The Graphical Method for Solving LP s
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- Cristina de la Fuente Sosa
- hace 7 años
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1 The Graphical Method for Solving LP s M. En C. Eduardo Bustos Farías 1
2 AVISO Traer para la siguiente clase laptop para desarrollar ejercicios con winqsb, tora, qsb, y otros. M. En C. Eduardo Bustos Farías 2
3 The Graphical Method for Solving LP s If LP models have only two variables, they can be solved graphically: Plot all constraints by first plotting the equality relationship between resource usage and availability (the boundary), then determine the direction of the inequality if necessary Plot the objective function and move it parallel to itself, in the direction of optimization, until it last touches the feasible solution space. M. En C. Eduardo Bustos Farías 3
4 An Example LP Problem Blue Ridge Hot Tubs produces two types of hot tubs: Aqua-Spas & Hydro-Luxes. Aqua-Spa Hydro-Lux Pumps 1 1 Labor 9 hours 6 hours Tubing 12 feet 16 feet Unit Profit $350 $300 There are 200 pumps, 1566 hours of labor, and 2880 feet of tubing available. M. En C. Eduardo Bustos Farías 4
5 LP Model for Blue Ridge Hot Tubs MAX: 350X X 2 S.T.: 1X 1 + 1X 2 <= 200 9X 1 + 6X 2 <= X X 2 <= 2880 X 1 >= 0 X 2 >= 0 M. En C. Eduardo Bustos Farías 5
6 Solving LP Problems: An Intuitive Approach Idea: Each Aqua-Spa (X 1 ) generates the highest unit profit ($350), so let s make as many of them as possible! How many would that be? Let X 2 = 0 1st constraint: 1X 1 <= 200 2nd constraint: 9X 1 <=1566 or X 1 <=174 3rd constraint: 12X 1 <= 2880 or X 1 <= 240 If X 2 =0, the maximum value of X 1 is 174 and the total profit is $350*174 + $300*0 = $60,900 This solution is feasible, but is it optimal? No! M. En C. Eduardo Bustos Farías 6
7 Solving LP Problems: A Graphical Approach The constraints of an LP problem defines its feasible region. The best point in the feasible region is the optimal solution to the problem. For LP problems with 2 variables, it is easy to plot the feasible region and find the optimal solution. M. En C. Eduardo Bustos Farías 7
8 X 2 Plotting the First Constraint (0, 200) boundary line of pump constraint X 1 + X 2 = (200, 0) X 1 M. En C. Eduardo Bustos Farías 8
9 X Plotting the Second Constraint (0, 261) boundary line of labor constraint 9X 1 + 6X 2 = (174, 0) X 1 M. En C. Eduardo Bustos Farías 9
10 X Plotting the Third Constraint (0, 180) boundary line of tubing constraint 12X X 2 = Feasible Region (240, 0) X 1 M. En C. Eduardo Bustos Farías 10
11 X 2 Plotting A Level Curve of the Objective Function (0, ) objective function 350X X 2 = (100, 0) X 1 M. En C. Eduardo Bustos Farías 11
12 X 2 A Second Level Curve of the Objective Function (0, 175) objective function 350X X 2 = objective function 350X X 2 = (150, 0) X 1 M. En C. Eduardo Bustos Farías 12
13 X 2 Using A Level Curve to Locate the Optimal Solution objective function 350X X 2 = optimal solution objective function 350X X 2 = X 1 M. En C. Eduardo Bustos Farías 13
14 Calculating the Optimal Solution The optimal solution occurs where the pumps and labor constraints intersect. This occurs where: X 1 + X 2 = 200 (1) and 9X 1 + 6X 2 = 1566 (2) From (1) we have, X 2 = 200 -X 1 (3) Substituting (3) for X 2 in (2) we have, 9X (200 -X 1 ) = 1566 which reduces to X 1 = 122 So the optimal solution is, X 1 =122, X 2 =200-X 1 =78 Total Profit = $350*122 + $300*78 = $66,100 M. En C. Eduardo Bustos Farías 14
15 Enumerating The Corner Points X obj. value = $54,000 (0, 180) Note: This technique will not work if the solution is unbounded obj. value = $64,000 (80, 120) obj. value = $66,100 (122, 78) obj. value = $0 (0, 0) obj. value = $60,900 (174, 0) X 1 M. En C. Eduardo Bustos Farías 15
