Figura 1. Aplicando una fuerza con una inclinación con respecto al plano del movimiento.

Transcripción

1 21 ANEXO 1 LECTURA TRABAJO Y LOS CAMBIOS DE ENERGÍA TRABAJO MECÁNICO. Se refiere al hecho de aplicar una fuerza que sea capaz de provocar un desplazamiento; para que se tenga trabajo se requiere que exista una componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento. Figura 1. Aplicando una fuerza con una inclinación con respecto al plano del movimiento. En el esquema anterior, al jalar el carrito, se ejerce una fuerza F, que se encuentra sobre el desplazamiento un ángulo ; dicha fuerza tendrá dos componentes una vertical (F y = F sen ) que reduce el valor de la fuerza de fricción y la otra horizontal que es la que provoca el desplazamiento horizontal (F x = F cos ). Entonces el trabajo mecánico se obtiene con la fuerza que provoca el movimiento:..(ecuación 1) En donde: F es la magnitud de la fuerza aplicada, medida en N [newton]; d es el valor del desplazamiento, se mide en m [metro]; es el ángulo entre los vectores Fuerza F y desplazamiento d W es el trabajo mecánico, que se mide en (N m = J) [joule] Dependiendo del valor del ángulo el trabajo mecánico puede ser: a) positivo, si < 90 (la Fuerza y el desplazamiento tratan de ir en el mismo sentido). b) negativo, si 90 < 180 (la Fuerza y el desplazamiento tratan de ir en sentidos contrarios). c) nulo, si = 90 (la Fuerza y el desplazamiento son perpendiculares). Ejemplo 1. Observa las figuras a continuación y describe cómo es el Trabajo mecánico en cada situación (+,-,0)? (a) (b) (c) (d) Figura 2. Situaciones donde se aplica fuerza a diferentes cuerpos y que comparados con el desplazamiento, permiten decir si el Trabajo es [+], [-], o [nulo].

2 Al momento de estar lanzando la moneda (a) [Fuerza hacia arriba, desplazamiento hacia arriba], el trabajo es positivo; pero cuando la moneda sube (b) [Fuerza hacia abajo aplicada por la atracción gravitatoria y el desplazamiento hacia arriba], recibe un Trabajo negativo y la moneda al caer (c) moneda [Fuerza hacia abajo, desplazamiento hacia abajo], nuevamente recibe un Trabajo positivo. El trabajador al moverse horizontalmente y llevar cargando en su mano derecha la llanta (d) moneda [la Fuerza hacia arriba, desplazamiento hacia la derecha, ángulo de 90 ], el Trabajo es nulo. Al empujar un objeto con una fuerza F, en la misma dirección que el desplazamiento ( = 0 ); el trabajo mecánico simplemente se obtiene como:..(ecuación 2) La fuerza de fricción siempre se opone al movimiento, por ello es contraria al desplazamiento ( = 180 ), así el trabajo de la fuerza de fricción siempre es negativo: 22 Ejemplo 2. Determina el trabajo mecánico realizado por cada fuerza en el siguiente esquema: Como la Fuerza F 1, actúa horizontal y paralela al piso tiene un ángulo de = 30, así: Como la Fuerza F 2 (es el peso del bloque), actúa vertical y perpendicular al piso tiene un ángulo con respecto al desplazamiento de = 120, evaluando el trabajo como: Y como la Fuerza de fricción (f), actúa en contra del desplazamiento, tiene un ángulo de f = 180, obteniéndose: Si queremos evaluar el trabajo total que recibe el bloque al subirlo 4 m, este es: b) Teorema Trabajo-Energía cinética bajo fuerza constante. Se ha mencionado que al aplicar una fuerza neta constante y diferente de cero en la dirección del desplazamiento, provoca un Trabajo Mecánico; pero no se debe olvidar que al aplicar la fuerza neta constante diferente de cero sobre un cuerpo, le provoca cambio en su

