Representación y manipulación de árboles: búsqueda y recorrido

Transcripción

1 Árboles Represenación y maniplación de árboles: búsqeda y recorrido = lisas ramificadas El grado del árbol refiere a la canidad (máxima) de ramos qe sale de cada nodo. El primer nodo se llama la raíz del árbol. Los úlimos nodos se llaman las hojas. Los nodos qe no son hojas se dicen nodos de reo. Si nodo a apna a nodo b, a es padre de b y b es hijo de a. Dos nodos qe comparen padre son hermanos. Orden de árbol Esrcra ípica de n nodo! Cada nodo coniene n dao.! Para ordenamieno, se reqiere na fnción de precedencia y na regla de orden del árbol. x Pnero a s padre nlo si es raíz! La regla esablece el orden relaio de los daos del padre y ss hijos. Dao! El grado de n nodo es la canidad de hijos qe iene.! En árboles ordenados, ambién el orden de los hijos de n nodo se iene qe fijar (de izqierda a derecha).! Depende de la aplicación si habrá daos dplicados o si serán únicos odos. < x > x Grado Pneros a los hijos cero si es hoja en lisa o arreglo

2 Árbol binario la raíz hijo izqierdo hijo derecho ramo derecho de la raíz lra y profndidad! La profndidad de n nodo es la canidad de pasos qe no iene qe bajar desde la raíz para bajar a ello: { 0, si es la raíz, D() = D(.P)+1, en oro caso.! El conjno de nodos qe ienen la misma profndidad enre ellos D se llama n niel.! La alra de n nodo es la canidad máxima de pasos necesarios para sbir a ello desde na hoja, más no: { 1, si es na hoja () = máx{(izq()), (der()) +1, si es de reo.! La profndidad de n árbol es la profndidad máxima de ss nodos.! La alra de n árbol es la alra de s raíz.! plica qe D = 1.! El balanceo de n árbol es la area de minimizar s alra. alance: peor caso y mejor caso n = número de nodos en el árbol sinóicamene logarímico. Un árbol balanceado con n =8yprofndidadres. El peor caso de fala de balance para n =8iene profndidad seis. sinóicamene lineal. úsqeda en árboles binarios boolean bsca(in alor, arbol* nodo) { if (nodo.dao == alor) { rern re; else if (nodo.grado == 0) { rern false; else if (nodo.dao > alor) { rern bsca(alor, nodo.izqierdo); else { rern bsca(alor, nodo.derecho); in main() {... bsca(alor, raiz);...

3 Complejidad asinóica! En el peor caso el reslado es falso y bscamos hasa llegar a na hoja.! Eso reqiere en el peor caso na canidad de pasos igal a la profndidad del árbol.! En n árbol no balanceado, la profndidad del peor caso es lineal.! En n árbol balanceado, la profndidad del peor caso es logarímica.! Coniene manener los árboles en balance si el esferzo reqerido para ello es menor a lineal. Condiciones de balance: VL O! La diferencia de alras de los dos hijos de n nodo nnca debe exceder a no: (izq()) (der()) 1. Por n análisis maemáico qe inolcra la serie Teorema de Fibonacci, Para se cada llega a demosrar qe la alra reslane es menor a 1,440 log(n +2) 0,328. Roaciones Tipos de roaciones! Cando n nodo llega a deecar n imbalance (por haber añadido o eliminado n nodo del árbol), se aiende el problema a raés de la realización de roaciones.! Las roaciones proceden recrsiamene hacia la raíz hasa qe ya no haya imbalance. Roación simple izqierda Roación simple derecha! Van a ser por máximo na canidad logarímica de roaciones si cada imbalance esá aendida inmediaamene despés de haberse presenado Roación doble izqiera-derecha Roación doble derecha-izqierda