16 Summary of Graphical Solution to LP Problems 1. Plot the boundary line of each constraint 2. Identify the feasible region 3. Locate the optimal solution by either: a. Plotting level curves b. Enumerating the extreme points (corner points) M. En C. Eduardo Bustos Farías 16
17 Graphing 2-Dimensional LPs Example 1: y Optimal Solution 4 Maximize x + y Subject to: x + 2 y 2 x Feasible Region y 4 x 0 y M. En C. Eduardo Bustos Farías 17 3 x
18 Graphing 2-Dimensional LPs Example 2: 4 y Multiple Optimal Solutions! Minimize ** x - y Subject to: 1/3 x + y x + 2 y 4 x 3 x 0 y Feasible Region M. En C. Eduardo Bustos Farías 18 x
19 Graphing 2-Dimensional LPs Example 3: y Minimize x + 1/3 y Subject to: x + y 20-2 x + 5 y Feasible Region x 5 x 0 y 0 Optimal Solution M. En C. Eduardo Bustos Farías x
20 Do We Notice Anything From These 3 Examples? 4 y 4 y 40 y x x x M. En C. Eduardo Bustos Farías 20
21 A Fundamental Point 4 y 4 y 40 y x x x If an optimal solution exists, there is always a corner point optimal solution! M. En C. Eduardo Bustos Farías 21
22 Graphing 2-Dimensional LPs Example 1: Second Corner pt. y Optimal Solution 4 Maximize x + y Subject to: x + 2 y 2 x Feasible Region y 4 x 0 y 0 1 Initial Corner pt M. En C. Eduardo Bustos Farías 22 3 x
23 And We Can Extend this to Higher Dimensions M. En C. Eduardo Bustos Farías 23
24 Then How Might We Solve an LP? The constraints of an LP give rise to a geometrical shape - we call it a polyhedron. If we can determine all the corner points of the polyhedron, then we can calculate the objective value at these points and take the best one as our optimal solution. The Simplex Method intelligently moves from corner to corner until it can prove that it has found the optimal solution. M. En C. Eduardo Bustos Farías 24
25 Solving Linear Programming Problems Graphical Technique First graph the constraints: the solution set of the system is that region (or set of ordered pairs), which satisfies ALL the constraints. This region is called the feasible set M. En C. Eduardo Bustos Farías 25
26 Solving Linear Programming Problems: Graphical Technique continued Locate all the corner points of the graph: the coordinates of the corners will be determined algebraically It is important to note that the optima is obtained at the boundary of the solution set and furthermore at the corner points. For linear programs, it can be shown that the optima will always be obtained at corner points. M. En C. Eduardo Bustos Farías 26
27 Solving Linear Programming Problems: Graphical Technique continued Determine the optimal value: test all the corner points to see which yields the optimum value for the objective function Objective function Feasible set Optimum M. En C. Eduardo Bustos Farías 27
28 Example Suppose a company produces two types of widgets, manual and electric. Each requires in its manufacture the use of three machines; A, B, and C. A manual widget requires the use of the machine A for 2 hours, machine B for 1 hour, and machine C for 1 hour. An electric widget requires 1 hour on A, 2 hours on B, and 1 hour on C. Furthermore, suppose the maximum numbers of hours available per month for the use of machines A, B, and C are 180, 160, and 100, respectively. The profit on a manual widget is $4 and on electric widget it is $6. See the table below for a summary of data. If the company can sell all the widgets it can produce, how many of each type should it make in order to maximize the monthly profit? M. En C. Eduardo Bustos Farías 28
