I.E.S. Nº 1 DRA. ALICIA MOREAU DE JUSTO

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1 I.E.S. Nº 1 DRA. ALICIA MOREAU DE JUSTO Año lectivo 2016 Profesorado de Educación Superior en Matemática Trayecto: CFE Instancia curricular: Historia de la Matemática Nº de código: 241 Modalidad: materia Duración: cuatrimestral (1º cuatrimestre) Turno: mañana Carga horaria: 4 horas semanales Profesor: Gustavo Piñeiro

2 Fundamentación La Historia de la Matemática no se reduce meramente a una serie de biografías o de anécdotas simpáticas, sino que es el estudio de los procesos sociales (dentro y fuera de Matemática) que guiaron e influyeron en el desarrollo de las diversas ramas de esta ciencia, así como de las personas que encarnaron esos desarrollos. Por otra parte, existen temas matemáticos que no pueden ser adecuadamente comprendidos si no son estudiados desde su desarrollo histórico. Por ejemplo, a principios del siglo XVIII G. Saccheri anuncia que ha logrado demostrar el quinto postulado de Euclides, sin embargo, un siglo más tarde Gauss, Bolyai y Lobachevski, cada uno de ellos independientemente del otro, se convencen de que el quinto postulado es indemostrable a partir de los otros cuatro. Una lectura ingenua nos diría simplemente que Saccheri se equivocó mientras que los demás mencionados tenían razón. Se trataría, en efecto, de una lectura ingenua que no tomaría en cuenta las diferencias socio-culturales reinantes en uno y otro momento histórico. Resumidamente. a principios del siglo XVIII los matemáticos buscaban la Verdad (con mayúscula), una Verdad que estaba fuertemente ligada a un sentimiento religioso y que, en Geometría, estaba representada indiscutiblemente por los Elementos de Euclides. En la primera mitad del siglo XIX, la caída de los absolutismos y el papel cada vez más central del pensamiento crítico posibilitó el cuestionamiento de verdades antes indiscutidas y, en particular en Matemáticas, desplazó a Euclides del papel central que hasta ese momento había jugado. Este ejemplo, muy someramente expuesto, nos muestra que los temas matemáticos están atravesados por dos ejes históricos, uno proveniente de su propio devenir interno y otro relacionado con el contexto social en que viven los matemáticos que, además de científicos, son seres de carne y hueso influidos por las circunstancias y prejuicios de sus respetivas épocas. El ejemplo, además, sirve para exponer el modo en que se presentará el curso. En general, se tratará de no estudiar los hechos históricos como compartimientos estancos, sino que se trabajará en el análisis de los grandes procesos históricos que guiaron las ramas principales de la Matemática desde la Antigüedad hasta nuestros días, haciendo espacial énfasis en cómo esos procesos nos abren una nueva dimensión en la comprensión de los hechos matemáticos. Finalmente, la historia reciente nos permitirá abrirnos a los temas de investigación actuales, los temas candentes de la matemática de hoy en día, que tal vez resultarían inaccesibles de ser estudiados desde un punto de vista estrictamente técnico-científico pero que sí podremos presentar desde una perspectiva histórica.

3 Objetivos Que los alumnos: Vivencien el hecho de que la Matemática no es una ciencia estática, sino, por el contrario, una ciencia dinámica en constante revisión. Conozcan el desarrollo histórico de las principales ramas de la Matemática. En sus futuras clases, puedan agregar la dimensión histórica a los temas que enseñen. Se familiaricen con los desarrollos matemáticos recientes. Contenidos Se hace notar que, además del estudio de los procesos evolutivos, se hará un corte transversal de la Historia, mostrando los desarrollos o los matemáticos que fueron coetáneos, ls ainfluencia mutua de ideas, etc. UNIDAD 1. La Matemática Pre-Griega. Egipto: El sistema de notación jeroglífica; el Papiro Ahmes, el Papiro de Moscú; los problemas geométricos; las fracciones unitarias. Mesopotamia: Los documentos cuneiformes; la numeración posicional; las ecuaciones cuadráticas y cúbicas. China: Los cuadrados mágicos; los numerales a base de varilla; el ábaco. India: El sistema de numeración posicional; el cero; Bhaskara. América: La numeración maya; los quipus incas. UNIDAD 2. La fundamentación de la Geometría. La aritmética y la geometría platónicas. Aristóteles. Euclides: Elementos y el método axiomático. Los defectos de Euclides. Los intentos de demostración del quinto postulado. Las geometrías no euclidianas: Gauss, Bolyai, Lobachevski, Beltrami, Klein. Los grupos de transformaciones. El Programa de Erlangen. La axiomática de Hilbert. Panorama actual de la Geometría. UNIDAD 3. La evolución del Cálculo. Los primeros orígenes del Análisis: el método de exhaución; Eudoxo; Arquímedes. La Geometría Analítica: Fermat y Descartes. El descubrimiento de Newton y Leibniz. Las objeciones de Berkeley. Los aportes de Euler y Gauss. El Movimiento Crítico de la Matemática (Siglo XIX): Cauchy, Riemann, Abel, Bolzano, Weierstrass, Dedekind, Cantor. La aritmetización del Cálculo. Desarrollos actuales. UNIDAD 4. Los irracionales y la fundamentación del número real. El descubrimiento de los irracionales. La evolución histórica del concepto de número. El número y las proporciones geométricas. La fundamentación del número real en el siglo XIX: cortaduras de Dedekind, sucesiones de Cauchy, encaje de intervalos. La axiomática de Hilbert para los números reales. UNIDAD 5. El infinito.

