ( t ) = Ct Ln t+ 1 ( β 1, si β 1, si β = 1 (2) donde β, coeficiente de Pratt-Arrow, representa tanto la aversión al riesgo como la inversa de la elasticidad de la sustitución intertemporal del consumo, lo que significa que para un valor de β elevado, el individuo está menos dispuesto a sustituir consumo a lo largo del tiempo en respuesta a incentivos proporcionados a través del tipo de interés. Una comodidad analítica que brinda la elección de esta función de utilidad es que el problema permanece invariable a la escala de la riqueza. Además, se considera como hipótesis adicional que el estado civil del individuo es soltero, lo que no supone una pérdida de generalidad del modelo, ya que los resultados alcanzados por Brown (1999) indican que la capacidad del modelo simple de ciclo de vida para predecir la conducta en las rentas es más fuerte entre solteros 6. Asimismo, se adopta el supuesto de que no existen motivos de herencia, lo que matemáticamente significa que la riqueza en cada momento no tiene que

8 56 REVISTA DE ANALISIS ECONOMICO, VOL. 17, Nº 2 tener un nivel mínimo. En relación con esta última hipótesis, en el último trabajo citado se pone en duda 7 la importancia de los motivos de herencia en la influencia de las decisiones marginales de comprar rentas. Esto indica que un modelo simple de ciclo de vida sin herencia 8 genera predicciones que son consistentes con la conducta marginal de compra de rentas vitalicias y, como tal, proporciona una primera y útil aproximación de la conducta del consumidor. 3.1 El individuo no tiene acceso al mercado de rentas vitalicias Suponiendo separabilidad y aditividad del consumo a lo largo del tiempo y que el individuo no tiene acceso al mercado de rentas actuariales, el problema del consumidor se puede plantear, si se especifica la relación entre consumo y riqueza de acuerdo con la restricción (4), como: max C 1 UC ( ) ( 1 + δ ) ω t t+ 1 t+ 1 P (3) s.a. Ct = Wt Wt+ 1 (4) W t 0, t (5) donde: W t : Riqueza correspondiente a la edad t. r : Tipo de interés real del mercado (se supone constante a lo largo de la vida del jubilado). π : Tasa de inflación esperada. El flujo de consumo óptimo se obtiene a partir de las siguientes ecuaciones 9 : C ( ω ) W Wω t ω 1 1 β ( t ( -1) ) = r β ( 1 t P δ [ 1 r] + (6) C t = C ( 1 + t t r β t P β [ + 1] (7) 1 + δ Como se deduce de las ecuaciones (6) y (7), la elección del consumo óptimo depende de: la aversión al riesgo del jubilado, la relación entre el tipo de interés

9 REGULACION DE LAS MODALIDADES DE PENSION de mercado y la tasa de preferencia del tiempo y de las probabilidades de supervivencia en cada momento. En el caso de que el tanto de descuento de la utilidad sea mayor o igual que el tipo de interés, el flujo de consumo es decreciente en términos reales. En caso contrario, la evolución del consumo dependerá del peso relativo de la mencionada relación sobre la probabilidad de vida El individuo puede contratar una renta vitalicia a cambio de una prima única En este apartado se considera el caso en que el individuo, para protegerse del riesgo de longevidad, decide contratar una renta vitalicia de cuantía inicial A, a cambio de una prima única de importe igual a W RENTAS : A WRENTAS = ω t ( 1 + α) θ ( [ ] * t -1) t+ 1 P (8) A = A ( 1 + α ), t (9) t Se trata de una renta vitalicia creciente con un incremento anual acumulativo igual a α. En el caso de que la renta esté indizada a la inflación, α coincidirá con π. Cuando α es igual a 0, la renta es constante, es decir, decreciente en términos reales. El término θ representa los gastos de gestión que cobra la compañía de seguros. Normalmente θ = [ 1+ ggi ] 1 gge, donde ggi son los recargos que establece la compañía por concepto de costo de administración de la póliza de seguros, mientras que el factor gge corresponde a los gastos de gestión externa aplicados por concepto * de gastos derivados de la comercialización de la póliza; t + 1 P es la probabilidad de que un individuo de edad alcance la edad t+1, en función de las tablas de mortalidad utilizadas por la compañía de seguros; y W RENTAS es la parte de la riqueza inicial que el individuo destina a la contratación de la renta vitalicia. Como hipótesis adicional se ha supuesto que el nivel de renta al que el individuo puede acceder cuando contrate la renta vitalicia es superior al mínimo garantizado que establecen determinados sistemas de pensiones. En este caso, la restricción dada por la riqueza se puede plantear: t t Wt 1 = Wt π) + A( 1+ α ) C (10) + W t 0, t (11) siendo W la riqueza inicial, deducida la riqueza destinada a rentas. t

