MOVIMENT DE CAIGUDA LLIURE. MOVIMENT CIRCULAR

Transcripción

1 1 Probleme de fíica per a batxillerat...// M. L. Ecoda, J. Planella, J. J. Suñol // ISBN: MOVIMENT DE CAIGUDA LLIURE. MOVIMENT CIRCULAR Índex P.1. P.. P.3. P.4. P.5. Moviment de caiguda lliure Compoició de moviment. Tir parabòlic Moviment circular uniforme Moviment circular uniformement variat Moviment circular variat P1. Moviment de caiguda lliure Definicion T.1.1. Concepte bàic. En el moviment rectilini de caiguda lliure, la partícula decriu una trajectòria rectilínia en què el vector velocitat é variable en el temp i el vector acceleració é el de la gravetat. Aquet manté el mòdul, la direcció i el entit invariable en el temp. Anem a veure le equacion de la poició i de la velocitat en funció del temp per a aquet tipu de moviment. Recordeu-vo que e treballa en una dimenió i, per tant, no é imprecindible la notació vectorial. 1 y = y0 ± v0yt gt (1) On y é la poició de la partícula en l intant de temp t, y 0 é la poició de la partícula en l intant de temp t = 0, v 0y é la velocitat d aqueta en l intant de temp t = 0, i g = 9,81m/ é l acceleració en l eix Y. La velocitat en l eix Y correpon a la d un moviment uniformement variat: vy = ± v0y gt () D aquí v = ( 0, v ) = ( 0, v gt) y 0y On v é la velocitat de la partícula en l intant de temp t. Cal dir que l acceleració de la gravetat é negativa, atè que la força de la gravetat que l origina té el entit de le Y negative. Exercici

2 Caiguda lliure. Tir parabòlic. Moviment circular. E.1.1. Newton va deixar caure una poma de d una torre de 0 m. Trobeu la velocitat quan arriba a terra (velocitat d impacte de la poma amb el terra) Solució La poma decriu un moviment de caiguda lliure en l eix de l ordenada, l eix Y; per tant, erà un moviment rectilini uniformement accelerat, amb acceleració contant igual a la de la gravetat. El primer pa que hem de fer é repreentar el moviment obre un dibuix i ecriure le dade de l enunciat amb le unitat del itema internacional. v 0y = 0 m/ y0=0 m g=9,8 m/ v fy =?m/ y f = 0m Per poder calcular la velocitat d impacte, neceitem aber el temp que triga per arribar a terra. Hem d emprar l equació en què tenim mé informació per calcular el temp. y = y v0yt gt En el notre ca: 1 0 = t Per tant: 0 = 4.9 t, é a dir, 0 t = = 4.1, t =, t = 4.9 ; i d aquí deduïm que : que é el temp que triga la poma per arribar al terra. Utilitzant, ara, l equació de la velocitat del moviment uniformement variat, obté: v y = v gt ; per tant: 0y v y = 9.8 = 19.6 m

3 3 Probleme de fíica per a batxillerat...// M. L. Ecoda, J. Planella, J. J. Suñol // ISBN: ,6 m/ E.1.. E llença de del terra una pilota amb una velocitat inicial de 10 m/. Un egon depré e llença de del mateix punt una altra pilota amb una velocitat de 0 m/. Indiqueu i e troben le due pilote, i en ca afirmatiu, en quin lloc i en quin temp. Solució Primer farem el dibuix que repreenti el moviment del do objecte de manera aproximada. Hi poarem tota la informació de l enunciat amb le unitat del itema internacional (SI). V 01 =10m/; t 1 V 0 =0m/; t = (t 1-1) No abem i e troben quan el do objecte pugen o bé en una altra ituació, però el que é clar é que en el moment de trobar-e tot do objecte tenen la mateixa poició: y 1 = y ; alehore: 1 1 y01 + v01t1 gt1 = y0 + v0t gt Subtituint le dade de l enunciat a l equació anterior, en queda: t1 9,8t1 = 0t 9,8(t1 1) On t 1 = 1,6. Ara podem calcular el lloc on e troben ubtituint el temp que hem trobat en qualevol de le equacion anterior de poició temp: 1 1 y = 10t1 9,8t1 = 10 1,6 9,8 1,6 = 4,8m Si volem aber en quina ituació e troben, hem d emprar l equació velocitat temp. v1 = 10 9,8 1,6 =,35m / v = 0 9,8 (1,6 1) = 17,45m / Fixeu-vo que el mòbil 1 té una velocitat negativa: vol dir que età baixant. En canvi, el mòbil té la velocitat poitiva: això repreenta que età pujant. Si e troben; 4,8 m, t 1 =1,6