4 Infinito potencial y actual. Las paradojas de Zenón. La visión aristotélica del infinito. La fundamentación del Cálculo y el infinito. Bernard Bolzano. La teoría de Cantor. UNIDAD 6. La evolución del Álgebra. El álgebra geométrica de Euclides. Diofanto de Alejandría como algebrista. Las conquistas árabes. Al-jabr. Las ecuaciones cuadráticas, según los árabes. Los numerales árabes. El ars magna de Cardan. La resolución de las ecuaciones cúbica y cuártica. Los números complejos. La Teoría de Galois. La aparición del Álgebra abstracta. Desarrollos actuales. UNIDAD 7. La Historia de la Aritmética. La aritmética en Los Elementos: demostración de Euclides de la infinitud de los números primos. La Aritmética de Diofanto. Los aportes de Pierre de Fermat y Blas Pascal. Euler y el origen de la Teoría Analítica de Números. C.F. Gauss. D. Hilbert. G.H. Hardy y S. Ramanujan. UNIDAD 8. La Historia de la Probabilidad y la Estadísitica. Orígenes de la estadística: los censos. Los orígenes del cálculo de probabilidaes: Cardano y Galileo. Fermat, Pascal y el problema del Caballero de Meré. Los trabajos de Bernoulli. Laplace y su Teoría Analítica de las Probabilidades. La probabilidad y la estadística en el siglo XIX. Siglo XX: La definición axiomática de Kolmogorov. UNIDAD 9. La Matemática en Argentina. La época colonial. Manuel Belgrano y la enseñanza de la matemática. El primer profesor argentino de Matemáticas: Avelino Díaz. La reforma universitaria. La investigación matemática en Argentina en el siglo XX y en la actualidad. Bibliografía obligatoria: Unidad 1: BOYER, C.; 1996; Historia de la Matemática; Alianza Universidad Textos, España. Tomo I. Alianza Universidad, España. Unidad 2: BOYER, C.; 1996; Historia de la Matemática; Alianza Universidad Textos, España. Tomos II y III. Alianza Universidad, España. Unidad 3: BOYER, C.; 1996; Historia de la Matemática; Alianza Universidad Textos, España. SANTALÓ, Luis; 1976; Geometrías No Euclianas; Eudeba, Argentina.

5 Unidad 4: Unidad 5: LAVINE, S.; 2005; Comprendiendo el Infinito; Fondo de Cultura Económica, México. Unidad 6: LAVINE, S.; 2005; Comprendiendo el Infinito; Fondo de Cultura Económica, México. Unidad 7: Unidad 8: Unidad 9: BABINI, J.; 1949; Historia de la Ciencia Argentina; Fondo de Cultura Económica, México. BESIO MORENO, N.; 1995, Las Fundaciones Matemáticas de Belgrano; Instituto Nacional Belgraniano, Buenos Aires. Bibliografía de consulta LEVI, Beppo; 2000; Leyendo a Euclides; Libros del Zorzal, Argentina. MANKIEWICZ, Richard; 2000; Historia de las Matemáticas; Ed. Paidós, Argentina.

6 NEWMAN, James; 1997; Sigma, el mundo de las matemáticas (Tomos 1 al 6); Grijalbo, España. Régimen de acreditación: Para acreditar la cursada de la materia los alumnos deberán cumplir con al menos un 60% de asistencia y aprobar (con una nota mínima de 4 cuatro ) un examen parcial. La aprobación de la materia se completará con un examen final. Los alumnos en condición de libres deberán rendir una instancia de evaluación escrita cuya aprobación es condición para la instancia de evaluación oral. La nota se obtendrá por promedio entre ambas. El examen deberá contemplar el manejo por parte del estudiante de un mínimo de contenidos de cada una de las unidades del programa. Modalidad de Evaluación Los alumnos regulares rendirán un parcial al terminar el curso. El parcial será escrito y abarcará todos los temas dictados. El parcial tendrá una instancia de recuperación, también escrita. El examen final será oral y en él el alumno profundizará sobre alguno de los temas tratados en la cursada. Firma: Aclaración: Gustavo Pîñeiro