UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS MODALIDAD A DISTANCIA SEMESTRE SEPTIEMBRE 16 - FEBRERO17 UNIDAD DIDÁCTICA

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1 UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS MODALIDAD A DISTANCIA SEMESTRE SEPTIEMBRE 16 - FEBRERO17 UNIDAD DIDÁCTICA MATEMÀTICA FINANCIERA I AUTOR: Ing. Patricio Ruales M. Ing. Flavio Parra T. Ing. Rómulo Mena C. Quito - Ecuador 1

2 TABLA DE CONTENIDO INTRODUCCIÓN IMPORTANCIA DE LA ASIGNATURA RELACIÓN CON OTRAS ASIGNATURAS UNIDAD I GENERALIDADES INTRODUCIÓN PORCENTAJE APLICACIONES SOBRE PORCENTAJES ERROR! MARCADOR NO DEFINIDO. 1.2 LOGARITMOS APLICACIONES SOBRE LOGARITMOS Y EXPONENTES PROGRESIONES PROGRESIÓN ARITMÉTICA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA: PROGRESIÓN GEOMÉTRICA INFINITA: APLICACIONES SOBRE PROGRESIONES EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN UNIDAD II INTERÉS SIMPLE OBJETIVOS INSTRUCCIONALES CONCEPTOS BÁSICOS APLICACIONES SOBRE EL CÁLCULO DEL INTERÉS SIMPLE APLICACIÓN SOBRE EL CÁLCULO DEL CAPITAL, TASA DE INTERÉS Y TIEMPO APLICACIÓN SOBRE EL CÁLCULO DEL MONTO APLICACIONES SOBRE EL CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL APLICACIÓN SOBRE CÁLCULO DEL INTERÉS SOBRE SALDOS DEUDORES EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN UNIDAD III DESCUENTOS OBJETIVOS INSTRUCCIONALES CONCEPTOS PRINCIPALES APLICACIÓN SOBRE DESCUENTO RACIONAL Y VALOR ACTUAL APLICACIÓN SOBRE DESCUENTO BANCARIO APLICACIONES SOBRE VALOR EFECTIVO EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN UNIDAD IV ECUACIONES DE VALOR Y CUENTAS DE AHORRO OBJETIVOS INSTRUCCIONALES CONCEPTOS PRINCIPALES APLICACIONES SOBRE ECUACIONES DE VALOR APLICACIÓN SOBRE CUENTAS DE AHORRO EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN UNIDAD V INTERÉS COMPUESTO Y DEPRECIACIONES OBJETIVOS INSTRUCCIONALES CONCEPTOS PRINCIPALES APLICACIONES SOBRE EL CÁLCULO DE MONTO E INTERÉS COMPUESTO APLICACIONES SOBRE EL CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS Y DEL TIEMPO APLICACIONES SOBRE EL CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL APLICACIONES SOBRE DEPRECIACIONES EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN RESOLUCIÓN DE LOS EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN DE GENERALIDADES EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN DE INTERÉS SIMPLE EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN DE DESCUENTO EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN DE ECUACIONES DE VALOR EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN DE INTERÉS COMPUESTOS Y DEPRECIACIONES BIBLIOGRAFIA

3 INTRODUCCIÓN La matemática financiera trata en su primera parte sobre temas básicos relacionados con: porcentajes, logaritmos, progresiones, interés simple, tasa de interés, gráficos de tiempos y valores, descuentos, documentos financieros, ecuaciones de valor y cuentas de ahorro, interés compuesto y depreciaciones, cuyo conocimiento permitirá al estudiante encontrar soluciones a problemas que se presentan en la vida práctica relacionadas con el ámbito financiero, mercado de capitales, inversiones, ahorros y de manera general en las diferentes transacciones IMPORTANCIA DE LA ASIGNATURA Dentro del mundo de los negocios, el futuro profesional se enfrentará en muchas ocasiones a tomar decisiones que involucran la inversión adecuada de los recursos con que cuenta o a la disponibilidad de los mismos por lo tanto es necesario que tenga los conocimientos que involucran a la Matemática Financiera. 3

4 En el caso que nos ocupa, la formación en la especialidad profesional de Administración Contabilidad, la asignatura Matemática Financiera es de importancia, pues le permitirá al estudiante, en el momento que desempeñe un cargo en los niveles de apoyo o de dirección en una empresa sea pública o privada, tenga las técnicas, herramientas y destrezas para la toma de decisiones; entonces, deberá revisar documentos y emitir una opinión profesional decisiva y definitoria sobre estudios y proyectos o informes realizados, que necesariamente contendrán cálculos matemáticos y sobre todo financieros, para ver si es rentable o no una inversión. En el mundo actual, donde la economía se ha globalizado y que gracias al apoyo de la cibernética se ha dado una verdadera revolución; pues las negociaciones y transacciones financieras y afectaciones, se hacen en tiempo real, por lo que se requiere poseer sólidos conocimientos financieros que permitan aprovechar las oportunidades que se presentan en el mercado y tomar las medidas precautelatorias cuando estas puedan afectar las finanzas de la empresa. RELACIÓN CON OTRAS ASIGNATURAS La Matemática Financiera tiene relación con materias como: Contabilidad, Administración Financiera y Tributaria, Matemática, Estadística, Evaluación de Proyectos, Seguros, Legislación Financiera y Bancaria y otras afines. 4

5 UNIDAD I 1. GENERALIDADES INTRODUCIÓN Antes de empezar con el estudio de la Matemática Financiera es importante dar un repaso de conocimiento de algunos temas generales de la Matemática Básica tales como porcentaje, logaritmos y progresiones, como una base de la Matemática Financiera 1.1 PORCENTAJE La palabra por ciento significa una cierta cantidad de cada ciento de una cantidad cualquiera. Por ejemplo el 6%, significa 6 unidades de cada 100 unidades. Se conoce también con el término tanto por ciento y se define como la proporcionalidad que se establece con relación a cien unidades y se expresa con el símbolo (%). Ejemplo 10.5% significa 10.5/100 = Cualquier número que esté expresado en forma decimal se puede escribir como porcentaje recorriendo el punto decimal dos lugares a la derecha y agregando el símbolo de % y viceversa. Ejemplo (0.4235)(100) = 42.35%. El porcentaje puede también expresarse en forma fraccionaria sobre todo en las tasas de interés. El cálculo del porcentaje se utiliza con frecuencia en el campo comercial y financiero para representar: aumentos, disminuciones, tasas de interés y de descuento, entre otros aspectos. Las ganancias en las transacciones comerciales pueden expresarse en forma de porcentaje. Las pérdidas suelen expresarse en forma de un porcentaje del precio de costo, en tanto que las ganancias pueden expresarse como porcentaje del precio de costo o de venta. Ejemplo 1: 5