10 58 REVISTA DE ANALISIS ECONOMICO, VOL. 17, Nº 2 La restricción así expresada es similar a la que plantean Brown, Mitchell y Poterba (1999): el individuo, al enfrentarse al problema de optimización, valora el consumo de forma análoga al caso en que no tiene acceso a las rentas, sin aplicarle, explícitamente, las probabilidades de vida en la restricción. La diferencia viene dada porque ahora existe un flujo de ingresos cierto igual a la renta vitalicia (que la compañía de seguros pagará al asegurado mientras viva). En este caso, la solución analítica obtenida a partir de las ecuaciones de Euler, de forma similar al problema con la restricción Kotlikoff y Spivak (1981) 11, conduce a valores de la riqueza negativos en prácticamente la totalidad de los casos. La incorporación explícita de la condición de no negatividad de la riqueza comporta que no sea posible reducir la solución a una expresión analítica, por lo que se ha recurrido a considerar el modelo como un problema de optimización no lineal multiperíodo que permita obtener el consumo óptimo y la utilidad esperada. 3.3 El individuo puede contratar un retiro programado Algunos países, tal y como se ha comentado en el apartado anterior, al reformar sus sistemas de pensiones, han optado por incluir, con determinadas restricciones, la modalidad de pensión en forma de retiro programado 12. En este tipo de renta, el jubilado mantiene una cuenta de capitalización individual, pudiendo retirar el importe que se obtiene de dividir el saldo acumulado en su cuenta por el capital necesario para pagar una unidad de pensión. El cálculo se hace cada año, teniendo en cuenta además de la rentabilidad real alcanzada con el fondo acumulado que, como consecuencia de vivir un año más, cambia la relación entre los fondos disponibles y la esperanza de vida y que la tasa de interés técnico utilizada también se modifica cada año, en función de la evolución de los mercados. De esta forma, en cada edad t, el importe máximo de la renta que puede retirar vendrá dado por: A t W ( 1+ i)( 1+ = ϖ, t (12) 1 s+ 1 t s+ 1 tp * t ( 1+ i)( 1+ s= t t RP donde W t RP es el fondo acumulado en la cuenta de capitalización al inicio de la anualidad correspondiente a la edad t: W = W ( 1+ i)( 1+ A, t (13) t RP t RP 1 t 1 i es la rentabilidad que se espera obtener en la cuenta de capitalización, que en principio se supone igual a la realmente obtenida. Aplicando esta igualdad recursivamente se obtiene:

11 REGULACION DE LAS MODALIDADES DE PENSION ( + 1 W = W ( 1+ i)( 1+ π) A ( 1 i)( 1 π) ), t (14) t RP RP t t s= s t s Se supone que, en cada edad t, el individuo retira del fondo acumulado el importe de renta máximo permitido (A t ), y que mantiene una riqueza inicial no destinada a rentas W. Se supone, además, que si el consumo en el año que corresponde a la edad t es inferior al importe del retiro programado A t, el excedente pasa a formar parte de la riqueza no destinada a renta, es decir: Wt+ 1 = Wt( 1 + r)( 1 + Ct + At (15) Bajo este supuesto, el problema de maximización se concreta en: max C ω 1 UC ( ) ( 1 + δ ) t t+ 1 t+ 1 P (16) s.a. Ct = Wt Wt+ 1 + At (17) W t 0, t (18) siendo: 3.4 Utilidad esperada en el modelo básico RP W = W0 W (19) En este apartado, a partir de las tablas de mortalidad y supervivencia GRMF- 95, se ha calculado el valor de la utilidad esperada, en función de diferentes grados de aversión al riesgo, tipo de interés de mercado y tasa de preferencia de acuerdo con el modelo exponencial, tanto para hombres como para mujeres. A pesar de que no existe un consenso en la literatura acerca de cuáles son los valores del grado de aversión al riesgo que deban emplearse, en este estudio se han considerado valores 13 cercanos a los utilizados por Brown (1999). Asimismo, la facilidad o dificultad de cálculo de los distintos valores de la riqueza equivalente (que se estudiará en la sección IV) también es un elemento que influye en los valores del parámetro de aversión al riesgo elegidos por los distintos autores a la hora de realizar sus simulaciones. Así por emplo, los autores, como es el caso de Walliser (1999), que presentan expresiones analíticas para la determinación del consumo óptimo y el posterior valor de riqueza equivalente, no tienen dificultades con valores del parámetro de aversión al riesgo elevados, ya que no consideran explícitamente las condiciones de no negatividad. Cuestión muy distinta es la