4 Condiciones de roación Árboles exernos! Los daos se gardan únicamene en las hojas. () ()+2 : () () 2 : () () roación simple a la derecha, () < () roación doble izqierda-derecha, () () roación simple a la izqierda, () < () roación doble derecha-izqierda.! Los nodos de reo conienen claes de rasreo qe no necesariamene esán presenes acalmene como daos en el árbol.! Inserción y eliminación de daos resla mcho más simple en ese ipo de árboles. Inserción Eliminación a c a c b a b c gregamos a n nodo con dao b < a

5 Pracicamos! Escriban, en pares, en psedocódigo para! úsqeda de n dao en n árbol exerno qe no coniene claes dplicados! Inserción de n dao a n árbol exerno qe no permie inserar na clae qe ya esá inclida! Eliminación de n dao de n árbol exerno qe no coniene claes dplicados Condiciones de balance: rojo-negro 1. Cada nodo es o rojo o negro. 2. La raíz es negra. 3. Las hojas son negras. 4. Se n nodo es rojo, ambos ss hijos son negros. 5. Para cada nodo, odos los caminos de ello a algna hoja conienen la misma canidad de nodos negros. ener orden lra reslane es O (log n). Roaciones en árboles rojo-negro Roación a la izq. Roación a la der. C C! Árboles balanceados. Árboles! Ni binarios ni exernos.! Cada nodo de reo debe conener n máximo de 2K - 1 y n mínimo de K - 1 daos donde K es na consane.! La raíz pede ener menos de K - 1 daos.! Si n nodo de reo coniene k daos, a a ener necesariamene k + 1 hijos.! Las hojas son especiales ya qe no ienen hijos.

6 Esrcra ípica en árboles Ejemplo Pnero a s padre Grado Daos Pneros a los hijos Si es hoja nlo si es raíz: opcional canidad de claes en n arreglo en oro arreglo ariable binaria Cómo es la regla del orden del árbol?! inarios.! No exernos. Árboles biselados! Claes deben ser únicas.! Menores a la izqierda, mayores a la derecha.! No hay na condición de balance.! Tiempo logarímico para búsqeda, inserción, eliminación de daos y para la nión de n árbol menor a n árbol mayor en érminos de las claes o diisión de n árbol a pare menor y mayor Operación splay(, ) = hacer qe la clae esé en la raíz del árbol biselado. Si no coniene a, la nea raíz será máx {k l >k { si coniene claes mayores a y mín {k ismo reqisio en oro caso.

7 ! úsqeda de alor : Haz splay(, ).! Unión: Haz n splay con infinio en el árbol menor. Jna el árbol mayor como el ramo derecho del reslado.! Diisión con alor : Haz splay(, ). El ramo derecho será la pare mayor y el reso será la pare menor.! Inserar alor :! Diide sando.! Si c ya esá en la raíz, jna los ramos.! Si no es, crea na raíz nea para y pon los ramos como ss hijos.! Eliminar alor :! Diide sando.! Si no es la raíz, no hagas nada.! Si lo es, qíalo y ne los dos ramos. Operaciones Moníclos = esrcras formadas por grpos de árboles Ejemplo: moníclo binómico Recorridos de árboles! Iniciando de la raíz, se isia a cada nodo del árbol! Llegando a n nodo, se isia primero de manera recrsia el ramo izqierdo y lego el ramo derecho! El momeno en qe se imprime el nodo deermina el orden de salida! nes del ramo izqierdo: en preorden! Despés del ramo derecho: en posorden! Enre los ramos: en órden inerno Psedocódigos oid preorden(nodo) { imprime nodo.alor; si (nodo.izq nlo) { preorden(nodo.izq); si (nodo.der nlo) { preorden(nodo.der); oid posorden(nodo) { if (nodo.izq nlo) { posorden(nodo.izq); if (nodo.der nlo) { posorden(nodo.der); imprime nodo.alor; oid ordenin(nodo) { si (nodo.izq nlo) { ordenin(nodo.izq); imprime nodo.alor; si (nodo.der nlo) { ordenin(nodo.der);