6 Un artículo se compra en $1,000 y se vende en $1,200. La utilidad es de $200. Esta utilidad expresada en porcentaje será: a. Con respecto al costo. b. Con respecto al precio. % Utilidad = Utilidad Costo % Utilidad = 200 1,000 % Utilidad = 0.20 % Utilidad = = 20% del valor de compra. % Utilidad = Utilidad Ventas % Utilidad = 200 1,200 % Utilidad % Utilidad = 16.67% del valor de venta. Este resultado significa que la utilidad sobre la inversión ha sido del 20%, o bien que el 16.67% de los ingresos ha sido la utilidad. Ejemplo 2: Si el artículo del problema 1, que costó $1,000 y que por circunstancias del mercado se vendió en $800, la pérdida sobre el costo representada en porcentaje, se tendría. Ejemplo 3: % Pérdida = Pérdida Costo % Pérdida = 200 1,000 % Pérdida = 0.20 % Pérdida = = 20% del valor de compra. Calcular el 20% de USD 48,000. Por la regla de tres simple y directamente. Por la regla de tres simple. 100% 48,000 20% X 6

7 X = 20% 48, % = 9,600 USD Directamente. 48,000 20% = 9,600 USD Ejemplo 4: Calcular el 50 1 % de USD. Por la regla de tres simple y directamente. 2 Por la regla de tres simple 100% 30, % X X = 50.5% 30, % 15,150 USD Directamente. 30, % = 15,150 USD Ejemplo 5: Qué porcentaje de 1,000 USD es USD. Por la regla de tres simple y directamente. Por la regla de tres simple 1, % X% Directamente. X% = ,000 = 7.125% 71.25% 1,000 = = 7.125% Ejemplo 6: Una empresa comercial ofrece en venta refrigeradoras, cuyo precio de lista es de 650 USD, con un descuento del 20% por venta al contado y con el 12% de IVA. Calcular: a) El valor de la factura a pagar b) El descuento efectivo c) El porcentaje efectivo que beneficie al cliente. 7

8 a) Valor de la factura a pagar b) Descuento efectivo (D.E.) Precio de lista (PL) % descuento ( 650 * 0.20 ) Precio con descuento % impuesto (520 x 0.12) Valor de la factura D. E = precio de lista valor de la factura D. E = ,40 D. E = 67,60 usd c) Porcentaje efectivo que beneficia al cliente % efectivo = = = 10.4 % D.E. = 67,60 Precio de lista 650 LOGARITMOS Se considera para el estudio solamente la parte que tiene relación con las matemáticas financieras. Se estudiará la forma de cálculo de las variables n e i. El logaritmo en base b de todo número N es un exponente L, tal que: log b N = L significa que b L = N El logaritmo de un producto es igual a la suma de sus logaritmos. PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS Forma 1. El logaritmo de 1 con cualquier base es igual a 0 log b 1 = 0 Forma 2. el logaritmo de cualquier número positivo con la misma base siempre es igual a Forma 3. Forma 4. Forma 5. Forma 6. Forma 7. 8

9 log b b = 1 log b b r = r b log b m = m log b (m n) = log b m + log b n log b m n = log b m log b n log b m r = rlog b m log b 1 m = log b m log b (x.y) = log b (x) + log b (y) El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador. Ejemplo log b X = log b (x) log b (y) Y El logaritmo de una potencia es igual a la potencia por el logaritmo del número. Ejemplo: log b x n = n log b x APLICACIONES SOBRE LOGARITMOS Y EXPONENTES 1. Calcular i 3,24 + (1 + i ) 50 = 6, ( 1 + i ) 50 = 6, ,24 ( 1 + i ) 50 = 2, ( aplico logaritmos a ambos lados ) log ( 1 + i ) 50 = log ( 2, ) 50 log (1 + i ) = log ( 2, ) log (2,105242) log(1 + i) = 50 log ( 1 + i ) = 0, ( obtengo el antilogaritmo a ambos lados ) 1+ i = Antilog ( 0, ) i = Antilog ( 0, ) 1 i = 1, = 0,01499 = 1,499% ; i = 1,5% 2. Calcular n 9

10 (1 + 0,12125) n = 0, log ( 1 + 0,12125 ) n = log ( 0,001042) n log (1,12125) = log (0,001042) log (0,001042) -2, n = = = - 59,9997 = - 60 log (1,12125) 0, n = PROGRESIONES Son una serie de términos en la que cada término posterior al primero puede obtenerse del anterior, sumando, multiplicando o dividiendo por una diferencia o razón común PROGRESIÓN ARITMÉTICA Es una sucesión de términos, en la que cualquier término posterior al primero, se obtiene sumándole un número constante llamado diferencia común. Último término de una Progresión Aritmética: u = a + (n 1)d U = último término; a = primer término; n = número de términos y d = diferencia común La suma de los términos de una Progresión Aritmética: S = n (t1 + u) PROGRESIÓN GEOMÉTRICA: Es una sucesión de números tales que cada uno de ellos se encuentra del anterior multiplicándole o dividiéndole por una cantidad constante llamada razón. Último término de una Progresión Geométrica: u = a.r n 1 U = último término; a = Primer término; r = razón; n = número de términos Suma: S = a (rn 1) r 1 si r > 1 S = 1 rn 1 r si r < 1 10

