FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, INGENIERÍA Y AGRIMENSURA

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1 FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, INGENIERÍA Y AGRIMENSURA Av. Pellegrini Rosario REPÚBLICA ARGENTINA PLAN DE ESTUDIOS DE LA LICENCIATURA EN MATEMÁTICA 1.- IDENTIFICACIÓN DEL PLAN DE ESTUDIOS Plan de Estudios de la Carrera de Licenciatura en Matemática 2.- FINALIDAD DEL PLAN DE ESTUDIOS La carrera está destinada a formar profesionales que conozcan los temas de las diversas ramas que actualmente componen la Matemática, que dominen sus diferentes métodos y que sean capaces de ampliar sus alcances, transmitirlos con eficacia y aplicarlos en nuevos contextos. A través de las asignaturas que componen la carrera el alumno logrará desarrollar su pensamiento lógico e incrementar su capacidad de abstracción, habilidades que le permitirán abordar situaciones nuevas en forma autónoma, efectuando un análisis preciso de las estructuras subyacentes, decidiendo cuáles herramientas, conceptuales y/o metodológicas, resultan más apropiadas en cada caso y aplicándolas con racionalidad científica. Es también finalidad de la carrera desarrollar una actitud crítica y flexible y una disposición permanente a la actualización de sus conocimientos así como a la indagación de otros nuevos, particularmente los que le permitan participar del trabajo con equipos interdisciplinarios. 3.- OBJETO DE LA PROFESIÓN El Licenciado en Matemática es un profesional que, dominando un amplio espectro de aspectos básicos de la disciplina, es capaz de desarrollar actividades de investigación, docencia y extensión vinculadas a ella, ya sea en sus fases de diseño e implementación como en las de coordinación y evaluación. 4.- CARACTERISTICAS DE LA CARRERA 4.1 Nivel: Grado 1

2 4.2 Acreditación: Quienes aprueben todas las asignaturas correspondientes al primero y segundo año y cuatro asignaturas de tercer año del presente plan de estudios, dos de las cuales deben ser: 3.12 Topología Modelos y Optimización obtendrán el título intermedio de Bachiller Universitario con Mención en Matemática. Quienes cumplimenten la totalidad de los requisitos establecidos en el presente Plan de Estudios, obtendrán el título de Licenciado en Matemática. 4.3 Alcances del título: Los alcances del título de Licenciado en Matemática son los siguientes: a) Elaborar, dirigir, coordinar, controlar y evaluar estudios e investigaciones sobre temas de Matemática pura y aplicada. b) Participar en equipos interdisciplinarios responsables de la elaboración, ejecución y evaluación de programas y proyectos, en los cuales se encuentran involucrados problemas matemáticos. c) Realizar estudios y asesoramientos matemáticos en proyectos de desarrollo tecnológico, originales o de adaptación. 4.4 Perfil del título: El cuerpo teórico que fundamenta la práctica profesional y/o académica del egresado está constituido por temas de distintas ramas de la Matemática, de índoles epistemológicas y metodológicas diversas. A los temas tradicionales en la disciplina, imprescindibles por su alto valor conceptual y formativo, se agregan otros más vinculados a la interacción con otras ciencias y generalmente constituidos a partir de las posibilidades tecnológicas actuales. Este amplio espectro de conocimientos, conceptuales y metodológicos, y la permanente disposición a la autogestión del aprendizaje y la actualización, que atraviesan toda la carrera, proveen una sólida formación que habilita para el ejercicio de las actividades objeto de la profesión. 4.5 Requisitos de ingreso: Poseer estudios secundarios completos o equivalentes, de acuerdo a las normas de ingreso vigentes en la Universidad Nacional de Rosario. 2