12 60 REVISTA DE ANALISIS ECONOMICO, VOL. 17, Nº 2 utilización de métodos de optimización multiperíodo, que sí consideran dicho tipo de restricciones así como las variables duales cuando éstas se saturan, por lo que los valores de β elevados producen dificultades crecientes en los cálculos y requieren de programas informáticos de optimización no lineal específicos y de ordenadores adecuados. En este trabajo, el planteamiento matemático 14 se ha traducido al lenguaje de programación propio del paquete de programas de optimización LINGO 15 con el que se han obtenido los resultados que se presentan en las diversas tablas. Para los problemas de programación no lineal, el paquete informático LINGO utiliza un algoritmo basado en el método del Gradiente Reducido Generalizado 2 (GRG2); además para ayudar a obtener rápidamente una primera solución factible incorpora un algoritmo de programación lineal recursiva. El GRG2 está basado en el método del gradiente reducido de Wolfe, generalizado por Abadie y Carpentier, en el que la dirección factible de mora no es el gradiente reducido generalizado (GRG), sino una aproximación de segundo orden 16. Inicialmente, se ha considerado que la compañía de seguros no aplica ningún tipo de gastos en la contratación de la renta vitalicia a prima única, así como que las probabilidades que utiliza en la determinación de la prima coinciden con las probabilidades subjetivas del consumidor (las que él considera a la hora de valorar la utilidad esperada en función de la información adicional de que dispone). Además, se ha supuesto que el tipo de interés real del mercado, r, es el 3%, que el grado de aversión al riesgo puede tomar cuatro valores que representan suficientemente a los individuos, que la edad de jubilación es de 65 años tanto para hombres como para mujeres, y que la inflación es igual a r/2. Asimismo, se han establecido los siguientes valores de la tasa de preferencia según el grado de impaciencia del individuo y en función de la siguiente fórmula: δ = λ[ ( 1+ r )( 1+ π) 1], en donde los distintos valores de λ (2; 1,5; 1; 0,5; 0,25) califican a los individuos, respectivamente, como (A): Muy impaciente, (B): Impaciente, (C): Indiferente a la impaciencia, (D): Poco impaciente, y (E): Muy poco impaciente. Con todos estos datos, los valores de δ, para el caso general, son los que aparecen en la Tabla 2. Hay que señalar que en la mayoría de los trabajos citados no se suele hacer hincapié en el grado de impaciencia. Pocas veces se considera a las personas impacientes o muy impacientes; esto puede ser debido a que representan mayores dificultades de cálculo. Analizando la utilidad esperada, obtenida a partir del flujo de consumo futuro que maximiza dicha utilidad esperada en las diferentes situaciones, se puede establecer el perfil teórico de los individuos que tienen más probabilidades de destinar toda o parte de la riqueza acumulada en la jubilación a la contratación de una renta vitalicia indizada (I) o no indizada (NI). En la Tabla 17 2 se presenta un extracto de la jerarquización alcanzada. Aparentemente, las rentas vitalicias deberían ser obligatorias, tal y como ocurre en Bolivia y Uruguay, ya que en la mayoría de los casos son las que proporcionan una mayor utilidad esperada. La utilidad esperada sin destinar nada a rentas (SR) siempre está por debajo de la obtenida cuando se destina la riqueza acumulada a la contratación de una renta vitalicia con una compañía de seguros, a cambio de