11 1.3.3 PROGRESIÓN GEOMÉTRICA INFINITA: Es una variedad de progresión geométrica cuya razón está entre -1 y APLICACIONES SOBRE PROGRESIONES 1. Una persona se compromete a pagar en forma ascendente durante 24 meses, una deuda por la compra de un automóvil: El primer pago 800; El segundo 840; el tercero 880 y así sucesivamente. Cuánto habrá pagado en total durante los 24 meses? Es una progresión aritmética cuya serie de términos es: 800, ,... a = Primer término = 800 d = diferencia común = = 40 n = número de términos = 24 u = último término = a + ( n 1 ) d u = ( 24 1 ) 40 = S = suma de términos = n/2*(a+u) S = 24/2*( ) S = usd 2. Una empresa tiene ventas anuales por usd. Desea incrementar el 12% anual Cuánto venderá al inicio del año 12? Es una progresión geométrica a = primer término = segundo término = ( 1 + 0,12 )= tercer término = ( 1,12 ) = es decir: la progresión es ; ; r = razón = 1+12% = 1,12 n = 12 u =ar 121 n1 = * 1.12 ; u= usd (ventas al inicio del año 12) 11

12 3. Hallar la suma de la progresión geométrica infinita 1, ¼; 1/16, 1/64,.. a = 1, r = ¼ s a 1- r 1 1-1/ EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN 1. Un electrodoméstico tiene un precio marcado en 250 usd. Sobre este precio se carga un impuesto igual al 10%; una vez que ha sido cargado se aplica un nuevo impuesto equivalente al 4% del total Cuál será el valor de la factura que el cliente debe pagar? 2. Calcular n en la ecuación n ( 1 + 0,0255 ) = Una persona debe el día de hoy usd. De acuerdo mutuo con el acreedor decide pagar 400 usd cada 6 meses al que se debe incluir una tasa de interés del 2 ½% de su obligación, hallar el interés total que debe pagar. 4. Una computadora fue adquirida en usd, la depreciación mensual es del 5 %. Qué valor tendrá la máquina después de 24 meses de uso? 12

13 UNIDAD II 2. INTERÉS SIMPLE 2.1 OBJETIVOS INSTRUCCIONALES Conocer las formas de calcular el interés simple en sus modalidades y sus aplicaciones en el ámbito comercial y financiero. Conocer y utilizar el proceso de cálculo de las variables del interés simple: capital, tasa de interés, tiempo. Conocer y calcular el monto y el valor presente o actual a interés simple. Conocer y comprender como se elabora una gráfica de tiempos y valores. Conocer cómo se calculan los intereses sobre saldos deudores. Resolver ejercicios prácticos. 2.2 CONCEPTOS BÁSICOS Interés Se define como la cantidad pagada por el uso del dinero obtenido en préstamo o la cantidad producida por la inversión del capital. Tasa de interés Es la razón existente entre el interés devengado y el capital en la unidad de tiempo. 13

14 Interés Simple Se denomina así al interés producido por un capital en un determinado tiempo. Año Comercial Se lo considera de 360 días (meses de 30 días). Año Calendario Se considera tal cual aparece en el calendario es decir de 365 días, excepto si es bisiesto, en cuyo caso se toma el año como 366 días. Tiempo Exacto Tomamos el número de días, tal cual consta en el calendario. Tiempo Aproximado Se toma el año de 360 días y los meses de 30 días. Interés Exacto Es aquel en que se divide el tiempo para 365 o 366 días. Interés Ordinario En este caso dividimos el tiempo para 360 días. Monto a Interés Simple Es la suma del capital original más los intereses. Valor actual o Valor presente de un documento o deuda Es el capital calculado en una fecha anterior a la del vencimiento de la deuda. El tiempo que se toma para el cálculo, es el que falta para el vencimiento de la deuda. Gráfica de tiempos y valores Consiste en una línea recta. En la parte superior se colocan los valores nominal, actual y al vencimiento, y en la parte inferior las fechas de suscripción, negociación y vencimiento. 14

15 Interés sobre saldos Deudores Los intereses se calculan sobre los saldos que van quedando después de deducir cada cuota que se paga. 2.3 APLICACIONES SOBRE EL CÁLCULO DEL INTERÉS SIMPLE 1. Calcular el interés simple que genera un capital de usd al 10% anual desde el 18 de abril hasta el 8 de julio. Determino el tiempo exacto y el tiempo aproximado. Tiempo Exacto Tiempo Aproximado Abril Mayo Junio Julio días 80 días Cálculo del interés: I = Cit a) Tiempo aproximado y año comercial I = *0,10*80/360 = 7.777,78 usd b) Tiempo exacto y año comercial I = *0,10*81/360= 7.875,00 usd c) Tiempo aproximando y año calendario I= *0,10*80/365 = 7.671,23 usd d) Tiempo exacto y año calendario I= *0,10*81/365 = 7.767,12 usd Evaluación: El interés más alto se obtiene cuando se calcula con el tiempo exacto y el año comercial. 15

16 2.4 APLICACIONES SOBRE EL CÁLCULO DEL CAPITAL, TASA DE INTERÉS Y TIEMPO 1. Determinar cuál es el capital que al cabo de 120 días y con una tasa de interés del 8% anual, produjo un rendimiento (interés) de usd. I= Cit C= I It C= ,08 120/360 ; I = usd 2. Establecer la tasa de interés a la que debe colocarse un capital de usd para que produzca usd de Interés en un tiempo de 210 días. I= Cit i = I = 15.43% Ct i = /360 i = ,67 = 0,1543 i 3. Calcular el tiempo en el cuál un capital de usd producirá un interés de usd a una tasa de interés del 1,25 % mensual. I= Cit t = I Ci t = ,0125 t = 6,4 meses 1 mes 30 días X= 0.4* 30 = 12 días 0.4 X 1 t = 6 meses y 12 días 16

17 2.5 APLICACIONES SOBRE EL CÁLCULO DEL MONTO 1. Determinar cuál será el monto que generará un capital de usd durante 120 días al 1,5 % mensual. M=C (1 + it ) M = 80,000 ( *120/360) ; M= usd i = 1,5 mensual = 18% anual 2. En el ejemplo anterior, cuál es el interés producido? M = C +I I = M C I = ; I = 4.800usd 2.6 APLICACIONES SOBRE EL CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL 1.- Un documento de usd vence en 270 días.calcular el valor actual 120 días antes de su vencimiento considerando una tasa de interés del 9% anual. C = valor actual M=C (1 + it) C= M (1+ it) -1 C = (1 + 0,09 * 120/360) -1 ; C= usd 2.- Establecer el valor actual, 80 días antes de su vencimiento, de un documento de usd que vence en 150 días, considerando una tasa de interés del 1 % mensual. Elabore un gráfico de tiempos y valores. i = 1% mensual = 12% anual C = M (1 +it) C= (1+0,12*80/360) -1 ; C= ,12 usd 17

