Ingenierías 1er Cuatrimestre

Transcripción

1 Ingenierías 1er Cuatrimestre ESTÁTICA Manual Maestro de Prácticas

2 (Cálculo de coeficientes de fricción) Índice INDICE CAPITULO 1. SISTEMAS DE FUERZAS... 3 EQUIPO DE SEGURIDAD... 3 EQUIPO Y/O HERRAMIENTA... 4 MATERIALES... 4 SUSTANCIAS Y/O REACTIVOS... 4 MARCO TEÓRICO... 4 DESARROLLO... 5 Análisis y presentación de resultados... 7 Conclusiones... 7 MARCO TEÓRICO... 7 RESULTADOS CONCLUSIONES BIBLIOGRAFÍA CAPITULO 2. SISTEMAS DE FUERZAS EN EQUILIRIO NORMAS DE SEGURIDAD EQUIPO DE SEGURIDAD EQUIPO Y/O HERRAMIENTA MATERIALES SUSTANCIAS Y/O REACTIVOS MARCO TEÓRICO DESARROLLO RESULTADOS CONCLUSIONES BIBLIOGRAFÍA CAPITULO 3. CENTROIDE NORMAS DE SEGURIDAD EQUIPO DE SEGURIDAD EQUIPO Y/O HERRAMIENTA MARCO TEÓRICO Desarrollo Resultados Conclusiones Bibliografía

3 (Cálculo de coeficientes de fricción) Índice CAPITULO 4. ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS NORMAS DE SEGURIDAD EQUIPO DE SEGURIDAD EQUIPO Y/O HERRAMIENTA MARCO TEÓRICO DESARROLLO RESULTADOS CONCLUSIONES BIBLIOGRAFÍA CAPITULO 5. COEFICIENTES DE FRICCIÓN NORMAS DE SEGURIDAD EQUIPO DE SEGURIDAD EQUIPO Y/O HERRAMIENTA MATERIALES MARCO TEÓRICO DESARROLLO RESULTADOS CONCLUSIONES BIBLIOGRAFÍA

4 Práctica 1 SISTEMAS DE FUERZAS { TC } Fecha: Nombre del alumno: Profesor: Hora: Asignatura: Estática Clave: Nombre de práctica: SISTEMAS DE FUERZAS No. de práctica: 1 Investigación previa: Las 3 leyes de Newton - Diagrama de cuerpo libre - Primera y segunda condición de equilibrio - Momento de una fuerza Palabras clave: Objetivo: Que el alumno analice sistemas físicos para representarlos gráfica y matemáticamente con ayuda de un diagrama de cuerpo libre. Que el alumno genere y pruebe hipótesis mediante el desarrollo completo de la práctica Equilibrio de Fueras, aplicando el método científico. Tiempo de realización física: una sesión de 2 horas Horas/semana: 2 horas NORMAS DE SEGURIDAD Trabajar dentro de la línea de seguridad No comer alimentos dentro del laboratorio Manejar con precaución el equipo para evitar accidentes Bata de laboratorio EQUIPO DE SEGURIDAD Elaborado por: Revisado por: Vo. Bo. Autorizado por: Fecha de elaboración: Próxima revisión Ing. Lizbeth Orozco Duran Ing. Armando rojas Ascencio Mtro. Omar González González Mtro. Germán Fernández García 15 Ago 2016 Ago

5 Práctica 1 SISTEMAS DE FUERZAS EQUIPO Y/O HERRAMIENTA 1 Dinamómetro de 0 a 100 gramos 1 Dinamómetro de 0 a 500 gramos 2 Soportes universales Hilo 1 Transportador 2 Pinzas de nuez 1 Regla graduada de 50 centímetros con perforaciones 2 Poleas 1 Juego de pesa 2 Balanzas 1 Tabla de perfosel 1 Regla de madera de 1 metro de longitud Ninguno MATERIALES SUSTANCIAS Y/O REACTIVOS Ninguna/ninguno MARCO TEÓRICO Un diagrama de cuerpo libre es un esquema gráfico vectorial que describe las fuerzas externas que actúan o intervienen en un cuerpo rígido o partícula. En el caso de que un cuerpo esté sometido a fuerzas concurrentes, todos los vectores pasan por el origen de los ejes X y Y ; como se muestra en la Figura 4

6 Práctica 1 SISTEMAS DE FUERZAS Al dibujar el diagrama de cuerpo libre es importante distinguir entre las fuerzas de acción y las de reacción. En la Figura anterior, hay fuerzas que actúan sobre el nodo (fuerza de acción), pero también hay tres fuerzas de reacción iguales y opuestas ejercidas en el nodo (fuerzas de reacción). Diagrama de cuerpo libre Proceso de elaboración o construcción de un diagrama de cuerpo libre: 1. Trazar un croquis e indicar las condiciones del problema. Se debe asegurar que se representan todas las fuerzas externas, ya sean conocidas, desconocidas; así como sus ángulos respectivos. 2. Aislar cada cuerpo del sistema en estudio. Se recomienda realizarlo de manera mental o dibujando un círculo alrededor del punto donde se aplican todas las fuerzas. 3. Construir un diagrama de fuerzas externas para cada cuerpo que se va a estudiar. Las fuerzas se representan como vectores referidos a un sistema de coordenadas rectangulares. 4. Representar los ejes X y Y con líneas punteadas o de color. Es indispensable trabajar el sistema cartesiano. No es indispensable dibujar estos ejes horizontal y verticalmente. 5. Trazar con líneas puenteadas (sugerencia) los triángulos rectángulos correspondientes a las componentes X y Y de cada vector y señalar los ángulos conocidos a partir de las condiciones dadas en el problema. 6. Marcar todas las componentes conocidas, desconocidas, opuestas y adyacentes a los ángulos conocidos Experimento no. 1 Cuerpo en reposo DESARROLLO Montar o preparar los siguientes estados del cuerpo rígido utilizando el bloque de madera, hilo, dinamómetro y el soporte universal. Dibujar en el recuadro de la derecha de cada esquema el diagrama correspondiente, con los datos de los materiales como son: peso del cuerpo o bloque de madera y la medición de los ángulos. 5