4 4 Caiguda lliure. Tir parabòlic. Moviment circular. Tornem-hi P.1.1. E deixa caure un objecte de d una altura de 100 m. Calculeu la velocitat d impacte i el temp que triga per arribar a terra. Dade: g = 9,81 m/. Sol.: 44,7 m/; 4,5. P.1.. E llança verticalment cap avall un objecte amb una velocitat de 10 m/ de d una altura de 100 m. Calculeu la velocitat d impacte i el temp que triga per arribar a terra. Sol.: 45,38 m/; 3,81. P.1.3. E llança un objecte cap amunt amb una velocitat de 10 m/ i de d una altura de 100 m. Calculeu la velocitat d impacte i el temp que triga per arribar a terra. Sol.: 45,37 m/; 5,85. P.1.4. E llança un objecte cap amunt amb una velocitat de 0 m/ i de d una altura de 100 m. Calculeu: (a) l altura màxima que aoleix l objecte; (b) la velocitat d impacte; (c) el temp que triga per arribar a terra. Sol.: 10,46 m; 48,5 m/; 6,99. P.1.5. E llança un objecte cap amunt amb una velocitat de 0 m/ i de d una altura de 00 m. Calculeu: (a) l altura màxima que aoleix l objecte; (b) la velocitat d impacte; (c) el temp que triga per arribar a terra. Sol.: 0,46 m; 65,8 m/; 8,74. P.1.6. E llança un objecte cap amunt amb una velocitat de 15 m/ i de d una altura de 150 m. Calculeu: (a) l altura màxima que aoleix l objecte; (b) la velocitat d impacte, (c) el temp que triga per arribar a terra. Sol.: 161,47 m; 56,6 m/; 7,7. P.1.7. Un objecte e llança de de terra amb una velocitat de 0 m/, calculeu: (a) l altura màxima que aoleix l objecte; (b) el temp total que triga per arribar de nou a terra; (c) la velocitat d impacte. Sol.: 0,4 m; 4,08 ; 0 m/. P.1.8. Un objecte e llança de de terra amb una velocitat de 40 m/, calculeu: (a) l altura màxima que aoleix l objecte; (b) el temp total que triga per arribar de nou a terra; (c) la velocitat d impacte. Sol.: 81,63 m; 40 m/; 8,16. P.1.9. Un objecte e llança cap amunt amb una velocitat inicial 10 m/ de d una altura de 50 m. Determineu: (a) l altura màxima que aoleix l objecte; (b) el temp total que triga per arribar a terra; (c) la velocitat d impacte. Sol.: 55,10 m; 4,37 ; 3,86 m/. P Un objecte e llança cap avall amb una velocitat inicial 15 m/ de d una altura de 100 m. Determineu: (a) el temp total que triga per arribar a terra, (b) la velocitat d impacte. Sol.: 3,4 ; 46,74 m/. P Una pilota que e llança verticalment cap amunt tarda 4 a tornar a terra. Determineu: (a) quina va er la velocitat de llançament; (b) quina altura va aconeguir la pilota. Sol.: 19,6 m/, 19,6 m

5 5 Probleme de fíica per a batxillerat...// M. L. Ecoda, J. Planella, J. J. Suñol // ISBN: P.1.1. Quin gràfic repreenta la velocitat d una pedra que e llança verticalment cap amunt en l intant t = 0 i cau de nou? Quin valor ha de tenir el pendent en cada tram? Sol.: la del mig; l acceleració de la gravetat. v v v t t t P E dipara un projectil verticalment amb una velocitat de 100 m/. Mig egon mé tard, amb la mateixa arma, e dipara un egon projectil en la mateixa direcció. Determineu: (a) la poició on e troben el do mòbil; (b) la velocitat de cada un en trobar-e. Sol.: 510 m i (-,41 m/ ;,49 m/). P E llança de del terra una pilota amb una velocitat inicial de 0 m/. Un egon depré e llança de del mateix punt una altra pilota amb una velocitat de 30 m/. Indiqueu i e troben le due pilote, i en ca afirmatiu, en quin lloc i en quin temp. Sol.: 0 m; 1,76. P Un paracaigudita alta amb una velocitat vertical cap avall de 10 m/, baixa 50 m ene fricció de l aire. Obre el paracaigude en aquet punt i l aire el frena amb una acceleració de m/, baixa verticalment i arriba al terra amb una velocitat de 3 m/. Determineu l altura en què e trobava el paracaigudita i el temp que va etar en l aire. Sol.: 317,75 m; 17,6. Definicion P.. Compoició de moviment. Tir parabòlic T..1. Concepte bàic. L etudi del moviment d un projectil en un llançament oblic e fa component do moviment rectilini en un eixo de coordenade xy. L un é uniforme en l eix de le abcie, i l altre uniformement variat en l eix de le ordenade. S ha de tenir en compte que l única força que actua obre el co é el pe; per tant, en tot moment m l acceleració d aquet co é la de la gravetat: a = g = gj. Per deenvolupar un problema d aquete caracterítique, el que ha de fer primer é exprear el vector velocitat inicial en le eve component: v0 = v0 coϕi + v0 in ϕj = v0x i + v0y j (3) Alehore, le equacion del moviment ón: x = x v t (4) 0 + 0x 1 y + = y0 + v0yt gt (5) La velocitat del projectil en qualevol intant e trobarà de la manera egüent:

6 6 Caiguda lliure. Tir parabòlic. Moviment circular. on: v = v + at = v i + ( ± v gt)j (6) 0 0x v x = v 0 x i, vy = ± v0y gt 0y Exercici E..1. En Newton tira una poma cap avall de d una torre de 300 m d alçària repecte al terra, que forma un angle de 60º amb la vertical. Si la velocitat inicial é de 5 m/, trobeu el temp que triga per arribar a terra i la velocitat d impacte. Solució Per poder repondre a le qüetion de l enunciat haurem de fer el dibuix col locant tota la informació de l enunciat amb le unitat adient indicade pel itema internacional (SI). Si ecrivim l equació de moviment aplicada al notre enunciat i coniderem que el moviment uniformement variat e localitza en l eix de l ordenada: 1 v 0 = 4,33,,5 m / y = y0 ± v0yt + gt. 60º g=-9,8 m/ m on v0 y = v0 co60 = =.5 Y f =0 m Aqueta component de la velocitat, d acord amb el dibuix, é negativa. Quan la poma arriba a terra, y = 0. Amb aquete dade reolem l equació poició temp: 0 = 300.5t 4.9 t i, per tant, t = 7.6 ( ) Per calcular la velocitat en el moment d arribar a terra emprem l equació velocitat temp del tir parabòlic: v = v0 + at = (v0x,( v0y gt) = ( 4,33,,5 9,8 7,6) = ( 4,33, - 76,98 ) m/ v f = ( y0=300 m E... En Newton, molt juganer, tira ara la poma cap amunt de d una torre de 45 m d alçària repecte al terra, que forma un angle de 60º amb la vertical. Si la velocitat inicial é de 00 m/, trobeu: (a) el temp que triga per arribar a terra i la velocitat d impacte; (b) l altura màxima; (c) la ditància màxima obre l eix de le X (abat).