18 i = 1% mensual C= ,12 M= (días) 80 días 3.- Un documento de usd fue suscrito el 10 de abril con vencimiento en 120 días al 12 % anual. Establecer su valor actual al 17 de junio considerando una tasa de interés de 0,75% mensual. i = 12% i = 0.75% mensual C = ,38 M = de abril 17 de junio 8 de agosto 52 días Establecemos la fecha que corresponde a 120 días plazo desde el 10 de abril y se calcula el monto. Abril 20 M= C (1 + it) Mayo 31 Junio 30 M= (1 + 0,12 * 120/360) Julio 31 Agosto 8 M= usd 120 días Se calcula el número de días que falta para el vencimiento y luego calcular el valor actual con ese tiempo. 18

19 i = 0,75 mensual = 9% anual Junio 13 Julio 31 Agosto 8 Total 52 días C = M (1+it) 1 C = (1+0,09 * 52/360) -1 C = ,38 usd 2.7 APLICACIONES SOBRE CÁLCULO DEL INTERÉS SOBRE SALDOS DEUDORES 1. Una persona obtiene un préstamo de usd en una financiera a un plazo de 6 meses, al 2% mensual sobre saldos deudores. Calcular el valor de las cuotas mensuales, los intereses y elaborar la tabla financiera. Aplicar los métodos lagarto y de saldos deudores. a) Método Lagarto: M = C (1+it) M = (1+0,02 *180/30) ; M = usd Cuota fija mensual = 3.360/6 = 560 usd Intereses = = 360 usd b) Método de saldos deudores: Valor cuota sin interés = = 500 usd. 1ra cuota Interés 1ra cuota I = c i t = 3.000*0,02*1=

20 Valor 1ra cuota = Capital + interés = = da cuota Se reduce el capital a $500; queda un saldo de = Interés = 2.500*0,02*1 = 50 Valor 2da Cuota = capital + interés = = 550 Y así sucesivamente: El valor de la última cuota es: (sexta) Saldo de la deuda = 500 I = 500*0.02*1 = 10 Valor 6ta cuota = capital + interés = = 510 Cuota fija mensual = a+u = = 535 usd 2 2 c) Tabla Financiera PERÍODO DEUDA INTERÉS CAPITAL CUOTA TOTAL Interés Pagado = 210usd 20

21 2.8 EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN 1. Calcular el interés exacto y ordinario de un capital de usd al 12% de interés anual desde el 20 de marzo al 15 de mayo. 2. Cuál será el interés que produce un capital de usd durante 90 días al 8% anual. 3. Determinar qué capital puede producir usd de interés en 60 días con una tasa de interés del 10% anual. 4. Cuál será la tasa de interés a la que debe colocarse un capital de $80,000 para que produzca usd en 180 días. 5. Calcular el monto y el interés que produjo un capital de usd durante 90 días al 1,5% mensual. 6. Calcular y graficar el valor actual al día de hoy de un documento de usd que vence en 90 días considerando una tasa de interés del 1,2% mensual. 21

22 UNIDAD III 3. DESCUENTOS 3.1 OBJETIVOS INSTRUCCIONALES Conocer y comprender el concepto de descuento Simple Calcular el Descuento Racional Calcular el Descuento Bancario Diferenciar entre una tasa de interés y una tasa de descuento Calcular el redescuento 3.2 CONCEPTOS PRINCIPALES Descuento: Acción de adquirir o pagar antes de su vencimiento documentos que de manera general se pueden endosar. Redescuento: Operación mediante la cual un banco descuenta a otro banco documentos financieros que originalmente ya fueron descontados. Documentos de crédito: Se utilizan para respaldar obligaciones en dinero con vencimiento futuro como son una letra de cambio o un pagaré. 22

23 Documentos financieros: A más de la letra de cambio y el pagaré existen otros documentos financieros así: De renta fija.- Son de corto plazo, como son la póliza de acumulación, certificados de inversión y de ahorros, certificados financieros, bonos de estabilización monetaria, etc. De renta variable.- Corresponden a acciones emitidas por empresas. Descuento racional o descuento simple: Es la diferencia entre el monto o valor a la fecha de vencimiento de un documento y su valor presente. Descuento bancario, comercial o bursátil: Se utiliza en operaciones comerciales y consiste en cobrar los intereses por anticipado. Se calcula sobre el monto. Para el cálculo se utiliza la tasa de descuento. Tasa de descuento Es el interés porcentual que se aplica al valor nominal del documento a la fecha de su vencimiento. Valor actual con descuento bancario, valor efectivo o bursátil: Es la diferencia entre el valor a su vencimiento y el descuento bancario. Relación: tasa de interés y tasa de descuento: La tasa de interés se utiliza para calcular el descuento racional o matemático. Se aplica sobre el valor actual de un documento. La tasa de descuento se utiliza para calcular el descuento bancario. Se aplica sobre el valor al vencimiento del documento. 3.3 APLICACIÓN SOBRE DESCUENTO RACIONAL Y VALOR ACTUAL 1. Un documento fue suscrito el 10 de junio por usd a una tasa de interés del 2% mensual y un plazo de 120 días. Establecer el valor actual y el descuento racional del documento si se descuenta el 15 de julio al 18% anual. 23