7 Tabla 1. Diagrama de Cuerpo libre y Diagrama de Fuerzas. Cuerpo en reposo Práctica 1 SISTEMAS DE FUERZAS Diagrama de Fuerzas Experimento no. 2 Poleas Montar o preparar el siguiente estado del cuerpo rígido de la Figura 2, con la utilización del bloque de madera, el hilo, la polea y el soporte universal. Dibujar el diagrama correspondiente con los datos de los materiales como son: peso del cuerpo o bloque de madera y la medición de los ángulos. Dibujar el diagrama de fuerzas. Figura 2. Diagrama de Cuerpo libre (polea) Determinar el diagrama de Fuerzas referente al caso de la polea y cada uno de los cuerpos denotados como m 1 y m 2 ; así mismo, las componentes rectangulares de las fuerzas actuantes. 6

8 Práctica 1 SISTEMAS DE FUERZAS Análisis y presentación de resultados Los experimentos no. 1 y 2: Presentar los diagramas de cuerpo libre de las fuerzas que actúan en el sistema, los valores de las componentes de las fuerzas; así mismo compara tus diagramas y resultados analíticos con los valores medidos con el dinamómetro. Conclusiones Escribir una pequeña redacción en la que se indiquen las observaciones personales o grupales, refiriéndose al análisis de los resultados, indicando las habilidades y conocimientos que te brinda la experiencia de llevar a cabo esta práctica. Fuentes de información (Bibliografía) Libro. Estática. Ferdinand P. Beer, Russell Johnston, David F. Mazurek. McGraw Hill. México ma. Edic. Libro. Mecánica vectorial, estática y dinámica. Nelson, Eric William. McGraw Hill MARCO TEÓRICO En el diseño aplicado a la ingeniería es importante conocer las reacciones en los diferentes apoyos y esfuerzos a los que está sometido un cuerpo; para esto, el conocimiento de las condiciones de equilibrio de fuerzas es fundamental. Estos principios generalmente se aplican en todas las carreras de ingeniería y su conocimiento es básico. El caso más simple se presenta cuando existen fuerzas concurrentes en equilibrio. En esta situación las condiciones suficientes y necesarias para que un cuerpo se mantenga en equilibrio son: Para aplicar las condiciones de equilibrio y resolver las diferentes componentes de tres fuerzas concurrentes se puede utilizar la suma vectorial (las fuerzas son vectores) o bien aplicar la ley de senos o la ley de cosenos. 7

9 Diagrama de fuerzas y triángulo de fuerzas Práctica 1 SISTEMAS DE FUERZAS Fuerzas Figura 3. Diagrama de fuerzas y triángulo de Fuerzas Ley de senos: Ley de cosenos: Por lo tanto, para resolver un problema y encontrar la solución es necesario representar el diagrama de cuerpo libre (o diagrama vectorial) que muestre todas las fuerzas que están actuando sobre el objeto, ya que del análisis de éste se obtienen las ecuaciones para resolver un problema en particular. En cuanto a la suma de momentos se considera el sentido de giro, ya que las fuerzas que tiendan a hacer girar al cuerpo en sentido de las manecillas del reloj se considerarán como generadoras de momento negativo y en sentido opuesto a las manecillas del reloj, el momento será positivo. El momento está definido por, en forma escalar Experimento no. 3 Equilibrio de Fuerzas con poleas 8

10 Práctica 1 Estudiaremos el equilibrio de tres fuerzas concurrentes SISTEMAS en un DE punto FUERZAS determinado. Para esto se requiere construir el sistema mostrado en la Figura 4: Figura 4. Diagrama de cuerpo libre y ángulos de las fuerzas Con el sistema montado como el de la Figura 4, medir de manera cuidadosa los ángulos formados por las cuerdas con respecto a la vertical. Por el método de la suma de vectores, calcular la magnitud de las tensiones. Dibujar el diagrama de fuerzas y comparar el valor obtenido con los pesos suspendidos de las cuerdas. Tomar nota de los resultados en la Tabla 2 y anotar las conclusiones. (Referir al diagrama de cuerpo fuerzas vectorial y al triángulo de fuerzas del marco teórico.) Tabla 2. Tabla comparativa entre el valor teórico y el valor experimental. Fuerza (N) Valor experimental Ángulo medido Valor calculado T 1 T 2 W Experimento no. 4 Equilibrio de fuerzas de una balanza En el siguiente experimento se aplica el principio de la balanza aritmética, donde se coloca una regla 9

11 Práctica 1 que se mantiene suspendida con un dinamómetro SISTEMAS hasta lograr DE FUERZAS el equilibrio, colocando diferentes pesos, como lo indica la Figura 5. Figura 5. Diagrama de la balanza aritmética Una vez alcanzado el equilibrio (esto se logra cuando la regla permanece en una posición horizontal perfecta), se calcula la resultante de las fuerzas que actúan, considerando el peso de la balanza y comparando los resultados con el dinamómetro. Dibujar el diagrama de cuerpo libre, tomando como origen el punto donde se localiza el gancho del dinamómetro, midiendo a partir de ese punto la distancia a los centros de cada uno de los pesos considerados, calcular la suma de momentos ejercidos por cada una de las fuerzas, sin olvidar la consideración del sentido del giro. Anotar los resultados en la Tabla 3. Tabla 3. Tabla de resultados del experimento. Fuerzas Fuerza (g) Fuerza (N) Vector de posición (m) Momento (Nm) F 1 F 2 W regla Suma Dibujar el diagrama de cuerpo libre y calcular la suma de momentos ejercidos por cada una de las fuerzas, sin olvidar considerar el sentido de giro. Experimento no. 5 Equilibrio de fuerzas en una viga En este experimento se van a calcular las reacciones en los apoyos de una viga con cargas distribuidas. Para esto se requiere montar un sistema como el que se muestra en la Figura 6. Colocar 10