13 REGULACION DE LAS MODALIDADES DE PENSION TABLA 2 JERARQUIZACION δ β Hombres Mujeres 0,7 1,5 2,9 4,4 0,7 1,5 2,9 4,4 A (0,0909) NI NI NI NI SR NI NI NI B (0,068175) NI NI NI NI NI NI NI NI C (0,04545) NI NI I I NI NI I I D (0,022725) I I I I I I I I E (0, ) I I I I I I I I una prima única, salvo en el caso de las mujeres poco adversas al riesgo y con gran impaciencia por consumir. Este resultado es consistente con las conclusiones de Yaari (1965) que afirma que, cuando no existen motivaciones para dar una herencia, el individuo siempre hará una mor valoración si puede acceder al mercado de rentas que cuando no tiene acceso a éste. La contratación de una renta constante en términos nominales (decreciente en términos reales o no indizada), resulta más útil que la contratación de una renta indizada respecto a la inflación (constante en términos reales), en individuos con impaciencia por el consumo. Si el individuo es indiferente al consumo dependerá de su actitud frente al riesgo: cuanto mayor sea su aversión al riesgo mayor tendencia tendrá a elegir una renta vitalicia indizada. En las Figuras 1 y 2 se representan los gráficos en los que aparece el flujo óptimo de consumo en términos reales, en el supuesto de que el consumidor, llegada la edad de jubilación, destinara una unidad monetaria a las siguientes modalidades: no tener rentas vitalicias, comprar una renta vitalicia constante en términos nominales, comprar una renta vitalicia indizada o bien optar por un retiro programado, tanto en el caso de hombres como de mujeres. En principio, los gráficos segundo y tercero de cada figura parecen los más adecuados para ilustrar el valor de las rentas vitalicias. Parece claro que estos instrumentos pueden morar la situación económica de las personas cuando no es posible el acceso al mercado de rentas, ya que dado que la esperanza de vida es incierta, el pensionista debería gastar lentamente la riqueza acumulada tras la jubilación para asegurarse un consumo adecuado en caso de vivir durante un período prolongado. Es constatable que este tipo de autoseguro es muy poco eficiente, ya que aumenta las posibilidades de que las personas consuman menos de lo que podrían haber consumido si supieran con exactitud la fecha de fallecimiento. La eficiencia de la modalidad de autoseguro se puede incrementar notablemente mediante la contratación de las rentas vitalicias que acumulan el riesgo de todos los individuos y permite proporcionar al pensionista un consumo mayor y más

14 62 REVISTA DE ANALISIS ECONOMICO, VOL. 17, Nº 2 FIGURA 1 FLUJO DE CONSUMO OPTIMO PARA HOMBRES [1]-Sin rentas, [2]-Rta. no indizada, [3]-Rta. indizada, [4]-Retiro programado 0,16 Varón, muy impaciente, beta 0,7 0,14 0,12 Consumo 0,1 0,08 0,06 0,04 0, Edad [1] [2] [3] [4] Consumo 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0, Varón, indiferente, beta = 1, Edad [1] [2] [3] [4] Consumo 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 Varón, muy poco impaciente, beta = 2,9 0, Edad [1] [2] [3] [4]

15 REGULACION DE LAS MODALIDADES DE PENSION FIGURA 2 FLUJO DE CONSUMO OPTIMO PARA MUJERES [1]-Sin rentas, [2]-Rta. no indizada, [3]-Rta. indizada, [4]-Retiro programado 0,14 Mujer, muy impaciente, beta = 0,7 0,12 Consumo 0,1 0,08 0,06 0,04 0, Edad [1] [2] [3] [4] Consumo 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0, Mujer, indiferente; beta =1, Edad [1] [2] [3] [4] 0,07 0,06 Mujer, muy poco impaciente, beta =2,9 Consumo 0,05 0,04 0,03 0,02 0, Edad [1] [2] [3] [4]