24 C = usd i = 2% mensual t = 120 días Fecha suscripción = 10 de junio Fecha de vencimiento = 8 de octubre Junio 20 Julio 31 Agosto 31 Sept. 30 Oct. 8 TOTAL 120 días Fecha de descuento = 15 de julio i = 18% anual = 0.18 # días entre el 15 de julio y 8 de octubre. Julio 16 Agosto 31 Sept 30 Oct. 8 TOTAL 85 días C = M (1+i t ) C = ( * 85/360) Nº de días que faltan para el vencimiento 85 C = ,81usd (valor actual) i = 2% m * 12 = 24% anual = 0.24 M = C (1 + i t) M = (1+0,24*120/360) M = usd Dr = Descuento racional Dr = M C Dr = ,81 Dr = ,19 usd i= 2% mensual i= 18% anual C = ,81 M = 270, de junio 15 de julio 8 de octubre 120 días 85 días 3.4 APLICACIÓN SOBRE DESCUENTO BANCARIO 1. El 21 de abril se suscribe un documento por usd a 90 días plazo. Determine el descuento bancario del documento, si se descontó el 31 de mayo con una tasa de descuento del 12% anual. Determinamos la fecha de vencimiento y a partir de ésta el número de días entre descuento y vencimiento. 24

25 Fecha que suscribe = 21 de abril d = 12% anual = 0.12 abril 9 M = usd mayo - 31 Db =? junio 30 t = 90 días julio 20 fecha de vencimiento TOTAL 90 días Db = M d t Db = *0.12*50/360 Db = 5.000usd # días antes del vencimiento: 31 de mayo fecha de operación de descuento junio 30 julio 20 TOTAL 50 días (# de días para vencer) 3.5 APLICACIONES SOBRE VALOR EFECTIVO 1.-Una letra de cambio de usd fue suscrita al 25 de mayo a 150 días plazo y con una tasa de interés del 18% anual. Establecer cuál sería el valor que recibiría la persona dueña del documento si realiza un descuento el 15 de septiembre a una tasa de descuento del 15% anual. Expresar los resultados en un gráfico. Cálculo de la fecha de vencimiento # de días del descuento Mayo 6 Sept Junio 30 Oct Julio 31 TOTAL 37 días Agosto 31 Sept 30 Oct. 22 TOTAL 150 días 25

26 Gráfico: i = 18% anual d = 15% Cb. = ,42 M = de mayo 15 de sept. 22 de octubre 150 días 37 días Cálculo del monto. M = C (1+i t) M = (1+0.18*150/360) ; M = usd Cálculo del valor actual con descuento bancario. Cb = M (1-d t) Cb = (1-0,15*37/360) ; Cb= ,42usd La persona recibe ,42 usd 2.-Una persona solicita un préstamo de usd a 90 días plazo, sobre el cual el banco aplica una tasa de descuento del 15% anual. Cuál es el valor efectivo que recibe y cuál es el descuento bancario? Cb = M (1 d t) Cb = (1-0,15*90/360) = usd Cb = (Valor efectivo que recibe) Db=M-Cb= =450usd Db= 450 (descuento bancario) 26

27 3.- Una letra de cambio de usd vence en 60 días. Establecer el descuento racional y el descuento bancario si se descuenta 35 días antes de su vencimiento a una tasa del 15% anual. a) Descuento racional: Gráfico: i=d =15% C = 98, M = 100, (días) Cálculo valor actual 35 días C=M(1+it) 1 C= (1+0,15*35/360) 1 ; C = ,63usd Cálculo descuento racional Dr=M-C Dr= ,63 ; Dr =1.437,37usd b) Descuento bancario: Db=Mdt Db= *0,15*35/360 ; Db = 1.458,33usd Descuento bancario es mayor que el descuento racional. 27

28 4.- Establecer la tasa de interés que equivale a una tasa de descuento del 18% anual durante 180 días. d i = 1 dt 0,18 i = 1 0,18 180/360 i=0,1978 i =19,78% 3.6 EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN 1. Determinar el valor actual y el descuento racional de una letra de cambio de usd que fue suscrita el 25 de abril con una tasa de interés del 16% anual a 150 días plazo; si fue descontada el 7de agosto a una tasa del 19% anual. 2. Cuál sería el descuento bancario de un documento que fue suscrito el 1 de julio por un valor de usd con una tasa de interés del 12% anual a un plazo de 75 días; si descuenta 15 días antes de su vencimiento a una tasa del 10% anual. 3. Determinar el valor que un cliente debe solicitar a un banco para recibir usd pagaderos en 100 días, si el banco le aplica una tasa de descuento del 15% anual. 4. Qué tasa de descuento equivale a una tasa de interés del 15,1876% anual durante 120 días? 28

29 UNIDAD IV 4. ECUACIONES DE VALOR Y CUENTAS DE AHORRO 4.1 OBJETIVOS INSTRUCCIONALES Conocer los procedimientos para estructurar y resolver una ecuación de valor. Formas de establecer la fecha focal. Conocer la forma de consolidar deudas. Solucionar problemas prácticos aplicando ecuaciones de valor. Aplicar las ecuaciones de valor en comparaciones de ofertas para comprar o vender. Conocer de qué forma se calculan los intereses en una cuenta de ahorros 4.2 CONCEPTOS PRINCIPALES Ecuaciones de Valor Es un mecanismo de cálculo que permite a un deudor reemplazar un conjunto de obligaciones por otro conjunto. Se utiliza también para calcular el monto o el valor actual de una serie de obligaciones. Fecha Focal Es la fecha común o fecha referencial a la cual se trasladan tanto las obligaciones originales así como las nuevas obligaciones. Cuentas de Ahorro Corresponde a un servicio bancario a base del cual se pagan intereses utilizando la fórmula del interés simple sobre los valores recibidos por concepto de ahorro, de conformidad con la normativa legal vigente. 29

30 Ahorro Es una reserva del ingreso que se destina para una utilización futura. Liquidación de Intereses Se utiliza dos modalidades: 1. Se considera el valor de la transacción sea depósito o retiro. 2. Se consideran los saldos. 4.3 APLICACIONES SOBRE ECUACIONES DE VALOR 1.- Una empresa tiene las siguientes obligaciones: usd al 1,25 % mensual vence en 30 días usd al 18 % anual vence en 60 días usd vence en 120 días. Desea reemplazar todas sus deudas por una sola con vencimiento en 90 días y con una tasa de interés del 20 % anual. Calcular el valor del pago único. Determinó los montos de las deudas: M = C (1 + i t) 1ª deuda: M = (1 + 0,15 x 30 / 360) = usd 2ª deuda: M = (1 + 0,18 x 60 / 360) = usd 3ª deuda: M = usd Gráfico: f.f (días) Ecuación de Valor: M = C (1+it) 30