3 velocidad. Por ello de acuerdo con la segunda ley de Newton [ ] y la ecuación que corresponde a un movimiento con aceleración constante en términos de las magnitudes de las velocidades y desplazamiento, es: [ ].(Ecuación del tema 1 ya revisado) Por lo que podemos obtener: 23 Como m multiplica a ambos términos y el 2 también los divide, además de sacar a 1/d como factor común: Quitando a d, del segundo miembro de la ecuación, para pasarlo al primer miembro, nos queda finalmente: El termino [ F d] ya lo mencionamos en el punto anterior (Ecuación 2), es el Trabajo mecánico realizado por la Fuerza neta constante [F]; por lo que podemos escribir: y a la magnitud [.. (Ecuación 3) ] se le llama energía cinética E c del cuerpo. Esta es una magnitud escalar que depende en forma directa del cuadrado de la velocidad y de manera directa con su masa. Por ello la energía es capacidad de poder realizar trabajo, en este caso gracias a tener velocidad... (Ecuación 4) En donde: E c, es la energía cinética del móvil, se mide en J, (joule). m, es la masa del móvil, en kg. v, es el valor de la velocidad en un instante t, su unidad es el m/s. El segundo miembro de la ecuación 3, representa el cambio en la energía cinética producido en el móvil, es decir la energía cinética al final del tiempo de aplicar la Fuerza neta constante [F] menos la energía cinética un instante antes de iniciar la aplicación de F. Teorema Trabajo Energía cinética: El trabajo total que se realiza sobre un móvil es igual al cambio que presenta en su energía cinética... (Ecuación 5) Ejemplo 3. Un proyectil de 0.02 kg que viaja a 90 m/s, se impacta sobre un tronco de madera, penetrando 0.15 m. Qué fuerza lo detuvo? Datos m = 0.02 kg v i = 90 m/s d = 0.15 m Ecuación y su despeje De la ecuación 3: Despejamos a F:

4 24 F =? Sustituyendo los datos y resolviendo: v f = 0 El signo ( ) es porque la fuerza se opone al movimiento del proyectil. Ejemplo 4. Un auto de 1800 kg que viaja a 30 m/s, se aproxima a un cruce por lo que aplica un freno de 4200 N mientras recorre 150 m. con qué energía termina? Datos m = 1800 kg Ecuación y su despeje De la ecuación 5 v i = 30 m/s F = N d = 150 m Reducimos a: Ec f =? Obteniéndose finalmente: Sustituyendo datos y realizando operaciones: Si quisiéramos conocer la velocidad a la que quedo, despejamos de la ecuación 4, a la velocidad final, quedando: Ejemplo 5. Un protón (masa de 1.67 x kg) es acelerado en un acelerador lineal. En cada etapa del acelerador, el protón es acelerado a lo largo de una línea recta de 3.50 x 10-2 m, con una aceleración de 3.60 x10 15 m/s 2. Si el protón entra moviéndose inicialmente a 2.40 x 10 7 m/s. Calcule (a) su velocidad al final del recorrido recto y (b) la ganancia de energía cinética resultante de la aceleración. Datos Ecuación y su despeje

5 25 m = 1.67 x kg a = 3.60 x10 15 m/s 2 v i = 2.40 x 10 7 m/s d = 3.50 x 10-2 m Ec f =? (a) De la ecuación de aceleración Sustituyendo datos, despejamos a la (b) La ganancia de energía cinética es el cambio de la misma: Sustituyendo datos: Ejemplo 6. Al aplicar una fuerza neta constante [F] de magnitud 50 N en dirección del desplazamiento d, figura 4 (a), Qué trabajo se realiza? De acuerdo a la gráfica de la figura 4 (a); se tiene que el área bajo la gráfica es un rectángulo, cuya área se obtiene como base por altura [la base es el valor del desplazamiento (d) y la altura el valor de la fuerza (F)], el área representa el Trabajo mecánico realizado W, figura 4 (b). Figura 4. Gráficas Fuerza desplazamiento, para una fuerza constante. Así, si el móvil se mueve por ejemplo: de las posiciones 4 m, a la posición 6 m; el trabajo a realizar es: Primero, la base es Así, el área bajo la gráfica, es el Trabajo hecho:

6 26 c) Teorema Trabajo-Energía cinética bajo fuerza variable. En muchas ocasiones la fuerza neta aplicada no es constante, pudiéndose tener variaciones proporcionales o no proporcionales durante un movimiento. De manera que el valor de la fuerza neta aplicada en cada instante puede tener valores diferentes, como se ilustra en la siguiente gráfica. Figura 5. Gráfica Fuerza desplazamiento con una fuerza variable. Al igual que en la gráfica F x con una fuerza constante, el área encerrada entre la curva y el eje x, corresponde al trabajo mecánico realizado por dicha fuerza. Para calcularla, se utiliza una aproximación dividiendo el desplazamiento en tramos iguales y sumando las áreas de los rectángulos. Cuanto más estrechos sean, mejor será la aproximación del cálculo. Conclusión: El trabajo es el área bajo la curva de la Fuerza F x en función de la posición x. Si analizamos nuevamente la figura 5 (c), para cada rectángulo, la fuerza es constante, por lo que el trabajo total en el mismo es igual al cambio en la energía en el intervalo. La sumatoria de todas las áreas de todos los intervalos considerados será la suma de las respectivas diferencias de energía cinética que se producen en el intervalo total (entre x 1 y x 2 ). Consecuentemente, el área total bajo la curva es igual a la suma de los cambios de energía cinética que ocurren en cada intervalo x i, es decir, el cambio total en la energía cinética del intervalo completo: Lo cual representa lo mismo que encontramos como trabajo total para una fuerza constante; es decir el resultado expresado como ecuación 5. d) Teorema Trabajo-Energía. Para levantar un bloque proporcionándole un desplazamiento d, es necesario ejercer una fuerza ascendente F. Sin importar como se ejerza la fuerza, pero si esta es lo suficiente, se logra cambiar al bloque de su nivel de referencia inicial con posición h i, a otro cuya posición está dada por h f. (ver figura 6.) En este caso la fuerza ejercida por la persona, se trasmite a través de la cuerda modificando la posición del bloque de una altura inicial [h i = 0] en el que se tiene una energía potencial [Ep i = 0], hasta una posición con altura final [h f > 0], en el cual la energía potencial es

7 27 Figura 6. Al realizar trabajo la persona para levantar el bloque, le modifica su Energía potencial gravitatoria. Por ello podemos decir que:.. (Ecuación 7) El trabajo mecánico es igual al cambio en la Energía potencial del bloque. Y si se cambio de posición de referencia del objeto desde el nivel del piso h i = 0, a una nueva altura, entonces el trabajo será igual a:... (Ecuación 8) Ejemplo 8. Si la persona aplica su fuerza de 294 N en un desplazamiento de la cuerda de 3 m, para levantar el bloque desde el piso, y conociendo que tiene una masa de 60 kg, a qué altura se levanto el bloque? En este caso es necesario despejar a la h f : La cual se reduce a: Quedando: No se debe olvidar que la Energía mecánica en un punto del movimiento es la suma de sus energías: cinética y potencial; por lo que podemos describir que el trabajo mecánico modifica a la energía mecánica, esto se escribe:.. (Ecuación 9) Ejemplo 9. Un bloque de 5 kg parte del reposo y desciende por la pendiente mostrada en la figura. Si la velocidad con la que llega al final de la rampa es de 6 m/s, determina la cantidad de trabajo desarrollado por la fuerza de rozamiento o fricción.

8 28 En este caso aplicamos la ecuación 9: Como al deslizarse el bloque por el plano, llega a la parte final con v i = 6 m/s pero queda en el nivel de referencia (h f = 0); además en el punto inicial del movimiento, el bloque no tiene velocidad (v i = 0), pero si altura (h i = 4 m): tenemos: El trabajo es negativo, porque es efectuado por la fuerza de fricción. Ejemplo 10. Un cuerpo de 8 kg, se mueve sobre el eje x, bajo la acción de una fuerza F paralela al eje, cuya magnitud varía como se muestra en la gráfica. Si en x = 0, el cuerpo está en reposo, cuál será su velocidad cuando se encuentre en x = 12 m? Aplicamos la ecuación 9: Para esta situación como el objeto se mueve sobre el eje x, no hay cambio de posición vertical, en consecuencia no existe cambios en la energía potencial, teniéndose así: Y como parte del reposo en x=0, la ecuación se reduce a: Por la conclusión del Teorema Trabajo-Energía cinética bajo fuerza variable, el trabajo mecánico es el área bajo la gráfica Fuerza vs posición X. En este caso, podemos encontrar el trabajo realizado como el área formada por el triángulo de [0,6] m; con la del rectángulo de (6,12]m. Y de ; se despeja a la v f :