29 Example Suppose a company produces two types of widgets, manual and electric. Each requires in its manufacture the use of three machines; A, B, and C. A manual widget requires the use of the machine A for 2 hours, machine B for 1 hour, and machine C for 1 hour. An electric widget requires 1 hour on A, 2 hours on B, and 1 hour on C. Furthermore, suppose the maximum numbers of hours available per month for the use of machines A, B, and C are 180, 160, and 100, respectively. The profit on a manual widget is $4 and on electric widget it is $6. See the table below for a summary of data. If the company can sell all the widgets it can produce, how many of each type should it make in order to maximize the monthly profit? Manual Electric Hours available A B C profit $4 $6 M. En C. Eduardo Bustos Farías 29
30 Solution M. En C. Eduardo Bustos Farías 30
31 Step I Identify decision variables: x = number of manual widgets y = number of electric widgets Step II Identify constraints: 2x + y 180 x + 2y 160 x + y 100 x 0 y 0 M. En C. Eduardo Bustos Farías 31
32 Step III Define objective function: Solving P for y gives max P = 4x + 6y y = -2/3 + P/3. This defines a so-called family of parallel lines, isoprofit lines. Each line gives all possible combinations of x and y that yield the same profit. M. En C. Eduardo Bustos Farías 32
33 M. En C. Eduardo Bustos Farías 33
34 M. En C. Eduardo Bustos Farías 34
35 Special Conditions in LP Models A number of special conditions may occur in LP problems: Alternate Optimal Solutions Redundant Constraints Unbounded Solutions Infeasibility M. En C. Eduardo Bustos Farías 35
36 Example of Alternate Optimal Solutions X What if the price of Aqua-Spas generates a profit of $450 instead of $350? objective function level curve 450X X 2 = alternate optimal solutions X 1 M. En C. Eduardo Bustos Farías 36
37 Example of a Redundant Constraint X What if 225 pumps are avaivale instead of 200? 1X1 + 1X2 <= 225 Pumps boundary line of tubing constraint boundary line of pump constraint boundary line of labor constraint 50 Feasible Region X 1 M. En C. Eduardo Bustos Farías 37
38 Example of an Unbounded Solution Consider the following problem: MAX: Z= X1 + X2 S.T.:1X1 + 1X2 >= 400-1X1 + 2X2 <= 400 X1 >= 0 X2 >= 0 M. En C. Eduardo Bustos Farías 38
39 Example of an Unbounded Solution X objective function X 1 + X 2 = 600 objective function X 1 + X 2 = 800 -X 1 + 2X 2 = X 1 + X 2 = X 1 M. En C. Eduardo Bustos Farías 39
40 Example of Infeasibility Consider the following problem: MAX: Z= X1 + X2 S.T.:1X1 + 1X2 <= 150 1X1 + 1X2 >= 200 X1 >= 0 X2 >= 0 M. En C. Eduardo Bustos Farías 40
41 Example of Infeasibility X X 1 + X 2 = 200 feasible region for second constraint feasible region for first constraint X 1 + X 2 = X 1 M. En C. Eduardo Bustos Farías 41
42 Ejemplo. El problema de la industria de juguetes Galaxia. Maximización M. En C. Eduardo Bustos Farías 42
43 El problema de la industria de juguetes Galaxia. Galaxia produce dos tipos de juguetes: * Space Ray * Zapper Los recursos están limitados a: * 1200 libras de plástico especial. * 40 horas de producción semanalmente. M. En C. Eduardo Bustos Farías 43
44 Requerimientos de Marketing. * La producción total no puede exceder de 800 docenas. * El número de docenas de Space Rays no puede exceder al número de docenas de Zappers por más de 450. Requerimientos Tecnológicos. * Space Rays requiere 2 libras de plástico y 3 minutos de producción por docena. * Zappers requiere 1 libra de plástico y 4 minutos de producción por docena. M. En C. Eduardo Bustos Farías 44
45 Plan común de producción para: * Fabricar la mayor cantidad del producto que deje mejores ganancias, el cual corresponde a Space Ray ($8 de utilidad por docena). * Usar la menor cantidad de recursos para producir Zappers, porque estos dejan una menor utilidad ($5 de utilidad por docena). El plan común de producción consiste en: Space Rays = 550 docenas Zappers = 100 docenas Utilidad = $4900 por semana M. En C. Eduardo Bustos Farías 45