31 C = M (1 + i t) -1 X= (1+0,2 x 60/360) (1+0,2 x 30/360) (1+0,2 x 30 /360) -1 X = , ,61 X= ,11 usd (valor del pago único) 2.-Una empresa tiene las siguientes obligaciones: usd al 14 % anual vence en 50 días usd al 16 % anual vence en 80 días usd al 2 % mensual vence en 150 días. Desea reemplazar todas sus deudas por una sola con vencimiento el día de hoy, considerando en la transacción una tasa de descuento del 13% anual. Calcular el valor de la deuda. Determino los montos de las deudas: M = C (1 + i t) M1 = (1 + 0,14 x 50 / 360) = ,44 usd M2 = (1 + 0,16 x 80/360) = ,78 usd M3= (1+ 0,24 x 150 / 360) = usd Gráfico: ff , , (días) X Ecuación de Valor: Cb = M (1 d t) X= ,44 (1-0,13 x 50 /360) ,78 (1-0,13 x 80/360) (1-0,13 x 150/ 360). X = , , ,50 X = ,26 usd. 31

32 3.-Una persona pone en venta una casa y recibe tres ofertas: 1ª oferta: usd al contado usd a 6 meses usd a 12 meses 2ª oferta: usd al contado usd a 9 meses 3ª oferta: usd al contado usd a 5 meses usd a 10 meses Calcular cuál de las tres ofertas le conviene aceptar. Considerar para el cálculo una tasa de interés del 1.5% mensual: 1,5 x 12 = 18% anual 1ª oferta: C = M (1 + i t) -1 ff 20,000 10,000 10, (meses) x X = (1 + 0,18 x 6 /12) (1 + 0,18 x 12 / 12) -1 X = ,89 usd 32

33 2ª oferta: ff 30,000 15, (meses) X X = (1 + 0,18 x 9 / 12) 1 X = ,86 usd 3ª oferta: ff 10,000 20,000 10, (meses) X X = (1 + 0,18 x 5 / 12) (1 + 0,18 x 10 / 12) 1 X = ,30 usd Le conviene aceptar la oferta Nº 2 ya que es la más alta. 33

34 4.- Una persona realiza depósitos mensuales anticipados de usd cada uno durante 6 meses, a un banco que paga 1,5% de interés mensual. Determinar el monto que tendrá luego de 6 meses. Gráfico ff 3,000 3,000 3,000 3,000 3,000 3,000 M= (días) M = C (1 + i t) i = 1,5 x 12 = 18% anual M=3.000(1+0,18x 180 / 360)+3-000(1+0,18x 150/360)+3.000(1+0,18x120/360) (1+0,18x 90/360)+3.000(1+0,18x 60/360)+3.000(1+0,18 x 30/360) M = ; M = usd. 5.- Una persona realiza 4 pagos mensuales de 800 usd para cancelar una deuda con una tasa de interés simple del 2% mensual. Establecer el valor original de la deuda. Gráfico: ff (días) X 34

35 i = 2% x12 = 24% anual C = M (1+i t) -1 X = 800(1+0,24*30/360) (1+0,24* 60/360) (1+0,24* 90/360) ( 1+0,24*120/360) -1 X= 784, , , ,74 X = usd (valor original de la deuda). 4.4 APLICACIÓN SOBRE CUENTAS DE AHORRO 1.- Una persona abre una cuenta de ahorros el 31 de marzo del 2004 con usd y realiza las siguientes operaciones: El 25 de abril deposita usd. El 15 de mayo deposita usd. El 10 de junio retira usd. El 6 de julio deposita usd. Cuál es el saldo al 30 de septiembre si la tasa de interés fue del 10% anual considerar el año comercial y el tiempo exacto. Calculamos el tiempo en días: Abril 30 5 Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Total

36 Se calcula el interés simple en cada transacción. I = Cit I = * 0,1 * 183 / 360 = 1.270,83 I = * 0,1 * 158 / 360 = 438,89 I = * 0,1 * 138 / 360 = 191,67 I = (15.000) * 0,1 * 112 / 360 = (466,67) I = * 0,1 * 86 / 360 = 238, usd (total capital) 1.673,61 usd (total interés) Saldo cuenta corriente sin interés al 30 de septiembre = usd Al 30 de Septiembre la cuenta tendrá un acumulado de: ,61 ; Saldo = ,61usd 4.5 EJERCICIOS DE AUTOEVALUACIÓN 1. Una empresa tiene las siguientes obligaciones: usd a 60 días plazo usd a 120 días plazo usd a 180 días plazo usd a 240 días plazo. La empresa desea reemplazar las 4 deudas por una sola con vencimiento a los 240 días, con una tasa de interés del 12%. Calcular el valor de la deuda nueva. 2. Una persona recibe tres ofertas por un terreno: 1. oferta: usd de contado usd a 12 meses plazo. 2. oferta: usd de contado usd a 6 meses plazo usd a 12 meses plazo. 36

37 3. oferta: 20,000 usd de contado usd a 3 meses plazo usd a 6 meses plazo usd a 9 meses plazo. Cuál de las 3 ofertas le conviene aceptar considerando una tasa de interés del 18% anual? 3. Una empresa realiza depósitos mensuales de usd durante 3 meses en un banco que reconoce una tasa de interés del 1,5% mensual. Calcular el monto que acumulará al final de los tres meses. 4. Una empresa realiza pagos mensuales en forma adelantada de usd cada uno durante 3 meses para cancelar una deuda. Calcular el valor pagado de la deuda, si se aplica una tasa de interés del 2% mensual por adelantado. 5. Una persona posee una cuenta de ahorros. Al 31 de diciembre del 2003 tenía un saldo de usd y realizó los siguientes depósitos y retiros: El 15 de enero depositó usd. El 30 de enero retiró usd. El 20 de marzo depositó usd. El 21 de abril depositó usd. El 20 de junio retiró usd. Si la tasa de interés fue del 9% anual. Calcular cuál era el saldo de la cuenta con intereses incluidos al 30 de junio del