9 29 e) Potencia Mecánica. En muchas ocasiones no es tan importante conocer la cantidad de trabajo que se realiza, sino la rapidez con la que éste se hace, por ello se emplea el concepto de potencia mecánica. Ejemplo 11. El Sr. L. González lleva del primer piso al tercero de un edificio escolar 40 sillas, de una en una, empleando en ello una hora. En cambio el Sr. R. Pérez, sube 40 sillas del 1 al 3 er piso en sólo ½ hora. Quién realiza mayor trabajo? Y quién de los dos tiene mayor potencia? Respuesta: Como las posiciones inicial y final son las mismas, el desplazamiento es igual. Además cada persona levanta el peso de 40 sillas, en consecuencia, también la fuerza total aplicada es la misma, [W = F d = (peso de 40sillas)( altura a la que se llevaron)], los dos realizan la misma cantidad de trabajo. Aunque el trabajo es el mismo, la potencia es la rapidez con la que se hace el trabajo (P = W/t) y el Sr. R Pérez emplea menor tiempo en hacerlo, si disminuye el tiempo aumenta la Potencia; entonces R Pérez tiene mayor Potencia. La potencia promedio que se ejerce al aplicar una fuerza sobre un cuerpo, es:.. (Ecuación 10) donde: W es el trabajo mecánico, medido en J, joule t es el tiempo en realizar el trabajo, medido en s, segundo y, P es el valor de la potencia mecánica promedio, su unidad es el, watt Si la fuerza que realiza el trabajo es constante, entonces: [potencia media = (Fuerza constante)(velocidad media).. (Ecuación 11) Esta forma de expresar la potencia, nos señala claramente lo que le sucede a un auto el cual tiene una potencia definida o constante de su motor, pero se puede modificar su velocidad, simplemente cambiando el valor de la fuerza aplicada. Para iniciar el movimiento del auto se requiere mucha fuerza para vencer a la fuerza de fricción estática [F v], arrancamos el auto en 1ª; una vez en movimiento se reduce la fuerza de fricción (ahora es fricción cinética) por lo que podemos pasar a 2ª [F v] debido a que se necesita menor fuerza y con ello se aumenta la magnitud de la velocidad. Si colocamos la 3ª, se reduce aún más la fuerza aplicada, incrementándose a un valor mayor la velocidad [F v ]. En todos estos cambios, la potencia se mantiene constante. (Ver la ecuación 11). Despejando a W de la ecuación 10, obtenemos una forma alternativa de buscar el trabajo:. Por lo que la unidad de trabajo se obtiene multiplicando la unidad de potencia por la unidad de tiempo. Así la unidad de trabajo se define como: el trabajo mecánico hecho en una unidad de tiempo por un cuerpo o máquina que posea una unidad de potencia. Por ejemplo: Un joule es el trabajo realizado en un segundo por una potencia de un watt, o también un watt-hora es el trabajo que se realiza en una hora con un cuerpo o máquina de un watt de potencia.

10 Ejemplo 12. Un elevador vacío pesa 5160N. Está diseñado para levantar hasta 20 pasajeros desde la planta baja hasta el piso 20 de un edificio en un tiempo de 20 s. Suponiendo que cada persona pese 700 N y la distancia entre cada piso sea de 3 m. Cuál debe ser la potencia constante que ejerce el motor de este elevador? La fuerza total a ejercer por el motor es para levantar el peso del elevador y la del peso de las 20 personas. El valor del desplazamiento a realizar es: Así el trabajo total a desarrollar es: 30 Y la potencia es: Si la fuerza aplicada es variable, entonces, la potencia instantánea P producida es: donde: dw es la pequeña cantidad de trabajo que se efectúa en un intervalo de tiempo muy pequeño dt. Trabajaremos solamente situaciones en el que la potencia sea constante, entonces la potencia en cada instante es la potencia media: P = P, que es la ecuación 8. Ejercicios del tema: 1.- Un automóvil de 2100 kg que viaja a 15 m/s por una carretera plana, acciona sus frenos para reducir su energía cinética en J. (a) Qué velocidad adquiere al realizarse esto? (b) Si queremos llevarlo al reposo, Cuánta energía cinética más debe eliminarse? 2.- Un beisbolista arroja una pelota de 0.25 kg con una velocidad de 36 m/s. Si otro jugador está a punto de recoger la pelota al mismo nivel pero con una velocidad de 33 m/s. Cuánta energía se ha perdido por el efecto del aire? 3.- Determina la potencia que debe tener el motor de un elevador que levanta la cabina de 6000 N y que lleva 12 pasajeros que promedian 650 N de peso, a una altura de 15 m en 25 s. Considera que no hay perdidas por la fricción, ni contrapeso. 4.- Determina el trabajo realizado por la fuerza variable que se ilustra en la gráfica:

11 31 PRACTICA RELACIÓN TRABAJO - ENERGÍA ANEXO 2 Objetivo: Mostrar que la aplicación de un Trabajo Mecánico, repercute en el cambio de la energía cinética para un móvil. Introducción. En esta actividad se considera la evaluación del trabajo mecánico, y la energía cinética con sus cambios. El trabajo se obtiene con la fuerza ejercida por el peso de diversas pesas (su valor se obtiene con ayuda del dinamómetro), el desplazamiento con la distancia que cae el sistema carritopesa-hilo. W = F d = (peso) (altura) Para obtener la Energía cinética inicial, Ec i, como se parte del reposo, la v =0, entonces la Ec i = 0. En cambio para evaluar la Energía cinética final, Ec f, se requiere tener la velocidad final v f, la cual para un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, se puede encontrar como: En este caso se debe tener presente que al aplicar a un cuerpo una fuerza neta diferente de cero, se acelera, y para un cuerpo que parte del reposo, la velocidad que va adquiriendo en cada segundo de su movimiento esta dado por:, como parte del reposo:, y también:, por lo que si igualamos y despejamos a la v f, se tiene:, quedando, que la podemos determinar con: La masa se obtiene con ayuda de la balanza digital. Ejemplo: Para el sistema que se muestra evalúa el cambio de Energía cinética y el trabajo aplicado que recibe, si el movimiento se hace en 0.4 s La velocidad final que alcanza al llegar al tope, es: Las energías son:,

12 32 Así el cambio es: Mientras que el trabajo realizado por la pesa, es de: Para análisis de la práctica, se comparan los resultados del W y Ec. En este caso, se nos paso eliminar la fuerza de fricción, por lo que se recomienda colocarle la pesa de plastilina (clip con plastilina, la suficiente para mantener la velocidad constante). Para ello agrega el clip a la plastilina hasta que inicie su movimiento el carro, retirarle un poquito para que ya no lo mueva. (Ésta sería una aproximación de la fuerza de fricción, la cual no se toma en los cálculos). Material a utilizar: 1 carro de baja fricción 1 soporte universal 1 nuez doble de sujeción 1 polea con vástago 1 m de hilo 1 regla de madera de 1 m 1 cronometro 1 dinamómetro de (0 a 1 )N 1 marco de pesas con gancho 1 clip Plastilina (200g) DESARROLLO. 1.- Montar el sistema que se muestra. 2.- Agregar al extremo del hilo que se moverá verticalmente la pesa de plastilina (clip con plastilina). La plastilina debe ser la suficiente para mantener la velocidad constante. (Para ello agrega ello agrega el clip con la plastilina hasta que inicie su movimiento el carro, retirarle un poquito para que ya no lo mueva). (Ésta sería una aproximación de la fuerza de fricción, la cual no se toma en cuenta para los cálculos). 3.- Mide la distancia que se moverá el carro de baja fricción, colocando en el punto final la plastilina para que sirva de tope. Esta distancia debe ser la adecuada para que la pesa en el extremo, siempre este cayendo mientras se tiene el recorrido d. 4.- Pesar una pesa (por ejemplo 10 g) con el dinamómetro. Soltar el sistema y medir el tiempo en que se recorre la distancia d. Registrar resultados en su Tabla Evaluar con las ecuaciones planteadas: La velocidad final y con ella la ganancia de Energía cinética; así como el trabajo efectuado por la pesa. 6.- Repetir el procedimiento marcado en los puntos 4 y 5, utilizando otras pesas (por ejemplo de 20 g, 50 g y 100 g)

13 33 RESULTADOS Tabla N 1 de resultados, para comparar el cambio en la energía cinética y El trabajo mecánico. distancia = a la altura d tiempo velocidad final v f Cambio en la Energía cinética final Ec f Fuerza ejercida por la pesa F Trabajo mecánico W = F d t CONCLUSIONES. [Revisar las columnas 4ª ( Ec f ) y 6ª (W) para establecer la conclusión de acuerdo a su semejanza o la gran diferencia, comentando qué resultados se podrían esperar? Y porqué no se obtuvieron éstos]. Bibliografía: * Giancoli, D. Física Principios con aplicaciones, Prentice-Hall, México, * Hetch, E. Fundamentos de Física, Thomson-Learning, México, * Hewitt, P. Física Conceptual, Pearson, México, * Kirkpatrick Larry D, Francis Gregory. Física. 6a. Edición. Editorial CENGAGE Learning * Tipler Paul A., Mosa Gene. Física para la Ciencia y la Tecnología Volumen 1A. Editorial Reverté, S.A * Tippens P. Física Conceptos y aplicaciones. McGraw Hill, México, * Zitzewitz, P. W., Neft, R. F. y Davis, M. Física 2. Principios y problemas, McGraw Hill, México, 2002.