46 El gerente siempre buscará un esquema de producción que incrementre las ganancias de su compañía M. En C. Eduardo Bustos Farías 46
47 EL MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL PROVEE UNA SOLUCIÓN INTELIGENTE PARA ESTE PROBLEMA M. En C. Eduardo Bustos Farías 47
48 Variables de decisión Solución * X1 = Cantidad producida de Space Rays (en docenas por semana). * X2 = Cantidad producida de Zappers (en docenas por semana). Función objetivo * Maximizar la ganancia semanal. M. En C. Eduardo Bustos Farías 48
49 Modelo de Programación Lineal Max Z = 8X1 + 5X2 (ganancia semanal) Sujeto a: 2X1 + 1X2 <= 1200 (Cantidad de plástico) 3X1 + 4X2 <= 2400 (Tiempo de producción) X1 + X2 <= 800 (Limite producción total) X1 - X2 <= 450 (Producción en exceso) X j >= 0, j= 1, 2. (Resultados positivos) M. En C. Eduardo Bustos Farías 49
50 Conjunto de soluciones factibles para el modelo lineal. El conjunto de puntos que satisface todas las restricciones del modelo es llamado: REGION FACTIBLE M. En C. Eduardo Bustos Farías 50
51 USANDO UN GRAFICO SE PUEDEN REPRESENTAR TODAS LAS RESTRICCIONES, LA FUNCION OBJETIVO Y LOS TRES TIPOS DE PUNTOS DE FACTIBILIDAD. M. En C. Eduardo Bustos Farías 51
52 X Restricción del plástico: The 2X1+X2<=1200 Plastic constraint Restricción del total de producción: X1+X2<=800 No Factible Horas de Producción 3X1+4X2<=2400 Factible Punto Inferior Tipos de puntos Punto de Medio factibilidad Restricción del exceso de producción: X1-X2<=450 M. En C. Eduardo Bustos Farías 52 Punto Extremo X1
53 Resolución gráfica para encontrar la solución óptima. M. En C. Eduardo Bustos Farías 53
54 comenzar con una ganancia dada de = $2, X Entonces aumente la ganancia......y continúe hasta que salga de la región factible Ganancia Utilid. = $ 3, 4, 2, 000 =$5040 Recalcular la región factible X M. En C. Eduardo Bustos Farías 54
55 1200 X2 Se toma un valor cercano al punto óptimo Región no factible Feasible Región region Factible X M. En C. Eduardo Bustos Farías 55
56 Resumen de la solución óptima Space Rays = 480 docenas Zappers = 240 docenas Ganancia = $5040 * Esta solución utiliza todas las materias primas (plástico) y todas las horas de producción. * La producción total son 720 docenas (no 800). * La producción de Space Rays excede a la de Zappers por solo 240 docenas y no por 450. M. En C. Eduardo Bustos Farías 56
57 Soluciones óptimas y puntos extremos. * Si un problema de programación lineal tiene una solución óptima, entonces esta corresponde a un punto extremo. Múltiples soluciones óptimas. * Cuando existen múltiples soluciones óptimas implica que la función objetivo es una recta paralela a uno de los lados de la región factible. * Cualquier promedio ponderado de la solución óptima es también una solución óptima. M. En C. Eduardo Bustos Farías 57
58 Ejemplo. Maximización M. En C. Eduardo Bustos Farías 58
59 Resolver por el método gráfico M. En C. Eduardo Bustos Farías 59
60 Igualamos las restricciones y calculamos las rectas correspondientes M. En C. Eduardo Bustos Farías 60
61 Graficamos el área de factibilidad M. En C. Eduardo Bustos Farías 61
62 Evaluamos los vértices del polígono de factibilidad para hallar el mayor valor de Z M. En C. Eduardo Bustos Farías 62
63 Ejemplo. Fabricación de televisores Maximización M. En C. Eduardo Bustos Farías 63
64 Se producen 2 modelos: Astro y Cosmo Cuál debe ser el plan de producción diaria por aparato? M. En C. Eduardo Bustos Farías 64
65 Solución Variables de decisión xi = Número de televisores del modelo i que se fabrican por día, donde i=1,2 Función objetivo Max_Z 20x + 10x 1 2 M. En C. Eduardo Bustos Farías 65
66 x 70 1 Restricciones x 50 2 x + x x + x x, x M. En C. Eduardo Bustos Farías 66