38 UNIDAD V 5. INTERÉS COMPUESTO Y DEPRECIACIONES En esta Unidad realizaremos el estudio del Interés Compuesto, con sus diferentes variables: el monto a interés compuesto y con períodos de capitalización fraccionarios; tasas equivalentes; alternativas de inversión, cálculo de la tasa de interés y del tiempo; cálculo de valor actual; descuento compuesto, ecuación de valor, conformación de ofertas y cálculo del tiempo equivalente. Además incluye el estudio de las depreciaciones de activos con los métodos de cálculo y sus aplicaciones. 5.1 OBJETIVOS INSTRUCCIONALES Al finalizar la segunda parte el estudiante será capaz de: Aplicar el concepto de interés compuesto y sus aplicaciones en la liquidación de documentos financieros, endeudamiento e inversiones a cualquier plazo. Manejar los conceptos de período de capitalización, tasa de interés, monto y valor actual a largo plazo; aplicar las diferentes tasas en inversiones y resolver problemas de interés compuesto aplicando ecuaciones de valor. Distinguir los diferentes métodos de depreciación y sus aplicaciones. 38

39 5.2 CONCEPTOS PRINCIPALES Interés compuesto Es el interés de un capital generado en la unidad de tiempo que se va acumulando al capital y este valor genera nuevos intereses tantas veces como periodos de capitalización se establezcan. Diferencias entre interés simple e interés compuesto El interés simple calcula los intereses por una sola vez, en tanto que en el interés compuesto los intereses se capitalizan periódicamente. Período de capitalización Es el tiempo en el cual el interés se acumula al capital, puede ser anual, semestral, trimestral, etc. Tasa de interés Se calcula por período de capitalización puede ser diario, mensual, trimestral, etc. Monto a interés compuesto Es el valor del capital acumulado luego de sucesivas adiciones de los intereses. Es la diferencia entre el monto compuesto y el capital original. Monto compuesto con períodos de capitalización fraccionarios Es el caso en el que el tiempo de pago no coincide con el período de la capitalización. Tasas equivalentes Es la relación entre la tasa nominal y la tasa efectiva, o entre dos tasas nominales con diferente período de capitalización La tasa nominal se capitaliza varias veces en un año en tanto que la tasa efectiva se capitaliza una vez al año. Tasa equivalente son aquellas que con diferentes períodos de capitalización producen el mismo interés o monto compuesto. Tasa de interés anticipada 39

40 Es aquella que permite pagar o cobrar intereses por adelantado. Valor actual a interés compuesto Se lo conoce también como cálculo del capital y corresponde al valor del documento o deuda antes de la fecha de vencimiento, considerando una determinada tasa de interés. Valor actual con tiempo fraccionario Se calculan con períodos de capitalización que no sean enteros. Descuento compuesto Es la diferencia entre el monto y el valor de un documento. Ecuaciones de valor en interés compuesto Tiene el mismo significado que las ecuaciones de valor en interés simple. Comparación de ofertas Se utiliza en empresas o negocios de compra y venta de activos para relacionar la oferta más alta para el vendedor y la más baja para el comprador. Tiempo equivalente Es el tiempo de vencimiento promedio de varias deudas. Depreciaciones Activo Fijo: es todo bien que está sujeto al desgaste, a las descomposturas y a los cambios en la tecnología como son: edificios, maquinarias, equipos de cómputo, mobiliario de oficina, etc. Depreciación: es la pérdida de valor que sufre un activo como consecuencia del uso o del transcurso del tiempo. La mayoría de activos fijos a excepción de los terrenos y algunos metales tienen una vida útil durante un período finito de tiempo, durante el cual van disminuyendo su valor. 40

41 anuales. Cargo por depreciación: son los cargos periódicos. Generalmente son depósitos Depreciación Acumulada: es el fondo de reserva que se va acumulando año tras año. Valor en libros: es la diferencia entre el valor original del activo y la depreciación acumulada a una fecha determinada. Valor de Salvamento o valor de desecho: es el valor que tiene el activo al final de su vida útil y es igual al valor en libros en esa fecha. Base de depreciación: es la diferencia entre el costo original y el valor de salvamento. Método de Línea Recta: es el más simple y más utilizado para depreciar activos, debido a que supone que la depreciación anual es constante durante la vida útil del activo. No considera los intereses que genera el fondo de reserva. Método de Porcentaje Fijo: considera que la depreciación es mayor en los primeros años de vida del activo y menor en los últimos. No considera los intereses del fondo de reserva. Método de Suma de Dígitos: asigna un mayor cargo de depreciación a los primeros años de uso del activo, lo cual es consecuente con la realidad. No considera los intereses que genera el fondo de reserva. Método por Unidad de Producción o Servicio: deprecia los activos en función de las unidades de producción o servicio que haya generado el activo durante su vida útil. No considera los intereses del fondo de reserva. Método del Fondo de Amortización: considera los intereses que genera el fondo de reserva que se va constituyendo, por consiguiente, el incremento anual estará dado por la suma del cargo anual más los intereses ganados en ese período. 41

42 5.3 APLICACIONES SOBRE EL CÁLCULO DE MONTO E INTERÉS COMPUESTO 1.- Una empresa obtiene un crédito de usd a 4 años plazo con una tasa de interés del 18 % anual capitalizable trimestralmente. Calcular el monto que debe pagar en la fecha de vencimiento y el interés correspondiente. Calculamos las variables n e i n = 4 años x 4 trimestres = 16 períodos i = 0,18/4 trim. = 0,045 C = usd Calculamos el Monto M = C (1 + i) n M = (1 + 0,045) 16 ; M = , 02usd Calculamos el Interés Compuesto I = M-C I = ,02 100,000 I = ,02usd 2.- Utilizando los métodos matemático y comercial, calcular el monto de una deuda de usd a interés compuesto durante 5 años y 9 meses de plazo con una tasa de interés del 15 % anual capitalizable semestralmente. Analice los resultados. a) Cálculo matemático n = 5(12) + 9 = 69 =5 períodos 6 6 i = 0,15 = 0,075 2 C = usd M = C (1 + i) n M = (1 + 0,075) 11,5 ; M = ,61usd 42