16 64 REVISTA DE ANALISIS ECONOMICO, VOL. 17, Nº 2 estable a lo largo del tiempo, eliminando el riesgo de agotar los recursos y caer en la indigencia. El consumo óptimo con retiro programado en los gráficos segundo y tercero tiene prácticamente la misma forma que el flujo óptimo cuando no se accede a rentas aunque ligeramente desplazado hacia arriba; esto no es más que el reflo del mayor rendimiento supuesto en la cuenta de capitalización individual. Tal y como ya se ha comentado con anterioridad, la elección del flujo de consumo que maximiza la utilidad esperada dependerá de diversos factores: del nivel de riqueza inicial, de la renta que el individuo decida contratar y, por tanto, de la cuantía de riqueza destinada a la misma, de la riqueza final deseada, del tipo de interés del mercado r, de la tasa de inflación π, de la impaciencia del consumidor δ, de la esperanza de vida del individuo y del grado de aversión al riesgo β que éste manifieste. IV. Riqueza Equivalente en el Modelo Básico La ganancia de bienestar se puede valorar mediante una medida 18 que determina cuál sería el nivel de riqueza adicional necesario para situarse en la misma curva de utilidad esperada en cualquiera de los casos analizados. Esta medida es la riqueza equivalente, que viene dada por: REQU W 0 + = W W 0 (20) siendo W la cantidad de riqueza adicional que se debe dar al consumidor para que, siguiendo su flujo de consumo óptimo en cualquiera de los casos planteados, pueda alcanzar el mismo nivel de utilidad que obtiene cuando maximiza el flujo de consumo en cualquier otro de ellos. Más específicamente, esta medida va dirigida a determinar en cuánto valoraría el consumidor, adverso al riesgo, la posibilidad de poder contratar una renta vitalicia o, en su caso, un retiro programado y poder protegerse contra el riesgo de una excesiva longevidad en términos de la métrica que aporta la teoría de la utilidad. Brown, Mitchell y Poterba (1999) utilizan un algoritmo de búsqueda numérico para encontrar el valor de la riqueza equivalente. La riqueza equivalente vendrá dada por el porcentaje µ ij que cumple: siendo: U ( µ W0) = U ( W0), i, j = 1234,,, (21) i ij j U 1 (W) : utilidad esperada en el caso 1 (no hay acceso al mercado de rentas vitalicias) U 2 (W) : utilidad esperada en el caso 2 (compra una renta vitalicia no indizada con prima única)

17 REGULACION DE LAS MODALIDADES DE PENSION U 3 (W) : utilidad esperada en el caso 3 (compra una renta vitalicia indizada con prima única) U 4 (W) : utilidad esperada en el caso 4 (destina su riqueza a un retiro programado) µ ij representa el factor a aplicar sobre la riqueza inicial del individuo que ha optado por la modalidad i para que obtenga la misma utilidad que un individuo en la situación j. Kotlikoff y Spivak (1981) obtienen una expresión analítica para medir la riqueza equivalente. Sin embargo, la forma de la función de utilidad elegida, la no consideración del caso en que la aversión al riesgo es igual a uno y la no incorporación de la condición de no negatividad de la riqueza, les ha permitido obtener una fórmula más sencilla. Si se considera la impaciencia del individuo por consumir y, más concretamente, su relación con el tipo de interés, la inflación y la aversión al riesgo, se obtienen los distintos valores de riqueza equivalente que se derivan de la relación expresada en función de los diferentes parámetros utilizados. Asimismo, y al igual que ocurre para determinar la utilidad esperada, si se incorpora la condición de no negatividad de la variable W t, es necesario utilizar programas de optimización multiperíodo que permitan obtener la riqueza equivalente en cada situación. 4.1 Riqueza equivalente y rentas vitalicias Los resultados obtenidos en el valor de la riqueza equivalente cuando se considera el caso de un individuo que puede contratar una renta vitalicia, se muestran en las Tablas 3 a 6. En todas las tablas se ha tomado como referencia la no contratación de rentas vitalicias. El resultado marcado en cursiva en la Tabla 3 significa que el individuo sería indiferente a una unidad monetaria destinada a rentas y 1,092 de riqueza en la que no se destine nada a rentas, o lo que es lo mismo, estará dispuesto a renunciar a 1,092 unidades de riqueza corriente para tener 1 unidad monetaria materializada TABLA 3 RIQUEZA EQUIVALENTE. RENTAS NO INDIZADAS 19 δ β Hombres Mujeres 0,7 1,5 2,9 4,4 0,7 1,5 2,9 4,4 A (0,0909) 1,092 1,279 1,448 1,546 0,994 1,142 1,266 1,333 B (0,068175) 1,190 1,383 1,500 1,581 1,086 1,207 1,306 1,356 C (0,04545) 1,292 1,436 1,545 1,609 1,176 1,264 1,336 1,373 D (0,022725) 1,390 1,493 1,581 1,631 1,247 1,306 1,358 1,387 E (0, ) 1,433 1,519 1,596 1,641 1,273 1,322 1,367 1,392