3 5.- ORGANIZACIÓN DEL PLAN DE ESTUDIOS 5.1 Asignaturas El plan de estudios comprende las siguientes asignaturas: 1.01 Cálculo I 1.02 Álgebra 1.03 Geometría I 1.04 Taller de Resolución de Problemas 2.05 Probabilidad y Estadística Cálculo II Álgebra Lineal Computación Cálculo III Estructuras Algebraicas I Matemática Discreta 3.12 Topología Cálculo IV Estructuras Algebraicas II Análisis Numérico I Funciones Reales Geometría II Modelos y Optimización 4.19 Taller de Tesina Análisis Funcional Geometría III Procesos Estocásticos Ecuaciones Diferenciales Análisis Numérico II Métodos Matemáticos 4.26 Tesina 5.2 Asignaturas: Delimitación de contenidos 1.01 Cálculo I Números reales. Intervalos y topología en R. Valor absoluto. Números naturales: el principio de inducción. Funciones. Funciones algebraicas y trascendentes. Representación gráfica. 3

4 Sucesiones y series numéricas. Sucesiones convergentes y sucesiones de Cauchy. Criterios de convergencia de series. Limite y continuidad de funciones. Propiedades fundamentales. La derivada de una función. Teoremas del valor medio. Primitivas de una función. Solución Numérica de Ecuaciones no lineales: Métodos de bisección, Newton y secante. La integral. Teoremas fundamentales del cálculo integral. Funciones logarítmicas y exponenciales Álgebra Cálculo proposicional y de predicados. Álgebra de conjuntos. Números naturales: introducción al análisis combinatorio. Relaciones y funciones. Operaciones. Relaciones de equivalencia y de orden. Conjuntos finitos e infinitos. Números complejos. Potencias y raíces de un número complejo. Polinomios. Divisibilidad. Descomposición factorial de un polinomio. Sistema de ecuaciones lineales. Sistemas equivalentes. Método de Gauss. Los espacios vectoriales n n R y C. Dependencia e independencia lineal. Matrices. Rango de una matriz. Matrices inversibles. Determinantes. Cálculo de la inversa de una matriz. Teoremas de Cramer y de Rouché Geometría I Geometría plana. Figuras planas. Cálculo de áreas Trigonometría plana. Puntos y rectas relacionados con el triángulo. Geometría en coordenadas. Ecuaciones y lugares geométricos en el plano: recta, circunferencia, cónicas. Geometría del espacio. Cuerpos. Cálculo de volúmenes. Vectores en el plano y en el espacio. Bases y componentes. Curvas y superficies en el espacio: recta, plano, cuádricas Taller de Resolución de Problemas Problemas sobre temas de lógica, teoría de conjuntos y funciones. Problemas sobre aritmética, sistemas de numeración y análisis combinatorio. Problemas sobre geometría del plano. Matemática recreativa. 4

5 2.05 Probabilidad y Estadística Introducción a la teoría de probabilidad. Nociones de estadística descriptiva. Variables aleatorias. Sucesión de variables aleatorias. Nociones de estadística inferencial. Estimación. Test de hipótesis Cálculo II Aproximación de funciones: polinomios de Taylor. Aplicaciones del cálculo diferencial al análisis de funciones. Métodos de integración. Aplicaciones del cálculo integral. Integración numérica: Newton-Cotes, regla del trapecio y Simpson. Cuadratura de Gauss. Funciones de varias variables. Curvas y superficies. Funciones diferenciables. Aplicaciones al estudio de funciones: extremos relativos y condicionados Álgebra Lineal Espacios vectoriales reales y complejos. Subespacios vectoriales. Bases de un espacio vectorial. Transformaciones lineales. Matriz asociada a una transformación lineal. Espacios vectoriales con producto interno. Espacio dual. Formas bilineales y formas cuadráticas Computación Sistemas operativos. Utilitarios con orientación matemática y su uso en la resolución de problemas de álgebra, cálculo y geometría: introducción a la programación. Conceptos globales de computación. Elementos de programación. Aritmética de punto flotante. Análisis de errores: tipos y propagación. Sistemas de numeración. Representación de números enteros y reales en una computadora. Programación modular y estructurada. Un lenguaje de programación. Algoritmos de resolución de problemas Cálculo III Integración de funciones de varias variables. Aplicaciones. Integrales curvilíneas y de superficie. Fórmula de Green. Teoremas de la divergencia y del rotor. Aplicaciones al cálculo de volúmenes de cuerpos y áreas de superficies. 5