7 7 Probleme de fíica per a batxillerat...// M. L. Ecoda, J. Planella, J. J. Suñol // ISBN: Solució Per poder repondre a le qüetion de l enunciat haurem de fer el dibuix col locant tota la informació de l enunciat amb le unitat adient indicade pel itema internacional (SI). a) Si ecrivim l equació de moviment aplicada al notre enunciat, el moviment uniformement e localitza en l eix de l ordenada; per tant: 1 y = y0 + v0yt + gt v x i, 0 = 00 in 60 = v y 0 = 00 co60 = m 173. m º y0=45 m v 0 g=-9,8 m/ Y f =0 m La component v 0y de la velocitat, d acord amb el dibuix, é poitiva. Quan la poma arriba a terra, e compleix que y = 0. Amb aquete dade reolem l equació poició temp de l eix Y: 0 = t 4.9 t Com que é una equació de egon grau, obtenim do reultat matemàtic: t 1 = 0.8 ; t =.-... Triarem el valor que tingui ignificat fíic. Per calcular la velocitat en el moment d arribar a terra, emprem l equació velocitat temp del tir parabòlic: v = v0 + at = (v0x,( v0y gt) = ( 173,, 100 9,8 0,8) = ( 173,, -... ) m/ b) Quan la poma aoleixi l altura màxima, la coordenada y de la velocitat, v y, valdrà zero; per tant, a partir de l equació de la velocitat d un moviment rectilini uniformement variat e pot calcular el temp que trigarà la poma a aolir l altura màxima. v0y v y 100 vy = v0y gt t = = = 10. g 9.8 Subtituint aquet temp en l equació de la poició de l eix de l ordenada, trobem l altura màxima. 1 y = y0 ± v0yt gt.

8 8 Caiguda lliure. Tir parabòlic. Moviment circular. 1 ymàx = = ( 10.) 555.m c) Subtituint aquet temp en l equació de la poició en l eix de le abcie, obtenim l abat de la poma, é a dir, la ditància repecte al peu de la torre. x = x 0 + v0xt = = m 3.6km 3.607,8 m Tornem-hi P..1. Un altador de longitud arriba a una velocitat de 10 m/ en l intant en què inicia el alt. Si la inclinació amb què el fa é de 5º repecte a l horitzontal, determineu: (a) el temp total que e troba en l aire; (b) la longitud mínima que ha de tenir el clot de orra i comença el alt a 7 cm d aquet clot. Sol.: 0,86 i 7,55 m. P... De d un campanar de 15 m d alçària llancem obliquament un petard cap amunt amb una velocitat inicial de 30 m/, que forma un angle de 60º amb l horitzontal. Calculeu: (a) l abat horitzontal; (b) la velocitat amb què el petard cau a terra, (c) l altura màxima i la component x d aquet punt (x, y max ). Sol.: 87,45 m, 34,57 m/, 34,5 m, 39,75 m. P..3. Llancem un co obliquament cap amunt amb una velocitat de 40 m/ que forma un angle de 60º amb l horitzontal. Calculeu: (a) l abat horitzontal; (b) la velocitat egon depré d haver-lo llançat; (c) l altura màxima; (d) l equació de la trajectòria. Sol.: 141,4 m, 5 m/, 61, m, y=1 73x 0,01x. P..4. Llancem un co obliquament cap amunt amb una velocitat de 40 m/ que forma un angle de 30º amb l horitzontal. Calculeu: (a) l abat horitzontal; (b) la velocitat 1 egon depré d haver-lo llançat; (c) l altura màxima; (d) l equació de la trajectòria. Sol.: 70,66 m, 36,11 m/, 0,41 m, y=0,577-0,00408x. P..5. Llancem un co obliquament cap amunt amb una velocitat de 40 m/ que forma un angle de 45º amb l horitzontal. Calculeu: (a) l abat horitzontal; (b) la velocitat 1 egon depré d haver-lo llançat; (c) l altura màxima; (d) l equació de la trajectòria. Sol.: 163,4 m, 33,78 m/, 40,8 m, y = x -0,00617x. P..6. Una avioneta vola horitzontalment a 108 km/h a una altura de 300 m i deixa anar un paquet que ha de caure al terrat d un edifici de 50 m d alçària. A quina ditància del terra, meurada horitzontalment, ha de deixar anar el paquet perquè caigui al terra de l edifici? Sol.: 14,8 m. P..7. Una avioneta vola horitzontalment a 108 km/h, a una altura de 300 m, i deixa anar un paquet que ha de caure al terrat d un edifici de 80 m d alçària. A quina ditància del terra, meurada horitzontalment, ha de deixar anar el paquet perquè caigui al terra de l edifici? Sol.: 01 m.