67 Modelo de PL Max Z=20X1+10X2 Sujeto a: X1+2X2<=120 X1+X2<=90 X1<=70 X2<=50 X1, X2>=0 M. En C. Eduardo Bustos Farías 67
68 M. En C. Eduardo Bustos Farías 68
69 Ejemplo. Senora General Hospital Minimización M. En C. Eduardo Bustos Farías 69
70 En el problema de Señora General Hospital se obtuvo el siguiente modelo de programación lineal M. En C. Eduardo Bustos Farías 70
71 Igualamos las restricciones y graficamos las rectas correspondientes M. En C. Eduardo Bustos Farías 71
72 Identificamos el área de factibilidad M. En C. Eduardo Bustos Farías 72
73 Evaluamos los vértices del polígono de factibilidad A y D se obtienen directamente de la gráfica. M. En C. Eduardo Bustos Farías 73
74 Calculamos los valores de B y C M. En C. Eduardo Bustos Farías 74
75 Se toma el valor más pequeño en este caso es el de C con z = 3.12 M. En C. Eduardo Bustos Farías 75
76 Ejemplo. Dieta Marina Minimización M. En C. Eduardo Bustos Farías 76
77 Dieta Marina Un problema de minimización del costo de la dieta: Mezcle dos porciones de lo productos: Texfoods, Calration. Minimice el costo total de la mezcla. Mantenga los requerimientos mínimos de Vitamina A, Vitamina D, y hierro. M. En C. Eduardo Bustos Farías 77
78 Variables de decisión: X1 cantidad de Texfoods que se usara en cada porción (cada 2 onzas). (X2) cantidad de Calration que se usara en cada porción (cada 2 onzas). M. En C. Eduardo Bustos Farías 78
79 El modelo de PL % Vitamina A por 2 oz. Minimizar Z = 0.60X X2 Costo por 2 oz. sujeto a 20X1 + 50X X1 + 25X2 100 Vitamina D 50X1 + 10X2 >= 100 hierro X1, X2 0 % requerido M. En C. Eduardo Bustos Farías 79
80 La solución gráfica 5 4 Restricción de hierro Región n factible Restricción de vitamina D 2 Restricción de vitamina A M. En C. Eduardo Bustos Farías 80
81 M. En C. Eduardo Bustos Farías 81
82 Resumen de la solución óptima X1 = Producto Texfood = repartir 1.5 (= 3 onzas) X2 = Producto Calration = repartir 2.5 (= 5 onzas) Z =$ 2.15 por porción. El requisito mínimo para la Vitamina D y el hierro no se encuentren en superávit. La mezcla provee 155% del requerimiento para Vitamina A. M. En C. Eduardo Bustos Farías 82
83 Ejemplo. Tecnología Agrícola, S.A. Maximización M. En C. Eduardo Bustos Farías 83
84 Tecnología Agrícola, S.A. Tecnología Agrícola, S.A. es una compañía fabricante de fertilizantes. El gerente desea planear la combinación de sus dos mezclas a fin de obtener las mayores utilidades. Las mezclas son Fertilizante Nitrato Fosfato Potasio Barro tipo El mayorista comprará cualquier cantidad de ambas mezclas de fertilizante que la compañía pueda fabricar. Está dispuesto a pagar a $71.50 la tonelada de y a $69 la tonelada de M. En C. Eduardo Bustos Farías 84
85 En este mes la disponibilidad y costos de materias primas son: Cantidad (Toneladas) Costo por tonelada ($) Nitrato Fosfato Potasio Barro ilimitado Hay un costo de $15 por tonelada por mezclado de los fertilizantes. M. En C. Eduardo Bustos Farías 85
86 En resumen el problema se plantea como: Maximizar 18.5 X X2 Sujeto a 0.05 X X2 <= X X2 <= X X2 <= 2000 X1, X2 >= 0 M. En C. Eduardo Bustos Farías 86
87 SOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL. Después de plantear en términos matemáticos el problema, ahora: 1.Grafiquemos las restricciones. 2.Grafiquemos la función objetivo. 3.Determinemos los valores de las variables en el punto que arroja las máximas utilidades. M. En C. Eduardo Bustos Farías 87
88 Graficamos las desigualdades convirtiéndolas en igualdades 0.05 X X2=1100 P1(22000, 0) y P2(0, 22000) 0.05 X X2=1800 P3(36000, 0) y P4(0, 18000) 0.10 X X2=2000 P5(20000, 0) y P6(0, 40000) X1=0 X2 =0 Con ello formamos el polígono o región de factibilidad, al intersectar el área que delimita cada desigualdad. M. En C. Eduardo Bustos Farías 88