6 Sucesiones y series de funciones. Convergencia uniforme. Series de potencias y de Fourier. Introducción a la teoría de variable compleja Estructuras Algebraicas I Sistemas axiomáticos. Axiomas de Peano: números naturales. Números enteros. Divisibilidad, congruencia. Números racionales. Grupos, anillos y cuerpos. Homomorfismos e isomorfismos. Estructuras cocientes. Álgebras. Álgebra de Boole. Retículos Matemática Discreta Combinatoria. Teoría de grafos. Problemas de localización y optimización. Algoritmos en grafos y redes. Análisis de complejidad de algoritmos. Complejidad de Problemas. Breves nociones sobre modelización de Optimización Combinatoria Topología Espacios métricos. Espacios topológicos. Continuidad. Operaciones con espacios topológicos. Teoría de homotopía. Axiomas de separación. Axiomas de recubrimiento. Compacidad. Convergencia. Conexión. Inmersión. Compactación. Metrizabilidad. Elementos de la teoría de espacios uniformes Cálculo IV Funciones holomorfas. Integración compleja. Series Funciones analíticas. Singularidades. Cálculo de residuos. Ecuaciones diferenciales ordinarias. Ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. Introducción al estudio de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales Estructuras Algebraicas II Extensiones de cuerpos. Elementos de la teoría de Galois. Formas cuadráticas sobre un cuerpo. Teoría de anillos y módulos. Tensores Análisis Numérico I 6

7 Normas vectoriales y normas matriciales. Teorema de Banach del punto fijo. Resolución de sistemas lineales. Eliminación gaussiana. Descomposición LU y QR. Métodos iterativos para sistemas lineales. Métodos iterativos para sistemas no lineales. Ceros de polinomios. Problema de autovalores. Aproximación e interpolación Funciones Reales Teoría de la medida. Medida de Lebesgue. Teoría de integración. Integral de Lebesgue. Teoremas de convergencia. Medidas producto. Teorema de Fubini Los espacios L p. Espacios de Banach y de Hilbert Geometría II Los elementos de Euclides. Enfoques sintético y analítico de la geometría. El programa de Erlangen. Geometría lineal y afín. Geometrías finitas. Teoría de la proporcionalidad. Construcciones geométricas con regla y compás. Construcciones geométricas con computadora. La noción de fractal Modelos y Optimización Programación lineal. Modelos. Método Simplex. Complejidad. Aspectos Geométricos. Dualidad. Análisis de Sensibilidad. Modelos en redes. Introducción a la Programación (lineal) entera y la Programación (lineal) Taller de Tesina Este taller pretende iniciar al alumno en la investigación aplicando los conocimientos específicos adquiridos. A través de la elaboración de un trabajo escrito se abordan cuestiones metodológicas y/o epistemológicas que constituyen una práctica semejante a la actividad de investigación Análisis Funcional Teoría de operadores lineales en espacios normados. Funcionales lineales. Dualidad en espacios de Banach y de Hilbert. Teoría espectral de operadores compactos. Seminormas. Introducción al estudio de los espacios vectoriales topológicos. 7

8 Geometría III Teoría local de curvas: fórmulas y teorema de Frenet-Serret. Involutas y evolutas. TEU para curvas. Teoría local de superficies: Formas fundamentales. Curvaturas normal y geodésica. Fórmulas de Gauss. Geodésicas y campos vectoriales autoparalelos. Curvaturas media y gaussiana. TEU para superficies. Geometrías no euclideanas: el plano elíptico y el plano hiperbólico. Superficies de curvatura constante. Ecuaciones diferenciales de las geodésicas. Generalización a las Geometrías de superficies de curvatura variable Procesos Estocásticos Introducción a los procesos estocásticos: Procesos de Bernoulli, Número de éxitos, Instantes de éxitos y suma de variables aleatorias independientes. Procesos de Poisson: Procesos de conteo de arribos. Instantes de arribo. Superposición de procesos de Poisson. Descomposición de procesos de Poisson. Procesos de Poisson no estacionarios. Cadenas de Markov: Propiedad Markoviana. Matrices estocásticas. Clasificación de estados. Comportamiento límite. Aplicación a la teoría de colas: Cola M/G/1. Sistema de colas G/M/1. Procesos de segundo orden: Procesos gaussianos, Procesos de Wiener Ecuaciones Diferenciales Ecuaciones diferenciales ordinarias. Problemas de valores iniciales. Teorema de existencia y unicidad. Teoría de ecuaciones y de sistemas de ecuaciones lineales. Problemas de contorno para ecuaciones diferenciales ordinarias. Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Problema de Cauchy. Problemas de contorno. Ecuaciones de la Física-matemática Análisis Numérico II Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales ordinarias ( Métodos de Euler, multipaso y Runge- Kutta). Estimación de error. Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Introducción al método de elementos finitos. Métodos de Programación no lineal. 8