9 9 Probleme de fíica per a batxillerat...// M. L. Ecoda, J. Planella, J. J. Suñol // ISBN: P..8. Una avioneta vola horitzontalment a 144 km/h, a una altura de 400 m, i deixa anar un paquet que ha de caure al terrat d un edifici de 50 m d alçària. A quina ditància del terra, meurada horitzontalment, ha de deixar anar el paquet perquè caigui al terra de l edifici? Sol.: 383,3 m. P..9. Un futbolita xuta una pilota amb un angle de 37º i una velocitat de 14,4 m/. Un egon futbolita, ituat a 30 m del primer, comença a córrer cap a la pilota en el mateix moment en què el primer jugador xuta. Quina velocitat mínima ha de portar el egon jugador per arribar a la pilota aban que aqueta xoqui a terra? Sol.: 5,46 m/. P..10. De d un penya-egat de 0 m d alçària, llancem obliquament cap amunt una pedra amb una velocitat de 0 m/, que forma un angle amb l horitzontal de 37º. A 10 m del penya-egat hi ha un obtacle i la pedra xoca amb la part de dalt d aquet obtacle. Calculeu: (a) l alçària que té l obtacle; (b) la velocitat amb què la pedra xoca amb l obtacle. Sol.: 5,6 m i 17,03 m/. P..11. De d un penya-egat de 40 m d alçària, llancem obliquament cap amunt una pedra amb una velocitat de 0 m/, que forma un angle amb l horitzontal de 30º. A 10 m del penya-egat hi ha un obtacle i la pedra xoca amb la part de dalt d aquet obtacle. Calculeu: (a) l alçària que té l obtacle; (b) la velocitat amb què la pedra xoca amb l obtacle. Sol.: 14,13 m, 18,74 m/. P..1. Llancem un objecte de del terra amb una velocitat inicial de v o = 0 i + 40 j m/, i quan baixa, cau al terrat d una caa de 35 m d alçària. Calculeu el temp de volada de l objecte, la ditància a la qual e troba la caa i l altura màxima a la qual arriba l objecte. Sol.: 7,17 ; 143,33 m; 81,63 m. P..13. Un noi vol menjar-e una poma ituada a la part mé alta d un arbre. Per poder-ho fer, llança una pedra amb el tirador amb una velocitat de 30 m/, la qual forma un angle α amb l horitzontal, de manera que in α = 0,8 i co α = 0,6. Si l arbre é a 80 m del noi i aquet llança la pedra de d 1 m del terra, determineu l alçària de l arbre i la velocitat de la pedra quan toca la poma. Sol.: m i v = 18i 19,56 jm /. P..14. Un helicòpter vola a 180 km/h, a una altura de 500 m, i veu venir un camió en entit contrari. Calculeu a quina ditància del camió ha de deixar anar un paquet per fer-lo caure din la caixa del camió i aquet e mou amb una velocitat contant de 7 km/h. Sol.: 707,1 m. P..15. Un helicòpter vola a 00 km/h a una altura de 1000 m i veu venir un camió en entit contrari. Calculeu a quina ditància del camió ha de deixar anar un paquet per fer-lo caure din la caixa del camió i aquet e mou amb una velocitat contant de 7 km/h. Sol.: 707,1 m. P..16. Un caça bombarder vola horitzontalment a 1500 m, amb una velocitat de 180 km/h, i veu venir un tanc en entit contrari. Calculeu a quina ditància del tanc ha de deixar anar un míil per fer-lo caure obre el tanc i aquet e mou amb una velocitat contant de 45 km/h. Sol.: 1093,56 m.

10 30 Caiguda lliure. Tir parabòlic. Moviment circular. Definicion P3. Moviment circular uniforme T.3.1. Concepte bàic. La partícula que decriu un moviment circular uniforme té una velocitat angular contant, i per tant el mòdul del vector velocitat lineal també ho é. Le equacion del deplaçament i la velocitat angular en funció del temp ón le egüent: θ = θ0 + ωt (7) on θ i ω ón el deplaçament i la velocitat angular, repectivament, en un intant de temp t, i θ 0 i ω 0 ón el deplaçament i la velocitat angular, repectivament, en l intant de temp t = 0. Cal remarcar que en un moviment circular uniforme, malgrat que el mòdul del vector velocitat lineal igui contant, la eva direcció no ho é. L acceleració centrípeta o normal a c é la magnitud fíica que meura la variació de la direcció del vector velocitat. Aqueta acceleració é perpendicular a la trajectòria de la partícula i va dirigida cap al centre de la trajectòria circular. El mòdul de a c ve donat per: v a c = = ω R (8) R T.3.. Recordeu Relació entre magnitud Magnitud lineal Magnitud angular Relació Epai lineal (m) Epai angular (rad) S=θ R Velocitat lineal Velocitat angular V=ω R (m/) (rad/) Moviment circular uniforme S v = t θ ω = t Exercici E.3.1. Si etem ecoltant múica d un dic que gira a raó d 1,5p rad/ durant 10 min, calculeu el deplaçament angular total que ha decrit aquet en unitat del itema internacional.

11 31 Probleme de fíica per a batxillerat...// M. L. Ecoda, J. Planella, J. J. Suñol // ISBN: Solució: El dic decriu un moviment circular uniforme, per tant: θ = θ0 + ωt ; en el notre ca: 60 t = 10 min = 600 1min alehore: θ = 1.5π 600 = 900πrad 900π rad E.3.. Trobeu l acceleració centrípeta que adquireix un nen que ha pujat a le voladore de fire quan aquete giren a una velocitat angular de 0.5π rad/, i la ditància radial é de 3 m. Solució L acceleració centrípeta ve donada per l expreió: v m a c = = ω R =.47 3 = 7.4 R 7,4 m/ E.3.3. Una moca e dipoita a una ditància de 3 cm del centre d un dic de 15 cm de radi que fa volte obre un tocadic a una velocitat angular de ω = 45 rpm. Trobeu en unitat del itema internacional la velocitat lineal de la moca. Si aqueta hagué caigut obre la perifèria del mateix dic, quina velocitat lineal portaria? Solució Primer cal paar le unitat de la velocitat angular a unitat del itema internacional. rev πrad 1min rad ω = 45rpm = 45 = 1.5π. min 1rev 60 La velocitat lineal i la velocitat angular d una partícula etan relacionade mitjançant l expreió: v = ω R