12 Práctica 1 las masas (cualquier valor que se SISTEMAS elija ) DE en FUERZAS las posiciones sugeridas como se muestra en la siguiente Figura (no ponerlas en el centro, y tampoco acercar demasiado una con la otra) sobre la regla o suspendidas de ella, de tal manera que el centro del plato de cada una de las balanzas coincida con los extremos de la regla. Figura 6. Diagrama de viga en equilibrio estático Con las pesas de cada una de las balanzas alcanzar el punto de equilibrio en cada una de ellas, de tal forma que el sistema quede balanceado. La medida que se obtenga en cada una de las balanzas será la reacción experimental (convertir los datos a Newton). Dibujar un diagrama de cuerpo libre, tomando como origen el centro de la balanza 1, con sus distancias correspondientes a cada uno de los pesos y utilizando las condiciones de equilibrio, calcular el valor de las reacciones en los apoyos y comparar los cálculos con las lecturas de las balanzas colocadas en los extremos de la regla. Nota: para realizar este experimento se debe poner de acuerdo con los demás equipos (el profesor los coordinará), ya que sólo se proporcionará un juego de balanzas por laboratorio y se tendrán que compartir las balanzas. Tabla 4. Tabla de resultados del experimento. Valor experimental Valor calculado Reacciones gramos Newton gramos Newton R 1 R 2 RESULTADOS Presentar los cálculos que se realizaron en el experimento no. 3 y explicar si existen diferencias con los resultados experimentales comparados con el cálculo de la tensión en cada cable. Incluir el diagrama de cuerpo libre y la tabla de valores correspondiente. 11

13 Práctica 1 SISTEMAS DE FUERZAS Experimento no. 4. Dibujar el diagrama de cuerpo libre de la balanza aritmética con la tabla de valores correspondiente y desarrollar las ecuaciones que llevan a los resultados, compararlos con la resultante indicada por el dinamómetro. Cómo debe ser la suma de momentos? Experimento no. 5. Para este experimento, con la ayuda del profesor dibujar el diagrama de cuerpo libre correspondiente, calcular las reacciones en los apoyos de manera analítica y comparar los resultados con los datos obtenidos de manera experimental. Anotar las conclusiones. CONCLUSIONES Escribir una redacción (resumen) en la que se indiquen las observaciones personales refiriéndose al análisis de los resultados, indicando las habilidades y conocimientos que te brinda la experiencia de realizar esta práctica. BIBLIOGRAFÍA Libro. Estática. Ferdinand P. Beer, Russell Johnston, David F. Mazurek. McGraw Hill. México ma. Edic. Libro. Mecánica vectorial, estática y dinámica. Nelson, Eric William. McGraw Hill

14 Práctica 2 SISTEMAS DE FUERZAS EN EQUILIBRIO Fecha: Nombre del alumno:: Profesor: Hora: Asignatura: Estática Clave: Nombre de práctica: Sistema de Fuerzas en Equilibrio No. de práctica: 2 Investigación previa: Tipos de apoyos - Enlistar los diferentes tipos de apoyos que se utilizan en el plano y en el espacio - Explicar qué es un diagrama de cuerpo libre - Expresar las ecuaciones vectoriales del equilibrio - Expresar las ecuaciones escalares de equilibrio isostático para 3D - Cuáles son los principales tipos de restricciones para un cuerpo rígido? Palabras clave: Fuerzas, equilibrio, Sistemas Objetivo: Obtener el valor de reacción en apoyos y soportes para que un cuerpo sujeto a un sistema de fuerzas se encuentre en equilibrio. Tiempo de realización física: una sesión de 2 horas Horas/semana: 2 horas NORMAS DE SEGURIDAD Trabajar dentro de la línea de seguridad No comer alimentos dentro del laboratorio Manejar con precaución el equipo para evitar accidentes EQUIPO DE SEGURIDAD Bata de laboratorio EQUIPO Y/O HERRAMIENTA 2 Dinamómetros 2 Soportes universales Hilo o cuerda 1 Transportador 2 Pinzas de nuez 1 Juego de pesas Marco tridimensional de perfosel con poleas con disco de 1 m de diámetro de borde liso 13

15 Práctica 2 SISTEMAS DE FUERZAS EN EQUILIBRIO MATERIALES Ninguno SUSTANCIAS Y/O REACTIVOS Ninguna/ninguno Reacciones en apoyos MARCO TEÓRICO Es importante reconocer los tipos y símbolos que se emplean para representar a los apoyos, así como comprender cómo se desarrollan las fuerzas y los pares de cada apoyo. En el caso bidimensional que se ha estudiado en anteriores unidades, la fuerza se desarrolla en un apoyo, que restringe la traslación del elemento conectado, mientras que el par se desarrolla cuando se impide la rotación del elemento conectado. Un ejemplo de estas conexiones es el que se muestra en la Figura 1. Figura 1. Diagrama de un apoyo y sus incógnitas Esta articulación conocida con el nombre de rótula impide cualquier traslación del elemento conectado; al ser sometida a una fuerza, posee tres componentes que tienen un punto de conexión y tiene magnitudes desconocidas F x, F y y F z. Restricciones para un cuerpo rígido Para asegurar el equilibrio de un cuerpo rígido, no sólo es necesario que se satisfagan las ecuaciones de equilibrio, sino también, que el cuerpo esté sujeto de manera adecuada o que sus soportes impidan su movimiento. Algunos cuerpos pueden tener más soportes de los necesarios para el equilibrio, en 14