18 66 REVISTA DE ANALISIS ECONOMICO, VOL. 17, Nº 2 en una renta vitalicia 20. Por lo tanto, se observa que en todos los casos le resulta más útil al individuo hombre destinar su riqueza a la contratación de una renta vitalicia constante en términos nominales (decreciente en términos reales). La valoración de la renta es mayor, en términos de bienestar, en la medida que se incremente la aversión al riesgo y disminuya su impaciencia por el consumo. En el caso de las mujeres, sólo cuando el grado de aversión al riesgo es muy pequeño y el individuo se muestra muy impaciente por consumir, se observa que se obtiene una mayor utilidad cuando no se contratan rentas (el valor de la riqueza equivalente en este caso es menor que la unidad). Esto se debe a que la mayor valoración de la renta vitalicia no compensa la limitación que supone la contratación de una renta a cambio de una prima igual a la cuantía disponible para consumir. Cuando δ es muy grande, el individuo valora mucho menos el consumo futuro que el consumo actual. También llama la atención que la valoración de la renta para el caso de las mujeres sea menor que para los hombres, aunque sobre este aspecto los resultados que aparecen en la literatura son diversos, pero con un predominio de una mayor valoración por parte de los hombres. Así lo muestran los trabajos de Kotlikoff y Spivak (1981) y Walliser (1999); sin embargo, los resultados de Brown (2001) varían según las tablas de mortalidad utilizadas. La explicación es clara, está simplemente relacionada con la mayor esperanza de vida de las mujeres; de hecho es el único valor que cambia respecto al caso de los varones. TABLA 4 RIQUEZA EQUIVALENTE. RENTAS INDIZADAS δ β Hombres Mujeres 0,7 1,5 2,9 4,4 0,7 1,5 2,9 4,4 A (0,0909) 1,049 1,233 1,406 1,515 0,943 1,089 1,218 1,297 B (0,068175) 1,159 1,326 1,480 1,577 1,049 1,184 1,283 1,350 C (0,04545) 1,281 1,424 1,555 1,638 1,162 1,259 1,346 1,400 D (0,022725) 1,407 1,520 1,628 1,697 1,267 1,336 1,402 1,445 E (0, ) 1,467 1,566 1,662 1,724 1,310 1,368 1,426 1,464 Tratándose de rentas totalmente indizadas a la inflación, también se observa que la utilidad esperada es superior al caso en que no se destina riqueza a rentas vitalicias, siendo la riqueza equivalente mayor o menor que la obtenida en el caso de rentas no indizadas, dependiendo del grado de impaciencia por el consumo y su aversión al riesgo, tal como se comentó en la sección anterior. Mayores valores del parámetro de aversión al riesgo implican una preferencia cada vez mayor por las rentas indizadas. Las conclusiones obtenidas a partir de los resultados alcanzados para hombres son extrapolables al caso en el que el consumidor sea mujer, aunque hay que

19 REGULACION DE LAS MODALIDADES DE PENSION resaltar que, al igual que ocurría con las rentas no indizadas, se observa que se obtiene una mayor utilidad cuando no se contratan rentas si el grado de aversión al riesgo es muy pequeño y el individuo se muestra muy impaciente por consumir. Para cualquiera de los sexos, cuanto más adverso al riesgo se muestra el consumidor, mayor es la riqueza adicional necesaria que le proporciona el mismo nivel de utilidad que cuando contrata rentas vitalicias: los individuos más adversos al riesgo valoran mucho más el aseguramiento de la longevidad que ofrecen los seguros de rentas vitalicias. En todos los cálculos realizados se ha considerado una inflación constante, referenciada al tipo de interés real de mercado (se ha supuesto una tasa de inflación esperada igual a la mitad de éste). Los resultados obtenidos serían diferentes si se modifica este parámetro. Por emplo Tablas 5 y 6, si se considera una inflación dos veces superior al tipo de interés real de mercado, y suponiendo que el resto de parámetros no varía (en concreto, la tasa de impaciencia del individuo se mantiene como la que se corresponde en la fórmula original con una inflación del 1,5%), se observa que disminuye la preferencia por las rentas constantes respecto a las rentas crecientes para casi todos los perfiles. Tan sólo en individuos muy poco adversos al riesgo y con mucha impaciencia se manifiesta un mayor bienestar con las rentas constantes. Cabe destacar que la utilidad esperada y la riqueza equivalente obtenidas en el caso de rentas indizadas es independiente del nivel de inflación considerado. Tratándose de rentas no indizadas, cuando aumenta mucho la tasa de inflación, el nivel de riqueza equivalente es muy similar al que se obtiene cuando se incrementa la aversión al riesgo. Este acercamiento en los valores de la riqueza equivalente se puede apreciar mucho más si se considera una tasa de inflación desmesuradamente elevada (por emplo, para una tasa de inflación igual a 12 veces el tipo de interés, el valor de la riqueza equivalente es igual a 1,06 para cualquier grado de aversión al riesgo). TABLA 5 RIQUEZA EQUIVALENTE PARA HOMBRES CON RENTAS NO INDIZADAS δ β Tasa inflación = r/2 Tasa inflación = 2*r 0,7 1,5 2,9 4,4 0,7 1,5 2,9 4,4 A (0,0909) 1,092 1,279 1,448 1,546 1,162 1,287 1,328 1,337 B (0,068175) 1,190 1,383 1,500 1,581 1,218 1,304 1,331 1,337 C (0,04545) 1,292 1,436 1,545 1,609 1,263 1,314 1,333 1,338 D (0,022725) 1,390 1,493 1,581 1,631 1,291 1,321 1,334 1,338 E (0, ) 1,433 1,519 1,596 1,641 1,299 1,323 1,335 1,338