9 Métodos Matemáticos Modelos y métodos matemáticos aplicados a otras disciplinas científicotecnológicas: física, economía, biología, ciencias de la computación Tesina La tesina será el producto final del trabajo realizado en el Taller de Tesina. Este consiste en un escrito cuya elaboración será supervisada por un Director nombrado por la Dirección de la carrera de Licenciatura en Matemática. La evaluación y el examen oral de defensa de la tesina estarán a cargo de un Tribunal Examinador designado por la Dirección del Departamento de Matemática. 9

10 6.- ASIGNACIÓN HORARIA Y CORRELATIVIDADES AÑO CODIGO REQUISITOS ACADEMICOS CARGA HORARIA CORRELATIVIDADES 1.01 Cálculo I Primer año 1.02 Algebra Geometría I Taller de Resolución de Problemas Probabilidad y Estadística 105 1, Cálculo II Cuarto año Tercer año Segundo año Algebra Lineal Computación Cálculo III Estructuras Algebraicas I Matemática Discreta Topología Cálculo IV Estructuras Algebraicas II Análisis Numérico I Funciones Reales Geometría II Modelos y optimización Taller de Tesina Análisis Funcional Geometría III Procesos Estocásticos Ecuaciones Diferenciales Análisis Numérico II Métodos Matemáticos 105 de 1.01 a Tesina 0 - Licenciatura en Matemática: Carga horaria total: horas 2775 (dos mil setecientos setenta y cinco) 10

11 Bachiller Universitario con Mención en Matemática: Carga horaria total: horas 1740 (mil setecientos cuarenta) correspondientes al primero y segundo año y cuatro asignaturas de tercer año del presente plan de estudios, dos de las cuales deben ser: 3.12 Topología Modelos y Optimización 7.- ANÁLISIS DE CONGRUENCIA INTERNA DE LA CARRERA El conjunto de asignaturas que componen el Plan de Estudios de la carrera cubre un amplio espectro de temas y de metodologías de trabajo, tanto en los aspectos teóricos como en las posibilidades de aplicación a problemas concretos. La Matemática clásica, construida en base a la lógica deductiva formal, con énfasis en lo exacto y lo continuo, y con enfoques netamente deterministas, está presente en diversas asignaturas que componen las áreas de Análisis Matemático, Álgebra, Geometría y Topología, constituyendo un fuerte núcleo básico, conceptual y formativo, sobre el cual se asientan nuevos aprendizajes. Otro conjunto de asignaturas, correspondientes a las áreas de Probabilidad, Estadística, Computación, Análisis Numérico, Matemática Discreta y Optimización, involucran nuevas formas de abordaje teórico y práctico de problemas, atienden a la naturaleza aleatoria y/o discreta de los mismos, y emplean, cuando corresponde, métodos de resolución algorítmicos, ya sean exactos o aproximados. A su vez, varios de estos problemas provienen de situaciones concretas planteadas por otras disciplinas y, a través de su resolución, se amplía la visión del mundo científico y se favorece la posibilidad de interacción con profesionales provenientes de otros campos del conocimiento. Esta rica diversidad de saberes, conceptuales y metodológicos, configura una sólida formación que habilita al egresado para participar en equipos interdisciplinarios, de investigación, asesoramiento o desarrollo, ya sea diseñando, ejecutando o evaluando programas en los que se encuentren involucrados problemas matemáticos, incluyendo proyectos educativos. 11