16 Práctica 2 SISTEMAS DE FUERZAS EN EQUILIBRIO tanto que otros pueden no tener los suficientes o estar dispuestos en una forma que pueden causar la destrucción del cuerpo. Restricciones redundantes Cuando un cuerpo tiene apoyos redundantes, es decir, más apoyos que los necesarios para mantenerlo en equilibrio, se convierte en fuerzas: Estáticamente indeterminado, lo que significa que habrá más cargas desconocidas sobre el cuerpo que ecuaciones del equilibrio disponibles para su solución. Restricciones impropias En algunos casos, puede haber tantas fuerzas desconocidas sobre el cuerpo como ecuaciones de equilibrio; sin embargo, puede desarrollarse inestabilidad del cuerpo, debido a restricciones inapropiadas por los apoyos. En el caso de problemas en tres dimensiones, el cuerpo está impropiamente restringido si las reacciones de apoyo intersecan todas en un mismo eje. Para problemas de dos dimensiones, este eje es perpendicular al plano de las fuerzas y por tanto, aparece como punto. Entonces, cuando todas las fuerzas restrictivas concurren en ese punto, el cuerpo está impropiamente restringido. Experimento no. 1 Sistema en el espacio DESARROLLO En el siguiente experimento se desea conocer la tensión de los cables AD, BD y CD. Para esto se requiere construir el sistema mostrado en la Figura 2. Figura 2. Diagrama de un sistema de fuerzas en el espacio 15

17 Práctica 2 SISTEMAS DE FUERZAS EN EQUILIBRIO Las distancias anotadas en la figura están en centímetros y se pueden emplear las tablas de perfocel para su construcción. Con el sistema montado en la Figura 2, se debe medir de manera cuidadosa los ángulos formados por las cuerdas o cables con relación al plano horizontal. Por medio del método analítico de la suma de vectores, calcular el valor analítico de las tensiones T AD, T AB y T AC, si la masa del bloque es de 60 gramos. Dibujar el diagrama de cuerpo libre y comparar el valor obtenido con los pesos suspendidos de las cuerdas F 1, F 2 y F 3 tomar nota de los resultados en la Tabla 1 y anotar sus conclusiones. Hacer referencia al diagrama de cuerpo libre y descomposición de fuerzas del marco teórico. Tabla 1. Tabla de resultados del experimento. Tensiones Valor calculado (gramos/newtons) Valor experimental (gramos/newtons) T AD T BD T CD W Experimento no. 2 Sistema en el plano En este experimento se muestra un sistema de cuerpos unidos por cables, que se encuentra en equilibrio, el objetivo es calcular la distancia h necesaria para que el cuerpo se mantenga en equilibrio. Para esto se requiere montar un sistema como el mostrado en la Figura 3. Figura 3. Diagrama de un sistema de fuerzas en el plano La distancia mostrada en el esquema puede variar, se sugiere que sea de 30 cm. Para montar el experimento se puede apoyar con soportes universales. Los bloques A y B deben pesar 60 gramos cada uno y el bloque C debe pesar 80 gramos y permanecer en equilibrio estático. Dibujar el diagrama de cuerpo libre y comparar el valor obtenido por el método analítico y el experimental, tomar nota de los resultados en la Tabla 2 y anotar sus conclusiones. 16

18 Práctica 2 SISTEMAS DE FUERZAS EN EQUILIBRIO Tabla 2. Tabla de resultados del experimento. Altura Valor calculado Valor experimental h Experimento no. 3 Ángulo de equilibrio En el experimento se muestran dos cuerpos puntuales con peso P 1 de 60 gramos y P 2 de 40 gramos, los cuales están unidos mediante un cable y están apoyados sobre una superficie lisa curva, como se muestra en la Figura 4. Figura 4. Diagrama de un sistema de fuerzas en el plano Una vez alcanzado el equilibrio (este se logra cuando los cuerpos no se mueven), calcular la resultante de la tensión de la cuerda, las normales de los apoyos (mediante el método analítico únicamente) y el ángulo de equilibrio marcado en la Figura, considerar que la medición de la fuerza de tensión de la cuerda se puede medir con la ayuda de un dinamómetro, el cual se puede localizar en la parte media de la cuerda. La longitud de la cuerda puede variar en relación a la superficie curva donde se realice el experimento; para la superficie curva, se puede emplear un bote metálico liso o una cubeta de plástico. Dibujar el o los diagramas de cuerpo libre de los cuerpos, tomando como origen el centro de la superficie curva (centro de la circunferencia). Anotar los resultados obtenidos en la Tabla 3. 17

19 Práctica 2 Tabla 3. Tabla de resultados del experimento. SISTEMAS DE FUERZAS EN EQUILIBRIO Variable Valor medido Valor calculado Tensión de la cuerda Ángulo de equilibrio RESULTADOS Presentar los cálculos que se realizaron en el experimento no. 1 y explicar si es que existen diferencias con los resultados experimentales, comparado con el cálculo de la tensión en los cables. Agregar el diagrama de cuerpo libre y la tabla de valores correspondiente. Para el experimento no. 2, mediante las ecuaciones necesarias determinar la distancia vertical que existe entre le bloque C y la horizontal superior de los apoyos para que el cuerpo se encuentre en equilibrio estático, anexar el diagrama de cuerpo libre y responder a la siguiente pregunta. Qué ocurre si se disminuye la distancia de separación de los cuerpos A y B a la mitad, la distancia h aumenta el doble? Por qué? Para el experimento no. 3, con ayuda del profesor dibujar el o los diagramas de cuerpo libre correspondientes y calcular la fuerza de tensión del cable y el ángulo de equilibrio según la longitud necesaria del cable, en relación del tamaño del bote metálico o de plástico, comparar los resultados analíticos con los resultados obtenidos de manera experimental. Anotar las conclusiones. CONCLUSIONES Escribir una pequeña redacción en la que se indiquen las observaciones realizadas referentes al análisis de los resultados. Indicar las habilidades y conocimientos que brinda la experiencia de llevar a cabo esta práctica. BIBLIOGRAFÍA Libro. Estática. Ferdinand P. Beer, Russell Johnston, David F. Mazurek. McGraw Hill. México ma. Edic. Libro. Mecánica vectorial, estática y dinámica. Nelson, Eric William. McGraw Hill