20 68 REVISTA DE ANALISIS ECONOMICO, VOL. 17, Nº 2 TABLA 6 RIQUEZA EQUIVALENTE PARA HOMBRES CON RENTAS INDIZADAS δ β Tasa inflación = r/2 Tasa inflación = 2*r 0,7 1,5 2,9 4,4 0,7 1,5 2,9 4,4 A (0,0909) 1,049 1,233 1,406 1,515 1,049 1,233 1,406 1,515 B (0,068175) 1,159 1,326 1,480 1,577 1,159 1,326 1,480 1,577 C (0,04545) 1,281 1,424 1,555 1,638 1,282 1,424 1,555 1,638 D (0,022725) 1,407 1,520 1,628 1,697 1,407 1,520 1,628 1,697 E (0, ) 1,467 1,566 1,662 1,724 1,467 1,566 1,662 1, Riqueza equivalente y retiro programado En relación con el retiro programado, los resultados obtenidos son los siguientes: TABLA 7 RIQUEZA EQUIVALENTE EN HOMBRES DESTINANDO LA RIQUEZA INICIAL A UN RETIRO PROGRAMADO INDIZADO δ β i = 2% i = 3% i = 4% 0,7 2,9 0,7 2,9 0,7 2,9 A (0,0909) 0,795 0,900 0,888 1,000 0,985 1,102 C (0,04545) 0,881 0,900 0,981 1,000 1,084 1,102 E (0, ) 0,900 0,900 1,000 1,000 1,101 1,102 TABLA 8 RIQUEZA EQUIVALENTE EN MUJERES DESTINANDO LA RIQUEZA INICIAL A UN RETIRO PROGRAMADO INDIZADO δ β i = 2% i = 3% i = 4% 0,7 2,9 0,7 2,9 0,7 2,9 A (0,0909) 0,757 0,880 0,865 1,000 0,977 1,123 C (0,04545) 0,861 0,880 0,981 1,000 1,104 1,123 E (0, ) 0,868 0,880 0,989 1,000 1,123 1,123