12 3 Caiguda lliure. Tir parabòlic. Moviment circular. En el primer ca, R = 0.03 m, i en el egon ca, R = 0.15 m ; per tant: m v = 1.5 π 0.03 = 0.14 m i, v = 1.5 π 0.15 = 0.71 Cal adonar-e que malgrat que la moca gira a la mateixa velocitat angular en ambdó cao, la velocitat lineal é diferent, depenent d on e troba aqueta repecte a l eix de rotació: 0,14 m/i 0,71 m/ Tornem-hi P.3.1. Un dic gira amb una velocitat de 45 rpm. Calculeu-ne la velocitat angular en rad/. Sol.: 3π/ rad/. P.3.. Un cotxe recorre una pita circular de 50 m de radi. Quan ha recorregut 00 m, quant radiant ha decrit? Sol.: 4 rad. P.3.3. Una roda gira a raó de 40 rad/. Calculeu: (a) la celeritat d un punt de la roda ituat a 0 cm del centre de la roda; (b) la rapidea d un punt de la roda ituat a 30 cm del centre de la roda. Sol.: 8 m/; 1 m/. P.3.4. Una roda gira a raó de 45 rpm. Calculeu: (a) la rapidea d un punt de la roda ituat a 0 cm del centre de la roda: (b) la rapidea d un punt de la roda ituat a 30 cm del centre de la roda. Sol.: 0,3π m/; 0,9π/ m/. P.3.5. Una roda gira a raó de 40/π volte/. Calculeu: (a) la rapidea d un punt de la roda ituat a 0 cm del centre de la roda; (b) la rapidea d un punt de la roda ituat a 30 cm del centre de la roda. Sol.: 16 m/. P.3.6. Determineu la velocitat angular de le tre buque del rellotge en rad/. Sol.: horari: 1, rad/; minutera: 1, rad/, i ecundària: 0,105 rad/. P.3.7. Un punt de la perifèria d una roda de 50 cm de radi e mou amb una velocitat lineal de 7 km/h. Calculeu: (a) la velocitat angular de la roda; (b) el nombre de volte que fa en 10. Sol.: 40 rad/, 400 volte. P.3.8. Un punt de la perifèria d una roda de 40 cm de radi e mou amb una velocitat lineal de 36 km/h. Calculeu: (a) la velocitat angular de la roda (b) el nombre de volte que fa en 0. Sol.: 5 rad/, 500 volte. P.3.9. Un punt de la perifèria d una roda de 0 cm de radi ha decrit un arc de 0 cm en un temp de 10. Calculeu: (a) la velocitat lineal del punt; (b) la velocitat angular de la roda; (c) l epai lineal que recorre en minut. Sol.: 0 0 m/, 0 1 rad/, 4 m.

13 33 Probleme de fíica per a batxillerat...// M. L. Ecoda, J. Planella, J. J. Suñol // ISBN: P Un punt de la perifèria d una roda de 0 cm de radi ha decrit un angle de 45º en un temp de 10. Calculeu: (a) la velocitat lineal del punt; (b) la velocitat angular de la roda; (c) el nombre de volte que fa en minut. Sol.: 0 005π m/, π/40 rad/. P Una moca e itua en un plat de microone de 10 cm de radi que gira a 10 volte/. Si la moca e troba a una ditància de 5 cm del centre, determineu: (a) el nombre de volte que decriu la moca en un temp de 10 ; (b) la velocitat lineal de la moca. Sol.: 100 volte, π m/. P.3.1. Obervem diferent punt d una roda que e mou amb una celeritat angular contant. D acord amb la taula, ditància del punt al centre i velocitat lineal correponent, determineu la velocitat angular de la roda de manera gràfica. Sol.: 1 rad/. Radi (m) Velocitat (m/) 0 0 0, 0, 0,4 0,4 0,6 0,6 0,8 0,8 1 1 P Trobeu la velocitat de l extrem de l agulla que indica el egon i la eva freqüència. Dada: longitud de l agulla = 1 mm. Sol.: 1, m/, 1/60 Hz. P Supoant que la Terra gira al voltant del eu eix amb moviment circular uniforme, trobeu: (a) la velocitat angular de la Terra; (b) la freqüència i el eu període. Sol.: π/86400 rad/; 1,16x10-5 Hz; P Supoant que la Terra gira al voltant del eu eix amb moviment circular uniforme, trobeu: (a) la velocitat lineal d un punt ituat a l equador de la Terra. (b) la velocitat lineal del punt que repreenta el centre de la Terra. Dade: radi de la Terra = 6370 km. Sol.: 147,45π m/; 0 m/ P Determineu la velocitat angular de la Terra al voltant del Sol. Sol.: 10-7 rad/ P En Pere porta un rellotge que té una agulla minutera d 1 cm. Trobeu: (a) la velocitat angular de l agulla; (b) la velocitat lineal d un punt ituat a l extrem de l agulla; (c) la freqüència i el eu període. Sol.: π/1800 rad/; π/18x10 4 m/;,78x10-4 Hz; 3600.

14 34 Caiguda lliure. Tir parabòlic. Moviment circular. P Un dic de m de radi gira al voltant d un eix perpendicular pel eu centre, amb celeritat contant. Si fa una volta completa en 4, e demana: (a) la velocitat angular de do punt, un ituat a 1 m del eu centre (A) i l altre a la perifèria (B); (b) la velocitat lineal del do punt anterior; (c) la freqüència del moviment; (d) l angle girat en un temp de 6 ; (e) la ditància recorreguda pel do punt A i B en 6. Sol.: π/ rad/; π/ m/, π m/, 0,5 Hz, 3π rad; 3π m; 6π m. P Un dic de m de radi gira al voltant d un eix perpendicular pel eu centre, amb celeritat contant. Si fa una volta completa en, e demana: (a) la velocitat angular de do punt, un ituat a 1 m del eu centre (C) i l altre a la perifèria (D); (b) la velocitat lineal del do punt anterior; (c) la freqüència del moviment; (d) l angle girat en un temp de 6 ; (e) la ditància recorreguda pel do punt C i D en 6. Sol.: π rad/; π m/, π m/, 0,5 Hz, 6π rad; 6π m; 1π m. P.3.0. Un dic de m de radi gira al voltant d un eix perpendicular pel eu centre, amb celeritat contant. Si fa una volta completa en 4, e demana: (a) la velocitat angular de do punt, un ituat a 0 m del eu centre (A) i l altre a la perifèria (B); (b) la velocitat lineal del do punt anterior; (c) la freqüència del moviment; (d) l angle girat en un temp de 6 ; (e) la ditància recorreguda pel do punt A i B en 6. Sol.: π/ rad/; 0π m/, π m/, 0,5 Hz, 3π rad; 0π m; 6π m. P.3.1. El diàmetre de le rode groe d una bicileta d infant é de 0,8 m, i el de le rode petite de 0 cm. Per anar al jardí le rode groe han fet 800 volte a 40 rpm. Calculeu la velocitat de la bicicleta i el nombre de volte que han fet le rode petite. Sol.: 3 35 m/, 300 volte. P.3.. El diàmetre de le rode groe d una bicileta d infant é de 0,6 m i el de le rode petite de 30 cm. Per anar al jardí le rode groe han girat 800 volte a 40 rpm. Calculeu la velocitat de la bicicleta i el nombre de volte que han fet le rode petite. Sol.: 51 m/, 960 volte. P.3.3. Determineu l acceleració normal d un ciclita que decriu una trajectòria circular de 100 m de radi amb una velocitat de 7 km/h. Sol.: 4 m/. P.3.4. Supoant que la Terra gira al voltant del eu eix amb moviment circular uniforme. Trobeu: (a) la velocitat lineal d un punt ituat a l equador de la Terra; (b) l acceleració normal o radial d aquet punt. Dade: radi de la Terra = 6370 km. Sol.: 147,45π m/; 3,41π x10-3 m/. Definicion P.4. Moviment circular uniformement variat