20 Fecha: Nombre del alumno: Práctica 3 CENTROIDES Hora: Profesor: { TC } Asignatura: Estática Clave: Nombre de práctica: Centro de masa, gravedad y centroide No. de práctica: 3 Investigación previa: Fuerzas distribuidas. Centroides y centros de gravedad - Significado de centro de masa, gravedad y centroide. - Situaciones en que coinciden el centro de masa, gravedad y centroide. - Obtención de momento de área total de una superficie cualquiera Palabras clave: Objetivo: El alumno genera y prueba hipótesis mediante el desarrollo completo de la práctica Centro de masa, gravedad y centroide, aplicando el método científico. Analiza sistemas físicos para representarlos diagramática y matemáticamente. Tiempo de realización física: una sesión de dos Horas/semana: 4 hrs. horas NORMAS DE SEGURIDAD Trabajar dentro de la línea de seguridad No comer alimentos dentro del laboratorio Manejar con precaución el equipo para evitar accidentes Bata de laboratorio EQUIPO DE SEGURIDAD 1 Soporte Universal 1 Aguja para soporte universal 1 Plomada 1 Regla graduada EQUIPO Y/O HERRAMIENTA 19

21 Práctica 3 CENTROIDES MATERIALES PROPORCIONADOS POR EL ALUMNO Cinta adhesiva Hoja de papel milimétrico Diferentes figuras geométricas regulares e irregulares (ver anexo al final del documento) Elaborados con papel cascarón, ilustración, foamy o cartón corrugado. MARCO TEÓRICO Tras investigar los temas de esta práctica, analicemos el procedimiento para calcular las coordenadas del centroide de una figura compuesta: 1. Dibuja la figura en un sistema de ejes cartesianos donde la figura quede definida en los cuadrantes. Ejemplo, encontrar el centroide de la siguiente figura: r = 6cm 8 cm 8 cm 6 cm 2. Divide la figura en áreas regulares del centroide conocido. 6 cm 6 cm 6 cm 4 cm 4 cm 10.5 cm 8 cm -2 cm Sección 1 Sección 2 Sección 3 Sección 4 4. Determina las coordenadas de los centroides de cada área, como se observa en la figura anterior. 5. Calcula el momento de cada área con respecto a los ejes M x M y = A i y i 20

22 Práctica 3 Para hacerlo nos podemos auxiliar de una tabla como la siguiente: Sección Área (cm 2 ) x i y i A i x i A i y i 1 (12) (6) / (12) (8) π (6) 2 / π (4) Σ Las coordenadas del centroide del área total, de acuerdo con el principio del centro de fuerzas paralelas, son las siguientes: Con los datos del ejemplo anterior se obtiene el centroide de la figura analizada. Desarrollo De las figuras que aparecen en el Anexo 1, el profesor seleccionará tres diferentes para cada equipo, las cuales dibujarás y recortarás en el papel seleccionado (cascarón, cartulina, etcétera). Cubre con papel milimétrico, considerando los ejes cartesianos de acuerdo a como vas a dividir la figura, (como en la imagen) 21

23 Práctica 3 Para calcular el centro de masa de las figuras geométricas sigue los siguientes pasos: 1. Coloca la aguja en el soporte universal para después colgar la figura de estudio. 2. Inserta la figura en estudio (haciéndole un pequeño orificio) en la aguja, en cualquiera de sus lados de tal manera que la figura cuelgue con libertad, como se aprecia en la figura no. 1. Figura 1 3. Cuelga la plomada en la aguja de modo que la cuerda se encuentre a lo largo de la cara en la figura geométrica, pero sin tocarla (figura no. 2): Figura 2 4. Dale un pequeño impulso o golpe para que se mueva oscilando como un péndulo. 22

24 Práctica 3 5. Espera que la figura vuelva al reposo. Figura 3 6. Marca dos puntos por donde pasa la cuerda de la plomada sobre la figura geométrica, cuidando de no mover la figura y la plomada. Figura 4 7. Desmonta la figura geométrica y traza una línea que pase por los dos puntos marcados. 8. Repite el procedimiento 3 veces mínimo, pero insertando la figura en otro lado de la figura geométrica. 23

25 Práctica 3 Figura 5 9. Si el ejercicio se realizó con cuidado, las tres o más líneas trazadas se interceptarán en un solo punto. Este será su centroide Figura Para verificar la precisión del resultado, balancea la figura por medio de una pluma que se debe colocar en el punto de intersección de las líneas. 24

26 Práctica 3 Figura 7 Resultados Calcula las coordenadas del centroide de cada una de las figuras seleccionadas, auxiliándote de tablas como la siguiente: Sección 2 Área (cm ) A i Coordenadas del centroide Ax i Ay i x i y i A = Ax = Ay = Con las siguientes ecuaciones calcula las coordenadas x y y de la figura compuesta: Ahora compara los resultados del análisis matemático con los resultados del experimento realizado. 25

27 Práctica 3 x y Valores obtenidos analíticamente Valores obtenidos experimentalmente Para cada una de las figuras contesta las preguntas: 1. Coincide el punto cuyas coordenadas calculaste analíticamente y experimentalmente? Explica tu respuesta. 2. Puede coincidir en el mismo punto el centro de masa y el centro geométrico? 3. Explica en qué casos coincide el centro de masa con el centro geométrico. 4. Para dos figuras geométricas idénticas pero de distinto material, su centro de masa es el mismo? 5. Enuncia la diferencia entre centro de masa, centroide y centro de gravedad. Conclusiones Escribe una pequeña redacción en la que indiques tus observaciones personales refiriéndote al análisis de los resultados, indicando las habilidades y conocimientos que te brinda la experiencia de realizar esta práctica. Bibliografía 26

28 Práctica 3 Beer, F.P. y Johnston, E. R., Mecánica vectorial para ingenieros: Estática, Vol. 1, McGraw-Hill, México, Bedfor, Anthony y Wallace Fowler, Mecánica para ingeniería. Estática, Addison Wesley Iberoamericana, México,