21 REGULACION DE LAS MODALIDADES DE PENSION Evidentemente, la utilidad esperada cuando se accede a un retiro programado, dependerá del tipo de interés conseguido en la cuenta de capitalización individual: cuanto más elevado sea éste, mayor será la utilidad alcanzada. Como se puede observar, para que la contratación de un retiro programado proporcione al consumidor al menos la misma utilidad que la que se deriva del consumo sin rentas, es necesario que el rendimiento real que se consigue en el período con el retiro programado sea igual al tipo de interés del mercado, y sólo a partir de un cierto grado de aversión al riesgo y para un bajo nivel de impaciencia por el consumo. Los individuos poco adversos al riesgo y muy impacientes por consumir preferirían no destinar su riqueza a una cuenta individual desde la que percibirían un retiro programado. Cuando el rendimiento alcanzado en la cuenta de capitalización supera en un punto al tipo de interés del mercado, la riqueza equivalente ya es superior a la unidad, aunque, incluso en este caso, si la aversión al riesgo es pequeña y la actitud hacia el consumo denota mucha impaciencia, el consumidor sigue prefiriendo no transformar sus ahorros en un retiro programado. En cualquiera de los casos, el bienestar alcanzado es inferior al que se consigue a través de la contratación de una renta vitalicia actuarialmente justa, indizada o no, a cambio de una prima única. Es de destacar el hecho de que, bajo la modalidad del retiro programado, cuando el rendimiento real obtenido es suficientemente elevado, las mujeres obtienen una mayor utilidad que los hombres en prácticamente la totalidad de los casos contemplados (en todos, excepto para los individuos con una aversión al riesgo y una impaciencia muy pequeñas). Para las mujeres influye más el aumento del rendimiento en la cuenta de capitalización que para los hombres. En el caso de que la rentabilidad real conseguida coincida con la del mercado, la utilidad alcanzada es similar para ambos sexos. 4.3 Riqueza equivalente y edad de acceso a la jubilación Otra cuestión interesante cuando se habla de pensiones de jubilación es la edad a la cual se empieza a percibir la pensión. Los sistemas de pensiones de jubilación que se financian a través de la capitalización suelen ser, además, de aportación definida, por lo que existe mayor libertad a la hora de elegir la edad de jubilación. Así, por emplo, en Chile casi un 50% de las personas se jubilan anticipadamente, ya que la legislación permite jubilarse a partir de los 55 años, tanto a los hombres como a las mujeres que, habiendo cotizado al menos 10 años, tengan un saldo en su cuenta de capitalización individual que permita proporcionarles una pensión mayor o igual al 50% del ingreso medio durante los últimos 10 años actualizado según el IPC, o una pensión superior o igual al 110% de la pensión mínima garantizada por el Estado 21. También en Perú, bajo estrictas condiciones, hombres y mujeres que estén en el sistema de capitalización se pueden jubilar anticipadamente a los 60 y 55 años, respectivamente. En general, en los países en los que coexiste capitalización y reparto, se contempla la jubilación anticipada en el sistema de capitalización, siendo la condición para poder hacerlo que el saldo acumulado en la cuenta de capitalización permita financiar una renta

22 70 REVISTA DE ANALISIS ECONOMICO, VOL. 17, Nº 2 vitalicia mayor que la pensión mínima garantizada por el Estado, que alcance un determinado porcentaje de la base reguladora de los últimos años cotizados o alguna condición similar. Asimismo, en todos los países del área se puede diferir la edad de jubilación ordinaria. En el modelo básico se ha supuesto una edad de jubilación de 65 años, tanto para hombres como para mujeres, si bien las edades ordinarias de jubilación de cada uno de los países oscila entre 55 y 65 para las mujeres y entre 60 y 65 para los hombres. En las Tablas 9 a 11 se calcula el efecto en la riqueza equivalente cuando se produce un adelanto y un retraso de 5 años sobre la considerada edad normal de acceso a la jubilación. TABLA 9 RIQUEZA EQUIVALENTE EN FUNCION DE LA EDAD DE JUBILACION. RENTAS NO INDIZADAS δ β Hombres (años) Mujeres (años) A (0,0909) 0,7 1,039 1,092 1,161 0,955 0,994 1,043 C (0,04545) 1,5 1,349 1,436 1,532 1,210 1,264 1,333 E (0, ) 2,9 1,480 1,596 1,746 1,288 1,367 1,466 En el caso de que se anticipe la edad de jubilación a los 60 años, se observa que existe una disminución en la riqueza equivalente respecto a la que resulta para una edad de jubilación de 65 años, lo que significa que el individuo obtiene una menor utilidad cuando accede a las rentas actuariales a una edad más temprana. De igual manera, el retraso en la edad de jubilación incrementa la valoración que el jubilado hace de las rentas vitalicias. Este resultado es consistente con el obtenido por Kotlikoff y Spivak (1981); para ellos las personas de menos edad valoran menos las rentas vitalicias dado que gran parte de la utilidad derivada del consumo es casi cierta debido a que las probabilidades de supervivencia en su futuro más inmediato son bastante elevadas. En el caso de rentas indizadas, los resultados son similares a los alcanzados con las rentas no indizadas. La tendencia que sigue la riqueza equivalente en el caso del retiro programado es diferente en función del caso observado. En el primero de los supuestos considerados (consumidor muy impaciente y con poca aversión al riesgo), los resultados son similares a los obtenidos cuando el individuo destina su riqueza a la contratación de una renta vitalicia, es decir, la riqueza equivalente es creciente con la edad de jubilación, y la que corresponde a las mujeres es inferior a las de los hombres. Sin embargo, cuando disminuye la impaciencia y aumenta la aversión