15 35 Probleme de fíica per a batxillerat...// M. L. Ecoda, J. Planella, J. J. Suñol // ISBN: T.4.1. Concepte bàic. En aquet tipu de moviment el que é invariable é l acceleració angular, mentre que la velocitat angular canvia en el temp. Le equacion del deplaçament i la velocitat angular en funció del temp ón le egüent: 1 θ = θ0 + ω0t + α t (9) i, ω = ω 0 + αt Si elimina el temp entre le due equacion, obté: ω = ω0 + α θ eent: θ = θ - θ 0 (10) Cal dir que le equacion del moviment circular uniforme i del moviment circular uniformement variat ón anàlogue repectivament a le del moviment rectilini; nomé canvien le magnitud lineal per le angular. En aquet tipu de moviment, el vector velocitat lineal té el mòdul i la direcció variable. La magnitud que meura la variació del mòdul de la velocitat é l acceleració tangencial a t, i aqueta é tangent a la trajectòria de la partícula. L expreió del mòdul de a t ve donada per: dv a t = dt (11) a t = R α (1) L acceleració tangencial é perpendicular a l acceleració centrípeta, i ambdue ón le component intríneque del vector acceleració; per tant, e pot ecriure: a = a c + a t (13) i el mòdul del vector acceleració é el egüent: a = a c + a t Exercici E.4.1. Un dic amb un eix fix de 30 cm de radi, inicialment en repò, gira amb una acceleració angular contant d 1.5 rad/ durant 10. Trobeu el nombre de volte que fa aquet dic. Solució

16 36 Caiguda lliure. Tir parabòlic. Moviment circular. L equació del deplaçament angular d un moviment circular uniformement accelerat ve donada per: 1 θ = θ0 + ω0t + α t En el notre ca, θ 0 = 0, i ω 0 = 0, per tant: 1 θ = 1.5 ( 10) = 75rad Alehore: 11,94 volte 1volta 75 rad = 11,94volte πrad E.4.. Una ciclita que urt del repò decriu un looping circular de 00 m de radi, i aoleix el 7 km/h en 0,5 minut. Trobeu l acceleració total de la ciclita un cop ha trancorregut aquet temp. Solució El que cal fer primer é unificar unitat: km 1000m 1h m 7 = 0.0. h 1km min = 30 1min Per trobar l acceleració total a = a c + a t cal bucar le eve component vectorial. El mòdul de l acceleració tangencial é: v v0 0 m a t = = = t t 0 30 El mòdul de l acceleració centrípeta é: ( 0) v m a c = = =. R 00 El mòdul de l acceleració total é: m a = a c + a t =,11.

17 37 Probleme de fíica per a batxillerat...// M. L. Ecoda, J. Planella, J. J. Suñol // ISBN: La direcció del vector acceleració total e pot trobar calculant l angle que forma aquet amb el vector a ac t : ϕ = arctg = arctg = 43,46 a t,11,11 m/ T.4.. Recordeu Relació entre magnitud Magnitud lineal Magnitud angular Relació Epai lineal, S,(m) Epai angular, θ, (rad) Velocitat (m/) lineal Acceleració lineal o tangencial (m/ ) Velocitat (rad/) Acceleració (rad/ ) angular angular S=θ R v=ω R a tang =α R Moviment circular uniformement variat 1 S = S0 + V0t + a t 1 θ = θ + ω 0t + α v= v 0 + a t ω = ω 0 + α t v = v0 + a ω = ω0 + α θ 0 t Tornem-hi P.4.1. En una fira, una atracció augmenta la velocitat en 10 volte/ en minut. Calculeu-ne l acceleració angular en rad/. Sol.: π/6 rad/. P.4.. Una atracció de fira que parteix del repò adquireix una velocitat angular de 10π rad/ en do egon. Coniderant un moviment circular uniformement variat, calculeu: (a) la eva acceleració angular en rad/ ; (b) el nombre de volte que fa en aquet temp. Sol.: 5π rad/, 5 volte. P.4.3. Quant tardarà a aturar-e un dic que gira a 60 rpm i comença a frenar amb una acceleració contant de rad/? Sol.: 3,14. P.4.4. Una atracció de fire va fent volte i decriu un cercle amb una acceleració angular contant. La velocitat angular en el do primer egon é de 90 radiant per egon. Si e conidera que parteix del repò, trobeu l acceleració i el deplaçament angular en aquet període. Sol.: 45 rad/ ; 90 rad. P.4.5. Le rode d un camió giren amb una velocitat angular contant de ω = 100 rad/. El conductor veu un obtacle a la carretera i frena, i triga a aturar-e. Calculeu l acceleració angular amb la qual frena. Sol.: 50 rad/.