29 Práctica 4 ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS Fecha: Nombre del alumno: Profesor: Hora: Asignatura: Estática Clave: Nombre de práctica: Análisis de estructuras No. de práctica: 4 Investigación previa: Ecuaciones de equilibrio - Principio de acción y reacción colineal de fuerzas iguales pero opuestas. - Diagramas de cuerpo libre - Como se definen las reacciones en los apoyos - Cuál es la descripción de un elemento sujeto a compresión y un elemento a tensión - Método de los nodos Palabras clave: Objetivo: El alumno determinará las fuerzas internas de la armadura es decir, las fuerzas de acción y reacción entre los elementos o barras que la forman aplicando el método científico y matemático. Tiempo de realización física: 1 sesiones de 2 horas NORMAS DE SEGURIDAD Trabajar dentro de la línea de seguridad No comer alimentos dentro del laboratorio Manejar con precaución el equipo para evitar accidentes EQUIPO DE SEGURIDAD Horas/semana: 4 hrs. Bata de laboratorio EQUIPO Y/O HERRAMIENTA Hilo Armadura Estructura construida por los alumnos Flexómetro Regla Estructura proporcionada por el laboratorio Dinamómetro de 0 a 2 Kgf 1 Juego de pesas Transportador 28

30 Práctica 4 ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS MARCO TEÓRICO ARMADURA: Es una estructura de barras unidas por sus extremos de manera que constituyan una unidad rígida. Algunos ejemplos son los puentes, los soportes de las cubiertas, grúas, etc. ESTRUCTURAS SIMPLES Un refuerzo es una estructura compuesta de miembros rígidos unidos por sus extremos. Los miembros comúnmente utilizados en la construcción suelen ser estructuras de madera o barras metálicas. Las conexiones de unión se realizan remachando o soldando los extremos de los miembros a una placa común, llamada placa de unión, o simplemente pasando un tornillo a través de cada uno de los miembros como se muestra en la figura 1. Figura 1 ESTRUCTURAS PLANAS Las estructuras planas se hallan contenidas en un solo plano y con frecuencia se utilizan para soportar techos y puentes. Las siguientes figuras son ejemplos de estructuras planas. 29

31 Práctica 4 ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS SUPOSICIONES PARA EL DISEÑO Para diseñar tanto los miembros como las conexiones de una estructura, es necesario determinar primero la fuerza desarrollada en cada miembro cuando la estructura se encuentre sujeta a una determinada carga. En este sentido, se deberán formular dos suposiciones importantes: 1. Todas las cargas están aplicadas en las uniones. En la mayoría de las situaciones, tales como en las estructuras de techos o puentes, este supuesto es válido. Con frecuencia en el análisis de fuerzas, los pesos de los miembros son poco significativos, puesto que las fuerzas soportadas por los miembros son en general grandes en comparación con sus propios pesos. 2. Los miembros están unidos por medio de pernos lisos. En los casos donde las conexiones de unión vayan soldadas o atornilladas. Debido a estas dos suposiciones, cada miembro de la estructura actúa como un miembro de dos fuerzas, y por lo tanto, las fuerzas en los extremos del miembro deben dirigirse a lo largo del eje. Si la fuerza tiende a elongar (alargarlo) el miembro, se trata de una fuera de tensión (T). Mientras que si ésta tiende a acortar el miembro, se trata de una fuerza de compresión C). Ver figura 2 Figura 2 MÉTODO DE NUDOS 30

32 Práctica 4 ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS Este método de los nudos consiste en satisfacer las condiciones de equilibrio para todas las fuerzas ejercidas sobre el pasador de cada uno de los nudos de la armadura. En consecuencia, el equilibrio rotacional o de momento se satisface automáticamente en el nudo (o pasador) y solamente es necesario satisfacer: sumatoria de fuerzas en x = 0 y sumatoria de fuerzas en y = 0 para asegurar el equilibrio de fuerzas o de translación en el nudo. Σ Fx=0 Σ Fy=0 Cuando se usa el método de nudos es necesario trazar primero el diagrama de cuerpo libre del nudo antes de aplicar las ecuaciones de equilibrio. PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS 1) Dibujar el diagrama de cuerpo libre de una unión que tenga al menos una fuerza desconocida y máxima dos desconocidas. (Si esta unión se encuentra en uno de los soportes, será necesario conocer las reacciones externas en los soportes de la estructura). 2) El sentido de la fuerza desconocida se determinará a través del método descrito en la figura (3) 3) Oriente los ejes x y y de tal forma que las fuerzas en el diagrama de cuerpo libre puedan descomponerse fácilmente en sus componentes x y y; después aplique las dos ecuaciones de equilibrio de fuerzas ƩF x =0 y ƩF y =0. Resuelva las dos fuerzas de miembro desconocidas y verifique su sentido correcto, según se aprecia en la figura (3). Figura 3 DESARROLLO 31

33 Práctica 4 ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS Nota: El alumno construirá una estructura triangular (triangulo oblicuo) de madera reciclada. Las dimensiones de los elementos serán de 15cm de largo, las conexiones de unión serán atornilladas en cada uno de los nudos. Dicha estructura se llevara a laboratorio para someterla a carga el día de la práctica. 1) Con la regla mide cada elemento de la armadura (distancia entre centros), así como también obtén la medición de los ángulos interiores de la estructura por medio del transportador Foto 1 2) Junto con tu profesor elabora el diagrama de cuerpo libre y obtén las condiciones de equilibrio para cada uno de los siguientes casos: a) La estructura se apoyará en el nodo A con un apoyo fijo y en el nodo B con apoyo móvil, aplicando una fuerza de 12N con dirección horizontal a la derecha con el dinamómetro en el nudo C. b) Se aplica una fuerza 10 N ejercida con el dinamómetro en el nudo A teniendo una dirección horizontal con sentido negativo. Respetando las posiciones de los apoyos como en el inciso (a). 32