14 34 ANEXO 3 Práctica: LA MÁQUINA EN LA TRANSFORMACIÓN TRABAJO CAMBIO EN LA ENERGÍA. Objetivo: Mostrar que la aplicación de un Trabajo Mecánico, repercute en el cambio de la energía potencial de un cuerpo. Introducción. En esta actividad se considera la evaluación del trabajo mecánico, y la energía potencial gravitatoria con sus cambios. El trabajo se obtiene con la fuerza ejercida a través de un dinamómetro para jalar el hilo que sostiene un sistema de polea móvil con cierto cuerpo, y el desplazamiento con la distancia que se recorre el dinamómetro. W = F d Para obtener la Energía potencial inicial, Ep i, como se parte del sistema de referencia (superficie de la mesa), la h i =0, entonces la Ep i = 0. En cambio para evaluar la Energía potencial final, Ep f, simplemente se mida la posición del cuerpo con respecto a la superficie de la mesa y aplicamos: Y el cambio de energía: La masa se tiene con su valor en la pesa utilizada. Ejemplo: Para el sistema que se muestra en la figura anterior, evalúa el cambio de Energía potencial y el trabajo aplicado por la persona. Al llevar el cuerpo de m= 5 kg a una altura de 0.15 m. El recorrido de la fuerza en el extremo aplicado por la persona es de 0.30 m. El trabajo ejercido por la persona es de: Mientras que el cambio de energía es de:

15 35 Material 1 polea móvil con 2 ganchos. 2 m de hilo 1 dinamómetro (de 0 a 50 N) 1 cuerpo de masa conocida (por ejemplo un envase con 1 litro de agua) 2 regla de 30 cm (las traen los alumnos) Desarrollo: 1.- El profesor monta el sistema de polea móvil. 2.- Se le pide a un alumno que ejerza su fuerza con el dinamómetro en el extremo correspondiente, y que mida con la regla el desplazamiento que tiene éste. Registra sus datos de F y d. Y con ello calcular el trabajo aplicado por la persona W Que otro alumno mida al mismo tiempo que se toman los valores del punto anterior, la altura a la que se llevo el cuerpo. Para evaluar el cambio en la energía potencial. ( Ep). 4.- Preguntarse. Cómo se podría lograr mayor cambio en la Energía potencial del cuerpo (litro de agua)? 5.- Dejar caer el objeto (litro de agua) desde dos posiciones, dejándola caer sobre 2 cuerpos frágiles aproximadamente iguales, (por ejemplo dos jitomates). En qué situación se obtuvo mayor trabajo realizado por el cuerpo? Y por qué? CONCLUSIONES. [Revisar los resultados de los puntos 2 (W) y 3 ( E p ) del desarrollo, para establecer la conclusión de acuerdo a su semejanza o la gran diferencia, comentando qué resultados se podrían esperar? Y por qué no se obtuvieron éstos]. [También comentar sobre los cambios al subir el objeto y la ganancia de energía del litro de agua, así como el trabajo que realizo éste sobre los jitomates]. Bibliografía: * Giancoli, D. Física Principios con aplicaciones, Prentice-Hall, México, * Hetch, E. Fundamentos de Física, Thomson-Learning, México, * Hewitt, P. Física Conceptual, Pearson, México, * Kirkpatrick Larry D, Francis Gregory. Física. 6a. Edición. Editorial CENGAGE Learning * Tipler Paul A., Mosa Gene. Física para la Ciencia y la Tecnología Volumen 1A. Editorial Reverté, S.A * Tippens P. Física Conceptos y aplicaciones. McGraw Hill, México, * Zitzewitz, P. W., Neft, R. F. y Davis, M. Física 2. Principios y problemas, McGraw Hill, México, 2002.