89 Polígono de factibilidad El área de factibilidad es la región donde se hacen verdaderas las restricciones. M. En C. Eduardo Bustos Farías 89
90 Marcamos los puntos Investigación E de M. En C. Eduardo Bustos Farías 90
91 Evaluamos en la función objetivo cada uno de los puntos de la región factible para buscar el óptimo. A, D y E se obtienen de manera directa de la gráfica. M. En C. Eduardo Bustos Farías 91
92 Para evaluar B y C calculamos la intersección de las rectas. M. En C. Eduardo Bustos Farías 92
93 De la tabla se deduce que B es quien tiene el mayor valor para Z El valor que maximiza la utilidad es B = B, este es el óptimo Región factible C A E D M. En C. Eduardo Bustos Farías 93 Z
94 Significado del resultado En el contexto del problema: Maximizar Z= 18.5 X X2 Sujeto a 0.05 X X2 <= X X2 <= X X2 <= 2000 X1, X2 >= 0 Para X1= 8000 y X2= se optimiza la producción de los fertilizantes. M. En C. Eduardo Bustos Farías 94
95 M. En C. Eduardo Bustos Farías 95
96 M. En C. Eduardo Bustos Farías 96
97 M. En C. Eduardo Bustos Farías 97
98 M. En C. Eduardo Bustos Farías 98
99 M. En C. Eduardo Bustos Farías 99
100 M. En C. Eduardo Bustos Farías 100
101 M. En C. Eduardo Bustos Farías 101
102 M. En C. Eduardo Bustos Farías 102
103 M. En C. Eduardo Bustos Farías 103
104 M. En C. Eduardo Bustos Farías 104
105 M. En C. Eduardo Bustos Farías 105
106 M. En C. Eduardo Bustos Farías 106
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109 M. En C. Eduardo Bustos Farías 109
110 M. En C. Eduardo Bustos Farías 110
111 M. En C. Eduardo Bustos Farías 111
112 M. En C. Eduardo Bustos Farías 112
113 M. En C. Eduardo Bustos Farías 113
114 M. En C. Eduardo Bustos Farías 114
115 M. En C. Eduardo Bustos Farías 115
116 M. En C. Eduardo Bustos Farías 116
117 M. En C. Eduardo Bustos Farías 117
118 M. En C. Eduardo Bustos Farías 118
119 LA IMAGEN M. En C. Eduardo Bustos Farías 119
120 Problems M. En C. Eduardo Bustos Farías 120
121 PROBLEM 1 The Apex Television Company has to decide on the number of 27- and 20-inch sets to be produced at one of its factories. Market research indicates that at most 40 of the 27-inch sets and 10 of the 20-inch sets can be sold per month. The maximum number of work-hours available is 500 per month. A 27-inch set requires 20 work-hours and a 20-inch set requires 10 work-hours. Each 27-inch set sold produces a profit of $120 and each 20-inch set produces a profit of $80. A wholesaler has agreed to purchase all the television sets produced if the numbers do not exceed the maxima indicated by the market research. (a) Formulate a linear programming model for this problem. (b) Use the graphical method to solve this model. M. En C. Eduardo Bustos Farías 121
122 PROBLEM 2. Dwight is an elementary school teacher who also raises pigs for supplemental income. He is trying to decide what to feed his pigs. He is considering using a combination of pig feeds available from local suppliers. He would like to feed the pigs at minimum cost while also making sure each pig receives an adequate supply of calories and vitamins. The cost, calorie content, and vitamin content of each feed are given in the table below. M. En C. Eduardo Bustos Farías 122
123 Each pig requires at least 8,000 calories per day and at least 700 units of vitamins. A further constraint is that no more than one-third of the diet (by weight) can consist of Feed Type A, since it contains an ingredient which is toxic if consumed in too large a quantity. (a) Formulate a linear programming model for this problem. (b) Use the graphical method to solve this model. (c) What is the resulting daily cost per pig M. En C. Eduardo Bustos Farías 123
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