18 38 Caiguda lliure. Tir parabòlic. Moviment circular. P.4.6. Un dic, partint del repò, adquireix una velocitat de 45 rpm en un temp d 1,5. Calculeu: (a) la eva acceleració angular; (b) el nombre de volte que fa en aquet temp. Sol.: π rad/ ; 0,56 volte. P.4.7. En una fira, una atracció diminueix la velocitat en 10 volte/ en minut. Calculeu l acceleració angular en rad/. Sol = π/6 rad/. P.4.8. Una atracció de fira que e mou amb una velocitat angular de 10π rad/ frena i e para en do egon. Coniderant un moviment circular uniformement variat, calculeu: (a) la eva acceleració angular en rad/ ; (b) el nombre de volte que fa fin que e para. Sol.: 5π rad/, 5 volte. P.4.9. Un dic partint que gira inicialment amb una velocitat de 45 rpm e para en un temp d 1,5. Si e conidera un moviment circular uniformement variat, calculeu: (a) la eva acceleració angular; (b) el nombre de volte que fa fin a aturar-e. Sol.: π rad/ ; 0,56 volte P La velocitat angular d un volant diminueix uniformement de 900 a 800 volte per minut en 5. Calculeu: (a) l acceleració angular del moviment; (b) el nombre de volte que fa en aquet 5 ; (c) el temp que triga a parar-e a partir d aquet intant. Sol.:,1 rad/ ; 70, 8 volte; 40. P La velocitat angular d una roda diminueix uniformement de 1000 rpm a 500 rpm en 10. Calculeu: (a) el nombre de volte que fa en aquet 10 ; (b) el temp neceari fin a aturar-e. Sol.: 14,9 volte; 0. P.4.1. La velocitat angular d una roda diminueix uniformement de 1000 rpm a 500 rpm en 10. Calculeu la ditància recorreguda en el 10 per un punt ituat a 50 cm de la perifèria. Sol.: 39,5 m. P Un mòbil decriu un moviment circular de 50 m de radi amb una acceleració tangencial o lineal de m/. Si quan el cronòmetre indica 4, el mòbil e troba en un angle de 3 rad i movent-e amb una velocitat de 6 m/, determineu: (a) la poició i la velocitat inicial del mòbil coniderant un moviment circular uniformement variat; (b) l acceleració normal al cap de 4. Sol.: - m/; 14 m; 0,7 m/. P Un mòbil decriu un moviment circular de 100 m de radi amb una acceleració tangencial o lineal de 4 m/. Si quan el cronòmetre indica 4, el mòbil e troba en un angle de 3 rad i movent-e amb una velocitat de 6 m/, determineu: (a) la poició i la velocitat inicial del mòbil coniderant un moviment circular uniformement variat; (b) l acceleració normal al cap de 4. Sol.: -10 m/; 308 m; 0,36 m/. P Un mòbil decriu un moviment circular de 50 m de radi amb una acceleració angular de 0,04 rad/. Si quan el cronòmetre indica 4, el mòbil e troba en un angle de 150 rad i movent-e amb una velocitat de 6 m/, determineu: (a) la poició i la velocitat inicial del mòbil coniderant un moviment circular uniformement variat; (b) l acceleració normal al cap de 4. Sol.: - m/; 14 m; 0,7 m/.

19 39 Probleme de fíica per a batxillerat...// M. L. Ecoda, J. Planella, J. J. Suñol // ISBN: P Un tractor inicialment en repò e deplaça durant un temp de 90. Le rode del tractor, de 100 cm de radi, giren amb una acceleració angular d 1 rad/ durant el primer 60, i mantenen la velocitat adquirida durant el 30 retant. Determineu: (a) la velocitat final del tractor i (b) el nombre de volte que fa una roda. Sol.: 60 m/; 573,5 m. P Un tractor inicialment en repò e deplaça durant un temp de 10. Le rode del tractor, d 1 m de radi, giren amb una acceleració angular d 1 rad/ durant el primer 60, i mantenen la velocitat adquirida durant el 60 retant. Determineu: (a) la velocitat final del tractor i (b) el nombre de volte que fa una roda. Sol.: 60 m/; 859,87 m. P Un tractor inicialment e deplaça amb una velocitat de 7 km/h coniderada contant durant 10. Seguidament frena amb una acceleració d 1 m/ fin a aturar-e. Le rode groe del tractor tenen 1 m de radi, i le petite 50 cm. Ompliu le due taule egüent: Primer tram lineal angular Velocitat roda gran Velocitat roda petita Epai recorregut roda gran Epai recorregut roda petita Segon tram lineal angular Acceleració roda gran Acceleració roda petita Epai recorregut roda gran Epai recorregut roda petita P Un tractor inicialment e deplaça amb una velocitat de 7 km/h coniderada contant durant 10. Seguidament frena amb una acceleració d 1 m/ fin a aturar-e. Le rode groe del tractor tenen 1 m de radi, i le petite 50 cm. Determineu: (a) la velocitat angular de cada roda en iniciar la frenada; (b) el nombre de volte total que ha fet la roda gran. Sol.: ωg = 0 rad/; ωp = 40 rad/; 63,7 volte. P.4.0. Un mòbil A decriu una trajectòria circular de 50 m de radi amb una velocitat angular contant de 0,3 rad/. Al cap de 5 d haver partit A, urt a darrere eu un altre mòbil B, de del repò i amb una acceleració de 0,1 rad/. Determineu: (a) la poició i l intant en què B encreua amb A; (b) la velocitat lineal i angular de B en el moment en què encreuen el do mòbil. Sol.: 4,6 rad; 0,9 rad/; 46 m/. P.4.1. La roda petita d un tranmior de velocitat té un radi de 15 cm, i la roda groa de 45 cm. El itema e troba inicialment en repò. Si la roda petita arranca amb una acceleració, coniderada contant, d 1 rad/ ompliu la taula per un temp t = 4.

20 40 Caiguda lliure. Tir parabòlic. Moviment circular. lineal angular Acceleració roda petita Acceleració roda gran Velocitat (t=4) roda petita Velocitat (t=4 ) roda gran Definicion P.5. Moviment circular variat T.5.1. Concepte bàic. La trajectòria d una partícula que decriu un moviment circular é una circumferència. Si la partícula e deplaça de d un punt 1 fin a un punt (vegeu el dibuix), la velocitat angular mitjana e defineix com l angle central ecombrat pel radi, anomenat deplaçament angular (expreat en unitat de radiant en el itema internacional; el radiant é adimenional), dividit pel temp que triga la partícula per anar de del punt 1 fin al punt, é a dir: θ θ θ ω 1 m = = (14) t t t1 Si fem el límit quan t tendeix a zero, obtenim la velocitat angular intantània: dθ ω = (15) dt La unitat de la velocitat angular en el itema d unitat internacional é el radiant per egon, rad/. En algun cao, aqueta velocitat e dóna en unitat de rpm, que vol dir revolucion dividit per minut; una revolució é igual a π radiant. Cal recordar que el deplaçament angular é igual a l arc (magnitud lineal), decrit per la partícula, dividit pel radi R de la circumferència, é a dir: θ = ; = θ R R θ 1 per tant: v = ω R ja que d v = dt L acceleració angular mitjana d una partícula que e deplaça de d una poició 1 fin a una poició é el quocient entre la variació de la velocitat angular entre aquet do punt i el temp que triga per anar-hi. É a dir: ω ω ω α 1 m = = (16) t t t1 Si fem el límit quan t tendeix a zero, obtenim l acceleració angular intantània:

21 41 Probleme de fíica per a batxillerat...// M. L. Ecoda, J. Planella, J. J. Suñol // ISBN: dω α = (17) dt La unitat de l acceleració angular en el itema d unitat internacional é el radiant per egon al quadrat, rad /. Exercici E.5.1. L equació del deplaçament angular d una partícula que volta obre una circumferència de radi R = 3 m ve donada per l expreió θ = 4t +3t. Trobeu la velocitat lineal i l acceleració angular en l intant t =. (Le unitat de θ é el radiant, i el temp exprea en egon.) Solució Ja ha comentat que l arc que decriu la partícula en un moviment circular é una magnitud lineal; per tant: d v = dt On arc = R θ i: Arc= =3(4t +3t) = (1t + 9t) m; per tant: m ( 4t 9) v = +. Quan el temp é igual a t =, alehore: m v ( ) = 57 Com que: dω α =, i dt ω = ( 8 t + 3) dθ ω =, alehore: dt rad rad, i α = 8 ; per tant, l acceleració angular é contant. 10 m/; 308 m; 0,36 m/ E.5.. Una partícula porta una velocitat de 6 m/ en un intant determinat i la eva acceleració é de 8 m/. Si el eu vector repreentatiu formen un angle de 60º, calculeu: (a) le component intríneque de l acceleració i (b) el radi de curvatura. 60º v a total

22 4 Caiguda lliure. Tir parabòlic. Moviment circular. Solució La figura en permet determinar le component intríneque de l acceleració, atè què: a) Per trigonometria e poden calcular le component de l acceleració: d a t = = a co60º = 8 0,5 = 4m/ dt v 3 i: a n = = a in 60º = 8 = 6,93m/ R b) Com que: v 6 a n = = 6,93 R = = 5,19m R 6,93 (a) 4 m/ ; 6,93 m/ (b) 5,19 m. Tornem-hi P.5.1. Una partícula decriu la trajectòria d un cercle de 50 cm de radi egon l equació egüent: θ = t -4t + 6, θ expreat en radiant i t en egon. Determineu l acceleració tangencial de la partícula, expreada en unitat del itema internacional, en l intant de temp t = 3. Sol.: 10 m/ (correpon a un moviment circular uniformement variat). P.5.. Segon l equació de la trajectòria circular del problema anterior, calculeu la velocitat angular, així com l acceleració centrípeta o radial i angular, expreade en el itema internacional, en l intant de temp t =. Sol.: 4 rad/; 40 m/ ; 4 rad/ P.5.3. Una partícula decriu la trajectòria d un cercle de 50 cm de radi egon l equació egüent: θ = 4t -t + 6; θ expreat en radiant i t en egon. Ompliu la taula en unitat del itema internacional, per a l intant de temp t = 3. magnitud unitat ω α a tan a normal a total Angle ( a tan, a normal ) Sol.: rad/, 8 rad/, 0 m/, 110 m/, m/, 90º P.5.4. Una partícula decriu la trajectòria d un cercle de 00 cm de radi egon l equació egüent: θ = 8t -t + 6; θ expreat en radiant i t en egon. Ompliu la taula en unitat del itema internacional, per a l intant de temp t =.

23 43 Probleme de fíica per a batxillerat...// M. L. Ecoda, J. Planella, J. J. Suñol // ISBN: magnitud unitat ω α a tan a normal a total Angle ( a tan, a normal ) Sol.: 30 rad/, 16 rad/, 3 m/, 1800 m/, m/, 90º P.5.5. Una partícula decriu la trajectòria d un cercle de 50 cm de radi egon l equació egüent: θ = 4t 3 -t + 6; θ expreat en radiant i t en egon. Ompliu la taula en unitat del itema internacional, per a l intant de temp t = 1. magnitud unitat ω α a tan a normal a total Angle ( a tan, a normal ) Sol.: 10 rad/, 4 rad/, 60 m/, 50 m/, 57 1 m/, 90º P.5.6. Una partícula decriu la trajectòria circular de radi R egon l equació egüent: S = t -4t + 6; S expreat en metre i t en egon. Determineu l acceleració tangencial de la partícula, expreada en unitat del itema internacional, en l intant de temp t = 3. Sol.: 4 m/. P.5.7. Una partícula decriu la trajectòria circular de radi R egon l equació egüent: S = 3t -4t + 6; S expreat en metre i t en egon. Determineu l acceleració tangencial de la partícula, expreada en unitat del itema internacional, en l intant de temp t = 1. Sol.: 6 m/. P.5.8. El vector poició d un mòbil é r = 3ti + t j 3k (en unitat del itema internacional). Trobeu le component intríneque de l acceleració i el radi de curvatura per a t = 1. Sol.: a t = 4 13 /13 m/, a n =6 13 /13 m/,r=13 13 /6 m P.5.9. El vector poició d un mòbil é r = 3t i + t j 3k (en unitat del itema internacional). Trobeu le component intríneque de l acceleració i el radi de curvatura per a t = 1. Sol.: a t = /37 m/, a n =6 37 /37 m/,r=37 37 /6 m P El vector poició d un mòbil é r = 3ti + tj 3k (amb unitat del itema internacional). Trobeu le component intríneque de l acceleració i el radi de curvatura per a t = 1. Sol.: a t =0 m/, a n =0 m/,r=0 m trajectòria rectilínia.