43 b) Cálculo Comercial n = 69 = = = , Aplicamos interés compuesto a la parte entera de n e interés simple a la parte fraccionaria M = C (1 + i) (1 + it) M = (1 + 0,075) 11 (1 + 0,075 * 3/6) = M = (2,21561) (1,0375) ; M = ,71usd El método comercial da un resultado ligeramente mayor que el método matemático. 5.4 APLICACIONES SOBRE EL CÁLCULO DE LA TASA DE INTERÉS Y DEL TIEMPO 1.- Calcular la tasa nominal capitalizable trimestralmente, a la que es equivalente una tasa efectiva del 20 %. i = 0,2 m = 4 (trimestral) (1 + i) = (1 + j/m) m (1 + 0,2) = (1 + j/m) 4 (1,2) 1/4 = 1 + j / 4 j / 4 = (1,2) 1/4-1 j = (1,2) 1/4-1 4 j = 0,1865 = 18,65% a.c.t La tasa efectiva del 20 % es equivalente a una tasa nominal del 18,65% anual capitalizable trimestralmente (a.c.t). 2.- En qué tiempo en años meses y días un capital de usd se convertirá en usd con una tasa del 18% anual capitalizable trimestralmente. 43

44 t =? C = usd M = usd j = 18% a.c.t i = j/m = 0,18/4 = 0,045 m = 4 n = mt M = C (1 + i) m.t M (1 + i) m.t = C (1 + 0,045) 4t = = Utilizamos logaritmos 4 t log (1,045) = log 26 4 t = log 26 = 1, = 74,02 = 18,505 log (1,45) 0, t = 18,505 años t = 18 años años 0,505* 12 meses = 6 meses + 0,6 meses 0,6 meses * 30 = 1,8 = 2 días t = 18 años, 6 meses, 2 días 44

45 5.5 APLICACIONES SOBRE EL CÁLCULO DEL VALOR ACTUAL 1.- Calcular el valor actual de un pagaré, cuyo valor al vencimiento al final de 6 años es de usd, considerando una tasa de interés del 15% anual capitalizable trimestralmente. M = usd i = j/m = 0,15/4 = 0,0375 m = 4 n = 6*4 = 24 C = M (1 + i) -n C = (1 + 0,0375) -24 ff C = ,55usd C = ,55 M = (AÑOS) 2.- Luego de 3 años de la fecha de suscripción se negocia un documento de usd con vencimiento en 6 años, con una tasa de interés del 18% anual capitalizable trimestralmente desde su suscripción. Calcular su valor o precio de negación con las siguientes alternativas. a) Con una tasa del 14% anual capitalizable mensualmente. b) Con una tasa del 16% anual capitalizable semestralmente. C = usd n=6 * 4 = 24 i = j/m = 0,18/4 = 0,045 C = ,34 M = ,83 ff (años) Cálculo del monto 45

46 M = C (1 + i ) n = ( 1 + 0,045 ) 24 ; M = ,83usd Cálculo de valor actual o precio de negociación a) C = M (1 + i) n = ,83 ( /12) -36 ; C = ,34usd b) C = M (1 + i) n = ,83 ( /2) -6 ; C = ,56usd 3.- Luego de 5 años de la fecha de suscripción se negocia un documento suscrito, el día de hoy por usd a 7 años y 3 meses, con una tasa de interés del 14 % anual capitalizable semestralmente. Calcular el valor actual a dicha fecha, considerando una tasa de interés del 10% efectiva. Efectuar el cálculo por los métodos matemático y comercial. a) Calcular el monto al final de los 7 años 6 meses método matemático n = 7 * = 87 = 14,5 m = i = j/m = 0,14/2 = 0,07 M = C ( 1 + i ) n = ( 1 + 0,07 ) 14.5 M = ,76usd método comercial n = 87 = M = C ( 1 + i ) n ( 1 + it ) = ( 1 + 0,07 ) ( 1 + 0,07 * 3/6 ) M = (2, ) (1,035 ) ; M= ,41usd 46

47 b) Cálculo de valor actual luego de 5 años y 3 meses Método matemático Tiempo que falta para vencimiento: n = 7 años 3 meses 5 años n = 2 años 3 meses = 3,25 años C = M( 1 + i ) n = ,76 (1 + 0,10 ) 3,25 = ,34usd Método comercial C = M (1 + i ) n (1 + it ) 1 = ,41 ( 1 + 0,10 ) 3 ( 1 + 0,10 * 3/12 ) 1 C = ,41 (0, ) ( 0,97561 ) C = ,52usd Gráfico Método matemático M = ,41 C = ,36 0 7,25 (años) 3,25 años Método comercial M = C = , años 7.25 (años) 47

48 5.6 APLICACIONES SOBRE DEPRECIACIONES 1.- MAGNUN S.A adquiere maquinaria pesada por un valor de usd. Se calcula que su tasa de depreciación será del 30% anual y se espera que su vida útil sea de 10 años. a) Elaborar una tabla de depreciación para los 6 primeros años. b) Hallar el valor en libros al final de 8 años. c) Cuál será el valor teórico de salvamento? a) Tabla de depreciación TABLA DE DEPRECIACIÓN DEP. DEP. VALOR EN % DE AÑOS ANUAL ACUM LIBROS DEPRECIAC ,00 0, , , ,00 0, , , ,00 0, , , ,00 0, , , ,50 0, , , ,45 0, , , ,72 0,30 Para calcular la depreciación anual hemos usado la fórmula Dk = V(k-1) d. b) Valor en libros al final del 8vo. Año. Vk = C (1 d) k 48

49 V8 = (1 0,30) 8 V8 = 2.017,68usd c) Cargo por depreciación del 9no. Año. Dk = Vk-1 d D9 = V8 d D9 = 2.017,68 * 0,30 D9 = 605,30usd. d) Valor teórico de salvamento. S = C (1 d) n S = (1 0,3) 10 S = 988,66usd 2.- INDUSTRIAS ARTEX adquirió muebles de oficina por un valor de usd, se estima que su vida útil es de 5 años y su valor de desecho de 3.000usd. a).- Hallar los cargos anuales por depreciación. (Utilice la fórmula general). Dk = n k 1 ( C S ) b).- Elabore la tabla de depreciación. s a) Calcular la base de depreciación. B = C S B = ; B = usd Determinar la suma de dígitos S = n ( n + 1 ) S = 5 ( ) = 5 * 6 ; S = b) Hallar los cargos anuales por depreciación. 49