34 Práctica 4 ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS c) La estructura se someterá a una carga central vertical de 3Kg que se encuentra colgada en el nudo C. d) El alumno someterá la estructura construida por el a una carga de 14N horizontal ubicada en el nudo C, como se muestra en la foto 2. 33

35 Práctica 4 ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS Foto 2 3) Por el método de nudos calcula la fuerza de todos los elementos para los cuatro casos de estudio, anotando cuál está a compresión y cuál a tensión. 4) Con el material proporcionado por el alumno (armadura) analiza los siguientes casos: a) Compara las dimensiones antes y después de aplicada la fuerza. b) Observa qué elementos se acortan y cuáles se alargan. c) Observa si alguno de los elementos sometidos a la fuerza llega a la ruptura. d) Que diferencias observas entre la estructura construida por el alumno y la armadura proporcionada por el laboratorio cuando se someten a fuerzas? 5) Compara tus cálculos con lo observado en la armadura construida por el alumno y la armadura proporcionada por el laboratorio. 6) Para realizar el análisis fue necesario calcular las reacciones en los apoyos? 7) Qué pasa si en el arreglo que se presenta en el inciso (c) sustituyes el apoyo de ranura deslizante por una superficie rugosa, que en este caso será un trozo de madera? Elabora el diagrama de cuerpo libre con tu profesor. Cambia el diagrama de cuerpo libre?, y si es así, qué cambio se introduce? Cambian las reacciones en los apoyos? Se mantiene en equilibrio la estructura? 34

36 Práctica 4 ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS RESULTADOS ANÁLISIS Y PRESENTACIÓN DE RESULTADOS Para cada uno de los cuatro casos mencionados, presenta su diagrama de cuerpo libre para armaduras y el desarrollo analítico matemático que resuelve el valor de los apoyos y de cada una de las fuerzas a compresión y/o tensión en cada uno de los elementos por el método de los nudos. a) Primer caso: Fuerza horizontal de 12N a la derecha. b) Segundo caso: Fuerza horizontal de 10N a la izquierda. c) Tercer caso: Fuerza vertical de 3Kg hacia abajo d) Cuarto caso: Estructura construida por el alumno sometido a una fuerza de 14N a la derecha. Compara los resultados analíticos obtenidos con las observaciones que realizaste al llevar a cabo el experimento y anota si los miembros se comportaron a compresión o a tensión de acuerdo con lo previsto. CONTESTA: 35

37 Práctica 4 ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS 1) Que condición se debe cumplir para que la estructura se encuentre en equilibrio? 2) Qué pasa cuando sustituyes el apoyo de ranura deslizante por la superficie rugosa (cacho de madera)? 3) Qué les sucede a los elementos de la estructura cuando aplicas la fuerza central vertical? CONCLUSIONES Escribe una pequeña redacción en la que indiques tus observaciones personales refiriéndote al análisis de los resultados, indicando las habilidades y conocimientos que te brinda la experiencia de realizar esta práctica. BIBLIOGRAFÍA Beer, F.P. y Johnston, E. R., Mecánica vectorial para ingenieros: Estática, Vol. 1, McGraw-Hill, México, Bedfor, Anthony y Wallace Fowler, Mecánica para ingeniería. Estática, Addison Wesley Iberoamericana, México,

38 Práctica 5 (Sistemas de fuerzas en equilibrio) Fecha: Nombre del alumno: Profesor: Hora: Asignatura: Estática Clave: Nombre de práctica: Cálculo de coeficientes de fricción No. de práctica: 5 Investigación previa: Definición y representación matemática de la fuerza de fricción - Clasificación de las fuerzas (fuerza normal, peso, fuerzas de fricción). - Leyes de Newton - Diagrama de cuerpo libre. Palabras clave: Dinámico, Estático, Fuerza, Rozamiento Objetivo: Calcular y comparar los diferentes coeficientes de fricción, en función de las superficies analizadas Tiempo de realización física: 1 sesiones de 2 horas Horas/semana: 4 hrs. NORMAS DE SEGURIDAD Manejar con precaución el equipo para evitar accidentes. No comer alimentos dentro del laboratorio. Trabajar dentro del área permitida. Bata de laboratorio. EQUIPO DE SEGURIDAD EQUIPO Y/O HERRAMIENTA 1 dinamómetro con rango de 0 a 500g. 37

39 Práctica 5 (Sistemas de fuerzas en equilibrio) MATERIALES 1 Superficie lisa de vidrio. 1 Plano inclinado. 1 Superficie de acrílico 1 juego de pesas 1 transportador 1 soporte universal 2 bloque de madera Lijas de tipo comercial de distintos números Carritos de tipo (hot wheels) 5 MARCO TEÓRICO La fricción es una fuerza que se opone a su deslizamiento que se presenta cuando se quiere desplazar un cuerpo que está en contacto con otro. Se presenta esta fuerza de fricción tangencial, paralela a las superficies que están en contacto. Existen dos tipos de fuerza de fricción como lo menciona el siguiente diagrama: Diagrama 1. Fuerza de fricción Cuando se coloca un cuerpo cualquiera como el bloque de la figura 1 sobre una superficie horizontal, su 38

40 Práctica 5 (Sistemas de fuerzas en equilibrio) peso ejerce una acción vertical hacia abajo sobre dicha superficie y como reacción la superficie ejerce una fuerza igual en magnitud al peso del bloque, en la misma dirección pero con sentido contrario, esta fuera recibe el nombre de fuerza de reacción normal (N), toda vez que es perpendicular al plano o superficie horizontal. En la figura 2 se observa un bloque colocado sobre una rampa o plano inclinado formando un ángulo respecto a la horizontal. De igual manera se presenta una fuerza de reacción Figura 1. En una superficie horizontal el peso de un Figura 2. Bloque colocado sobre un plano inclinado. Su peso Cuerpo es igual a la fuerza de reacción normal (N) descompone en dos direcciones perpendiculares entre sí. se DESARROLLO Experimento no 1 Cálculo del coeficiente de fricción estático de diferentes materiales de superficies de contacto a) Construye el sistema que se muestra en la figura 3 b) Colocaras el bloque de madera sobre la superficie horizontal acrílica c) De la parte de la armella únelo a la argolla del dinamómetro (figura 3). Figura 3 39

41 Práctica 5 (Sistemas de fuerzas en equilibrio) d) Con sumo cuidado y lentitud, tirando manualmente del dinamómetro, de tal manera que se vaya incrementando paulatinamente la fuerza que ejerces sobre el dinamómetro y el bloque de madera, hasta el punto en que el movimiento sea inminente. Si el peso del bloque es pequeño y no se alcanza a apreciar la fuerza, coloca sobre esté un peso adicional de gr, según lo consideres conveniente. e) En ese punto tomarás el valor que indica el dinamómetro y lo anotarás. f) Repetirás este procedimiento al menos cinco veces y calcularás la fuerza promedio. g) Dibujaras el diagrama de cuerpo libre, donde pondrás todas las fuerzas que intervienen (Fuerza aplicada, fuerza de fricción estática, peso del cuerpo, fuerza de reacción Normal). h) Aplicaras segunda ley de Newton para poder la fuerza normal y posteriormente encontrar el coeficiente de fricción estático con la fórmula que se presenta en el diagrama 1. Obtendrás el coeficiente de fricción estático en las superficies que se menciona en la tabla 1 aplicando el procedimiento antes mencionado. Tabla 1. Superficies Fuerza Normal (N) Fuerza promedio (Newton) Coef. De fricción Madera-Acrílico Madera-Vidrio Madera- Lija gruesa Madera-Madera 40

42 Experimento no 2 Práctica 5 (Sistemas de fuerzas en equilibrio) En este experimento se determinará el coeficiente de fricción estático cambiando el bloque de madera por un carro, ahora la superficie de contacto será las llantas del carro sobre la superficie a la cual estará el contacto. Dicha superficie de contacto será de diferente material. Determinarás el efecto del área de la superficie de contacto entre dos superficies diferentes. Para esto, utilizando la misma secuencia de pasos que el experimento 1, se mantendrá constante el peso y lo que cambiara será la superficie de interacción. Se sugiere que al peso del carro le agregues 400 o 500 g como peso adicional y la suma de los pesos será tu peso total. La superficie contra la que friccionarás al carro 1) Coloca al carro de forma que asiente sobre la superficie S1. 2) Coloca el peso adicional (que se mantendrá constante). 3) Sigue los pasos del experimento dos para conocer la fuerza necesaria para el Inminente movimiento con ayuda del dinamómetro. 4) Repite el experimento cinco veces, y calcula la fuerza promedio. 5) Con ese valor calcularás el coeficiente de fricción. 6) Coloca al carro de forma que asiente ahora la superficie S2 (de canto) y repites los pasos del inciso 2. 41

43 Práctica 5 (Sistemas de fuerzas en equilibrio) Tabla 2 Superficies Fuerza aplicada promedio Coeficiente de fricción Superficie 1 Superficie 2 Experimento no 3 Calculo del coeficiente de fricción estático en un plano inclinado Para este experimento utilizaras el equipo que consiste en un plano inclinado de madera. El experimento consiste en encontrar el ángulo máximo de inclinación para el cual el bloque de madera inicia su movimiento como se ilustra en la figura 4. Figura 4 Pasos a seguir: a) Coloca el bloque de madera (de tal manera que quede la superficie de madera hacia abajo) sobre la superficie del plano inclinado a una distancia de dos tercios aproximadamente de la bisagra del giro. b) Levanta el plano inclinado muy lentamente, manteniendo el transportador de madera alineado 42

44 Práctica 5 (Sistemas de fuerzas en equilibrio) con la bisagra, de tal manera que de ángulo de inclinación en cualquier punto. c) Cuando alcance una altura determinada el bloque de madera empezará a deslizarse hacia la parte inferior (ese es el punto de movimiento que experimentará el bloque de madera). Anota el valor del ángulo de ese preciso instante. d) Repetirás el experimento cinco veces y en función de los datos obtenidos llenarás la siguiente tabla 3. Tabla 3 Experimento Ángulo θ Peso (Px) Peso (Py) Coef. De fricción ( ) Fuerza (N) RESULTADOS El alumno presentará para cada experimento lo siguiente: a) El diagrama de cuerpo libre b) Los coeficientes de fricción estático incluyendo el desarrollo matemático c) Para el experimento no 1, el alumno calculará la fuerza normal en función de la fuerza promedio obtenida experimentalmente así como, el coeficiente de fricción estático. Presentar la tabla 1. d) Para el experimento no 2. Calcularas el coeficiente de fricción de cada superficie S1 y S2 y responderás a las siguientes preguntas: 1) Varia el coeficiente de fricción con el área? 2) Cuando la masa del bloque aumenta, la fuerza de fricción aumenta? e) Para el experimento no 3. El alumno calculará la fuerza normal en función de la fuerza experimental, calculará las componentes del peso del eje X y Y y el valor del coeficiente de fricción estática. Presentar tabla 3 f) Por último el alumno entregará las siguientes preguntas: 43

45 Práctica 5 (Sistemas de fuerzas en equilibrio) 1) Que es la fuerza normal y cuál es su expresión matemática 2) En el plano inclinado la fuerza normal cumple con la perpendicularidad a la superficie Nota: De los resultados en el Sistema Internacional CONCLUSIONES Escribe una pequeña redacción en la que indiques tus observaciones personales refiriéndote al análisis de los resultados, indicando las habilidades y conocimientos que te brinda la experiencia de realizar esta práctica. BIBLIOGRAFÍA R. C. Hibbeler. Ingeniería Mecánica: Estática, séptima edición. Prentice Hall Beer F. P., Russel Johnston Jr E. R. Mecánica Vectorial para Ingenieros. Estática. Editorial McGraw-Hill (1990). { TC } 44